1. Вычисление интегралов по замкнутому контуру. Пусть функция f(z) имеет внутри замкнутого контура Г только изолированные особые точки. Тогда интеграл от f(z) по контуру Г можно найти, применяя теорему 27.1 о вычетах: вычисляя вычеты в особых точках, находящихся внутри контура Г, складывая эти вычеты и умножая сумму на 2тгг, мы и получим искомый интеграл.
Г1 р и м е р 28.1. Вычислить интеграл
Р е ш е н и е. Внутри окружности z = 2 находятся две особые точки функции f(z) = ( 2 2 + i)(^+3) 2 ’ а именно z i = U z 2 = -Ц третья особая точка z% = - 3 лежит вне этой окружности. Вычеты в точках ±г были найдены в примере 27.5: res*/ = 0,01(7-N), res_*/ = 0,01(7- г). Применяя формулу (27.2), имеем:
Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости С только изолированные особые точки, то вместо вычисления суммы вычетов в конечных особых точках бывает проще найти вычет в бесконечно удаленной точке и воспользоваться теоремой 27.10 о сумме вычетов.
Пример 28.2. Вычислить интеграл
Решение. Функция f(z) = имеет восемь особых точек
Решений уравнения z s 4- 1 = 0. Каждая из этих точек Zk является полюсом второго порядка, поскольку в окрестности точки Zk функция f(z) имеет вид f(z) = , где h(z) аналитична в окрестности
точки Zk и h(zk) ф 0. Все особые точки лежат внутри окружности z = 2. Вычисление вычетов во всех этих точках весьма трудоемко. По к данной функции применима теорема 27.10, которая дает
Поэтому достаточно найти вычег в точке zq = эо. Воспользуемся формулой (27.13). Здесь
Функция g(w) представима в виде = - 1 ^ ^. где h(w) = --
W (1 + W b)
Поскольку hi(w) аналитична в окрестности точки wq = 0 и h (0) Ф 0, то вычет reso$ легко найти по формуле (27.6 /): reso# = h(0) = 1. Из (27.2), (28.1) и (27.13) получаем:
рациональная функция от cos р, sin р. Такие интегралы возникают в ряде приложений (например, при решении краевых задач). Они сводятся к интегралам, рассмотренным в предыдущем пункте, с помощью замены переменного 2 = е г Тогда dz = e tip idp = zidp , откуда
(см. формулы (12.2)). При изменении р от 0 до 2тг точка г описывает окружность z = 1. Поэтому после перехода к переменному 2 мы получим интеграл по единичной окружности от функции, представимой в виде отношения двух многочленов; такие функции называются рациональными дробями или дробно-рациональными функциями.
Пример 28.3. Вычислить интеграл
Решен и е. Выполняя указанные выше подстановки, получим, что данный интеграл равен
Разложим знаменатель на множители, для чего найдем корни уравнения az 2 - (а 2 + )z + а = 0. Дискриминант
Следовательно, подынтегральная функция f(z) имеет две особые точки z - а и 22 = 1/а, каждая из которых является полюсом первого порядка. Так как по условию |а| Z лежит внутри окружности z = 1, а г? вне ее. По теореме 27.1
Для вычисления вычета в точке Z = а можно воспользоваться любой из формул (27.5), (27.6), (27.6"). Применим, например, формулу (27.6). Здесь
3. Вычисление несобственных интегралов. Пусть f(x)
функция, заданная на всей оси ОХ. Рассмотрим вычисление несоб-
ственных интегралов f f(x) dx, определяемых следующим образом:
Интеграл, определенный равенством (28.2), называется несобственным интегралом в смысле главного значения. Если предат в (28.2)
существует, то интеграл J f(x) dx называется сходящимся ; если пре-
дел не существует, то расходящимся.
Если сходится каждый из интегралов
(т.е. существуют оба соответствующих предела), то несобственный интеграл в (28.2) также сходится и равен сумме этих интегралов.
Но обратное неверно: из сходимости интеграла / f(x)dx в смысле
главного значения (т.е. из существования предела в (28.2)) не сле-
дует сходимость интегралов / f(x)dx и / f(x)dx. Например, инте-
/ xdx
поскольку
В то же время каждый из интегралов
расходится.
Вычисление многих несобственных интегралов
(в смысле главного значения) основывается на следующей теореме.
Теорема 28.4. Пусть функция f(x),x 6 (-оо, +ос), удовлетворяет следующим двум условиям:
в осо-
Тогда интеграл. J f(x)dx равен сум.ме вычетов функции f(z)
бых точках, лежащих в верхней полхрхлоскоети, умноженной на 2/П (соответственно ]твен сумме вычетов в особых точках из нижней полуплоскости, умноженной па - 2 лг).
Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда полуокружность 7(Я) лежит в верхней полуплоскости. Возьмем замкнутый контур Г, состоящий из отрезка [-Я, Я] и полуокружности 7(Я), с обходом против часовой стрелки (рис. 49). По теореме 27.1
где сумма распространяется на все особые точки Zk , лежащие внутри контура Г. Перейдем к пределу при Я -> оо. Пользуясь соотношениями (28.2) и (28.3), получим нужное равенство:
где сумма берется по всем особым точкам из верхней полуплоскости.
Бели полуокружность 7(Я) лежит в нижней полуплоскости, то соответствующий контур Г“ будет обходиться по часовой стрелке (такое направление возникает оттого, что отрезок [-Я, Я] в любом случае должен проходиться слева направо, т.е. в направлении возрастания х). Поэтому в правой части (28.4) добавится знак минус. Теорема 28.4 доказана.
Пример 28.5. Вычислить интеграл
Решение. В данном случае f(z) = ^ + уу Проверим справедливость условия (28.3):
где h(z) = --§-ту. Так как lim h(z) = 1, то при достаточно боль-
ших значениях z будет h(z)
Следовател ь но.
(здесь f dz = тгR - длина полуокружности у(R)). Переходя к пре- 7(«)
делу при R -> оо. получим (28.3). Проведепные оценки справедливы как для верхней, так и для нижней полуокружности. Поэтому в качестве 7(Л) можно выбрать любую из них. Пусть у(R) - верхняя полуокружность. Так как
то f(z) имеет две особые точки z - 3г, zo = -Зг, являющиеся полюсами второго порядка. Из них в верхней полуплоскости находится только z = Зг. Вычет в этой точке найдем по формуле (27.7) с тг = 2:
Заметим, что вычислить данный интеграл можно было и не прибегая к методам комплексного анализа, а находя первообразную подынтегральной функции. Но приведенное вычисление значительно проще.
Рассуждение, проведенное нами в примере 28.5 для проверки условия (28.3), без изменения подходит к любой функции f(z), представимой в виде отношения двух многочленов (т.е. рациональной дроби), если степень многочлена в знаменателе на две и более единицы превосходит степень многочлена в числителе. (В примере 28.5 степень многочлена в числителе равна 2, а в знаменателе - 4.) Следующая теорема показывает, что условию (28.3) удовлетворяет и другой важный класс функций, интегралы от которых возникают, например, в операционном исчислении (см. гл. VIII).
Теорема 28.6 (лемма Жордана). Пусть функция F(z) аполитична в полуплоскости lm z ^ -а, за исключением конечного числа изолированных особых точек , и lim F(z) = 0. Если 7(R) - дуга
окружности z = 7?, расположенная в полуплоскости Ini 2 ^ -а, то
Рис. 50
Доказательство. Рассмотрим вначале случай а > 0. Обозначим через М (7?) максимум модуля F(z) на дуге 7(7?). Поскольку lira F(z) = 0, то
lim M(R) = 0.
Разобьем 7(7?) на три части 7i (Л), 72(7?) и 7з(Т?) (рис. 50): дуги 7i(R) и 72(Я) заключены между прямой у = -а и осью ОА", а 7з(Т?) является полуокружностью, лежащей в полуплоскости Im z ^ 0. Очевидно, что интеграл по 7(7?) равен сумме интегралов по этим трем дугам. Оценим каждый из них в отдельности.
В точках z = х + iy дуг 71 (7?) и 72(7?) будет -у Поэтому
Обозначим через /(7?) длины, а через у?(7?) - центральные углы дуг 7i(T?) и 72(7?) (в радианах). Легко видеть (см. рис. 50), что siny? =
откуда?>(7?) = arcsin -. Поэтому /(7?) = R
7?arcsin -. Отсюда получаем
Таким образом, в случае а > 0 теорема доказана. Если а ^ 0, то дуга "y(R) лежит в полуплоскости Im z ^ 0 и является частью дуги 73(R); части 7i (R) и 7г(Я) в этом случае отсутствуют. Для 7(R) справедливы рассуждения, проведенные выше для 73(7?), и теорема 28.G полностью доказана.
Смысл теоремы 28.6 состоит в том. что функция F(z) может стремиться к нулю сколь угодно медленно (заметим, что в примере 28.5 убывание функции f(z) при z -? оо было достаточно быстрым как |z|“ 2). Но умножение на e ltz обеспечивает стремление интеграла по 7(R) к нулю.
Замечание. Для случая t z = /?, лежащую в полуплоскости Imz ^ -а (на рис. 50 показана пунктиром). Доказательство в этом случае аналогично приведенному выше для t > 0. В случае t - 0 теорема 28.6 неверна.
П р и м е р 28.7. Вычислить интегралы
Таким образом, действительная и мнимая части функции f(x) и являются теми функциями, интегралы от которых нужно найти. Поэтому
ются теми функциями, интегралы от которых нужно найти. Поэтому
/ Х€*^ х
тельную и мнимую части, то получим искомые величины.
Функция F(z) = .Д удовлетворяет условиям теоремы 28.6: она z "f 9
имеет только две особые точки z > = ±3t и lim -- = 0. Ес-
z->o о Z z + 9
ли 7(/?) дуга окружности z = R, расположенная в полуплоскости Im z > 0. то согласно tcodcmc 28.6
(мы взяли в (28.5) t = 2). Значит, можно применить теорему 28.4,
согласно которой интеграл / --- dx равен сумме вычетов функ-
J x z 4- 9
ции f(z) = - -- в особых точках из верхней полуплоскости 1 т z > z I J
О, умноженной на 2т. В полуплоскости Im z > 0 лежит единственная
Z e i2z
особая точка Z = Зг функции f(z). Так как f(z) = - -----,
(z - oi)(z + Зг)
то z = Зг - полюс первого порядка. Вычет в этой точке можно найти по любой из сЬоомул (27.,"В. (27.6L (27.63. Ппименим (27.63. Злесь
Действительная и мнимая части полученного числа и будут искомыми и I ггегралам и:
(Заметим, что равенство нулю первого из этих интегралов непосредственно следует из того, что он является интегралом от нечетной функции по интервалу, симметричному относительно начала координат.)
1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра прикладной математики ИП ВАСИЛЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Оренбург
2 ББК 6 я7 В 9 УДК 7 (7 Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент, завкафедрой математического анализа Невоструев ЛМ Василего ИП Вычисление интегралов с помощью вычетов: Методические В9 указания Оренбург: ГОУ ОГУ, с Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей и инженерно-технических специальностей На базе основной теоремы теории вычетов, получены алгоритмы вычисления, определенных интегралов от тригонометрических функций и несобственных интегралов двух видов ББК 6 я7 ИП Василего, ГОУ ОГУ,
3 Введение Решение многих задач физики, механики и некоторых разделов математики связано с вычислением определенных или несобственных интегралов В работе рассмотрены способы вычисления таких интегралов с помощью теории вычетов В разделе приводятся основные сведения из теории вычетов В разделе, на примерах разобраны способы вычисления определенных и несобственных интегралов и приведены варианты примеров для самостоятельной работы
4 Основные факты теории вычетов Обязательно по книгам (и (читатель должен ознакомиться с основными понятиями теории функций комплексного переменного: аналитическая функция, интеграл от функции комплексной переменной по кривой и его свойства, ряды Тейлора и Лорана и тд Определение Нулем аналитической функции f называется точка, для которой f (Если f не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки, то можно описать окружность достаточно малого радиуса с центром в точке внутри которой не будет других нулей, кроме центра Если (k f f f (, а (k f (, то точка называется нулем порядка k для функции f Если k, то нуль называется простым, при k > k - кратным Определение Точки в которых функция f перестает быть аналитической называются особыми точками функции f Определение Точка называется изолированной особой точкой функции f, если функция f аналитична в некоторой проколотой окрестности (кольце { С < < r}, а в самой точке или не определена, или определена, но не дифференцируема Определение Ряд вида a (a a где { a } - последовательность комплексных чисел, называется рядом Лорана с центром в точке a Ряд (частью ряда Лорана Ряд a, сходящемся в круге < r, называется правильной, сходящийся в области >, называется главной частью ряда Лорана По определению ряд Лорана сходится, если сходятся одновременно его правильная и главная части Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце: < < r Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка Определение Изолированная особая точка функции f lm f f называется устранимой, если существует конечный предел
5 Тогда f тогда и только тогда, когда главная часть её ряда Лорана с центром в точке отсутствует Определение 6 Изолированная особая точка функции f lm f является устранимой особой точкой функции называется полюсом, если Тогда f, тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана с центром в точке состоит из m (конечного числа членов: f является полюсом функции a a m m a a m m m (((, a, m Число m называют порядком полюса Если m, то полюс называется простым Если для функции f точка есть полюс порядка m, то для функции точка есть нуль порядка m f Определение 7 Изолированная особая точка функции f lm f не существует Точка называется существенно особой точкой, если f тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана с центром в точке содержит бесконечное число членов является существенно особой точкой функции Например, точка - существенно особая точка функции Действительно, e! Заметим, что изолированная особая точка функции f является полюсом порядка k тогда и только тогда, когда в некоторой проколотой окрестности точки: < < r, f причем аналитична (k в круге < r и (Вычет функции и правила вычисления его Определение 8 Вычетом однозначной аналитической функции f в изолированной особой точке (в том числе называется значение интеграла f γ d Re s f e
6 где интегрирование ведется по γ -замкнутому кусочно-гладкому контуру Жордана, содержащему внутри себя точку и не содержащему других особых точек функции f При этом интегрирование ведётся в положительном направлении относительно области, содержащей точку Если Re s f a - коэффициент при (в ряде Лорана Если, то, то Re s f a лорановском разложении функции Вычет f в точке, где a - коэффициент при в f в окрестности точки находят, в основном, непосредственно по определению, причем за контур γ принимают окружность R достаточно большого радиуса Правила вычисления вычетов в точке Если точка является устранимой особой точкой для функции f, то Re s f Пусть точка - полюс первого порядка (простой полюс для Re s f lm f f Тогда (В частности, если f, где функции и ψ, (, ψ(, ψ (, то окрестности точки Re s f ψ ((Если точка - полюс порядка > m функции f ψ аналитические в, то Re s f! (m lm m (m f Для вычисления интегралов будем использовать основную теорему теории вычетов: Если функция f аналитична в замкнутой области G, ограниченной замкнутой спрямляемой жордановой кривой С, за исключением конечного числа изолированных особых точек a, a, a, находящихся внутри С, то справедлива формула f d Re s f ak c k 6
7 Вычисление интегралов от тригонометрических функций Интегралы вида R(cos,s d, где (u v R, - рациональная функция, а функция g (R(cos, s непрерывна на отрезке [,], сводится к интегралом по единичной окружности от функций комплексного переменного Пусть e Тогда с помощью формул Эйлера: e cos s получим e e e e s, cos или s, cos (Отсюда d e d или При изменении от до d d d переменная пробегает окружность, ~ ~ поэтому R d (где R R, Так как рациональная функция R ~ на окружности, то существует такое r >, что в круге < r функция R ~ определена и аналитична всюду за исключением быть может конечного числа изолированных особых точек, находящихся в круге < Взяв в качестве контура С окружность и применяя теорему, получим ~ Re s R, (k a k где таков:, k - полюсы функции a a, a R ~, лежащие в круге < Таким образом, алгоритм вычисления интеграла R(cos,s d надо доказать, что функция R(cos, s s и непрерывна на [ ;]; делаем замену e при которой отрезок [ ;] cos или рациональна относительно переводится в d M C ; s, cos t, d и t множество { } 7
8 ~ Rd ; проверяем условие теоремы Для этого находим изолированные особые точки, k функции R ~ принадлежащие множеству C < R ~ аналитична на замкнутом множестве { } { C } G Теперь функция ограниченном окружностью за исключением точек, k ; вычисляем ориентируясь на следующие возможные случаи: ~ а R P многочлен относительно Так как изолированных особых точек нет, то; ~ a б R P (P - многочлен Тогда точка простой R ~ ~ и Re s R a (по определению вычета, поэтому полюс функции a a ; ~ в R причем ψ(, (, ψ (Тогда по правилу ψ ~ ((Re s R и по формуле (; ψ (ψ (~ P г R, где P и Q - многочлены Q Особые точки, k ищутся среди корней (нулей многочлена Q Точки, k могут быть только полюсами (простыми или порядка m Вычет функции R ~ точек, k находят по правилу или по правилу Тогда k ~ Re sr Рассмотрим примеры: dt (cos t Решение Функция cost и непрерывной на [ ;] Полагая f (t является рациональной функцией (cos t t e имеем d cos t, dt 8
9 9 Теперь d d d d Подынтегральная функция (g имеет особые точки, которые являются полюсами второго порядка Функция g((подынтегральная аналитична на окружности и в круге < за исключением точки Следовательно, по теореме имеем: (Re 8 (Re g s g s d Пользуясь формулой правила вычисления вычета имеем: lm lm lm lm lm! ((Re g s Таким образом 8 Вычислить s cos d Решение Используя формулы понижения степени: cos s, cos cos получим, что cos cos d Сделаем замену t, тогда cos cos dt t t Функция t t cos cos является рациональной функцией относительно cost и непрерывной на ; Теперь после замены t e имеем 6 8 d
10 Функция (~ R имеет особые точки 8 (6, точки, лежат внутри окружности Причем - полюс второго порядка, вычет его найдем по правилу ~ (6 (6 Re lm s R lm 8(6 8(6 8 Точка - простой полюс Вычет Re s R ~ найдем по правилу ~ Re s R(lm 8 (((По формуле (имеем (8((cos Вычислить d a cos a R, > 8 (8(8 8 при условии, что < a < и s Решение Рассмотрим интеграл d a cos a поскольку подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны Тогда cos s e d d a cos a a cos a После замены e d, cos, d будем иметь d d a a a(a a a ~ Подынтегральная функция R (аналитична на множестве кроме ~ нуля знаменателя а, который является простым полюсом функции R (Особая точка не принадлежит множеству По формуле (и a ~ a a правилу имеем, что Re s R(lm a a a a a a a a
11 (d Вычислить (s α s e Решение Сделаем замену (s α d (s α e Тогда d d s, d и s α (Подынтегральная функция аналитична на множестве кроме нуля знаменателя, который является простым полюсом подынтегральной функции По формуле (и правилу получаем, что (s α (Re lm (s s α (((Примеры для самостоятельного решения Вычислить интегралы: d dt ; ; cos s t s d d ;, ; cos a > a cos cos d, < a < ; as 7 (cos cos d,; cos cos d 9, a < ; a cos a s d 6, < a < ; a s a, s 8, a > ; a cos a d (a b cos, a > b > d
12 Вычисление несобственных интегралов При вычислении некоторых типов несобственных интегралов будем использовать следующие две леммы Жордана Лемма Пусть функция f(является непрерывной в области D C R, m при некотором R > и lm R M (R, где { } max f, C { C R, m } M (R C R R R Тогда lm f d R C R Лемма Пусть m> и для функции f(выполнены условия: f(непрерывна в области D для некоторого R >; lm M (R R Тогда lm f e d R C R m Интегралы первого типа Интеграл вида R(x, где P(x R (x - рациональная функция, Q(x причем многочлен Q(x не обращается в нуль на действительной оси и его степень, по крайней мере, на две единицы больше степени полинома Р(x, назовем интегралом первого типа В силу условий наложенных выше на R(x, c выполняется неравенство R(x с некоторой константой C> и поэтому x интеграл сходится Выведем формулу для вычисления этого интеграла с помощью вычетов Для этого рассмотрим замкнутый контур K τ, состоящий из полуокружности C τ { C τ, m } и отрезка [ τ, τ] действительной оси (см рисунок у С τ -τ τ х Рисунок Направление обхода контура K τ показано на рисунке Рассмотрим функцию комплексной переменной R(и пусть, - полюсы этой
13 функции, лежащие в верхней полуплоскости Число τ возьмем настолько большим, чтобы все точки, оказались внутри K τ Так как Q (x на действительной оси, то существует область G, содержащая замкнутую верхнюю полуплоскость { C m } и такая, что функция R(аналитична в G за исключением только лишь точек, Область G, контур K τ и функция R(удовлетворяет условиям теоремы, поэтому или τ τ K τ R(d Re sr(k R(x R(d Re sr(C R k k В последнем равенстве перейдем к пределу при τ Заметим, что при этом его правая часть не меняется, а в левой части R d по первой τ лемме Жордана, а интеграл R (x R(x Таким образом, получили формулу τ k k R(x Re s R(, (Таким образом, алгоритм решения несобственных интегралов первого типа таков: показываем, что знаменатель Q(x не обращается в нуль на действительной оси и что его степень по крайней мере на две единицы больше степени многочлена Р(х; P(переходим к функции комплексной переменной R ; Q(находим комплексные корни многочлена Q(, которые являются полюсами функции R(; из найденных полюсов функции R(выбираем только те, которые лежат в верхней полуплоскости, например, ; по правилам (или (вычисляем вычеты Re s R(, k, ; 6 по формуле (вычисляем интеграл Иногда пункты и 6 выполняются одновременно Рассмотрим примеры Вычислить (x k k C R
14 Решение Так как подынтегральная функция (x является четной, то (x Так как (х не обращается в нуль на действительной оси и степень многочлена (х на четыре больше степени числителя (х, то интеграл (x является интегралом первого типа Рассмотрим функция R Корнями многочлена ((являются, - Точки и - полюсы второго порядка функции R(Полюс попал в верхнюю полуплоскость По правилу вычисляем вычет относительно: Re s R(lm (! lm 8 ((lm ((! (По формуле (вычисляем интеграл Вычислить интеграл x (x (x 9 lm ((Решение Очевидно, что интеграл первого типа Функция R аналитична всюду в плоскости, за ((9 исключением точек, Эти точки являются простыми полюсами функции R(Две из них (и лежат в верхней полуплоскости По формуле (имеем По правилу Re s R(lm Re s R(lm (R(x Re s R(Re s R(lm (((9 ((9 (9 (lm ((((((9,
15 Отсюда 6 6 Вычислить интеграл x, a > (x a Решение Так как подынтегральная функция четная, то x (x a Очевидно, что интеграл первого типа Рассмотрим функцию R(Она аналитична всюду в плоскости за исключением точек (a a и a Эти точки являются полюсами третьего порядка функции R(Один из них (a попал в верхнюю полуплоскость По формуле (и правилу имеем (a a Re s R(lm lm a a! a a a (a lm a (a a (a 6a Вычислить интеграл, a >, (a x Решение - интеграл первого типа Функция R(имеет полюс a п (a го порядка в верхней (a (a полуплоскости Пользуясь правилом и формулой (, получаем Re lm a lm s R a (! a (! a a a a! ((((((a (a (((!! Примеры для самостоятельного решения Вычислить интегралы: x ; x x ; x
16 ; 7 x ; x x 6 x (bx a, a, b > ; (x a (x b, a, b > ; 7 9 x ; x x ; x 8 8 x 6 (x a, a > ; (x x a, a > 6 Интегралы второго типа Интегралы вида R(x s αx, R(x cos αx назовем интегралами P(x второго типа, если R (x - рациональная функция, причем Q(x не имеет Q(x действительных корней и степень Q(x по крайней мере на единицу больше степени Р(x Покажем, что при этих условиях оба интеграла сходятся Интегрируя по частям и учитывая, что lm R(x, получим R(xsαx R(xcosαx α x α R (xcosαx α R (x cosαx Интеграл R (x cos αx сходится абсолютно, так как у функции R (x степень числителя по крайней мере на две единицы меньше степени знаменателя Отсюда следует сходимость интеграла R(x s αx Аналогично доказываем сходимость интеграла вспомогательную функцию силу теоремы, получим τ τ αx Cτ α R(x cos αx Интегрируя f R(e по контуру K τ (см рисунок в α R(x e R(e d Re s f, где τ настолько велико, что k k все полюсы R(лежат внутри K τ Переходя к пределу при τ и замечая, что α по второй лемме Жордана R e d приходим к равенству C τ
17 R e α d Re s f k k Приравняв действительные и мнимые части, получаем α R(x cos αx Re Re s(R(e k k α R(x s αx m Re s(R(e k k ((/ где, k полюсы функции R(, лежащие в верхней полуплоскости Рассмотрим примеры (x s x x x Вычислить интеграл Решение Ясно, что интеграл второго типа D 8 < x x x R, и степень знаменателя на меньше степени числителя (s (s Рассмотрим функцию R(((((Функция R(имеет в верхней полуплоскости один простой полюс в точке По формуле (/ имеем m Re s(R(e Используя правило, получаем (e (((e Re s e R(Re s lm ((((lm (e ((e (e e e (cos s Таким образом m e (cos s cos e cos x Вычислить интеграл, a > x a Решение Так как под знаком интеграла стоит четная функция, то cos x и R (x, α x a x a Так как степень числителя (меньше степени знаменателя (x a на две единицы и x a для любого действительного х, то интеграл 7
18 второго типа Рассмотрим функцию R(Функция a (a(a R(имеем в верхней полуплоскости простой полюс a По формуле (и правилу имеем a a e e e e Re Re s Re Re a a a a a Для вычисления вычета здесь мы использовали формулу ((a Re s, так как (a, ψ(a и ψ (a Таким же способом a ψ(ψ (a можно было вычислить вычет и в примере Примеры для самостоятельного решения Вычислить интегралы (x s x x s x ; ; x x (x 9 x s x ; x x x s x, a > ; x a x x x x s x 6 7 ; x x s x 9 ; x x 9 6 cosx (x a (x b cos x (x b a > ; cos ax 8, a > ; x x a x cos x x x a >, b > a b; 8
19 Список использованных источников Александров иа, Соболев ВВ Аналитические функции комплексного переменного М: Высшая школа, 98 9 с Бицадзе АВ Основы теории аналитических функций комплексного переменного М: Наука, 969 с Евграфов МА, Сидоров ЮВ, Федорюк МВ, Шабунин МИ, Бежанов КА Сборник задач по теории аналитических функций М: Наука, с Ершова ВВ Импульсные функции Функции комплексной переменной Операционное исчисление Минск: Высшая школа, с Краснов МЛ, Киселев АИ, Макаренко ГИ Функции комплексного переменного Операционное исчисление Теория устойчивости М: Наука, 987 с 6 Маркушевич АИ Краткий курс теории аналитических функций М: Наука, с 7 Привалов ИИ Введение в теорию функций комплексного переменного М: Наука, 977 с 8 Радыгин ВМ, Голубева ОВ Применение функции комплексного переменного в задачах физики и техники - М: Высшая шкала, 98 6 с 9 Свешников АГ, Тихонов АН Теория функций комплексной переменной М: Наука, с Сидоров ЮВ, Федорюк МВ, Шабунин МИ Лекции по теории функций комплексного переменного М: Наука, с Соломенцев ЕД Функции комплексного переменного и их применение М: Высшая школа с Шабат БВ Введение в комплексный анализ М: Наука, с 9
Практическое занятие 8 Вычеты 8 Определение вычета 8 Вычисление вычетов 8 Логарифмический вычет 8 Определение вычета Пусть изолированная особая точка функции в изолированной особой Вычетом аналитической
Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет НИ Ильинкова, ОАКононова, НКФилиппова Приложение теории вычетов к вычислению интегралов Минск УДК 575/55(75) Решение
Интеграл от функции комплексного переменного интеграла от ФКП Предел интегральной суммы Римана σ = = f (t Δ для функции f (по кривой АВ, если он не зависит ни от способа разбиения кривой АВ на элементарные
Старков В.Н. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Разложение аналитических функций в степенные ряды Определение. Функциональный ряд вида (((... (..., где комплексные постоянные (коэффициенты ряда
Методическая разработка Решение задач по ТФКП Комплексные числа Операции над комплексными числами Комплексная плоскость Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической экспоненциальной
Глава 1 Операционное исчисление. 1. Определение преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t функцию F () комплексной переменной = x + iy
ЛЕКЦИЯ N38. Поведение аналитической функции в бесконечности. Особые точки. Вычеты функции..окрестность бесконечно удаленной точки.....разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.... 3.Поведение
I Аннотация Цель и задачи дисциплины (модуля) Цель освоения дисциплины: дать студентам систематические знания по методам комплексного анализа и научить их применять эти знания к решению задач математического
Багачук А.В. Бушуева Н.А. Полякова И.А. Трутнев В.М. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические указания по выполнению самостоятельной работы Красноярск 2007 Содержание. Общие сведения 3 2. Задания
8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где (a k) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Н Т Стельмашук, В А Шилинец ТЕСТЫ ПО КУРСУ ТФКП Учебно-методическое
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по
Дагестанский государственный университет народного хозяйства КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ Мухидинов Магомед Госенгаджиевич Испагиева Асият Далгатовна Неопределенный интеграл УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Махачкала 2017 Мухидинов
Лекция 7 Ряды Тейлора и Лорана 7. Ряд Тейлора В этой части мы увидим, что понятия степенного ряда и аналитической функции определяют один и тот же объект: любой степенной ряд с положительным радиусом сходимости
Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11
~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная
М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).
ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Задачи по теории функций комплексного переменного Часть На дневном на вечернем и на заочном отделениях факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ В.Т. Волков, А.В. Кравцов, Д.В. Минаев, В.Ю. Попов, Н.Е. Шапкина. Вопросы и задачи к
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки 0030 Математика
Теория функций комплексного переменного Лектор Александр Сергеевич Романов 1. Аналитические функции комплексного переменного Комплексные числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А П СТАРОВОЙТОВ Г Н КАЗИМИРОВ Ж Н КУЛЬБАКОВА ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ЛЕКЦИЯ N37. Ряды аналитических функций. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Лорана..Разложение аналитической функции в степенной ряд.....ряд Тейлора.... 3.Разложение аналитической
УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Ю.А. Самарский 10 июня 2010 г. ПРОГРАММА И ЗАДАНИЯ Теория функций по дисциплине: комплексного переменного по направлению подготовки: 010600 факультеты: для всех факультетов
Лекция 9 Элементы теории вычетов 9.1 Определение вычета В этом параграфе введём важное для приложений понятие вычета аналитической функции в изолированной особой точке. Немного о самом термине. Считается,
Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной
Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Типовые задачи c решениями. Гамма-функция Пример. Найти произведение = 3. Решение. Прежде всего проведем переиндексацию +, чтобы произведение начиналось с единицы. В результате получим +. 3 Далее разложим
ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch; б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch(L(В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L(± L(± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ
Ряды Лорана Более общим типом степенных рядов являются ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные степени z z 0. Как и ряды Тейлора, они играют важную роль в теории аналитических функций.
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»
Стр. из 9-е занятие. Вычисление действительных интегралов с помощью вычетов Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр Найти следующие тригонометрические интегралы с помощью вычетов: A π + cos ϕ. A π 3
Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, НО Фастовец ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ОПЕРАЦИОННОЕ
Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы
Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу
РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание
Методические указания к практическим (семинарским) занятиям Основной целью практических (семинарских) занятий по дисциплине «Теория функций комплексного переменного» является умение применять полученные
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАН- СКОЙ РЕСПУБЛИКИ БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИ- ТЕТ Программа была составлена на кафедре Теории функций и функционального анализа Бакинского Государственного Университета
Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Преобразование Лапласа и его свойства Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. 11. Оригинал и изображение. Теорема обращения ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть:R C. Функция
С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения
ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
Багачук А.В. Бушуева Н.А. Полякова И.А. Трутнев В.М. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Организационно-методические указания по освоению дисциплины Красноярск 2007 1. Общие сведения Программа дисциплины
Основы функционального анализа и теории функций Лектор Сергей Андреевич Тресков 3 семестр. Ряды Фурье. Постановка задачи о разложении периодической функции по простейшим гармоникам. Коэффициенты Фурье
3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Операционное исчисление относится к символическим исчислениям в основе которых лежат построение математического анализа как системы формальных операций над искусственно введенным
Комплексные числа, функции и действия над ними y модуль R действительная часть действ число, yim мнимая часть действительное число iy алгебраическая форма записи компл числа Главное значение аргумента
Интеграл Фурье Действительная и комплексная формы записи интеграла Фурье Пусть f () непериодическая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условиям Дирихле на любом конечном промежутке
Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск
Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического
Лекция 11 Вычисление интегралов со степенным и логарифмическим весом 11.1 Интегралы со степенным весом Рассмотрим интеграл вида x α 1 f(x) dx, (11.1) где α нецелое действительное число, а f(x) рациональная
Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной. Основные
Модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно
Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Криволинейный интеграл II рода Лектор Пахомова Е.Г. 2013 г. 10 10. Криволинейный Криволинейный интеграл интеграл II II рода рода по по координатам
МА ЕВДОКИМОВ ЛА МУРАТОВА ЛВ ЛИМАНОВА СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ТЕСТОВЫЕ МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ Том III Учебное пособие Самара Самарский государственный технический университет МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра
Журнал экспериментальной и теоретической физики. 948 т. 8 вып. А.Н. Тихонов А.А. Cамарский. О принципе излучения Сформулирован общий принцип излучения для волнового уравнения в том смысле что решениями
ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные
Стр. из 9 6-е занятие. Изолированные особые точки однозначного характера (ИОТОХ) Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр A Разложить функцию ln z + 2 z 3 в ряд Лорана в окрестности точки. Корни и кратности
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной математики
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет компьютерных систем и сетей Кафедра высшей математики
Функции Дифференцирование функций 1 Правила дифференцирования Так как производная функции определяется, как и в действительной области, т.е. в виде предела, то, используя это определение и свойства пределов,
Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление
Теория функций комплексного переменного С. Г. Бугаева Физический факультет Новосибирский государственный университет Эти слайды сопровождали лекции и содержат некоторые (далеко не все!!!) определения и
Определение . Точки комплексной плоскости, в которых однозначная функция f(z) является аналитической, называют правильными точками этой функции, а точки, в которых f(z) не является аналитической, называют особыми точками (в частности, точки, в которых f(z) не определена).
Определение . Точка z 0 называется нулем (корнем) порядка (кратности) аналитической функции f(z),если:
б) существует, конечен и не равен нулю.
Если целые положительные числа), тогда – нули (корни) этого многочлена, которые имеют соответственно порядки (кратности) .
Определение . Пусть f (z ) аналитическая функция в окрестности точки z 0 , за исключением самой точки z 0 . В этом случае точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f (z ).
Различают изолированные особые точки однозначной функции трёх типов :
1) устранимую особую точку – изолированную особую точку z 0 , в которой существует конечный предел:
2) полюс k-го порядка – изолированную особую точку z 0 , в которой существует конечный предел, не равный нулю:
(2.41)
если , то z 0 – полюс первого порядка (простой полюс);
3) существенно особую точку – изолированную особую точку z 0 , которая не является ни устранимой, ни полюсом. То есть не существует, ни конечный, ни бесконечный.
Теорема (о связи между нулем и полюсом) . Если точка z 0 – нуль порядка к функции f(z), то для функции 1/f(z) эта точка является полюсом порядка к.
Пусть f(z) – функция, аналитическая в каждой точке области D, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и L — кусочно-гладкий замкнутый контур, целиком лежащий в области D и не проходящий через особые точки функции f(z).
Если в области, ограниченной контуром L, не содержится особых точек функции f(z), то по основной теореме Коши
.
Если же в области, ограниченной контуром L, имеются особые точки функции f(z), то значение этого интеграла, вообще говоря, отлично от нуля.
Определение . Вычетом аналитической функции f(z) относительно изолированной особой точки z 0 (или в точке z 0) называется комплексное число, равное значению интеграла , где L – любой кусочно-гладкий замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f(z) и содержащий внутри себя единственную особую точку z 0 функции f(z).
Вычет f(z) относительно точки z 0 обозначается символом resf(z 0)(Resf(z 0)) или так, что имеем:
. (2.42)
Вычет функции относительно устранимой особой точки равен нулю:
Вычет f(z) относительно простого полюса можно найти по формуле:
Вычет f(z) относительно полюса порядка к находят по формуле:
Если причем точка является простым нулем и не является нулем для , то:
. (2.46)
Основная теорема Коши о вычетах . Если функция f(z) аналитическая в замкнутой области , ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек , лежащих внутри ,то:
Эта теорема имеет большое значение для приложений.
Замечание . В предыдущих рассуждениях о вычетах неявно предполагалось, что рассматриваются конечные изолированные особые точки (это ясно из того, что интеграл по замкнутому контуру по умолчанию брался в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, а особая точка при этом попадает внутрь контура только в случае, когда она конечна). В случае же, когда рассматривается бесконечно удаленная точка, ситуация несколько иная. Точнее, сформулируем это так.
Определение .Вычетом функции f(z) относительно бесконечно удаленной точки называют интеграл:
где L – замкнутый кусочно-гладкий контур, целиком лежащий в той окрестности точки , в которой функция f(z) является аналитической. Интегрирование по Lсовершается в отрицательном направлении этого контура, т.е. так, чтобы при обходе контура бесконечно удаленная точка оставалась слева. Таким образом:
Пример 1
Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах:
.
Решение
1) Определим изолированные особые точки подинтегральной функции, согласно теореме (2.47):
Особые точки: .
2) Определим точки, лежащие внутри области интегрирования, изобразим область графически (рис. 2.7).
Точку z = 1 не рассматриваем, так как она не лежит внутри области .
3) Определим тип рассматриваемой изолированной особой точки z = 0. Найдем предел по формуле (2.41):
Так как предел существует, то z = 0 – полюс первого порядка (простой полюс).
4) Найдем вычет функции относительно простого полюса z = 0, используя формулу (2.44):
5) Определим значение интеграла по основной теореме Коши о вычетах (2.47):
Ответ
Пример 2
Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши о вычетах.
Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z0 называется число где 7 - достаточно малая окружность нет других особых точек функции f(z). Из формулы для коэффициентов ряда Лорана непосредственно вытекает, что Таким образом, вычет функции /(г) в изолированной особой точке zo равен коэффициенту при (г - zq)~] в лорановском разложении этой функции в точке z0. Отсюда, в частности, вытекает, что вычет в устранимой особой точке равен нулю. Укажем некоторые формулы для вычисления вычета в полюсе функции /(г). 1. zq - полюс первого порядка: 00 Умножим обе части этого равенства на z - zo и, переходя к пределу при z zo, получим, что Если функцию f(z) можно представить в виде дроби где и ф(г) - аналитические функции, причем простой полюс, то из формулы (3) вытекает, что Пример 1. Пусть Особые точки » функции, ЯВЛЯЮТСЯ простыми гюлюсами. Поэтому 2. zo - полюс порядка т: Для устранения отрицательных степеней z - z0 умножим обе части этого равенства на (z-Zo)m, Вычеты Основная теорема о вычетах Применение вычетов к вычислению интегралов Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов Интегралы от рациональных функций Лемма Жордана Вычисление интегралов Френеля Продифференцируем полученное соотношение m - 1 раз и, переходя к пределу при получим, что Пример 2. Пусть 4 Особыми точками этой функции являются точки г = ±i. Это - полюсы второго порядка. Вычислим, например, res/(i). Имеем Теорема 21i Пусть функция f(z) аналитична всюду в области D за исключением конечного числа изолированных особых точек 7огда для любой замкнутой области G, лежащей в D и содержащей точки zn внутри, справедливо равенство Теорема вытекает из теоремы Коши для многосвязной области. Построим окруж ности столь малого радиуса г, что ограниченные ими круги - содержатся в области G и не пересекаются друг с другом (рис. 29). Обозначим через G* область, которая получается из области G путем удаления кругов Uи..., U„. Функция f(z) анали-тична в области G* и непрерывна в ее замыкании G7. Поэтому по теореме Коши для многосвязной области имеем Из этой формулы, пользуясь определением вычета получаем требуемое равенство (5). 6.1. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Говорят, чтофункция f(z) является аналитической в бесконечно удаленной точке z = оо, если функция аналитична вточке С =0. Это следует понимать так: функцию g(0= f (f) можно доопределить до аналитической, положив Например, функция аналитична в точке z = оо, поскольку функция аналитична в точке С = 0. Пусть функция /(г) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки z = оо). Точка z = оо называется изолированной особой точкой функции /(г), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек функции f(z). Функция имеет в бесконечности неизолированную особенность: полюсы zk = к-к этой функции накапливаются в бесконечности, если к оо. Говорят, что z - оо является устранимой особой тонкой, полюсом или существенно особой точкой функции f(z) в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует lim f(z). Критерии типа бесконечно удаленной точки, связанные с разложением Лорана, изменяюгся по сравнению с критериями для конечных особых точек. Теорема 22. Если z - оо является устранимой особой точкой функции /(z), то лоранов-ское разложение f(z) в окрестности этой точки не содержит полож и тельных степеней z;eaiu z - оо - полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z, в случае существенной особенности - бесконечное число положительных степеней z. При этом лорановским разложением функции /(z) в окрестности бесконечно удаленной точки будем называть разложение в ряд Лорана, сходящийся всюду вне круга достаточно большого радиуса R с центром в точке z - 0 (кроме, быть может, самой точки z - оо). Пусть функция f(z) - аналитична в некоторой окрестности точки z = оо (кроме, быть может, самой этой точки). Вычетом функции /(z) в бесконечности называют величину пае 7 - достаточно большая окружность \z\ = р, проходимая по часовой стрелке (так, что окрестность точки z - оо остается слева, как и в случае конечной точки г = го). И з этого определения следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при z~! в лорановском разложении /(z) в окрестности точки z - оо, взятому с противоположным знаком: Пример 3. Для функции f(z) = имеем f(z) = 1 + j. Это выражение можно рассматривать как ее лорановское разложение в окрестности +очки z = оо. Легко видеть, что так что точка z = оо является устранимой особой точкой, и мы полагаем, как обычно, /(оо) = 1. Здесь, следовательно, Из этого примера следует, что вычет аналитической функции относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки (в отличие от конечной устранимой особой точки) может оказаться отличным от нуля. Известные тейлоровские разложения функций е1, cosz, sinz, chz, shz можно рассматривать также и как лорановские разложения в окрестности точки z - оо. Так как все эти разложения содержат бесконечное множество положительных степеней z, то перечисленные функции имеюгвточке z = оо существенную особенность. Теорема 23. Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю. Так что, если - конечные особые точки функции f{z), то Последнее соотношение бывает удобно использовать при вычислении некоторых интегралов. Пример 4. Вычислить интеграл Полюсами (конечными) подынтегральной функции являются корни zt уравнения гя = -1, которые все лежат внутри окружности В окрестности точки г = оо функция /(z) имеет следующее разложение: ИЗ КОТОРОГО ВИДНО, ЧТО В силу теоремы 6.2. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов. Интегралы от рациональных функций Теорема 24. Пусть f(x) - рациональная функция, т. е. где - многочлены степеней пит соответственно. Если функция f(x) непрерывна на всей действительной оси (. степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то р.(*) Qm(z) во всех полюсах, расположенных в верхней полуплоскости (существенно особых точек у рациональной функции нет). 4 Рассмотрим замкнутый контур 7, состоящий из отрез ка действительной оси верхней полуокружности. Мохжо считать, что R выбрано большим настолько, что внутренность обла- сти, ограниченной контуром 7, содержит все полюсы функции расположенные в верхней полуплоскости (рис. 30). В силу основной теоремы о вычетах я Оценим J. В силу условия на степени многочленов найдутся положительные числа До и М такие, что при По свойству 6 интегралов от функции комплексного переменного для имеем: при Д оо. Перейдем в равенстве к пределу при R 00. Заметим, что правая часть от R не зависит, а вто рое слагаемое в левой части стремится к нулю. Отсюда следует, что предел первого слагаемого существует и равен где.. ,2/ - все полюсы функции /(2), расположенные в верхней полуплоскости. Пример 5. Вычислить интеграл Так как подынтегральная функция - четная, то Рассмотрим функцию Вычеты Основная теорема о вычетах Применение вычетов к вычислению интегралов Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов Интегралы от рациональных функций Лемма Жордана Вычисление интегралов Френеля которая на действительной оси, т.е. при г = х, совпадает с /(х). Функция /(z) имеет в верхней полуплоскости одну изолированную особую точку z - ai - полюс второго порядка. Вычет /(г) в точке z = в» равен Пользуясь формулой (10), получаем, что Интеграл вида где Л(м, г) - рациональная функция аргументов и и v. Введем комплексное переменное z = etx. Тогда Ясно, что в данном случае. Таким образом, исходный интеграл переходит в интеграл от функции комплексного переменного по замкнутому контуру: где 7 - окружность единичного радиуса с центром в начале координат: Согласно основной теореме о вычетах, полученный интеграл равен, где - сумма вычетов подынтегральной функции F(z) в полюсах, расположенных внутри окружности 7. Пример 6. Вычислить интеграл Применяя подстановку z = е,г. после простых преобразований (см. формулы (II)) получим, что Внутри единичного круга при условии находится только один полюс (второго порядка) Вычет функции Интегралы вида гдеД(х) - правильная рациональная дробь, а > 0 - вещественное число. При вычислении таких интегралов часто бывает полезной следующая лемма. Лемма Жордана. Пусть функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости исключением конечного числа изолированных особых точек, и при \ стремится к нулю равномерно относительно arg z. Тогда для любого положитыьного а где 7л - верхняя полуокружность Условие равномерного стремления /(г) к нулю означает, что на полуокружности 7R Оценим исследуемый интефал. Замечая, что на 7Л В силу известного неравенства (см. рис. 31) справедливого при (для доказательства достаточно заметить, что и, значит, функция ^ убывает на полуинтервале Сопоставляя формулы (13) и (14), заключаем, что 4 Введем вспомогательную функцию Пример 7. Вычислить интеграл Нетрудно видеть, что если г = х, то Jmh(z) совпадает с подынтегральной функцией Рассмотрим контур, указанный на рис.32. При достаточно большом R на дуге 7л Функция вследствие соотношения, удовлетворяет условию при Значит, по лемме Жордана По основной теореме о вычетах для любого имеем Переходя к пределу в равенстве (16) и учитывая соотношение (15). получим, что Разделяя слева и справа вещественные и мнимые части, будем иметь В силу того что подынтегральная функция f(x) - четная, окончательно получим В рассматриваемом примере функция f(z) не имеет особых точек на действительной оси. Однако небольшое изменение описанного метода позволяет применять его и в том случае, когда функция f(z) имеет на действительной оси особые точки (простые полюсы). Покажем, как это делается. Пример 8. Вычислить интеграл 4 функция обладает следующими свойствами: при совпадает с подынтегральной функцией; 2) имеет особенность на действительной оси - простой полюс в точке г = 0. Рассмотрим в верхней полуплоскости Im z ^ 0 замкнутый контур Г, состоящий из отрезков действительной оси [-Я, -г), (г,R) и дуг полуокружностей (рис. 33). Внутри этого контура находится лишь один полюс функции h(z) - точка z = Ы. Согласно основной теореме о вычетах, Преобразуем сначала сумму интегралов по отрезкам (-Я, -г| и |г, Я) действительной оси. Заменяя х на ~х в первом слагаемом правой части равенства (18) и объединяя его с третьим слагаемым, получим Обратимся ко второму слагаемому в формуле (18). Так как где lim g(z) = 0. то подынтегральная функция h(z) представима в следующем виде: Тогда Полагая. получим, что Четвертое слагаемое в равенстве (18) при Я -» оо стремится к нулю согласно лемме Жордана, ибо функция ^ стремится к нулю при |г| оо. Таким образом, при равенство (18) принимает вид 6.3. Вычисление интегралов Френеля Интегралы Френеля: Рассмотрим вспомогательную функцию /(г) = с" и контур Г, указанный на рис. . Внутри контура Г функция f(z) - аналитическая, и по теореме Коши Покажем, что где Гг2 - полуокружность радиуса г2. Функция 0(0 = удовлетворяет условиям леммы Жордана, и, значит, Переходя в формуле (20) к пределу при г -* оо, получим, что На отрезке ВО: Отсюда откуда Упражнения Найдите действительную и мнимую части функдаи: Найдите образы действительной и мнимой осей при отображении: Докажи те, что функция непрерывна на всей комплексной плоскости: Пользуясь условиями Коши-Римана, выясните, является ли функция аналитической хотя бы в одной точке или нет: Восстановите аналитическую в окрестности точки 20 функцию /(г) по известной действительной части и (или по известной мнимой части v(x, у)) и значению f(z0): Покажите, что следующие функци и являются гармоническими: Может ли данная функция быть действительной или мнимой частью аналитической функции Найдите действительную и мнимую части функции: Найдите модуль и главное значение аргумента функции в указанной точке zq: Найдите логарифмы следующих чисел: Решите уравнение: 38. Вычислите интеграл /- линия, соединяющая точки z\ = 0 отрето к прямой, б) дуга параболы ломаная 39. Вычислите интеграл - полуокружность Вычислите интегралы: 43. Вычислите интеграл / где 7 - верхняя половина окру*« ости |z| = 1 (выбирается Вычеты Основная теорема о вычетах Применение вычетов к вычислению интегралов Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов Интегралы от рациональных функций Лемма Жордана Вычисление интегралов Френеля ветвь функци и л/z, для которой 44. Вычислите интеграл / ^ dz, где 7 - отрезок прямой, идущий из точки zj = 1 в точку Вычислите интегралы: Найдите радиус сходимости ряда: Рашожите функцию в ряд Тейлора и найдите радиус сходимости полученного ряда: постепеням z + I. 55. cosz постепеням 56.--- постепеням z + 2. 57.-^- постепеням z. 58. sh2 z постепеням z. Найдите нули функции и определите их порядки: z Определите область сходимости ряда: Разложите в ряд Лорана в окрестности точки г = 0: Разяожитс в ряд Лорана в уюзан ном кольце: Найдите особые точки и определит е их характер: Найдите вычеты функции в особых точках: Вычислите интегралы: Определите характер бесконечно удаленной точки: Вычислите интегралы: Ответы z переходите ось ы, при изменении z от -оо до +оо и изменяется от до -оо и от +оо до +1 (точка +1 исключается), ось у переходит в окружность Ось х переходит в ось и так же, как и в упр-и 5, ось у переходит в прямую u ~ 1, пробегаемую от точми 1 до 1 + too и от 1 - »оо до точки 1 (сама точка 1 исключается
Теоретический минимумЧасто встречаются случаи, когда вычисление определённых интегралов методами комплексного анализа предпочтительнее, чем методами
вещественного анализа. Причины могут быть самыми разными. Методы ТФКП могут позволять в отдельных случаях сильно сократить вычисления.
Иногда формулу Ньютона-Лейбница нельзя использовать, так как неопределённый интеграл не выражается в элементарных функциях.
Методы дифференцирования и интегрирования по параметру требуют очень аккуратного обоснования своей применимости, да и параметр иногда
приходится вводить искусственно.Обычно методами комплексного анализа вычисляются несобственные интегралы - по бесконечному промежутку или от неограниченных на отрезке
интегрирования функций. Общая идея заключается в следующем. Составляется контурный интеграл. Интеграл по некоторым участкам контура должен
совпадать с искомым определённым интегралом - по крайней мере, с точностью до постоянного множителя. Интегралы по остальным участкам контура
должны вычисляться. Затем применяется основная теорема о вычетах, согласно которой
,
где - это особые точки функции , находящиеся внутри контура интегрирования . Таким образом, контурный интеграл с одной
стороны оказывается выраженным через искомый определённый интеграл, а с другой стороны вычисляется с помощью вычетов (что обычно
серьёзных сложностей не представляет).Основная сложность - выбор контура интегрирования. Его подсказывает, в принципе говоря, подынтегральная функция. Однако без достаточной
практики овладеть данным методом сложно, а потому примеров будет приведено довольно много. Наиболее часто используются контуры, составленные из
элементов, по которым удобно проводить интегрирование (прямые, дуги окружностей).
интегрирования в комплексной плоскостиПример 1. Интегралы Френеля .
Вычислим интегралы,
.
Несложно догадаться, что первым шагом является переход к экспоненциальной форме, предполагающий рассмотрение интеграла .
Нужно только подобрать контур интегрирования. Понятно, что в контур должна войти полуось . Вещественная и
мнимая части интеграла по этой части контура представляют собой интегралы Френеля. Далее, вычисляемый контурный интеграл по структуре
подынтегрального выражения напоминает интеграл Эйлера-Пуассона, значение которого известно. Но чтобы получить этот интеграл, нужно положить
, тогда . А такое представление переменной - это интегрирование по прямой, проходящей через точку
под углом к вещественной оси.
Итак, два элемента контура есть. Чтобы контур замкнулся, будем считать, что выбранные два участка контура имеют конечную длину , и замкнём
контур дугой окружности радиуса . Позже мы устремим этот радиус к бесконечности. В результате получается изображённый на рис. 1 контур.
(1)
Внутри контура интегрирования подынтегральная функция особых точек не имеет, поэтому интеграл по всему контуру равен нулю.
.
В пределе этот интеграл равен нулю.
На участке можно записать , тогда.
Подставляем полученные результаты в (1) и переходим к пределу :
Отделяя вещественную и мнимую части, находим, учитывая значение интеграла Эйлера-Пуассона
,
.Пример 2. Выбор контура интегрирования, содержащего внутри особую точку подынтегральной функции .
Вычислим интеграл, похожий на рассмотренный в первом примере: , где.
Вычислять будем интеграл . Контур выберем аналогичный тому, который использовался в первом примере. Только теперь нет цели
свести вычисление к интегралу Эйлера-Пуассона. Здесь заметим, что при заменеподынтегральная функция не изменится.
Это соображение подсказывает выбрать наклонную прямую контура интегрирования так, чтобы она составляла с вещественной осью угол .
При записи контурного интеграла(2)
интеграл по дуге окружности в пределе стремится к нулю. На участке можно записать:
.
Таким образом, из (2) при переходе к пределу находим
.
Здесь учтено, что внутри контура интегрирования подынтегральная функция имеет простой полюс .
Отсюда находим искомый интеграл:.
Пример 3. Через верхнюю или нижнюю полуплоскость замкнуть контур интегрирования ?
На следующем достаточно простом интеграле продемонстрируем характерную деталь выбора контура интегрирования. Вычислим
интеграл .
Фактически искомый интеграл функции вычисляется вдоль вещественной оси, на которой подынтегральная функция не имеет
особенностей. Остаётся только замкнуть контур интегрирования. Так как у функции под интегралом всего две конечные особые точки, то
замкнуть контур можно полуокружностью, радиус которой следует устремить к бесконечности. И здесь возникает вопрос о том, как должна
быть выбрана полуокружность: в верхней или нижней полуплоскости (см. рис. 3 а, б). Чтобы понять это, запишем интеграл по полуокружности
в обоих случаях:
а)
б)
Как видно, поведение интеграла в пределе определяется множителем .
В случае "а" , а потому предел будет конечен при условии .
В случае "б" - напротив - , а потому предел будет конечен при условии .
Это наводит на мысль, что способ замыкания контура определяется знаком параметра . Если он положителен, то
контур замыкается через верхнюю полуплоскость, в противном случае - через нижнюю. Рассмотрим эти случаи отдельно.
а)
Интеграл по полуокружности в пределе , как мы видели, обратится в нуль. Внутри контура (см. рис. 3а) находится
особая точка , поэтому
б)
Аналогично находим с помощью интегрирования по контуру, изображённому на рис. 3б,
Замечание . Может показаться странным, что интеграл от комплексной функции получился вещественным. Однако это легко понять, если в исходном
интеграле выделить вещественную и мнимую часть. В мнимой части под интегралом окажется нечётная функция, а интеграл вычисляется в симметричных
пределах. Т.е. мнимая часть обратится в нуль, что и получилось в нашем расчёте.Пример 4. Обход особых точек подынтегральной функции при построении контура интегрирования .
В рассмотренных примерах подынтегральная функция либо не имела особых точек, либо они были внутри контура интегрирования. Однако
бывает удобно выбрать контур так, что на него попадают особые точки функции. Такие точки приходится обходить. Обход осуществляется
по окружности малого радиуса, который в дальнейшем просто устремляется к нулю. В качестве примера вычислим интеграл.
Может показаться, что подынтегральная функция не имеет конечных особых точек, так как точка является устранимой особенностью.
Но для вычисления интеграла приходится составлять контурный интеграл от другой функции (чтобы обеспечить обращение интеграла в нуль на
замыкающей полуокружности в пределе бесконечного радиуса): . Здесь подынтегральная функция имеет полюсную особенность
в точке .
Таким образом, требуется другой контур интегрирования (см. рис. 4). Он отличается от рис. 3а только тем, что особая точка обходится по полуокружности,
радиус которой предполагается в дальнейшем устремить к нулю.
. (3)
Сразу заметим, что интеграл по большой полуокружности в пределе её бесконечно большого радиуса стремится к нулю, а внутри контура
особых точек нет, так что весь интеграл по контуру равен нулю. Далее рассмотрим первое и третье слагаемые в (3):
.
Теперь запишем интеграл по малой полуокружности, учитывая, что на ней . Также сразу будем учитывать малость радиуса полуокружности:
Не выписаны слагаемые, стремящиеся к нулю в пределе .
Собираем слагаемые в (3) - кроме относящегося к большой полуокружности слагаемого.
Как видно, обращающиеся в бесконечность при слагаемые взаимно уничтожились. Устремляя и , имеем.
Замечание . Совершенно аналогично вычисляется, например, интеграл Дирихле (напомним, он отличается от только что рассмотренного отсутствием
квадратов в числителе и знаменателе).Примеры вычисления определённых интегралов с помощью контурного
интегрирования в комплексной плоскости (продолжение)Пример 5. Подынтегральная функция имеет бесчисленное множество особых точек .
Во многих случаях выбор контура осложнён тем, что у подынтегральной функции бесчисленное множество особых точек. В этом случае может
оказаться так, что сумма вычетов в действительности будет рядом, сходимость которого ещё придётся доказывать, если суммировать его
не получается (а суммирование рядов - вообще отдельная довольно сложная задача). В качестве примера вычислим интеграл .
Понятно, что часть контура - вещественная ось. На ней у функции особенностей нет. Обсудим, как замкнуть контур. Выбирать полуокружность не следует.
Дело в том, что гиперболический косинус имеет семейство простых нулей. Поэтому внутрь контура, замкнутого полуокружностью
в пределе бесконечно большого радиуса, попадёт бесконечно много особых точек. Как ещё можно замкнуть контур? Заметим, что .
Отсюда следует, что можно попробовать включить в контур интегрирования отрезок, параллельный вещественной оси. Контур замкнётся двумя
вертикальными отрезками, в пределе находящимися бесконечно далеко от мнимой оси (см. рис. 5).
На вертикальных участках контура. Гиперболический косинус с ростом аргумента (по модулю) растёт экспоненциально, поэтому
в пределе интегралы по вертикальным участкам стремятся к нулю.
Итак, в пределе.
С другой стороны, внутри контура интегрирования находятся две особые точки подынтегральной функции. Вычеты в них
,
.
Следовательно,
.Пример 6. Подынтегральная функция определённого и контурного интегралов различны .
Существует очень важный случай вычисления определённых интегралов методом контурного интегрирования. До сих пор подынтегральная
функция контурного интеграла либо просто совпадала с подынтегральной функцией определённого интеграла, либо переходила в неё отделением
вещественной или мнимой части. Но не всегда всё оказывается так просто. Вычислим интеграл .
В смысле выбора контура особой проблемы нет. Хотя у функции под интегралом бесконечно много простых полюсов , мы уже знаем
по опыту предыдущего примера, что нужен прямоугольный контур, так как . Единственное отличие от примера 5 заключается в том,
что на прямую попадает полюс подынтегральной функции , который нужно обойти. Поэтому выбираем изображённый
на рис. 6 контур.
Рассмотрим контурный интеграл . Мы не станем расписывать его на каждом участке контура, ограничившись горизонтальными
участками. Интеграл по вещественной оси в пределе стремится к искомому. Запишем интегралы по остальным участкам:
.
В пределе и первые два интеграла дадут , потом они войдут в контурный интеграл в сумме
с искомым, который отличается знаком. В результате из контурного интеграла искомый определённый интеграл выпадет. Это означает, что
подынтегральная функция была выбрана неверно. Рассмотрим другой интеграл: . Контур оставляем прежним.
Для начала снова рассмотрим интегралы по горизонтальным участкам. Интеграл вдоль вещественной оси перейдёт в .
Этот интеграл равен нулю как интеграл нечётной функции в симметричных пределах.
В пределе и первые две скобки обратятся в нуль, снова образовав интегралы от нечётных функций
в симметричных пределах. А вот последняя скобка с точностью до множителя даст искомый интеграл. Имеет смысл продолжать вычисление.
Аналогично примеру 5 к нулю стремятся интегралы по вертикальным участкам контура при . Остаётся найти интеграл
по полуокружности, где. Как в примере 4, вычисляем интеграл, учитывая малость :
.
Итак, у нас есть всё, чтобы записать в пределе и контурный интеграл:
А с другой стороны, внутри контура интегрирования оказался полюс подынтегральной функции
