Момент инерции
Для вычисления момента инерции мы должны мысленно расчленить тело на достаточно малые элементы, точки которых можно считать лежащими на одинаковом расстоянии от оси вращения, затем найти произведение массы каждого элемента на квадрат его расстояния от оси и, наконец, просуммировать все полученные произведения. Очевидно, это весьма трудоемкая задача. Для подсчета
моментов инерции тел правильной геометрической формы можно воспользоваться в ряде случаев приемами интегрального исчисления.
Нахождение конечной суммы моментов инерции элементов тела заменим суммированием бесконечно большого числа моментов инерции, вычисленных для бесконечно малых элементов:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm
. (при Δm → 0)
.
Вычислим момент инерции однородного диска или сплошного цилиндра высотой h
относительно его оси симметрии
Расчленим диск на элементы в виде тонких концентрических колец с центрами на оси его симметрии. Полученные кольца имеют внутренний диаметр r
и внешний r + dr
, а высоту h
. Так как dr << r
, то можем считать, что расстояние всех точек кольца от оси равно r
.
Для каждого отдельно взятого кольца момент инерции
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm
,
где ΣΔm
− масса всего кольца.
Объем кольца 2πrhdr
. Если плотность материала диска ρ
, то масса кольца
ρ2πrhdr
.
Момент инерции кольца
i = 2πρhr 3 dr
.
Чтобы подсчитать момент инерции всего диска, надо просуммировать моменты инерции колец от центра диска (r = 0
) до края его (r = R
), т. е. вычислить интеграл:
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr
,
или
I = (1/2)πρhR 4
.
Но масса диска m = ρπhR 2
, следовательно,
I = (1/2)mR 2
.
Приведем (без вычисления) моменты инерции для некоторых тел правильной геометрической формы, выполненных из однородных материалов
1.
Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости (или тонкостенного полого цилиндра относительно его оси симметрии):
I = mR 2
.
2.
Момент инерции толстостенного цилиндра относительно оси симметрии:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
где R 1
− внутренний и R 2
− внешний радиусы.
3.
Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:
I = (1/4)mR 2
.
4.
Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, перпендикулярной к образующей и проходящей через ее середину:
I = m(R 2 /4 + h 2 /12)
где R
− радиус основания цилиндра, h
− высота цилиндра.
5.
Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину:
I = (1/12)ml 2
,
где l
− длина стержня.
6.
Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов:
I = (1/3)ml 2
7. Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров:
I = (2/5)mR 2
.
Если известен момент инерции какого-либо тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть найден на основании так называемой теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Момент инерции тела I
относительно любой оси равен моменту инерции тела I с
относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс масса тела m
, умноженная на квадрат расстояния l
между осями:
I = I c + ml 2
.
В качестве примера подсчитаем момент инерции шара радиуса R
и массой m
, подвешенного на нити длиной l, относительно оси, проходящей через точку подвеса О
. Масса нити мала по сравнению с массой шара. Так как момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс I c = (2/5)mR 2
, а расстояние
между осями (l + R
), то момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2
.
Размерность момента инерции:
[I] = [m] × = ML 2
.
Рассмотрим теперь проблему определения момента инерции различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции объекта относительно оси имеет вид
,
Иными словами, нужно сложить все массы, умножив каждую из них на квадрат ее расстояния до оси . Заметьте, что это верно даже для трехмерного тела, несмотря на то, что расстояние имеет такой «двумерный вид». Впрочем, в большинстве случаев мы будем ограничиваться двумерными телами.
В качестве простого примера рассмотрим стержень, вращающийся относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к нему (фиг. 19.3). Нам нужно просуммировать теперь все массы, умноженные на квадраты расстояния (в этом случае все - нулевые). Под суммой, разумеется, я имею в виду интеграл от , умноженный на «элементики» массы. Если мы разделим стержень на кусочки длиной , то соответствующий элемент массы будет пропорционален , а если бы составляло длину всего стержня, то его масса была бы равна . Поэтому
. (19.5)
Размерность момента инерции всегда равна массе, умноженной на квадрат длины, так что единственная существенная величина, которую мы вычислили, это множитель .
Фиг. 19.3. Прямой стержень, вращающийся вокруг оси, проходящей черед один из его концов.
А чему будет равен момент инерции , если ось вращения проходит через середину стержня? Чтобы найти его, нам снова нужно взять интеграл, но уже в пределах от до . Заметим, однако, одну особенность этого случая. Такой стержень с проходящей через центр осью можно представлять себе как два стержня с осью, проходящей через конец, причем масса каждого из них равна , а длина равна . Моменты инерции двух таких стержней равны друг другу и вычисляются по формуле (19.5). Поэтому момент инерции всего стержня равен
. (19.6)
Таким образом, стержень гораздо легче крутить за середину, чем за конец.
Можно, конечно, продолжить вычисление моментов инерции других интересующих нас тел. Но поскольку такие расчеты требуют большого опыта в вычислении интегралов (что очень важно само по себе), они как таковые не представляют для нас большого интереса. Впрочем, здесь имеются некоторые очень интересные и полезные теоремы. Пусть имеется какое-то тело и мы хотим узнать его момент инерции относительно какой-то оси. Это означает, что мы хотим найти его инертность при вращении вокруг этой оси. Если мы будем двигать тело за стержень, подпирающий его центр масс так, чтобы оно не поворачивалось при вращении вокруг оси (в этом случае на него не действуют никакие моменты сил инерции, поэтому тело не будет поворачиваться, когда мы начнем двигать его), то для того, чтобы повернуть его, понадобится точно такая же сила, как если бы вся масса была сосредоточена в центре масс и момент инерции был бы просто равен , где - расстояние от центра масс до оси вращения. Однако формула эта, разумеется, неверна. Она не дает правильного момента инерции тела. Ведь в действительности при повороте тело вращается. Крутится не только центр масс (что давало бы величину ), само тело тоже должно поворачиваться относительно центра масс. Таким образом, к моменту инерции нужно добавить - момент инерции относительно центра масс. Правильный ответ состоит в том, что момент инерции относительно любой оси равен
Эта
теорема называется теоремой о параллельном переносе оси. Доказывается она очень
легко. Момент инерции относительно любой оси равен сумме масс, умноженных на
сумму квадратов и
, т. е. . Мы сейчас
сосредоточим наше внимание на , однако все в точности можно
повторить и для .
Пусть координата есть расстояние данной частной точки
от начала координат; посмотрим, однако, как все изменится, если мы будем
измерять расстояние от центра масс вместо от начала
координат. Чтобы это выяснить, мы должны написать
Возводя это выражение в квадрат, находим
.
Что получится, если умножить его на и просуммировать по всем ? Вынося постоянные величины за знак суммирования, находим
.
Третью сумму подсчитать легко; это просто . Второй член состоит из двух сомножителей, один из которых ; он равен -координате центра масс. Но это должно быть равно нулю, ведь отсчитывается от центра масс, а в этой системе координат среднее положение всех частиц, взвешенное их массами, равно нулю. Первый же член, очевидно, представляет собой часть от . Таким образом, мы и приходим к формуле (19.7).
Давайте проверим формулу (19.7) на одном примере. Просто проверим, будет ли она применима для стержня. Мы уже нашли, что момент инерции стержня относительно его конца должен быть равен . А центр масс стержня, разумеется, находится на расстоянии . Таким образом, мы должны получить, что . Так как одна четвертая + одна двенадцатая = одной третьей, то мы не сделали никакой грубой ошибки.
Кстати, чтобы найти момент инерции (19.5), вовсе не обязательно вычислять интеграл. Можно просто предположить, что он равен величине , умноженной на некоторый неизвестный коэффициент . После этого можно использовать рассуждения о двух половинках и для момента инерции (19.6) получить коэффициент . Используя теперь теорему о параллельном переносе оси, докажем, что , откуда . Всегда можно найти какой-нибудь окольный путь!
При применении теоремы о параллельных осях важно помнить, что ось должна быть параллельна оси, относительно которой мы хотим вычислять момент инерции.
Стоит, пожалуй, упомянуть еще об одном свойстве, которое часто бывает очень полезно при нахождении момента инерции некоторых типов тел. Оно состоит в следующем: если у нас есть плоская фигура и тройка координатных осей с началом координат, расположенным в этой плоскости, и осью , направленной перпендикулярно к ней, то момент инерции этой фигуры относительно оси равен сумме моментов инерции относительно осей и . Доказывается это совсем просто. Заметим, что
(поскольку все ). Аналогично,
,
Момент инерции однородной прямоугольной пластинки, например с массой , шириной и длиной относительно оси, перпендикулярной к ней и проходящей через ее центр, равен просто
,
поскольку момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости пластинки и параллельной ее длине, равен , т. е. точно такой же, как и для стержня длиной , а момент инерции относительно другой оси в той же плоскости равен , такой же, как и для стержня длиной .
Итак, перечислим свойства момента инерции относительно данной оси, которую мы назовем осью :
1. Момент инерции равен
.
2. Если предмет состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой из них известен, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей.
3. Момент инерции относительно любой данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс.
4. Момент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости, равен сумме моментов инерций относительно любых двух других взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пересекающихся с перпендикулярной осью.
В табл. 19.1 приведены моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих однородную плотность масс, а в табл. 19.2 - моменты инерции некоторых фигур, которые могут быть получены из табл. 19.1 с использованием перечисленных выше свойств.
Таблица 19.1 Простые примеры моментов инерции
|
Тонкий стержень длиной |
Проходит через центр перпендикулярно к стержню |
|
|
Тонкое концентрическое кольцо с радиусами и |
Проходит через центр кольца перпендикулярно к плоскости кольца |
|
|
Сфера радиуса |
Проходит через центр |
Таблица 19.2 Моменты инерции, полученные из табл. 19.1
|
Прямоугольник со сторонами и Прямоугольный параллелепипед со сторонами Проходит через центр параллельно |
Рассмотрим теперь проблему определения момента инерции различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции объекта относительно оси z имеет вид
Иными словами, нужно сложить все массы, умножив каждую из них на квадрат ее расстояния до оси (x 2 i + y 2 i). Заметьте, что это верно даже для трехмерного тела, несмотря на то, что расстояние имеет такой «двумерный вид». Впрочем, в большинстве случаев мы будем ограничиваться двумерными телами.
В качестве простого примера рассмотрим стержень, вращающийся относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к нему (фиг. 19.3). Нам нужно просуммировать теперь все массы, умноженные на квадраты расстояния х (в этом случае все у — нулевые). Под суммой, разумеется, я имею в виду интеграл от х 2 , умноженный на «элементики» массы. Если мы разделим стержень на кусочки длиной dx, то соответствующий элемент массы будет пропорционален dx, а если бы dx составляло длину всего стержня, то его масса была бы равна М. Поэтому
Размерность момента инерции всегда равна массе, умноженной на квадрат длины, так что единственная существенная величина, которую мы вычислили, это множитель 1/3.
А чему будет равен момент инерции I, если ось вращения проходит через середину стержня? Чтобы найти его, нам снова нужно взять интеграл, но уже в пределах от —1/2L до +1/2L. Заметим, однако, одну особенность этого случая. Такой стержень с проходящей через центр осью можно представлять себе как два стержня с осью, проходящей через конец, причем масса каждого из них равна М/2, а длина равна L/2. Моменты инерции двух таких стержней равны друг другу и вычисляются по формуле (19.5). Поэтому момент инерции всего стержня равен
Таким образом, стержень гораздо легче крутить за середину, чем за конец.
Можно, конечно, продолжить вычисление моментов инерции других интересующих нас тел. Но поскольку такие расчеты требуют большого опыта в вычислении интегралов (что очень важно само по себе), они как таковые не представляют для нас большого интереса. Впрочем, здесь имеются некоторые очень интересные и полезные теоремы. Пусть имеется какое-то тело и мы хотим узнать его момент инерции относительно какой-то оси . Это означает, что мы хотим найти его инертность при вращении вокруг этой оси. Если мы будем двигать тело за стержень, подпирающий его центр масс так, чтобы оно не поворачивалось при вращении вокруг оси (в этом случае на него не действуют никакие моменты сил инерции, поэтому тело не будет поворачиваться, когда мы начнем двигать его), то для того, чтобы повернуть его, понадобится точно такая же сила, как если бы вся масса была сосредоточена в центре масс и момент инерции был бы просто равен I 1 = MR 2 ц.м. , где R ц.м — расстояние от центра масс до оси вращения. Однако формула эта, разумеется, неверна. Она не дает правильного момента инерции тела. Ведь в действительности при повороте тело вращается. Крутится не только центр масс (что давало бы величину I 1), само тело тоже должно поворачиваться относительно центра масс. Таким образом, к моменту инерции I 1 нужно добавить I ц — момент инерции относительно центра масс. Правильный ответ состоит в том, что момент инерции относительно любой оси равен
Эта теорема называется теоремой о параллельном переносе оси. Доказывается она очень легко. Момент инерции относительно любой оси равен сумме масс, умноженных на сумму квадратов х и у, т. е. I = Σm i (x 2 i + y 2 i). Мы сейчас сосредоточим наше внимание на х, однако все в точности можно повторить и для у. Пусть координата х есть расстояние данной частной точки от начала координат; посмотрим, однако, как все изменится, если мы будем измерять расстояние х` от центра масс вместо х от начала координат. Чтобы это выяснить, мы должны написать
x i = x` i + X ц.м.
Возводя это выражение в квадрат, находим
x 2 i = x` 2 i + 2X ц.м. x` i + X 2 ц.м.
Что получится, если умножить его на m i и просуммировать по всем r? Вынося постоянные величины за знак суммирования, находим
I x = Σm i x` 2 i + 2X ц.м. Σm i x` i + X2 ц.м. Σm i
Третью сумму подсчитать легко; это просто МХ 2 ц.м. . Второй член состоит из двух сомножителей, один из которых Σm i x` i ; он равен x`-координате центра масс. Но это должно быть равно нулю, ведь х` отсчитывается от центра масс, а в этой системе координат среднее положение всех частиц, взвешенное их массами, равно нулю. Первый же член, очевидно, представляет собой часть х от I ц. Таким образом, мы и приходим к формуле (19.7).
Давайте проверим формулу (19.7) на одном примере. Просто проверим, будет ли она применима для стержня. Мы уже нашли, что момент инерции стержня относительно его конца должен быть равен ML 2 /3. А центр масс стержня, разумеется, находится на расстоянии L/2. Таким образом, мы должны получить, что ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 . Так как одна четвертая + одна двенадцатая = одной третьей, то мы не сделали никакой грубой ошибки.
Кстати, чтобы найти момент инерции (19.5), вовсе не обязательно вычислять интеграл. Можно просто предположить, что он равен величине ML 2 , умноженной на некоторый неизвестный коэффициент γ. После этого можно использовать рассуждения о двух половинках и для момента инерции (19.6) получить коэффициент 1/4γ. Используя теперь теорему о параллельном переносе оси, докажем, что γ=1/4γ + 1/4, откуда γ=1/3. Всегда можно найти какой-нибудь окольный путь!
При применении теоремы о параллельных осях важно помнить, что ось I ц должна быть параллельна оси, относительно которой мы хотим вычислять момент инерции.
Стоит, пожалуй, упомянуть еще об одном свойстве, которое часто бывает очень полезно при нахождении момента инерции некоторых типов тел. Оно состоит в следующем: если у нас есть плоская фигура и тройка координатных осей с началом координат, расположенным в этой плоскости, и осью z, направленной перпендикулярно к ней, то момент инерции этой фигуры относительно оси z равен сумме моментов инерции относительно осей х и у. Доказывается это совсем просто. Заметим, что
Момент инерции однородной прямоугольной пластинки, например с массой М, шириной ω и длиной L относительно оси, перпендикулярной к ней и проходящей через ее центр, равен просто
поскольку момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости пластинки и параллельной ее длине, равен Mω 2 /12, т. е. точно такой же, как и для стержня длиной ω, а момент инерции относительно другой оси в той же плоскости равен ML 2 /12, такой же, как и для стержня длиной L.
Итак, перечислим свойства момента инерции относительно данной оси, которую мы назовем осью z:
1. Момент инерции равен
2. Если предмет состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой из них известен, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей.
3. Момент инерции относительно любой данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс.
4. Момент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости, равен сумме моментов инерции относительно любых двух других взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пересекающихся с перпендикулярной осью.
В табл. 19.1 приведены моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих однородную плотность масс, а в табл. 19.2 — моменты инерции некоторых фигур, которые могут быть получены из табл. 19.1 с использованием перечисленных выше свойств.
Относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J a , равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении .
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы , формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
где - полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
| Тело | Описание | Положение оси a | Момент инерции J a |
|---|---|---|---|
 |
Материальная точка массы m | На расстоянии r от точки, неподвижная | |
 |
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m | Ось цилиндра | |
 |
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m | Ось цилиндра | |
 |
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1 | Ось цилиндра | |
 |
Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m | ||
 |
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс | |
 |
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс | |
 |
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец | |
 |
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m | Ось проходит через центр сферы | |
 |
Шар радиуса r и массы m | Ось проходит через центр шара | |
 |
Конус радиуса r и массы m | Ось конуса | |
| Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину | ||
| Правильный треугольник со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс | ||
| Квадрат со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс |
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Вывод формулы
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Сплошной конус
Вывод формулы
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
Интегрируя, получим
Сплошной однородный шар
Вывод формулы
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Тонкостенная сфера
Вывод формулы
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Вывод формулы
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Интегрируя, получим
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
Вывод формулы
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l /2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара - 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .
Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.
Геометрический момент инерции - геометрическая характеристика сечения вида
где - расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси .
Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.
Единица измерения СИ - м 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см 4 .
Из него выражается момент сопротивления сечения:
.| Геометрические моменты инерции некоторых фигур | |
|---|---|
| Прямоугольника высотой и шириной : | |
| Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно | |
| Круга диаметром | |
Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) - это величина
Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :
(1),где - тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где - ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины - главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:
откуда получается уравнение
Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси Z (рисунок 6). Его можно представить как неизменную с течением времени систему разных материальных точек m i , каждая из которых движется по окружности радиусом r i , лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Z. Угловые скорости всех материальных точек одинаковы. Моментом инерции тела относительно оси Z называется величина:
где 
– момент инерции отдельной материальной точки относительно оси ОZ. Из определения вытекает, что момент инерции – аддитивная величина
, т. е. момент инерции тела, состоящего из отдельных частей, равен сумме моментов инерции частей.
Рисунок 6
Очевидно, [I ] = кг×м 2 . Важность понятия момента инерции выражается в трёх формулах:
; 
; 
.
Первая из них выражает момент импульса тела, которое вращается вокруг неподвижной оси Z (полезно эту формулу сравнить с выражением для импульса тела P = mV c
, где V c
– скорость центра масс). Вторая формула носит название основного уравнения динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси, т.е., иначе говоря, второго закона Ньютона для вращательного движения (сравним с законом движения центра масс: 
). Третья формула выражает кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (сравним с выражением для кинетической энергии частицы 
). Сравнение формул позволяет сделать вывод о том, что момент инерции во вращательном движении играет роль, аналогичную массе в том смысле, что чем больше момент инерции тела, тем меньше угловое ускорение при прочих равных условиях оно приобретает (тело, образно говоря, труднее раскрутить). Реально вычисление моментов инерции сводится к вычислению тройного интеграла и может быть произведено лишь для ограниченного числа симметричных тел и лишь для осей симметрии. Количество осей, вокруг которых может вращаться тело, бесконечно велико. Среди всех осей выделяется та, которая проходит через замечательную точку тела – центр масс
(точку, для описания движения которой достаточно представить, что вся масса системы сосредоточена в центре масс и к этой точке приложена сила, равная сумме всех сил). Но осей, проходящих через центр масс, также бесконечно много. Оказывается, что для любого твёрдого тела произвольной формы существуют три взаимно перпендикулярных оси С х, С у, С z
, называемые осями свободного вращения
, обладающие замечательным свойством: если тело закрутить вокруг любой из этих осей и подбросить вверх, то при последующем движении тела ось останется параллельной самой себе, т.е. не будет кувыркаться. Закручивание вокруг любой другой оси этим свойством не обладает. Значение моментов инерции типичных тел относительно указанных осей приведено ниже. Если ось проходит через центр масс, но составляет углы a, b, g с осями С х, С у, С z
соответственно, то момент инерции относительно такой оси равен
I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)
Рассмотрим кратко вычисление момента инерции для простейших тел.
1. Момент инерции длинного тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс стержня и ему перпендикулярной.
Пусть т –
масса стержня, l –
его длина.
, 
Индекс «с
» у момента инерции I c
означает, что это момент инерции относительно оси, проходящий через точку центра масс (центр симметрии тела), C(0,0,0).
2. Момент инерции тонкой прямоугольной пластинки.
; 
;
3. Момент инерции прямоугольного параллелепипеда.
, т. С(0,0,0)
4. Момент инерции тонкого кольца.
;
, т. С(0,0,0)
5. Момент инерции тонкого диска.
В силу симметрии
; 
;
6. Момент инерции сплошного цилиндра.
;
В силу симметрии:
7. Момент инерции сплошного шара.
, т. С(0,0,0)
8. Момент инерции сплошного конуса.
, т. С(0,0,0)
где R – радиус основания, h – высота конуса.
Напомним, что cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Наконец, если ось О не проходит через центр масс, то момент инерции тела может быть вычислен с помощью теоремы Гюйгенса Штейнера
I о = I с + md 2 , (**)
где I о
– момент инерции тела относительно произвольной оси, I с
– момент инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс,
m
– масса тела, d
– расстояние между осями.
Процедура вычисления моментов инерции для тел стандартной формы относительно произвольной оси сводится к следующему.
