Кроме характеристик положения – средних, типичных значений случайной величины, - употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.
Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т.д.). Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.
Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины называется сумма вида:
. (5.7.1)
Очевидно, это определение совпадает с определением начального момента порядка s в механике, если на оси абсцисс в точках сосредоточены массы .
Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл
. (5.7.2)
Нетрудно убедиться, что введенная в предыдущем n° основная характеристика положения – математическое ожидание – представляет собой не что иное, как первый начальный момент случайной величины .
Пользуясь знаком математического ожидания, можно объединить две формулы (5.7.1) и (5.7.2) в одну. Действительно, формулы (5.7.1) и (5.7.2) по структуре полностью аналогичны формулам (5.6.1) и (5.6.2), с той разницей, что в них вместо и стоят, соответственно, и . Поэтому можно написать общее определение начального момента -го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:
, (5.7.3)
т.е. начальным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени этой случайной величины.
Перед тем, как дать определение центрального момента, введем новое понятие «центрированной случайной величины».
Пусть имеется случайная величина с математическим ожиданием . Центрированной случайной величиной, соответствующей величине , называется отклонение случайной величины от её математического ожидания:
Условимся в дальнейшем везде обозначать центрированную случайную величину, соответствующую данной случайной величине, той же буквой со значком наверху.
Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Действительно, для прерывной величины
аналогично и для непрерывной величины.
Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.
Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.
Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины называется математическое ожидание -й степени соответствующей центрированной случайной величины:
, (5.7.6)
а для непрерывной – интегралом
. (5.7.8)
В дальнейшем в тех случаях, когда не возникает сомнений, к какой случайной величине относится данный момент, мы будем для краткости вместо и писать просто и .
Очевидно, для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:
, (5.7.9)
так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.
Выведем соотношения, связывающие центральные и начальные моменты различных порядков. Вывод мы проведем только для прерывных величин; легко убедится, что точно те же соотношения справедливы и для непрерывных величин, если заменить конечные суммы интегралами, а вероятности – элементами вероятности.
Рассмотрим второй центральный момент:
Аналогично для третьего центрального момента получим:
Выражения для и т.д. могут быть получены аналогичным путем.
Таким образом, для центральных моментов любой случайной величины справедливы формулы:
(5.7.10)
Вообще говоря, моменты могут рассматриваться не только относительно начала координат (начальные моменты) или математического ожидания (центральные моменты), но и относительно произвольной точки :
. (5.7.11)
Однако центральные моменты имеют перед всеми другими преимущество: первый центральный момент, как мы видели, всегда равен нулю, а следующий за ним, второй центральный момент при этой системе отсчета имеет минимальное значение. Докажем это. Для прерывной случайной величины при формула (5.7.11) имеет вид:
. (5.7.12)
Преобразуем это выражение:
Очевидно, эта величина достигает своего минимума, когда , т.е. когда момент берется относительно точки .
Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание) и второй центральный момент .
Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других моментов введем для нее специальное обозначение :
Согласно определению центрального момента
т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.
Заменяя в выражении (5.7.13) величину её выражением, имеем также:
. (5.7.14)
Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:
, (5.7.15)
(5.7.16)
Соответственно для прерывных и непрерывных величин.
Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».
Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).
Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины . Среднее квадратическое отклонение будем обозначать :
, (5.7.17)
Для упрощения записей мы часто будем пользоваться сокращенными обозначениями среднего квадратического отклонения и дисперсии: и . В случае, когда не возникает сомнения, к какой случайной величине относятся эти характеристики, мы будем иногда опускать значок х у и и писать просто и . Слова «среднее квадратическое отклонение» иногда будем сокращенно заменять буквами с.к.о.
На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через её второй начальный момент (вторая из формул (5.7.10)). В новых обозначениях она будет иметь вид:
Математическое ожидание и дисперсия (или среднее квардратическое отклонение ) – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Для более подробного описания распределения применяются моменты высших порядков.
Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (или, в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю. Действительно, в сумме
при симметричном относительно законе распределения и нечетном каждому положительному слагаемому соответствует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое, так что вся сумма равна нулю. То же, очевидно, справедливо и для интеграла
,
который равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции.
Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов. Простейший из них есть третий центральный момент. Он имеет размерность куба случайной величины: чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на куб среднего квадратического отклонения. Полученная величина носит название «коэффициент асимметрии» или просто «асимметрии»; мы обозначим её :
На рис. 5.7.1 показано два асимметричных распределения; одно из них (кривая I) имеет положительную асимметрию (); другое (кривая II) – отрицательную ().
Четвертый центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины называется величина
Число 3 вычитается из отношения потому, что для весьма важного и широко распространенного в природе нормального закона распределения (с которым мы подробно познакомимся в дальнейшем) . Таки образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые, более островершинные по сравнении с нормальной, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом.
На рис. 5.7.2 представлены: нормальное распределение (кривая I), распределение с положительным эксцессом (кривая II) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая III).
Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, на практике иногда применяются так называемые абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые формулами
Очевидно, абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами.
Из абсолютных моментов наиболее часто применяется первый абсолютный центральный момент
, (5.7.21)
называемый средним арифметическим отклонением. Наряду с дисперсией и средним квадратическим отклонением среднее арифметическое отклонение иногда применяется как характеристика рассеивания.
Математическое ожидание, мода, медиана, начальные и центральные моменты и, в частности, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, асимметрия и эксцесс представляют собой наиболее употребительные числовые характеристики случайных величин. Во многих задачах практики полная характеристика случайной величины – закон распределения – или не нужна, или не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощь. Числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения.
Очень часто числовыми характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим, причем обычно стремятся произвести эту замену так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов.
Пример 1. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие , вероятность которого равна . Рассматривается случайная величина – число появлений события (характеристическая случайная величина события ). Определить её характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение. Ряд распределения величины имеет вид:
где - вероятность непоявления события .
По формуле (5.6.1) находим математическое ожидание величины :
Дисперсию величины определяем по формуле (5.7.15):
(Предлагаем читателю получить тот же результат, выразив дисперсию через второй начальный момент).
Пример 2. Производится три независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. случайная величина – число попаданий. Определить характеристики величины – математическое ожидание, дисперсию, с.к.о., асимметрию.
Решение. Ряд распределения величины имеет вид:
Вычисляем числовые характеристики величины .
Для характеристики различных свойств случайных величин используются начальные и центральные моменты.
Начальным моментом k- го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины:
α К = М .
Для дискретной случайной величины
Ц
Х = Х – М[Х]
ентрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:Условимся отличать центрированную с.в. значком 0 наверху.
Центральным моментом S -го порядка называется математическое ожидание S-й степени центрированной случайной величины
S = M [(X – m x) S ].
Для дискретной случайной величины
S
=
(x i
– m x) S
p i .
Для непрерывной случайной величины
.
начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию (по определению):
α 1 = М = m x .
центральный момент первого порядка всегда равен нулю (докажем на примере дискретной с. в.):
1
= M
[(X – m x) 1 ]
=
(x i
– m x)
p i
=
x i
p i
–
m x
p i
= m x –m x 
p i
=m x –m x =
0.
центральный момент второго порядка характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Центральный момент второго порядка называется дисперсией с. в. и обозначается D[X] или D x
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение σ х = √D x .
σ х – также как и D x характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания но имеет размерность случайной величины.
второй начальный момент α 2 характеризует степень разброса случайной величины вокруг ее математического ожидания, а также смещение случайной величины на числовой оси
Связь первого и второго начальных моментов с дисперсией (на примере непрерывной с. в.):
третий центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень асимметрии распределения случайной величины.
f(x ср) > f(-x ср)
Для симметричных законов распределения m 3 = 0.
Для характеристики только степени асимметрии используется так называемый коэффициент асимметрии
Для симметричного закона распределения Sk = 0
четвертый центральный момент характеризует степень разброса случайной величины вокруг математического ожидания, а также степень островершинности закона распределения.
Очевидно, что начальный выборочный момент нулевого порядка всегда равен 1, а начальный выборочный момент первого порядка
Определение 2.19 Центральным моментом k- го порядка выборки x 1 , x 2 , …, x n называется среднее k-тых степеней отклонений данных выборочных значений от среднего , то есть
Из данного определения следует, что центральный выборочный момент нулевого порядка равен 1. При k = 1 получается, что
, а
при k=
2 имеем
.
Следовательно, выборочная дисперсия является центральным выборочным моментом второго порядка. Для вычисления центрального выборочного момента третьего порядка используем стандартные алгебраические преобразования:
В результате получилось выражение центрального момента третьего порядка через начальные моменты. Таким же способом находятся выражения для центральных моментов более высоких порядков. Приведем ряд формул, которые на практике используются чаще других:
При вычислении начальных и центральных выборочных моментов используются приемы и таблицы, аналогичные тем, которые применялись ранее для вычисления среднего и дисперсии .
Пример 2.28 В ходе социологического исследования собраны ответы 25 рядовых сотрудников учреждения о количестве стрессовых ситуаций, возникавших на работе в течение недели. Данные опроса приведены в следующей таблице. Найдем начальные и центральные выборочные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
Таблица 2.20 – Данные исследования стрессовых ситуаций
Необходимые промежуточные расчеты будем фиксировать в следующей таблице.
Таблица 2.21 – Вычисления начальных и центральных моментов
Объем выборки n = 25. Вычислим начальные выборочные моменты:
; 
;
; 
.
Используя соответствующие формулы, вычислим центральные выборочные моменты:
Округлим полученные значения центральных моментов:
; 
;
; 
Начальные и центральные выборочные моменты являются аналогами соответствующих понятий теоретических моментов всей генеральной совокупности значений исследуемой случайной величины.
Определение 2.20 Начальным моментом k -го порядка случайной величины Х называется число , равное математическому ожиданию k -й степени величины Х:
.
Для вычисления начального момента k-го порядка используются следующие формулы:
Очевидно, что математическое ожидание случайной величины является начальным моментом первого порядка, а дисперсия – центральным моментом второго порядка. Как теоретические, так и выборочные моменты используются при исследовании закона распределения случайной величины. Все центральные моменты четных порядков, как и дисперсия, характеризуют рассеяние значений случайной величины вокруг математического ожидания. Центральные моменты нечетных порядков выявляют асимметрию распределения относительно центра. В частности, если значения случайной величины распределены симметрично относительно математического ожидания, то все ее существующие моменты нечетных порядков равны нулю. С другой стороны, существование отличного от нуля центрального момента нечетного порядка показывает наличие асимметрии распределения.
Центральными называются моменты распределения, при вычислении которых за исходную величину принимаются отклонение вариантов от средней арифметической данного ряда.
1. Рассчитаем центральный момент первого порядка по формуле:
2. Рассчитаем центральный момент второго порядка по формуле:
где - значение середины интервалов;
Это среднее взвешенное;
Fi-число значений.
3. Рассчитаем центральный момент третьего порядка по формуле:
где - значение середины интервалов; - это среднее взвешенное; - fi-число значений.
4. Рассчитаем центральный момент четвертого порядка по формуле:
где - значение середины интервалов; - это среднее взвешенное; - fi-число значений.
Расчет для таблицы 3.2
Расчет для таблицы 3.4
1. Рассчитаем центральный момент первого порядка по формуле (7.1):
2. Рассчитаем центральный момент второго порядка по формуле (7.2):
3. Рассчитаем центральный момент третьего порядка по формуле (7.3):
4. Рассчитаем центральный момент четвертого порядка по формуле (7.4):
Расчет для таблицы 3.6
1. Рассчитаем центральный момент первого порядка по формуле (7.1):
2. Рассчитаем центральный момент второго порядка по формуле (7.2):
3. Рассчитаем центральный момент третьего порядка по формуле (7.3):
4. Рассчитаем центральный момент четвертого порядка по формуле (7.4):
Рассчитаны моменты 1,2,3,4 порядков по трем задачам. Где момент третьего порядка понадобиться для расчета асимметрии, а момент четвертого порядка понадобиться для расчета эксцесса.
В статистической практике встречаются разнообразные распределения. Различают следующие разновидности кривых распределения:
· одновершинные кривые: симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные;
· многовершинные кривые.
Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух или более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.
Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Рассчитанные для таких распределений средняя, мода и медиана также равны.
При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии ():
где -это среднее взвешенное; Mo-мода; -среднеквадратичная взвешенная дисперсия; Me-медиана.
Его величина может быть положительной и отрицательной. В первом случае речь идет о правосторонней асимметрии, а во втором- о левосторонней.
При правосторонней асимметрии Mo>Me >x. Наиболее широко (как показатель асимметрии) применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе:
где -центральный момент третьего порядка; -среднее квадратическое отклонение в кубе.
Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной; если она меньше 0,25, то незначительной.
Оценка существенности производится на основе средней квадратической ошибки, коэффициента асимметрии (), которая зависит от числа наблюдений (n) и рассчитывается по формуле:
где n-число наблюдений.
В случае асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.
Расчет для таблицы 3.2 Группировка населения по среднемесячной заработной плате, руб.
Левосторонняя, значительная асимметрия.
Расчет для таблицы 3.4 Группировка магазинов по розничному товарообороту, млн. руб.
1. Определим асимметрии по формуле (7.5):
Правосторонняя, значительная асимметрия.
Расчет для таблицы 3.6 Группировка транспортных организаций по грузообороту транспорта общего пользования (млн.т.км)
1. Определим асимметрии по формуле (7.5):
Правосторонняя, незначительная асимметрия.
Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса ():
где - центральный момент четвертого порядка; - средне квадратическое отклонение в четвертой степени.
Расчет для таблицы 3.2 Группировка населения по среднемесячной заработной плате, руб.
Расчет для таблицы 3.4 Группировка магазинов по розничному товарообороту, млн. руб.
Рассчитаем показатель эксцесса по формуле (7.7)
Островершинное распределение.
Расчет для таблицы 3.6 Группировка транспортных организаций по грузообороту транспорта общего пользования (млн.т.км)
Рассчитаем показатель эксцесса по формуле (7.7)
Плосковершинное распределение.
Оценка однородности для таблицы 3.2 Группировка населения по среднемесячной заработной плате, руб.
Необходимо отметить, что хотя показатели асимметрии и эксцесса характеризуют непосредственно лишь форму распределения признака в пределах изучаемой совокупности, однако их определение имеет не только описательное значение. Часто асимметрия и эксцесс дают определенные указания для дальнейшего исследования социально - экономических явлений. Полученный результат свидетельствует о наличии значительной по величине и отрицательной по своему характеру асимметрии, нужно заметить, что асимметрия является левосторонней. Кроме того совокупность имеет плос-ковершинное распределение.
Оценка однородности для таблицы 3.4 Группировка магазинов по розничному товарообороту, млн. руб.
Полученный результат свидетельствует о наличии значительной по величине и положительной по своему характеру асимметрии, нужно заметить что асимметрия является правосторонней. А так же совокупность имеет остро-вершинное распределение.
Оценка однородности для таблицы 3.6 Группировка транспортных организаций по грузообороту транспорта общего пользования (млн.т.км)
Полученный результат свидетельствует о наличии незначительной по величине и положительной по своему характеру асимметрии, нужно заметить что асимметрия является правосторонней. Кроме того совокупность имеет плосковершинное распределение.
Найдем математическое ожидание Х 2 :
М (Х 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.
Видим, что М (X 2) значительно больше М (X ). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X 2 , соответствующее значению x =100 величины X, стало равным 10 000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).
Таким образом, переход от М (X )к М (X 2)позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина X имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X 2 , а тем более к величинам X 3 , X 4 и т. д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).
Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X k:
v k = M (X ).
В частности,
v 1 = M (X ), v 2 = M (X 2).
Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии D (X ) = M (X 2)- [М (X )] 2 можно записать так:
D (X )= v 2 – . (*)
Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонения X-М (X ).
Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (Х-М (Х )) k:
В частности,
Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая (*) и (***), получим
m 2= v 2 – .
Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:
m 3= v 3 – 3 v 2 v 1 + 2 ,
m 4= v 4 – 4 v 3 v 1 + 6 v 2 + 3 .
Моменты более высоких порядков применяются редко.
Замечание. Моменты, рассмотренные здесь, называют теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими. Определения эмпирических моментов даны далее (см. гл. XVII, § 2).
Задачи
1. Известны дисперсии двух независимых случайных величин: D (X ) = 4, D (Y )=3. Найти дисперсию суммы этих величин.
Отв. 7.
2. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин: а) X -1; б) -2Х; в) ЗХ + 6.
Отв. а) 5; б) 20; в) 45.
3. Случайная величина X принимает только два значения: +С и -С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.
Отв. С 2 .
4. , зная закон ее распределения
| X | 0, 1 | |||
| P | 0, 4 | 0, 2 | 0, 15 | 0, 25 |
Отв. 67,6404.
5. Случайная величина X может принимать два возможных значения: х 1 с вероятностью 0,3 и x 2 с вероятностью 0,7, причем х 2 > х 1 . Найти x 1 и x 2 , зная, что М (Х ) = 2, 7и D (X ) =0,21.
Отв. x 1 = 2, x 2 = 3.
6. Найти дисперсию случайной величины X -числа появлений событий А в двух независимых испытаниях, если М (Х ) = 0, 8.
Указание. Написать биномиальный закон распределения вероятностей числа появлений события А в двух независимых испытаниях.
Отв. 0, 48.
7. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: р 1 = 0,3; р 2 = 0,4; p 3 = 0,5; р 4 = 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.
Отв. 1,8; 0,94.
8. Найти дисперсию случайной величины X - числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,7.
Отв. 21.
9. Дисперсия случайной величины D (Х ) = 6,25. Найти среднее квадратическое отклонение s(X ).
Отв. 2, 5.
10. Случайная величина задана законом распределения
| X | |||
| P | 0, 1 | 0, 5 | 0, 4 |
Найти среднее квадратическое отклонение этой величины.
Отв. 2, 2.
11. Дсперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.
Отв. 4.
12. Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.
Отв. 2,5.
Глава девятая
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Предварительные замечания
Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.
Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы, которые здесь не рассматриваются). Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли-простейшим. Для доказательства этих теорем мы воспользуемся неравенством Чебышева.
Неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Для простоты ограничимся доказательством этого неравенства для дискретных величин.
Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную таблицей распределения:
| X | x 1 | X 2 | … | x n |
| p | p 1 | P 2 | … | p n |
Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа e. Если e достаточно мало, то мы оценим, таким образом, вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию. П. Л. Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать интересующую нас оценку.
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем 1-D (Х )/ e 2 :
Р (|Х -М (Х )|< e ) 1-D (X )/ e 2 .
Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств |Х-М
(Х
)|
Р (|Х -М (Х )|< e )+ Р (|Х -М (Х )| e )= 1.
Отсюда интересующая нас вероятность
Р (|Х -М (Х )|< e )= 1- Р (|Х -М (Х )| e ). (*)
Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности Р (| Х-М (Х ) | e ).
Напишем выражение дисперсии случайной величины X :
D (X )= [x 1 -M (X )] 2 p 1 + [x 2 -M (X )] 2 p 2 +…+ [x n -M (X )]2p n .
Очевидно, все слагаемые этой суммы неотрицательны.
Отбросим те слагаемые, у которых |x i -M (Х )|< e (для оставшихся слагаемых |x j -M (Х )| e ), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,
D (X ) [x k + 1 -M (Х )] 2 p k + 1 + [x k + 2 -M (X )] 2 p k + z + . .. +[x n -M (X )] 2 p n .
Заметим, что обе части неравенства |x j - М (Х )| e (j = k +1, k + 2, ..., п )положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство |x j - М (Х )| 2 e 2 Воспользуемся этим замечанием и, заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей |x j - М (Х )| 2 числом e 2 (при этом неравенство может лишь усилиться), получим
D (X ) e 2 (р к+ 1 + p k + 2 + … + р n ). (**)
По теореме сложения, сумма вероятностей р к+ 1 + p k + 2 + … + р n есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений x k + 1 , х к+ 2 ,....х п, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству |x j - М (Х )| e Отсюда следует, что сумма р к+ 1 + p k + 2 + … + р n выражает вероятность
P (|X - М (Х )| e).
Это соображение позволяет переписать неравенство (**) так:
D (X ) e 2 P (|X - М (Х )| e) ,
P (|X - М (Х )| e) D (X ) / e 2 (***)
Подставляя (***) в (*), окончательно получим
P (|X - М (Х )| <e) 1- D (X ) / e 2 ,
что и требовалось доказать.
Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если D (X )> e 2 и, следовательно, D (X )/ e 2 > 1, то 1- D (Х )/ e 2 < 0; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и без того очевидно, так как любая вероятность выражается неотрицательным числом.
Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Ниже мы воспользуемся этим неравенством для вывода теоремы Чебышева.
Теорема Чебышева
Теорема Чебышева. Если Х 1 , Х 2 ,…, Х n , ... -попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С ), то, как бы мало ни было положительное число е, вероятность неравенства
Другими словами, в условиях теоремы
Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.
Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину - среднее арифметическое случайных величин
=(X 1 +X 2 +…+X n )/n.
Найдем математическое ожидание . Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим
M 
=
. (*)
Применяя к величине неравенство Чебышева, имеем
Подставляя правую часть (***) в неравенство (**) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем
Отсюда, переходя к пределу при , получим
Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать
Теорема доказана.
Выше, формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.
Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через а; в рассматриваемом случае среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно а. Мы можем сформулировать теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.
Если Х 1 , Х 2 , ..., Х п,... -попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число e > О, вероятность неравенства
будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство
Сущность теоремы Чебышева
Сущность доказанной теоремы такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу (М (X 1)+ М (Х 2) +...+М (Х п ))/п (или к числу а в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.
Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.
Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.
Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин; она является ярким примером, подтверждающим справедливость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.
