Убывающая функция- если для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство f( х 1 )>f( х 2 )

Способы задания функции

¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у =f(x) , где f(x)- íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

¨ На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Виды функций и их свойства

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b- некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у= kx , где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .

Cвойства функции y=kx :

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b , где k иb - действительные числа. Если в частности, k=0 , то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0 , то получаем прямую пропорциональность y=kx .

Свойства функции y=kx+b :

1. Область определения- множество всех действительных чисел

2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая .

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k /х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k / x:

1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

2. y=k / x - нечетная функция

3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Графиком функции является гипербола .

5)Функция y=x 2

Свойства функции y=x 2:

2. y=x 2 - четная функция

3. На промежутке функция убывает

Графиком функции является парабола .

6)Функция y=x 3

Свойства функции y=x 3:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 3 - нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=x n , где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x -n , где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x -n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x -2 :

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x -2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y= Ö х

Свойства функции y= Ö х :

1. Область определения - луч ;

Четность, нечетность:

при b = 0 функция четная

при b ≠ 0 функция не является ни четной, ни нечетной

при D > 0 два нуля: ,

при D = 0 один нуль:

при D < 0 нулей нет

Промежутки знакопостоянства:

если, а > 0, D > 0, то

если, а > 0, D = 0, то

e сли а > 0, D < 0, то

если а < 0, D > 0, то

если а < 0, D = 0, то

если а < 0, D < 0, то

- Промежутки монотонности

при а > 0

при а < 0

Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в ко­ординатной плоскости;

2) построить еще несколько точек, принадлежащих пара­боле;

3) соединить отмеченные точки плавной линией.

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

; .

Преобразование графиков функции

1. Растяжение графика у = х 2 вдоль оси у в |а| раз (при |а| < 1 - это сжатие в 1/ |а| раз).

Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах 2 .

2. Параллельный перенос графика функ­ции у = ах 2 вдоль оси х на | m | (вправо при

m > 0 и влево при т < 0).

Результат: график функции у = а(х - т) 2 .

3. Параллельный перенос графика функ­ции вдоль оси у на | n | (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).

Результат: график функции у = а(х - т) 2 + п.

Квадратичные неравенства

Неравенства вида ах 2 + b х + с > 0 и ах 2 + bх + с < 0, где х - переменная, a , b и с - некоторые числа, причем, а≠ 0, называют неравенствами второй степе­ни с одной переменной.

Решение неравенства второй степени с одной пе­ременной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадра­тичная функция принимает положительные или от­рицательные значения.

Для решения неравенств вида ах 2 + bх + с > 0 и ах 2 + bх + с < 0 поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясня­ют, имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и че­рез отмеченные точки проводят схематически параболу, вет­ви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изобража­ют параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;

3) находят на оси х промежутки, для которых точки парабо­лы расположены выше оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с < 0).

Пример:

Решим неравенство .

Рассмотрим функцию

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

Выясним, как расположен график относительно оси х. Решим для этого уравнение . Получим, что х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси х.

Изобразив схематически параболу, най­дем, что функция принимает отрицательные значе­ния при любом х, кроме 4.

Ответ можно записать так: х - любое число, не равное 4.

Решение неравенств методом интервалов

схема решения

1. Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.

2. Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если k i четное, то нуль четной кратности, если k i нечетное - то нечетной).

3. Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, на­чиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для приведенного вида неравенств. При переходе справа налево через нуль функции от одного промежутка к сосед­нему следует учитывать:

если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется,

если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.

4. Записать ответ.

Пример:

(х + 6) (х + 1) (х - 4) < 0.

Найден нули функции. Они равны: х 1 = -6; х 2 = -1; х 3 = 4.

Отметим на координатной прямой нули функции f ( x ) = (х + 6) (х + 1) (х - 4).

Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-∞; -6) и (-1; 4).

Ответ: (-∞ ; -6) и (-1; 4).

Рассмотренный способ решения неравенств на­зывают методом интервалов.

Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R .Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x , при которых функция y = f (x )определена, называется областью определения функции . Множество Y всех действительных значений y , которые принимает функция, называетсяобластью значений функции . Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y , по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией .

Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:

Задана область определения функции X ;

Задана область значений функции Y ;

Известно правило (закон) соответствия, причём такое, что для каждого

Значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.

Это требование однозначности функции является обязательным.

Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f (x 2) > f (x 1), то функция f ( x ) называетсявозрастающей ; если для любых x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f ( x 2) < f ( x 1), то функция f ( x ) называется убывающей . Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной .

Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной , если существует такое положительное число M , что | f (x ) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная .

П р и м е р ы.

Функция, изображённая на рис.3, является ограниченной, но не монотонной. Функция на рис.4 - как раз наоборот, монотонная, но неограниченная. (Объясните это, пожалуйста!).

Непрерывная и разрывная функции. Функция y = f (x ) называется непрерывной в точке x = a , если:

1) функция определена при x = a , т.e. f (a ) существует;

2) существует конечный предел lim f (x ) ;

x →a

(см. «Пределы функций»)

3) f (a ) = lim f (x ) .

x →a

Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a .

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения , то она называется непрерывной функцией .

Чётная и нечётная функции. Если для любого x f (- x ) = f (x ), то функция называется чётной ;если же имеет место: f (- x ) = - f (x ), то функция называется нечётной . График чётной функции симетричен относительно оси Y (рис.5), a график нечётной функции сим метричен относительно начала координат (рис.6).

Периодическая функция. Функция f (x ) - периодическая , если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f (x + T ) = f (x ). Такое наименьшее число называется периодом функции . Все тригонометрические функции являются периодическими.

П р и м е р 1 . Доказать, что sin x имеет период 2 .

Р е ш е н и е. Мы знаем, что sin (x+ 2n ) = sin x , где n = 0, ± 1, ± 2, …

Следовательно, добавление 2n к аргументу синуса не

Меняет его значениe. Существует ли другое число с таким

Же свойством?

Предположим, что P - такое число, т.e. равенство:

Sin (x+ P ) = sin x ,

Справедливо для любого значения x . Но тогда оно имеет

Место и при x = / 2 , т.e.

Sin ( / 2 + P ) = sin / 2 = 1.

Но по формуле приведения sin ( / 2 + P ) = cos P . Тогда

Из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы

Знаем, что это верно лишь при P = 2n . Так как наименьшим

Отличным от нуля числом из 2n является 2, то это число

И есть период sin x . Аналогично доказывается, что 2 из n есть , таким образом, это период sin 2x .

Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем) функции . Функция может иметь несколько нулей.Например, функция y = x (x + 1) (x -3) имеет три нуля: x = 0, x = -1, x = 3. Геометрически нуль функции - это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a , x = b и x = c .

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой .

Пределы и непрерывность

Множества

Под множеством понимается совокупность однородных объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Множества обозначают прописными буквами, а их элементы – строчными. Если a является элементом множества A , то используется запись a ÎA . Если b не является элементом множества A , то это записывается так: b ÏA . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается так: Ø.

Если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называют подмножеством множества и обозначают B ÌA .

Два множества называют равными , если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств A и B называется множество C , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств: C =A ÈB .

Пересечением двух множеств A и B называется множество C , состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств: C =A ÇB .

Разностью множеств A и B называется множество E A , которые не принадлежат множеству B : .

Дополнением множества A ÌB называется множество C , состоящее из всех элементов множества B , не принадлежащих A .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми :

При этом N ÌZ ÌQ ÌR , I ÌR и R =I ÈQ .

Множество X , элементы которого удовлетворяют неравенству называется отрезком (сегментом) и обозначается [a ; b ]; неравенству a <x <b – интервалом и обозначается () ; неравенствам и - полуинтервалами и обозначаются соответственно и . Также часто приходится иметь дело с бесконечными интервалами и полуинтервалами: , , , и . Все их удобно называть промежутками .

Интервал , т.е. множество точек удовлетворяющих неравенству (где ), называется -окрестностью точки a .

Понятие функции. Основные свойства функции

Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция y =f (x ). При этом x называют независимой переменной или аргументом , а y – зависимой переменной или функцией , а f обозначает закон соответствия. Множество X называют областью определения функции, а множество Y – областью значений функции.

Существует несколько способов задания функций.

1) Аналитический способ – функция задается формулой вида y =f (x ).

2) Табличный способ – функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции y =f (x ).

3) Графический способ – изображение графика функции, т.е. множества точек (x ; y ) координатной плоскости, абсциссы которых представляют значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции y =f (x ).

4) Словесный способ – функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле принимает значение 1, если x – рациональное число и 0, если x – иррациональное число.

Выделяют следующие основные свойства функций.

1 Четность и нечетность Функция y =f (x ) называется четной , если для любых значений x из области ее определения выполняется f (–x )=f (x ), и нечетной , если f (–x )=–f (x ). Если не выполняется ни одно из перечисленных равенств, то y =f (x ) называется функцией общего вида . График четной функции симметричен относительно оси Oy , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2 Монотонность Функция y =f (x ) называется возрастающей (убывающей ) на промежутке X , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Пусть x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 . Тогда функция возрастает на промежутке X , если f (x 2)>f (x 1), и убывает, если f (x 2)<f (x 1).

Наряду с возрастающими и убывающими функциями рассматривают неубывающие и невозрастающие функции. Функция называется неубывающей (невозрастающей ), если при x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 выполняется неравенство f (x 2)≥f (x 1) (f (x 2)≤f (x 1)).

Возрастающие и убывающие функции, а также невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными.

3 Ограниченность Функция y =f (x ) называется ограниченной на промежутке X , если существует такое положительное число M >0, что |f (x )|≤M для любого x ÎX . В противном случае функция называется неограниченной на X .

4 Периодичность Функция y =f (x ) называется периодической с периодом T ≠0, если для любых x из области определения функции f (x +T )=f (x ). В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший положительный период функции.

Функция называется явной , если она задана формулой вида y =f (x ). Если функция задана уравнением F (x , y )=0, не разрешенным относительно зависимой переменной y , то ее называют неявной .

Пусть y =f (x ) есть функция от независимой переменной , определенная на множестве X с областью значений Y . Поставим в соответствие каждому y ÎY единственное значение x ÎX , при котором f (x )=y .Тогда полученная функция x =φ (y ), определенная на множестве Y с областью значений X , называется обратной и обозначается y =f –1 (x ). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей .

Пусть функция y =f (u ) есть функция переменной u , определенной на множестве U с областью значений Y , а переменная u в свою очередь является функцией u =φ (x ), определенной на множестве X с областью значений U . Тогда заданная на множестве X функция y =f (φ (x )) называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят:

• степенную функцию y =x n ; y =x – n и y =x 1/ n ;
• показательную функцию y =a x ;
• логарифмическую функцию y =log a x ;
• тригонометрические функции y =sin x , y =cos x , y =tg x и y =ctg x ;
• обратные тригонометрические функции y = arcsin x , y =arccos x , y =arctg x и y =arcctg x .

Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными .

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

· целая рациональная функция (многочлен или полином)

· дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной . К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

Для понимая данной темы, рассмотрим функцию, изображенную на графике // Покажем, как график функции позволяет определить ее свойства.

Разбираем свойства функции на примере

Областью определения функции явл. промежуток [ 3,5; 5,5].

Областью значений функции явл. промежуток [ 1; 3].

1. При x = -3, x =- 1, x = 1,5, х=4,5 значение функции равно нулю.

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называют нулем функции.

//т.е. для данной функции числа -3;-1;1,5; 4,5 являются нулями.

2. На промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] график функции f расположен над осью абсцисс, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) под осью абсцисс, это объясняется так -на промежутках [ 4,5; 3) и (1; 1,5) и (4,5;5,5] функция принимает положительные значения, а на промежутках (-3; -1) и (1,5; 4,5) отрицательные.

Каждый из указанных промежутков (там где функция принимает значения одного и того же знака) называют промежутком знакопостоянства функции f.//т.е. например, если взять промежуток (0; 3), то он не является промежутком знакопостоянства данной функции.

В математике принято при поиске промежутков знакопостоянства функции указывать промежутки максимальной длины. //Т.е. промежуток (2; 3) является промежутком знакопостоянства функции f, но в ответ следует включить промежуток [ 4,5; 3), содержащий промежуток (2; 3).

3. Если перемещаться по оси абсцисс от 4,5 до 2, то можно заметить, что график функции идет вниз, то есть значения функции уменьшаются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 4,5; 2] функция убывает.

С увеличением x от 2 до 0 график функции идет вверх, т.е. значения функции увеличиваются. //В математике принято говорить, что на промежутке [ 2; 0] функция возрастает.

Функцию f называют , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f (x2) > f (x1). // или Функцию называют возрастающей на некотором промежутке , если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.//т.е. чем больше х, тем больше у.

Функцию f называют убывающей на некотором промежутке , если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из этого промежутка таких, что x2 > x1, выполняется неравенство f(x2)убывающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. //т.е. чем больше х, тем меньше у.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей .

Если функция убывает на всей области определения, то ее называют убывающей .

Пример 1. график возрастающей и убывающей функций соотвественно.

Пример 2.

Определить явл. ли линейная функция f (x) = 3x + 5 возрастающей или убывающей?

Доказательство. Воспрользуемся определениями. Пусть х1 и x2 произвольные значения аргумента, причем x1 < x2., например х1=1, х2=7

Тематические материалы:

Методы оптимизации численности персонала: четыре подхода

Кого кусают комары: критерии отбора жертв Каких людей больше всего кусают комары

Виды ядовитых опят и как их отличить от съедобных грибов Растут ли ложные опята на березе

Рассчитать дату родов: проверенные способы

Не хватает воздуха: причины трудностей с дыханием – кардиогенные, легочные, психогенные, иные

Поливитамины для женщин. Витамины для женщин. Лучшие витамины для женщин Хорошие и недорогие витамины для женщин

Предел функции: основные понятия и определения

Является ли множество а подмножеством в