Доказательство.

Возьмем точку , которая лежит на прямой a , тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство , откуда имеем .

Если font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> b имеет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">, а если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Тогда при font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле , а при - по формуле

То есть, при любом значении С2 расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Теорема доказана.

2. Решение задач на нахождение расстояния между параллельными прямыми

Пример №1.

Найдите расстояние между параллельными прямыми и Решение.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Для прямой font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">соответствует общее уравнение прямой . Перейдем от параметрических уравнений прямой вида font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">к общему уравнению этой прямой:

font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: .

Ответ: font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Пример №2.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых и . Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Решение:

Первый способ решения.

Канонические уравнения прямой на плоскости вида font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">позволяют сразу записать координаты точки М1 , лежащей на этой прямой: font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">. Расстояние от этой точки до прямой равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки до прямой font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">: .

Второй способ решения.

Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой: . Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны - они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: .

Ответ: 8

3. Домашнее задание

Задачи для самопроверки

1. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

4.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Все поставленные цели и задачи выполнены полностью. Разработаны два урока из раздела «Взаимное расположение объектов на плоскости» по теме «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми» с помощью метода координат. Материал подобран на доступном для учащихся уровне, что позволит решать задачи по геометрии более простыми и красивыми методами.

5.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1) , Юдина. 7 – 9 классы : учебник для общеобразовательных учреждений.

2) , Позняк. Учебник для 10-11 классов средней школы .

3) , Никольский математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

4) , Позняк геометрия.

6.ПРИЛОЖЕНИЯ

Справочный материал

Общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0 ,

где А и В не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой (т. е. вектора, перпендикулярного прямой). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ , при В = 0 прямая параллельна оси О Y .

При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом :

Уравнение прямой, проходящей через точку (х 0 , у 0) и не параллельной оси OY , имеет вид:

у – у 0 = m (x – х 0) ,

где m – угловой коэффициент , равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .

При А font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">

где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки (a , 0) и (0, b ), т. е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1, у 1) и (х 2, у 2):

Параметрическое уравнение прямой , проходящей через точку (х 0 , у 0) и параллельной направляющему вектору прямой (a , b ) :

Условие параллельности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и D х+ E у+ F = 0: AE – BD = 0 ,

2) для прямых у = m x + k и у = p x + q : m = p .

Этот видеоурок будет полезен тем, кто хочет самостоятельно изучить тему «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми». В ходе урока вы сможете узнать о том, как можно рассчитать расстояние от точки до прямой. Затем учитель даст определение расстояния между параллельными прямыми.

В текущем уроке мы познакомимся с понятием «расстояние» в целом. Также мы конкретизируем данное понятие в случае вычисления расстояния между двумя точками, точкой и прямой, параллельными прямыми

Рассмотрим рисунок 1. На нём изображены 2 точки А и В. Расстоянием между двумя точками А и В является отрезок, имеющий концы в заданных точках, то есть отрезок АВ

Рис. 1. АВ - расстояние между точками

Примечательно, что расстоянием нельзя считать кривую или ломаную линии, соединяющих две точки. Расстояние - это кратчайший путь от одной точки к другой. Именно отрезок АВ является наименьшим из всех возможных линий, соединяющие точки А и В

Рассмотрим рисунок 2, на котором изображена прямая а, и точка А, не принадлежащая данной прямой. Расстоянием от точки А до прямой будет длина перпендикуляра АН.

Рис. 2. АН - расстояние между точкой и прямой

Важно заметить, что АН - кратчайшее расстояние, так как в треугольнике АМН данный отрезок является катетом, а произвольный иной отрезок, соединяющий точку А и прямую а (в данном случае - это АМ) будет являться гипотенузой. Как известно, катет всегда меньше гипотенузы

Обозначение расстояния:

Рассмотрим параллельные прямые a и b, изображённые на рисунке 3

Рис. 3. Параллельные прямые a и b

Зафиксируем две точки на прямой a и опустим из них перпендикуляры на параллельную ей прямую b . Докажем, что если ,

Проведём отрезок АМ для удобства доказательства. Рассмотрим полученные треугольники АВМ и АНМ. Поскольку , а , то . Аналогично, . У данных прямоугольных треугольников () сторона АМ - общая. Она является гипотенузой в обоих треугольниках. Углы АМН и АМВ являются внутренними накрестлежащими при параллельных прямых АВ и НМ и секущей АМ. По известному свойству, .

Из всего выше изложенного следует, что . Из равенства треугольников следует, что АН = ВМ

Итак, мы доказали, что на рисунке 3 отрезки АН и ВМ равны. Это значит, что расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра, при чём выбор перпендикуляра может быть произвольным. Таким образом,

Верно и обратное утверждение: множество точек, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой прямой, образуют прямую, параллельную данной

Закрепим наши знания, решим несколько задач

Пример 1 : Задача 272 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найти расстояние от точки А до прямой ВС

Рис. 4. Чертёж к примеру 1

Решение:

Равносторонним треугольником называется треугольник с тремя равными сторонами (а значит, и с тремя равными углами, то есть - по 60 0). Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому все свойства, присущие равнобедренному треугольнику, распространяются и на равносторонний. Поэтому АD - не только биссектриса, но ещё и высота, стало быть AD ⊥BC

Поскольку расстояние от точки D до прямой АС - это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую АС, то DH - данное расстояние. Рассмотрим треугольник АНD. В нём угол Н = 90 0 , так как DH - перпендикуляр к АС (по определению расстояния от точки до прямой). Кроме этого, в данном треугольнике катет DH лежит против угла , поэтому AD = (см) (По свойству)

Расстояние от точки А до прямой ВС - это длина опущенного на прямую ВС перпендикуляра. По доказанному AD ⊥BC, значит, .

Ответ: 12 см.

Пример 2 : Задача 277 из учебника «Геометрия 7-9». Автор - Атанасян Л.С.

Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 3 см, а расстояние между параллельными прямыми a и c равно 5 см. Найдите расстояние между параллельными прямыми b и c

Решение:

Рис. 5. Чертёж к примеру 2 (первый случай)

Поскольку , то = 5 - 3 = 2 (см).

Однако данный ответ неполный. Существует и другой вариант расположения прямых на плоскости:

Рис. 6. Чертёж к примеру 2 (второй случай)

В данном случае .

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ().
Репетитор по математике ().

№ 280, 283. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. под редакцией Тихонова А. Н. Геометрия 7-9 классы. М.: Просвещение. 2010 г.
Сумма гипотенузы СЕ и катета СК прямоугольного треугольника СКЕ равна 31 см, а их разность равна 3 см. найдите расстояние от вершины С до прямой КЕ
На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что СМ - высота треугольника АВС
Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной

Расстояние

от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Геометрия, 7 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Длина перпендикуляра , проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

АН ⏊ а

М є а, М отлична от Н

Перпендикуляр , проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной , прове-денной из той же точки к этой прямой.

АМ – наклонная, проведенная из точки А к прямой а

АН АМ

АN - наклонная

АН АN

АН АK

АK - наклонная

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки М до прямой с равно …

Расстояние от точки N до прямой с равно …

Расстояние от точки K до прямой с равно …

Расстояние от точки F до прямой с равно …

Расстояние от точки до прямой

АН ⏊ а

АН = 5,2 см

ВК ⏊ а

ВК = 2,8 см

Теорема.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой

Дано: a ǁ b

А є а, В є а,

Доказать: расстояния от точек А и В до прямой а равны.

АН ⏊ b, BK ⏊ b,

Доказать: АH = BK

Δ АНК = ΔВКА (почему?)

Из равенства треугольников следует АН = ВК

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Обратная теорема.

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

АН ⏊ b, BK ⏊ b,

АH = BK

Доказать: АВ ǁ b

Δ АНК = ΔКВА (почему?)

Из равенства треугольников следует … , но это внутренние накрест лежащие углы, образованные … , значит АВ ǁ НК

Чему равно расстояние между прямыми b и с, если расстояние между прямыми а и b равно 4, а между прямыми а и с равно 5 ?

а ǁ b ǁ c

Чему равно расстояние между прямыми b и а, если расстояние между прямыми b и с равно 7, а между прямыми а и с равно 2 ?

Чему равно расстояние между прямыми а и с, если расстояние между прямыми b и с равно 10, а между прямыми b и a равно 6 ?

Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых?

а ǁ b

Ответ: Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них.

Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от неё.

Наряду с точкой и плоскостью. Это бесконечная фигура, которой можно соединить любые две точки в пространстве. Прямая всегда принадлежит какой-либо плоскости. Исходя из расположения двух прямых, следует применять разные методы поиска расстояния между ними.

Существует три варианта расположения двух прямых в пространстве друг относительно друга: они параллельны, пересекаются или . Второй вариант возможен, только если они в одной плоскости, не исключает принадлежности двум параллельным плоскостям. Третья ситуация говорит о том, что прямые лежат в разных параллельных плоскостях.

Чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, нужно определить длину перпендикулярного отрезка, соединяющего их в любых двух точках. Поскольку прямые имеют две одинаковые координаты, что следует из определения их параллельности, то уравнения прямых в двухмерном координатном пространстве можно записать так:
L1: а х + b у + с = 0;
L2: а х + b у + d = 0.
Тогда можно найти длину отрезка по формуле:
s = |с - d|/√(a² + b²), причем нетрудно заметить, что при С = D, т.е. совпадении прямых, расстояние будет равно нулю.

Понятно, что расстояние между пересекающимися прямыми в двухмерной координат не имеет смысла. Зато когда они расположены в разных плоскостях, его можно найти как длину отрезка, лежащего в плоскости, перпендикулярной им обеим. Концами этого отрезка будут точки, являющиеся проекциями любых двух точек прямых на эту плоскость. Иными , его длина равна расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. Таким образом, если плоскости заданы общими уравнениями:
α: А1 х + В1 у + С1 z + Е = 0,
β: А2 х + В2 у + С2 z + F = 0,
расстояние между прямыми можно по формуле:
s = |Е – F|/√(|А1 А2| + В1 В2 + С1 С2).

Обратите внимание

Прямые вообще и скрещивающиеся в частности интересны не только математикам. Их свойства полезны во многих других областях: в строительстве и архитектуре, в медицине и в самой природе.

Совет 2: Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Определение расстояния между двумя объектами, находящимися в одной или нескольких плоскостях, является одной из самых распространенных задач в геометрии. Руководствуясь общепринятыми методами, вы можете найти расстояние между двумя параллельными прямыми.

Инструкция

Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости, которые либо не пересекаются, либо совпадают. Для нахождения расстояния между параллельными прямыми следует выбрать произвольную точку на одной из них, после чего опустить перпендикуляр ко второй прямой. Теперь остается лишь измерить длину получившегося отрезка. Длина соединяющего две параллельные прямые перпендикуляра и будет являться расстоянием между ними.

Обратите внимание на порядок проведения перпендикуляра от одной параллельной прямой к другой, поскольку от этого зависит точность рассчитанного расстояния. Для этого воспользуйтесь чертежным инструментом «треугольником» с прямым углом. Выберите точку на одной из прямых, приложите к ней одну из сторон треугольника, примыкающих к прямому углу (катет), а вторую сторону совместите с другой прямой. Остро заточенным карандашом проведите вдоль первого катета линию так, чтобы она достигла противоположной прямой.

Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =)

Две прямые пространства могут:

1) скрещиваться;

2) пересекаться в точке ;

3) быть параллельными ;

4) совпадать.

Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости . Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости .

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим две прямые пространства:

– прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Для лучшего понимания выполним схематический чертёж:

На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые.

Как разобраться с этими прямыми?

Так как известны точки , то легко найти вектор .

Если прямые скрещиваются , то векторы не компланарны (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, будет отлично от нуля: .

В случаях № 2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы компланарны , а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: .

Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что , следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

Если направляющие векторы коллинеарны , то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны.

Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают:

Пример 11

Выяснить взаимное расположение двух прямых

Решение : как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам:

1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:

2) Найдём вектор:

Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность.

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.

Вывод: прямые параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.

Ответ :

Интересный пример для самостоятельного решения:

Пример 12

Выяснить взаимное расположение прямых

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр.

И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны;-)

Задачи с прямой в пространстве

В заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно.

Скрещивающиеся прямые

Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:

Пример 13

Даны прямые . Требуется:

а) доказать, что прямые скрещиваются;

б) найти уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно данным прямым;

в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;

г) найти расстояние между прямыми.

Решение : Дорогу осилит идущий:

а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:

Найдём вектор:

Вычислим смешанное произведение векторов :

Таким образом, векторы не компланарны , а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать.

Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего.

б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку и перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:

Для разнообразия я разместил прямую ЗА прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.

Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.

По условию прямая должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор будет ортогонален направляющим векторам . Уже знакомый из Примера № 9 мотив, найдём векторное произведение:

Составим уравнения прямой «дэ» по точке и направляющему вектору :

Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде , но необходимости в этом нет никакой.

Для проверки необходимо подставить координаты точки в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два».

Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?

в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь.

Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.

– это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:

Вот наш красавец: – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.

Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.

Решение оформим по пунктам:

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО . Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам соответствует , обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:

Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных.

2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде:

Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:

Или:

3) Вектор , как и ранее найденный вектор , будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников . Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Есть две точки: .

Находим вектор:

4) Поскольку направляющие векторы коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:

Или покоординатно:

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера . Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение:

Таким образом: , а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.

5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения в наши точки:

Направляющий вектор особо не нужен, так как уже найден его коллега .

После длинного пути всегда интересно выполнить проверку.

:

Получены верные равенства.

Подставим координаты точки в уравнения :

Получены верные равенства.

6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой по точке (можно взять ) и направляющему вектору :

В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

г) Срубаем четвёртую голову дракона.

Способ первый . Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: .

Крайние точки общего перпендикуляра найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:

Способ второй . На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр.

В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
(вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых).

Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: .

Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: , вычислим его длину:

Таким образом:

Гордо выложим трофеи в один ряд:

Ответ :
а) , значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать;
б) ;
в) ;
г)

Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе:

Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости:

Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения . И сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!

Как найти точку пересечения пространственных прямых?

Пример 14

Найти точку пересечения прямых

Решение : Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:

Данная задача подробно рассматривалась в Примере № 7 данного урока (см. Уравнения прямой в пространстве ). А сами прямые, к слову, я взял из Примера № 12. Врать не буду, новые лень придумывать.

Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Точка пересечения прямых принадлежит прямой , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра :

Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:

Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:

Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере № 12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса , но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение:

Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда:

Подставим найденное значение параметра в уравнения:

Ответ :

Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения:
Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Дотошные читатели могу подставить координаты точки и в исходные канонические уравнения прямых.

Кстати, можно было поступить наоборот: точку найти через «эс нулевое», а проверить – через «тэ нулевое».

Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами.

Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?

(прямые пересекаются)

Пример 15

а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой (прямые пересекаются).

б) Найти расстояние от точки до прямой .

Примечание : оговорка «прямые пересекаются» – существенна . Через точку
можно провести бесконечно много перпендикулярных прямых, которые будут скрещиваться с прямой «эль». Единственное решение имеет место в случае, когда через данную точку проводится прямая, перпендикулярная двум заданным прямым (см. Пример № 13, пункт «б»).

а) Решение : Неизвестную прямую обозначим через . Выполним схематический чертёж:

Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, необходимо найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор , им и займемся. Точнее, возьмём за шкирку неизвестный конец вектора.

1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме:

Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра:

Или одной строкой:

2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю:

Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:

3) Значение параметра известно, найдём точку:

И направляющий вектор:
.

4) Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :

Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2:

Ответ :

Примечание : более строгая концовка решения оформляется так: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору . Действительно, если вектор является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор , естественно, тоже будет направляющим вектором данной прямой.

Проверка состоит из двух этапов:

1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;

2) подставляем координаты точки в уравнения каждой прямой, они должны «подходить» и там и там.

О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике.

Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости . Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате.

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

б) Решение : Найдём расстояние от точки до прямой .

Способ первый . Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки , то:

Способ второй . В практических задачах основание перпендикуляра частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой.

Расстояние от точки до прямой выражается формулой:
, где – направляющий вектор прямой «эль», а – произвольная точка, принадлежащая данной прямой.