Вектор - это математический объект, который характеризуется направлением и величиной. В геометрии вектором называется отрезок прямой на плоскости или в пространстве, который имеет свое определенное направление и длину.
Для обозначения вектора используется либо одна строчная буква либо две прописных, которые соответствуют началу и концу вектора, при этом над буквами изображается горизонтальная черточка. Первая буква обозначает начало вектора, вторая - конец (смотрите рисунок 1). На графическом отображении вектора изображается стрелка, указывающая его направление.
Координаты вектора - это коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат. Звучит сложно, однако на деле довольно просто. Разберем на примере.
Допустим, нам требуется найти координаты вектора а. Поместим его в трехмерную систему координат (см. рисунок 2) и выполним проекции вектора на каждую ось. Вектор а в данном случае запишется так: a= a x i+ a y j+ a z k, где i, j, k - базисные векторы, a x , a y , a z - коэффициенты, которые и определяют координаты вектора а. Само выражение будет называться линейной комбинацией. На плоскости (в прямоугольной системе координат) линейная комбинация будет состоять из двух базисов и коэффициентов.
В теории векторов существует такой термин, как отношение векторов. Данное понятие определяет расположение векторов относительно друг друга на плоскости и в пространстве. Наиболее известные частные случаи отношений векторов:
Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или параллельны друг другу, для сонаправленных векторов характерно одинаковое направление, для компланарных - расположение в одной плоскости или в параллельных плоскостях, равные вектора имеют одинаковое направление и длину.
Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18
метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения 
направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8
м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:
Вот другой пример.
Автомобиль движется из A
в B
. Конечный результат - его перемещение из точки A
в точку B
, то есть перемещение на вектор .
Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными
называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным
называется вектор, длина которого равна 1
. Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x
и y
, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:
Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x
и по y
.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
Для сложения векторов есть два способа.
1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .
При сложении векторов и получаем:
Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .
При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.
В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.
Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вектор (от лат. «vector » – «несущий») – направленный отрезок прямой в пространстве или на плоскости.
Графически вектор изображается в виде направленного отрезка прямой определенной длины. Вектор, начало которого находится в точке , а конец – в точке , обозначается как (рис. 1). Также вектор можно обозначать одной маленькой буквой, например, .
Если в пространстве задана система координат, то вектор можно однозначно задать набором своих координат. То есть под вектором понимается объект, который имеет величину (длину), направление и точку приложения (начало вектора).
Начала векторного исчисления появились в работах в 1831 году в работах немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Иоганна Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). Работы, посвященные операциям с векторами, опубликовал ирландский математик, механик и физик-теоретик, сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865) в рамках своего кватернионного исчисления. Ученый предложил термин «вектор» и описал некоторые операции над векторами. Векторное исчисление получило свое дальнейшее развитие благодаря работам по электромагнетизму британского физика, математика и механика Джеймса Клерка Максвелла (1831-1879). В 1880-х годах увидела свет книга «Элементы векторного анализа» американского физика, физикохимика, математика и механика Джозайя Уилларда Гиббса (1839-1903). Современный векторный анализ был описан в 1903 году в работах английского ученого-самоучки, инженера, математика и физика Оливера Хевисайда (1850-1925).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Длиной или модулем вектора называется длина направленного отрезка, определяющего вектор. Обозначается как .
Нулевым вектором называется вектор , у которого начальная точка и конечная точка совпадают. Длина нулевого вектора равна нулю.
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называют коллинеарными (рис. 2).
сонаправленными , если их направления совпадают.
На рисунке 2 – это векторы и . Сонаправленность векторов обозначается следующим образом: .
Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными , если их направления противоположны.
На рисунке 3 – это векторы и . Обозначение: .
ВЕКТОР
В физике и математике вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Их можно противопоставить другим величинам, таким, как масса, объем, давление, температура и плотность, которые можно описать обычным числом, и называются они "скалярами". Векторная запись используется при работе с величинами, которые невозможно задать полностью с помощью обычных чисел. Например, мы хотим описать положение предмета относительно некоторой точки. Мы можем сказать, сколько километров от точки до предмета, но не можем полностью определить его местоположение, пока не узнаем направление, в котором он находится. Таким образом, местонахождение предмета характеризуется численным значением (расстоянием в километрах) и направлением. Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины, как на рис. 1. Например, для того чтобы представить графически силу в пять килограммов, надо нарисовать отрезок прямой длиной в пять единиц в направлении действия силы. Стрелка указывает, что сила действует от A к B; если бы сила действовала от B к A, то мы бы записали или Для удобства векторы обычно обозначаются полужирными прописными буквами (A, B, C и так далее); векторы A и -A имеют равные численные значения, но противоположны по направлению. Численное значение вектора А называется модулем или длиной и обозначается A или |A|. Это величина, конечно, скаляр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается O.
Два вектора называются равными (или свободными), если их модули и направления совпадают. В механике и физике этим определением, однако, надо пользоваться с осторожностью, так как две равных силы, приложенные к различным точкам тела в общем случае будут приводить к различным результатам. В связи с этим векторы подразделяются на "связанные" или "скользящие", следующим образом: Связанные векторы имеют фиксированные точки приложения. Например, радиус-вектор указывает положение точки относительно некоторого фиксированного начала координат. Связанные векторы считаются равными, если у них совпадают не только модули и направления, но они имеют и общую точку приложения. Скользящими векторами называются равные между собой векторы, расположенные на одной прямой.
Сложение векторов.
Идея сложения векторов возникла из того, что мы можем найти единственный вектор, который оказывает то же воздействие, что и два других вектора вместе. Если для того, чтобы попасть в некоторую точку, нам надо пройти сначала A километров в одном направлении и затем B километров в другом направлении, то мы могли бы достичь нашей конечной точки пройдя C километров в третьем направлении (рис. 2). В этом смысле можно сказать, что
Мы можем складывать любое число векторов, причем порядок слагаемых не влияет на результат. Верно и обратное: любой вектор раскладывается на две или более "компоненты", т.е. на два вектора или более, которые, будучи сложенными, в качестве результирующего дадут исходный вектор. Например, на рис. 2, A и B - компоненты C. Многие математические действия с векторами упрощаются, если разложить вектор на три компоненты по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Выберем правую систему декартовых координат с осями Ox, Oy и Oz как показано на рис. 5. Под правой системой координат мы подразумеваем, что оси x, y и z располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. Из одной правой системы координат всегда можно получить другую правую систему координат соответствующим вращением. На рис. 5, показано разложение вектор A на три компоненты и Они в сумме составляют вектор A , так как
Следовательно,
Можно было бы также сначала сложить и получитьа затем к прибавить Проекции вектора А на три координатные оси, обозначенные Ax, Ay и Az называются "скалярными компонентами" вектора A:
где a, b и g - углы между A и тремя координатными осями. Теперь введем три вектора единичной длины i, j и k (орты), имеющие то же самое направление, что и соответствующие оси x, y и z. Тогда, если Ax умножить на i, то полученное произведение - это вектор, равный и
Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие скалярные компоненты. Таким образом, A = B тогда и только тогда, когда Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Два вектора можно сложить, складывая их компоненты:
Кроме того, по теореме Пифагора:
Линейные функции. Выражение aA + bB, где a и b - скаляры, называется линейной функцией векторов A и B. Это вектор, находящийся в той же плоскости, что A и B; если A и B не параллельны, то при изменении a и b вектор aA + bB будет перемещаться по всей плоскости (рис. 6). Если A, B и C не все лежат в одной плоскости, то вектор aA + bB + cC (a, b и c изменяются) перемещается по всему пространству. Предположим, что A, B и C - единичные векторы i, j и k. Вектор ai лежит на оси x; вектор ai + bj может перемещаться по всей плоскости xy; вектор ai + bj + ck может перемещаться по всему пространству.
а можно было бы продолжать до пяти, шести или любого числа измерений. Хотя визуально такой вектор представить невозможно, никаких математических трудностей здесь не возникает. Такая запись часто бывает полезна; например, состояние движущейся частицы описывается шестимерным вектором P (x, y, z, px, py, pz), компоненты которого - ее положение в пространстве (x, y, z) и импульс (px, py, pz). Такое пространство называется "фазовым пространством"; если мы рассматриваем две частицы, то фазовое пространство 12-мерное, если три, то 18-ти и так далее. Число размерностей можно неограниченно увеличивать; при этом величины, с которыми мы будем иметь дело, ведут себя во многом также, как те, которые мы рассмотрим в оставшейся части этой статьи, а именно, трехмерные векторы.
Умножение двух векторов.
Правило сложения векторов было получено путем изучения поведения величин, представленных векторами. Нет никаких видимых причин, по которым два вектора нельзя было бы каким-либо образом перемножить, однако это умножение будет иметь смысл только в том случае, если можно показать его математическую состоятельность; кроме того, желательно, чтобы произведение имело определенный физический смысл. Существуют два способа умножения векторов, которые соответствуют этим условиям. Результатом одного из них является скаляр, такое произведение называется "скалярным произведением" или "внутренним произведением" двух векторов и записывается AЧB или (A, B). Результатом другого умножения является вектор, называемый "векторным произведением" или "внешним произведением" и записывается A*B или []. Скалярные произведения имеют физический смысл для одного-, двух- или трех измерений, тогда как векторные произведения определены только для трех измерений.
Скалярные произведения.
Если под действием некоторой силы F точка, к которой она приложена, перемещается на расстояние r, то выполненная работа равна произведению r и компоненты F в направлении r. Эта компонента равна F cos бF, rс, где бF, rс - угол между F и r, т.е. Произведенная работа = Fr cos бF, rс. Это - пример физического обоснования скалярного произведения, определенного для любых двух векторов A, B посредством формулы
A*B = AB cos бA, Bс.
Так как все величины правой части уравнения - скаляры, то A*B = B*A; следовательно, скалярное умножение коммутативно. Скалярное умножение также обладает свойством дистрибутивности: A*(B + С) = A*B + A*С. Если векторы A и B перпендикулярны, то cos бA, Bс равен нулю, и, поэтому, A*B = 0, даже если ни A, ни B не равны нулю. Именно поэтому мы не можем делить на вектор. Допустим, что мы разделили обе части уравнения A*B = A*C на A. Это дало бы B = C, и, если бы можно было бы выполнить деление, то это равенство стало бы единственным возможным результатом. Однако, если мы перепишем уравнение A*B = A*C в виде A*(B - C) = 0 и вспомним, что (B - C) - вектор, то ясно, что (B - C) необязательно равен нулю и, следовательно, B не должен быть равным C. Эти противоречивые результаты показывают, что векторное деление невозможно. Скалярное произведение дает еще один способ записи численного значения (модуля) вектора: A*A = AA*cos 0° = A2;
поэтому
Скалярное произведение можно записать и другим способом. Для этого вспомним, что: A = Ax i + Ayj + Azk. Заметим, что
Тогда,
Поскольку последнее уравнение содержит x, y и z в качестве нижних индексов, уравнение, казалось бы, зависит от выбранной конкретной системы координат. Однако это не так, что видно из определения, которое не зависит от выбранных координатных осей.
Векторные произведения.
Векторным или внешним произведением векторов называется вектор, модуль которого равен произведению их модулей на синус угла, перпендикулярный исходным векторам и составляющий вместе с ними правую тройку. Это произведение легче всего ввести, рассматривая соотношение между скоростью и угловой скоростью. Первая - вектор; мы теперь покажем, что последнюю также можно интерпретировать как вектор. Угловая скорость вращающегося тела определяется следующим образом: выберем любую точку на теле и проведем перпендикуляр из этой точки до оси вращения. Тогда угловая скорость тела - это число радиан, на которые эта линия повернулась за единицу времени. Если угловая скорость - вектор, она должна иметь численное значение и направление. Численное значение выражается в радианах в секунду, направление можно выбрать вдоль оси вращения, можно его определить, направив вектор в том направлении, в котором двигался бы правосторонний винт при вращении вместе с телом. Рассмотрим вращение тела вокруг фиксированной оси. Если установить эту ось внутри кольца, которое в свою очередь закреплено на оси, вставленной внутрь другого кольца, мы можем придать вращение телу внутри первого кольца с угловой скоростью w1 и затем заставить внутреннее кольцо (и тело) вращаться с угловой скоростью w2. Рисунок 7 поясняет суть дела; круговые стрелки показывают направления вращения. Данное тело - это твердая сфера с центром О и радиусом r.
Рис. 7. СФЕРА С ЦЕНТРОМ O, вращается с угловой скоростью w1 внутри кольца BC, которое, в свою очередь, вращается внутри кольца DE с угловой скоростью w2. Сфера вращается с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей и все точки на прямой POP" находятся в состоянии мгновенного покоя.
Это расстояние равно нулю, если
В этом случае точка P находится в состоянии мгновенного покоя, и точно также все точки на прямой POP". Остальная часть сферы будет в движении (окружности, по которым перемещаются другие точки, не касаются, а пересекаются). POPў является, таким образом, мгновенной осью вращения сферы, подобно тому, как колесо, катящееся по дороге в каждый момент времени, вращается относительно своей нижней точки. Чему равна угловая скорость сферы? Выберем для простоты точку A, в которой ось w1 пересекает поверхность. В момент времени, который мы рассматриваем, она перемещается за время Dt на расстояние
По кругу радиуса r sin w1. По определению, угловая скорость
Из этой формулы и соотношения (1) мы получим
Другими словами, если записать численное значение и выбрать направление угловой скорости так, как это описано выше, то эти величины складываются как векторы и могут быть рассмотрены как таковые. Теперь можно ввести векторное произведение; рассмотрим тело, вращающееся с угловой скоростью w. Выберем любую точку P на теле и любое начало координат О, которое находится на оси вращения. Пусть r - вектор, направленный от О к P. Точка P движется по окружности со скоростью V = w r sin (w, r). Вектор скорости V является касательным к окружности и указывает в направлении, показанном на рис. 8.
Посмотрим, как записывается векторное произведение в терминах компонент и единичных векторов. Прежде всего, для любого вектора A, A * A = AA sin 0 = 0.
Следовательно, в случае единичных векторов, i * i = j * j = k * k = 0 и i * j = k, j * k = i, k * i = j. Тогда,
Это равенство также можно записать в виде определителя:
Если A * B = 0, то либо A или B равно 0, либо A и B коллинеарны. Таким образом, как и в случае скалярного произведения, деление на вектор невозможно. Величина A * B равна площади параллелограмма со сторонами A и B. Это легко видеть, так как B sin бA, Bс - его высота и A - основание. Существует много других физических величин, которые являются векторными произведениями. Одно из наиболее важных векторных произведений появляется в теории электромагнетизма и называется вектором Пойтинга P. Этот вектор задается следующим образом: P = E * H, где E и H - векторы электрического и магнитного полей соответственно. Вектор P можно рассматривать как заданный поток энергии в ваттах на квадратный метр в любой точке. Приведем еще несколько примеров: момент силы F (крутящий момент) относительно начала координат, действующей на точку, радиус-вектор которой r, определяется как r * F; частица, находящаяся в точке r, массой m и скоростью V, имеет угловой момент mr * V относительно начала координат; сила, действующая на частицу, несущую электрический заряд q через магнитное поле B со скоростью V, есть qV * B.
Тройные произведения.
Из трех векторов мы можем сформировать следующие тройные произведения: вектор (A*B) * C; вектор (A * B) * C; скаляр (A * B)*C. Первый тип - произведение вектора C и скаляра A*B; о таких произведениях мы уже говорили. Второй тип называется двойным векторным произведением; вектор A * B перпендикулярен к плоскости, где лежат A и B, и поэтому (A * B) * C - вектор, лежащий в плоскости A и B и перпендикулярный C. Следовательно, в общем случае, (A * B) * C не равно A * (B * C). Записав A, B и C через их координаты (компоненты) по осям x, y и z и умножив, можно показать, что A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A*B). Третий тип произведения, который возникает при расчетах решетки в физике твердого тела, численно равен объему параллелепипеда с ребрами A, B, C. Так как (A * B)*C = A*(B * C), знаки скалярного и векторного умножений можно менять местами, и произведение часто записывается как (A B C). Это произведение равно определителю
Заметим, что (A B C) = 0, если все три вектора лежат в одной и той же плоскости или, если А = 0 или (и) В = 0 или (и) С = 0.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРА
Предположим, что вектор U является функцией одной скалярной переменной t. Например, U может быть радиус-вектором, проведенным из начала координат до перемещающейся точки, а t - временем. Пусть t изменится на небольшую величину Dt, что приведет к изменению U на величину DU. Это показано на рис. 9. Отношение DU/Dt - вектор, направленный в том же направлении, что и DU. Мы можем определить производную U по t, как
при условии, что такой предел существует. С другой стороны, можно представить U как сумму компонент по трем осям и записать
Если U - радиус-вектор r, то dr/dt - скорость точки, выраженная как функция времени. Продифференцировав по времени еще раз, мы получим ускорение. Предположим, что точка перемещается вдоль кривой, показанной на рис. 10. Пусть s - расстояние, пройденное точкой вдоль кривой. В течение малого интервала времени Dt точка пройдет расстояние Ds вдоль кривой; положение радиус-вектора изменится на Dr. Следовательно Dr/Ds - вектор направленный как Dr. Далее
есть единичный вектор, касательный к кривой. Это видно из того, что при приближении точки Q к точке P, PQ приближается к касательной и Dr приближается к Ds. Формулы для дифференцирования произведения подобны формулам для дифференцирования произведения скалярных функций; однако, так как векторное произведение антикоммутативно, порядок умножения должен быть сохранен. Поэтому,
Таким образом, мы видим, что, если вектор является функцией одной скалярной переменной, то мы можем представить производную почти также, как в случае скалярной функции.
Вектор и скалярные поля. Градиент.
В физике часто приходится иметь дело с векторными или скалярными величинами, которые меняются от точки к точке в заданной области. Такие области называются "полями". Например, скаляр может быть температурой или давлением; вектор может быть скоростью движущейся жидкости или электростатическим полем системы зарядов. Если мы выбрали некоторую систему координат, то любой точке P (x, y, z) в заданной области соответствует некоторый радиус-вектор r (= xi + yj + zk) и также значение векторной величины U (r) или скаляра f (r), связанных с ним. Предположим, что U и f определены в области однозначно; т.е. каждой точке соответствует одна и только одна величина U или f, хотя различные точки могут, конечно, иметь различные значения. Допустим, что мы хотим описать скорость, с которой U и f изменяются при передвижении по этой области. Простые частные производные, такие, как dU/dx и df/dy, нас не устраивают, потому что они зависят от конкретно выбранных координатных осей. Однако можно ввести векторный дифференциальный оператор, независимый от выбора осей координат; этот оператор называется "градиентом". Пусть мы имеем дело со скалярным полем f. Сначала в качестве примера рассмотрим контурную карту области страны. В этом случае f - высота над уровнем моря; контурные линии соединяют точки с одним и тем же значением f. При движении вдоль любой из этих линий f не меняется; если двигаться перпендикулярно этим линиям, то скорость изменения f будет максимальной. Мы можем каждой точке сопоставить вектор, указывающий величину и направление максимального изменения скорости f; такая карта и некоторые из этих векторов показаны на рис. 11. Если мы проделаем это для каждой точки поля, то получим векторное поле, связанное со скалярным полем f. Это поле вектора, называемого "градиентом" f, который записывается как grad f или Сf (символ С также называется "набла").
где точками обозначены члены более высоких порядков. Это выражение можно записать в виде скалярного произведения
Разделим правую и левую части этого равенства на Ds, и пусть Ds стремится к нулю; тогда
где dr/ds - единичный вектор в выбранном направлении. Выражение в круглых скобках - вектор, зависящий от выбранной точки. Таким образом, df/ds имеет максимальное значение, когда dr/ds указывает в том же направлении, выражение, стоящее в скобках, является градиентом. Таким образом,
- вектор, равный по величине и совпадающий по направлению с максимальной скоростью изменения f относительно координат. Градиент f часто записывается в виде
Это означает, что оператор С существует сам по себе. Во многих случаях он ведет себя как вектор и фактически является "векторным дифференциальным оператором" - одним из наиболее важных дифференциальных операторов в физике. Несмотря на то, что С содержит единичные векторы i, j и k, его физический смысл не зависит от выбранной системы координат. Какова связь между Сf и f? Прежде всего предположим, что f определяет потенциал в любой точке. При любом малом смещении Dr величина f изменится на
Если q - величина (например масса, заряд), перемещенная на Dr, то работа, выполненная при перемещении q на Dr равна
Так как Dr - перемещение, то qСf - сила; -Сf - напряженность (сила на единицу количества), связанная с f. Например, пусть U - электростатический потенциал; тогда E - напряженность электрического поля, задается формулой E = -СU. Допустим, что U создается точечным электрическим зарядом в q кулонов, помещенным в начало координат. Значение U в точке P (x, y, z) с радиус-вектором r задается формулой
Где e0 - диэлектрическая постоянная свободного пространства. Поэтому
откуда следует, что E действует в направлении r и его величина равна q/(4pe0r3). Зная скалярное поле, можно определить связанное с ним векторное поле. Также возможно и обратное. С точки зрения математической обработки скалярными полями оперировать легче, чем векторными, так как они задаются одной функцией координат, в то время как векторное поле требует три функции, соответствующие компонентам вектора в трех направлениях. Таким образом, возникает вопрос: дано векторное поле, может ли мы записать связанное с ним скалярное поле?
Дивергенция и ротор.
Мы видели результат действия С на скалярную функцию. Что произойдет, если С применить к вектору? Имеются две возможности: пусть U (x, y, z) - вектор; тогда мы можем образовать векторное и скалярное произведения следующим образом:
Первое из этих выражений - скаляр, называемый дивергенцией U (обозначается divU); второе - вектор, названный ротор U (обозначается rotU). Эти дифференциальные функции, дивергенция и ротор, широко используются в математической физике. Представьте, что U - некоторый вектор и что он и его первые производные непрерывны в некоторой области. Пусть P - точка в этой области, окруженная малой замкнутой поверхностью S, ограничивающей объем DV. Пусть n - единичный вектор, перпендикулярный к этой поверхности в каждой точке (n меняет направление при движении вокруг поверхности, но всегда имеет единичную длину); пусть n направлен наружу. Покажем, что
Здесь S указывает, что эти интегралы берутся по всей поверхности, da - элемент поверхности S. Для простоты мы выберем удобную для нас форму S в виде небольшого параллелепипеда (как показано на рис. 12) со сторонами Dx, Dy и Dz; точка P - центр параллелепипеда. Вычислим интеграл из уравнения (4) сначала по одной грани параллелепипеда. Для передней грани n = i (единичный вектор параллелен оси x); Da = DyDz. Вклад в интеграл от передней грани равен
На противоположной грани n = -i; эта грань дает вклад в интеграл
Используя теорему Тейлора, получим общий вклад от двух граней
Заметим, что DxDyDz = DV. Аналогичным образом можно вычислить вклад от двух других пар граней. Полный интеграл равен
и если мы положим DV (r) 0, то члены более высокого порядка исчезнут. По формуле (2) выражение в скобках - это divU, что доказывает равенство (4). Равенство (5) можно доказать таким же образом. Воспользуемся снова рис. 12; тогда вклад от передней грани в интеграл будет равен
И, используя теорему Тейлора, получим, что суммарный вклад в интеграл от двух граней имеет вид
т.е. это два члена из выражения для rotU в уравнении (3). Другие четыре члена получатся после учета вкладов от других четырех граней. Что, в сущности, означают эти соотношения? Рассмотрим равенство (4). Предположим, что U - скорость (жидкости, например). Тогда nЧU da = Un da, где Un является нормальной компонентой вектора U к поверхности. Поэтому, Un da - это объем жидкости, протекающей через da в единицу времени, а- это объем жидкости, вытекающей через S в единицу времени. Следовательно,
Скорость расширения единицы объема вокруг точки P. Отсюда дивергенция получила свое название; она показывает скорость, с которой жидкость расширяется из (т.е. расходится от) P. Чтобы объяснить физическое значение ротора U, рассмотрим другой поверхностный интеграл по маленькому цилиндрическому объему высотой h, окружающему точку P; плоско-параллельные поверхности могут быть ориентированы в любом направлении, которое мы выбираем. Пусть k -единичный вектор перпендикулярный к каждой поверхности, и пусть площадь каждой поверхности DA; тогда полный объем DV = hDA (рис. 13). Рассмотрим теперь интеграл
Подынтегральное выражение - уже упоминавшееся ранее тройное скалярное произведение. Это произведение будет равно нулю на плоских поверхностях, где k и n параллельны. На кривой поверхности
Где ds - элемент кривой как показано на рис. 13. Сравнивая эти равенства с соотношением (5), получаем, что
Мы по-прежнему предполагаем, что U - скорость. Чему в таком случае будет равна средняя угловая скорость жидкости вокруг k? Очевидно, что
если DA не равно 0. Это выражение максимально, когда k и rotU указывают в одном и том же направлении; это означает, что rotU - вектор, равный удвоенной угловой скорости жидкости в точке P. Если жидкость вращается относительно P, то rotU № 0, и векторы U будут вращаться вокруг P. Отсюда и возникло название ротора. Теорема дивергенции (теорема Остроградского - Гаусса) является обобщением формулы (4) для конечных объемов. Она утверждает, что для некоторого объема V, ограниченного замкнутой поверхностью S,
Такое понятие, как вектор, рассматривается практически во всех естественных науках, причем он может иметь совершенно разное значение, поэтому дать однозначное определение вектора для всех областей невозможно. Но попробуем разобраться. Итак, вектор - что такое?
Вектор в геометрии - отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая - концом. То есть, говоря проще, вектором называется направленный отрезок.
Соответственно, обозначается вектор (что такое - рассмотрели выше), как и отрезок, то есть двумя заглавными буквами латинского алфавита с добавлением сверху черты или стрелки, направленной вправо. Также его можно подписать строчной (маленькой) буквой латинского алфавита с чертой или стрелкой. Стрелка всегда направлена вправо и не меняется в зависимости от расположения вектора.
Таким образом, вектор имеет направление и длину.
В обозначении вектора содержится и его направление. Выражается это так, как на рисунке ниже.
Изменение направления меняет значение вектора на противоположное.
Длиной вектора называется длина отрезка, от которого он образован. Обозначается он как модуль от вектора. Это показано на рисунке ниже.
Соответственно, нулевым является вектор, длина которого равна нулю. Из этого следует, что нулевой вектор представляет собой точку, при чем в ней совпадают точки начала и конца.
Длина вектора - величина всегда не отрицательная. Иначе говоря, если есть отрезок, то он в обязательном порядке обладает некоторой длиной или же является точкой, тогда его длина равна нулю.
Само понятие точки является базовым и определения не имеет.
Существуют специальные формулы и правила для векторов, с помощью которых можно выполнить сложение.
Правило треугольника. Для сложения векторов по этому правилу достаточно совместить конец первого вектора и начала второго, используя при этом параллельный перенос, и соединить их. Полученный третий вектор и будет равен сложению двух других.
Правило параллелограмма. Для сложения по этому правилу необходимо провести оба вектора из одной точки, а затем провести из конца каждого из них другой вектор. То есть, из первого вектора будет проведен второй, а из второго - первый. В результате получится новая точка пересечения и образуется параллелограмм. Если совместить точку пересечения начал и концов векторов, то полученный вектор и будет результатом сложения.
Похожим образом возможно выполнять и вычитание.
Аналогично сложению векторов возможно выполнить и их вычитание. Оно базируется на принципе, указанном на рисунке ниже.
То есть вычитаемый вектор достаточно представить в виде вектора, ему противоположного, и произвести расчет по принципам сложения.
Также абсолютно любой ненулевой вектор возможно умножить на какое-либо число k, это изменит его длину в k раз.
Помимо этих, существуют и другие формулы векторов (например, для выражения длины вектора через его координаты).
Наверняка многие сталкивались с таким понятием, как коллинеарный вектор. Что такое коллинеарность?
Коллинеарность векторов - эквивалент параллельности прямых. Если два вектора лежат на прямых, которые параллельны друг другу, или же на одной прямой, то такие векторы называются коллинеарными.
Направление. Относительно друг друга коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными, это определяется направлением векторов. Соответственно, если вектор сонаправлен с другим, то вектор, ему противоположный, противоположно направлен.
На первом рисунке показаны два противоположно направленных вектора и третий, который не коллинеарен им.
После введения вышеуказанных свойств возможно дать определение и равным векторам - это векторы, которые направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину отрезков, от которых они образованы.
Во многих науках применяется еще и понятие радиус-вектора. Подобный вектор описывает положение одной точки плоскости относительно другой фиксированной точки (зачастую это начало координат).
Предположим, при решении задачи возникло условие: тело движется со скоростью 3 м/с. Это означает, что тело движется с конкретным направлением по одной прямой, поэтому данная переменная будет величиной векторной. Для решения важно знать и значение, и направление, так как в зависимости от рассмотрения скорость может равняться и 3 м/c, и -3 м/с.
В общем случае вектор в физике используется для указания направления силы, действующей на тело, и для определения равнодействующей.
При указании этих сил на рисунке их обозначают стрелками с подписью вектора над ним. Классически длина стрелки так же важна, с помощью нее указывают, какая сила действует сильнее, однако это свойство побочное, опираться на него не стоит.
Элементы линейных пространств также называются векторами, однако в данном случае они представляют собой упорядоченную систему чисел, описывающих некоторые из элементов. Поэтому направление в данном случае уже не имеет никакой важности. Определение вектора в классической геометрии и в математическом анализе сильно различаются.
Спроецированный вектор - что такое?
Довольно часто для правильного и удобного расчета необходимо разложить вектор, находящийся в двухмерном или трехмерном пространстве, по осям координат. Данная операция необходима, например, в механике при подсчете сил, действующих на тело. Вектор в физике используется достаточно часто.
Для выполнения проекции достаточно опустить перпендикуляры из начала и конца вектора на каждую из координатных осей, полученные на них отрезки и будут называться проекцией вектора на ось.
Для подсчета длины проекции достаточно умножить его изначальную длину на определенную тригонометрическую функцию, которая получается при решении мини-задачи. По сути, есть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза является исходным вектором, один из катетов - проекцией, а другой катет - опущенным перпендикуляром.
