Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Никомах Герасский, знаменитый философ и математик, писал: " Совершенные числа красивы. Но известно, что вещи редки и немногочисленны, безобразные встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного" Но, сколько их, Никомах, живший в первом столетии нашей эры не знал.
Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число).
Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число "6". На шестом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый почетный гость. В библейских преданиях утверждается, что мир был создан в шесть дней, ведь более совершенного числа, среди совершенных чисел, чем "6", нет, поскольку оно первое среди них.
Рассмотрим число 6. Число имеет делители 1, 2, 3 и само число 6. Если сложить делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3 то мы получим 6. Значит, число 6 дружественно самому себе и является первым совершенным числом.
Следующим совершенным числом, известным древним, было "28". Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число "28" - совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть.
Благодаря своей формуле, Евклид сумел найти еще два совершенных числа: 496 и 8128.
Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать еще числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида.
Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел.
Все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенные число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник.
Все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 1 3 + 3 3 + 5 3 …
Сумма обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2.
Кроме того, совершенство чисел тесно связано с двоичностью. Числа: 4=22, 8 = 2? 2? 2, 16 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 и т.д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2n, где n - число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть "не достают" до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа.
Все совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.
Властивості простих чисел
Взаємно прості числа -- натуральні або цілі числа, які не мають спільних дільників більших за 1, або, інакше кажучи, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1. Таким чином, 2 і 3 -- взаємно прості, а 2 і 4 -- ні (діляться на 2)...
Математика в средние века
Необходимым условием применения метода фан-чэн к системам уравнений было введение отрицательных чисел. Например, при решении системы, получаем таблицу. Следующий шаг: вычитание элементов третьего столбца справа из элементов первого...
Введем новое недействительное число, квадрат которого равен -1. Это число обозначим символом Я и назовем мнимой единицей. Итак, (2.1) Тогда. (2.2) 1. Алгебраическая форма комплексного числа Если, то число (2.3) называется комплексным числом...
Рекуррентно заданные числовые последовательности
При решении многих задач часто приходится сталкиваться с последовательностями, заданными рекуррентно, но, в отличии от последовательности Фибоначчи, не всегда возможно получить её аналитическое задание...
Решение математических задач средствами Excel
Древние греки первыми установили, что число «6» равно сумме всех делителей, исключая само это число: 6=1+2+3. Из-за этого свойства они назвали число «6» совершенным и поставили вопрос, сколько всего существует совершенных чисел?
Легко было обнаружено проверкой второе совершенное число «28»: 1+2+4+7+14=28. Затем Эвклид доказав что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения 2 n-1 (2 n -1), где 2 n -1есть простое число, является совершенным числом. В случае n=2 и n=3, числа 2 2 -1=3 и 2 3 -1=7 простые, поэтому 2 1 (2 2 - 1) =6 и 2 2 (2 3 - 1) =28 - совершенные числа. Формула помогла обнаружить еще два совершенных числа (n=5, n=7).
Но отыскание дальнейших совершенных чисел этим способом казалось делом трудным. Николай Геразский (I век н. э.) писал: Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного.
В течение столетий авторы, писавшие о совершенных числах, интересовались больше суевериями и фантазиями, связанными с этими числами, чем их математической природой. Например, в диалогах Платона число «6» занимает особое место. У римлян на пирах самым почетным местом было шестое.
В Риме при подземных работах в 1917 году была обнаружена постройка - общий зал с кельями вокруг него. Оказалось, что это здание - помещение неопифагорийской академии, в которой было 28 членов.
По религиозным преданиям мир был создан за 6 дней. Английский богослов VIII века Алкуин учил, что человечество, происшедшее после потопа от 8 лиц, бывших в ковчеге Ноя, менее совершенно, чем до потопа, так как «8» - число несовершенное. В XII веке церковники рекомендовали изучение совершенных чисел для спасения души.
Если первые четыре совершенных числа были известны в глубокой древности, то пятое совершенное число (n=13, 2 12 (2 13 -1) =33 550 336) было обнаружено лишь в XV веке, более чем через полторы тысячи лет после Евклида.
В 1644 году французский математик Марин Мерсенн объявил, не приводя доказательства, что первыми одиннадцатью совершенными числами вида 2 n-1 (2 n -1) являются числа, отвечающие следующим значениям n: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Математикам того времени было очевидно, что Мерсенн не мог проверить непосредственным вычислением простоту чисел 2 n -1 при всех указанных значениях n. Непосредственно удалось проверить только первые три из указанных Мерсенном шести новых совершенных чисел. Они действительно оказались совершенными. Вот эти числа: 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128
В 1876 году французский математик Э. Люка указал метод, позволяющий проверить простоту числа без выполнения деления его на всевозможные простые делители. Он же установил, что число 2 127 -1 является простым числом. Этот результат был правильно предсказан Мерсенном, однако в других случаях он ошибся. Было установлено, что показатели n = 67 и n = 257 вопреки указанию Мерсенна не дают совершенных чисел, но их дают не указанные Мерсенном показатели 61, 89 и 107.
P. S. О чем еще говорят британские ученые: о том, что знание теории совершенных чисел может даже помочь на ОГЭ по математике онлайн , не говоря уж о простых математических экзаменах.
33 550 336 , 8 589 869 056 , 137 438 691 328 , 2 305 843 008 139 952 128 , 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 , 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 , …
Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида , где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна) . Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.
Первые четыре совершенных числа (соответствующие р = 2, 3, 5 и 7) приведены в Арифметике Никомаха Геразского . Пятое совершенное число 33 550 336 , соответствующее р = 13, обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий учёный Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328 . Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.
На январь 2016 года известно 49 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS .
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также конечное ли число нечётных совершенных чисел, если они существуют.
Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 10 1500 ; при этом число простых делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101 . Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений .
Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, имеющих основание в авраамических религиях , утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.
Джеймс А. Эшельман в книге «Еврейские иерархические имена Брии» пишет, что в соответствии с гематрией :
«Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова малхут (царство). Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78».
«Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней.»
См. также
- Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)
Напишите отзыв о статье "Совершенное число"
Примечания
Ссылки
- Депман И. // Квант . - 1991. - № 5 . - С. 13-17 .
- Евгений Епифанов. . Элементы.
Общие сведения Факторизационные формы С ограниченными делителями Числа с многими делителями Связанные с аликвотными
последовательностямиДругое Отрывок, характеризующий Совершенное число
В ту минуту, когда Ростов и Ильин проскакали по дороге, княжна Марья, несмотря на отговариванье Алпатыча, няни и девушек, велела закладывать и хотела ехать; но, увидав проскакавших кавалеристов, их приняли за французов, кучера разбежались, и в доме поднялся плач женщин.
– Батюшка! отец родной! бог тебя послал, – говорили умиленные голоса, в то время как Ростов проходил через переднюю.
Княжна Марья, потерянная и бессильная, сидела в зале, в то время как к ней ввели Ростова. Она не понимала, кто он, и зачем он, и что с нею будет. Увидав его русское лицо и по входу его и первым сказанным словам признав его за человека своего круга, она взглянула на него своим глубоким и лучистым взглядом и начала говорить обрывавшимся и дрожавшим от волнения голосом. Ростову тотчас же представилось что то романическое в этой встрече. «Беззащитная, убитая горем девушка, одна, оставленная на произвол грубых, бунтующих мужиков! И какая то странная судьба натолкнула меня сюда! – думал Ростов, слушяя ее и глядя на нее. – И какая кротость, благородство в ее чертах и в выражении! – думал он, слушая ее робкий рассказ.
Когда она заговорила о том, что все это случилось на другой день после похорон отца, ее голос задрожал. Она отвернулась и потом, как бы боясь, чтобы Ростов не принял ее слова за желание разжалобить его, вопросительно испуганно взглянула на него. У Ростова слезы стояли в глазах. Княжна Марья заметила это и благодарно посмотрела на Ростова тем своим лучистым взглядом, который заставлял забывать некрасивость ее лица.
– Не могу выразить, княжна, как я счастлив тем, что я случайно заехал сюда и буду в состоянии показать вам свою готовность, – сказал Ростов, вставая. – Извольте ехать, и я отвечаю вам своей честью, что ни один человек не посмеет сделать вам неприятность, ежели вы мне только позволите конвоировать вас, – и, почтительно поклонившись, как кланяются дамам царской крови, он направился к двери.
Почтительностью своего тона Ростов как будто показывал, что, несмотря на то, что он за счастье бы счел свое знакомство с нею, он не хотел пользоваться случаем ее несчастия для сближения с нею.
Княжна Марья поняла и оценила этот тон.
– Я очень, очень благодарна вам, – сказала ему княжна по французски, – но надеюсь, что все это было только недоразуменье и что никто не виноват в том. – Княжна вдруг заплакала. – Извините меня, – сказала она.
Ростов, нахмурившись, еще раз низко поклонился и вышел из комнаты.– Ну что, мила? Нет, брат, розовая моя прелесть, и Дуняшей зовут… – Но, взглянув на лицо Ростова, Ильин замолк. Он видел, что его герой и командир находился совсем в другом строе мыслей.
Ростов злобно оглянулся на Ильина и, не отвечая ему, быстрыми шагами направился к деревне.
– Я им покажу, я им задам, разбойникам! – говорил он про себя.
Алпатыч плывущим шагом, чтобы только не бежать, рысью едва догнал Ростова.
– Какое решение изволили принять? – сказал он, догнав его.
Ростов остановился и, сжав кулаки, вдруг грозно подвинулся на Алпатыча.
– Решенье? Какое решенье? Старый хрыч! – крикнул он на него. – Ты чего смотрел? А? Мужики бунтуют, а ты не умеешь справиться? Ты сам изменник. Знаю я вас, шкуру спущу со всех… – И, как будто боясь растратить понапрасну запас своей горячности, он оставил Алпатыча и быстро пошел вперед. Алпатыч, подавив чувство оскорбления, плывущим шагом поспевал за Ростовым и продолжал сообщать ему свои соображения. Он говорил, что мужики находились в закоснелости, что в настоящую минуту было неблагоразумно противуборствовать им, не имея военной команды, что не лучше ли бы было послать прежде за командой.
– Я им дам воинскую команду… Я их попротивоборствую, – бессмысленно приговаривал Николай, задыхаясь от неразумной животной злобы и потребности излить эту злобу. Не соображая того, что будет делать, бессознательно, быстрым, решительным шагом он подвигался к толпе. И чем ближе он подвигался к ней, тем больше чувствовал Алпатыч, что неблагоразумный поступок его может произвести хорошие результаты. То же чувствовали и мужики толпы, глядя на его быструю и твердую походку и решительное, нахмуренное лицо.
После того как гусары въехали в деревню и Ростов прошел к княжне, в толпе произошло замешательство и раздор. Некоторые мужики стали говорить, что эти приехавшие были русские и как бы они не обиделись тем, что не выпускают барышню. Дрон был того же мнения; но как только он выразил его, так Карп и другие мужики напали на бывшего старосту.
– Ты мир то поедом ел сколько годов? – кричал на него Карп. – Тебе все одно! Ты кубышку выроешь, увезешь, тебе что, разори наши дома али нет?
– Сказано, порядок чтоб был, не езди никто из домов, чтобы ни синь пороха не вывозить, – вот она и вся! – кричал другой.
– Очередь на твоего сына была, а ты небось гладуха своего пожалел, – вдруг быстро заговорил маленький старичок, нападая на Дрона, – а моего Ваньку забрил. Эх, умирать будем!
– То то умирать будем!
– Я от миру не отказчик, – говорил Дрон.
– То то не отказчик, брюхо отрастил!..
Два длинные мужика говорили свое. Как только Ростов, сопутствуемый Ильиным, Лаврушкой и Алпатычем, подошел к толпе, Карп, заложив пальцы за кушак, слегка улыбаясь, вышел вперед. Дрон, напротив, зашел в задние ряды, и толпа сдвинулась плотнее.
– Эй! кто у вас староста тут? – крикнул Ростов, быстрым шагом подойдя к толпе.
– Староста то? На что вам?.. – спросил Карп. Но не успел он договорить, как шапка слетела с него и голова мотнулась набок от сильного удара.
– Шапки долой, изменники! – крикнул полнокровный голос Ростова. – Где староста? – неистовым голосом кричал он.
– Старосту, старосту кличет… Дрон Захарыч, вас, – послышались кое где торопливо покорные голоса, и шапки стали сниматься с голов.
– Нам бунтовать нельзя, мы порядки блюдем, – проговорил Карп, и несколько голосов сзади в то же мгновенье заговорили вдруг:
– Как старички пороптали, много вас начальства…
– Разговаривать?.. Бунт!.. Разбойники! Изменники! – бессмысленно, не своим голосом завопил Ростов, хватая за юрот Карпа. – Вяжи его, вяжи! – кричал он, хотя некому было вязать его, кроме Лаврушки и Алпатыча.
Лаврушка, однако, подбежал к Карпу и схватил его сзади за руки.
– Прикажете наших из под горы кликнуть? – крикнул он.
Алпатыч обратился к мужикам, вызывая двоих по именам, чтобы вязать Карпа. Мужики покорно вышли из толпы и стали распоясываться.
– Староста где? – кричал Ростов.
Дрон, с нахмуренным и бледным лицом, вышел из толпы.
– Ты староста? Вязать, Лаврушка! – кричал Ростов, как будто и это приказание не могло встретить препятствий. И действительно, еще два мужика стали вязать Дрона, который, как бы помогая им, снял с себя кушан и подал им.
Число 6 делится на себя, а также на 1, 2 и 3, и 6 = 1+2+3.
Число 28 имеет пять делителей, кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и 14, причем 28
= 1+2+4+7+14.
Можно заметить, что далеко не всякое натуральное число равно сумме всех
своих делителей, отличающихся от этого числа. Числа, которые обладают этим
свойством были названы совершенными.
Ещё Евклидом
(3 в. до н. э.) было указано, что чётные совершенные числа можно получить из
формулы: 2 p
–1 (2 p
– 1) при
условии, что р
и 2 p
есть числа простые. Таким путём
было найдено около 20 чётных совершенных числа. До сих пор неизвестно ни одного
нечётного совершенного числа и вопрос о существовании их остаётся открытым.
Исследования таких чисел были начаты пифагорейцами, приписывавшими им и их
сочетаниям особый мистический смысл.
Первое самое меньшее совершенное число – это 6
(1 + 2 + 3 = 6).
Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у
древних римлян.
Второе по старшинству совершенное число – это 28
(1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
В некоторых ученых обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. В Риме
в 1917 г. при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из древнейших
академий: зал и вокруг него 28 кабинетов – как раз по числу членов академии.
По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число – 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), четвёртое – 8128 , пятое – 33 550 336 , шестое – 8 589 869 056 , седьмое – 137 438 691 328 .
Первые четыре совершенные числа: 6,
28, 496, 8128
были обнаружены очень давно, 2000 лет назад. Эти числа
приведены в Арифметике Никомаха Геразского, древнегреческого философа,
математика и теоретика музыки.
Пятое совершенное число было выявлено в 1460 г, около 550 лет тому назад.
Это число 33550336
обнаружил
немецкий математик Региомонтан (XV век).
В XVI веке также немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328 . Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности. Пока известно 47 чётных совершенных чисел.
Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами,
обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28
дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.
В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог
сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы
поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6
совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне
присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что
Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее
за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным,
даже если бы не было сотворения за 6 дней».
Лев Николаевич Толстой не раз шутливо
"хвастался" тем, что дата
его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным
числом.
Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры
(28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то
получится 8128 – четвертое совершенное число.
Число 6 делится на себя, а также на 1, 2 и 3, и 6 = 1+2+3.
Число 28 имеет пять делителей, кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и 14, причем 28
= 1+2+4+7+14.
Можно заметить, что далеко не всякое натуральное число равно сумме всех
своих делителей, отличающихся от этого числа. Числа, которые обладают этим
свойством были названы совершенными.
Ещё Евклидом
(3 в. до н. э.) было указано, что чётные совершенные числа можно получить из
формулы: 2 p
–1 (2 p
– 1) при
условии, что р
и 2 p
есть числа простые. Таким путём
было найдено около 20 чётных совершенных числа. До сих пор неизвестно ни одного
нечётного совершенного числа и вопрос о существовании их остаётся открытым.
Исследования таких чисел были начаты пифагорейцами, приписывавшими им и их
сочетаниям особый мистический смысл.
Первое самое меньшее совершенное число – это 6
(1 + 2 + 3 = 6).
Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у
древних римлян.
Второе по старшинству совершенное число – это 28
(1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
В некоторых ученых обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. В Риме
в 1917 г. при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из древнейших
академий: зал и вокруг него 28 кабинетов – как раз по числу членов академии.
По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число – 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), четвёртое – 8128 , пятое – 33 550 336 , шестое – 8 589 869 056 , седьмое – 137 438 691 328 .
Первые четыре совершенные числа: 6,
28, 496, 8128
были обнаружены очень давно, 2000 лет назад. Эти числа
приведены в Арифметике Никомаха Геразского, древнегреческого философа,
математика и теоретика музыки.
Пятое совершенное число было выявлено в 1460 г, около 550 лет тому назад.
Это число 33550336
обнаружил
немецкий математик Региомонтан (XV век).
В XVI веке также немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328 . Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности. Пока известно 47 чётных совершенных чисел.
Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами,
обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28
дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.
В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог
сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы
поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6
совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне
присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что
Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее
за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным,
даже если бы не было сотворения за 6 дней».
Лев Николаевич Толстой не раз шутливо
"хвастался" тем, что дата
его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным
числом.
Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры
(28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то
получится 8128 – четвертое совершенное число.
