Пусть задана функция, непрерывная вместе со своими несколькими производными. Требуется найти все или некоторые вещественные корни уравнения

Данная задача распадается на несколько подзадач. Во-первых, необходимо определить количество корней, исследовать их характер и расположение. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью. Первая и вторая задачи решаются, как правило, аналитическими или графическими методами. В случае, когда ищутся только вещественные корни уравнения (1), полезно составить таблицу значений функции. Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один.

Найденные приближенные значения корней можно уточнить с помощью различных итерационных методов. Рассмотрим три метода: 1) метод дихотомиии (или деление отрезка пополам); 2) метод простой итерации и 3) метод Ньютона.

Методы решения задачи

Метод деления отpезка пополам

Наиболее простым методом, позволяющим найти корень нелинейного уравнения (1), является метод половинного деления.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, т.е. то это означает, что внутри данного отрезка находится нечетное число корней. Пусть для определенности корень один. Суть метода состоит в сокращении на каждой итерации вдвое длины отрезка. Находим середину отрезка (см. рис. 1) Вычисляем значение функции и выбираем тот отрезок, на котором функция меняет свой знак. Новый отрезок вновь делим пополам. И этот процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не сравняется с наперед заданной погрешностью вычисления корня. Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3) приведено на рисунке 1.

Итак, алгоритм метода дихотомии:

1. Задать отрезок и погрешность.

2. Если f(a) и f(b) имеют одинаковые знаки, выдать сообщение о невозможности отыскания корня и остановиться.

Рис.1.

3. В противном случае вычислить c=(a+b)/2

4. Если f(a) и f(c) имеют разные знаки, положить b=c, в противном случае a=c.

5. Если длина нового отрезка, то вычислить значение корня c=(a+b)/2 и остановиться, в противном случае перейти к шагу 3.

Так как за N шагов длина отрезка сокращается в 2 N раз, то заданная погрешность отыскания корня будет достигнута за итераций.

Как видно, скорость сходимости мала, но к достоинствам метода относятся простота и безусловная сходимость итерационного процесса. Если отрезок содержит больше одного корня (но нечетное число), то всегда будет найден какой-нибудь один.

Замечание. Для определения интервала, в котором лежит корень, необходим дополнительный анализ функции, основанный либо на аналитических оценках, либо на использование графического способа решения. Можно также организовать перебор значений функции в различных точках, пока не встретится условие знакопеременности функции

В этой главе рассматривается задача отыскания корней нелинейных уравнений и излагаются методы ее решения. Это делается несколько подробнее, чем обычно принято в учебниках по численным методам. Дело в том, что нелинейное уравнение представляет собой редкий пример задачи, которая может быть сравнительно полно исследована элементарными средствами и допускает наглядные геометрические иллюстрации. В то же время многие проблемы, возникающие при отыскании корней нелинейных уравнений, типичны, а некоторые методы их решения (в особенности метод простой итерации и метод Ньютона) допускают широкие обобщения и играют в вычислительной математике фундаментальную роль.

§ 4.1. Постановка задачи. Основные этапы решения

1. Постановка задачи.

Задача отыскания корней нелинейного уравнения с одним неизвестным вида

имеет многовековую историю, но не потеряла свою актуальность и в наши дни. Она часто возникает как элементарный шаг при решении различных научных и технических проблем. Напомним, что корнем (или решением) уравнения (4.1) называется значение х, при котором

Для справедливости большинства рассуждений данной главы достаточно предположить, что в окрестности каждого из искомых корней функция дважды непрерывно дифференцируема.

Корень х уравнения (4.1) называется простым, если противном случае (т. е. в случае корень х называется кратным. Целое число назовем кратностью корня х, если для Геометрически корень х соответствует точке пересечения графика функции с осью Корень х является простым, если график пересекает ось под ненулевым углом, и кратным, если пересечение происходит под нулевым углом. Функция график который изображен на рис. 4.1, имеет четыре корня. Корни простые, кратные.

Задача отыскания простых корней является существенно более простой (и чаще встречающейся), чем задача отыскания кратных корней. В действительности большинство методов решения уравнения (4.1) ориентировано именно на вычисление простых корней.

2. Уточнение постановки задачи.

В конкретной задаче часто интерес представляют не все корни уравнения, а лишь некоторые из них. Тогда постановку задачи уточняют, указывая на то, какие из корней подлежат определению (положительные корни, корни из заданного интервала, максимальный из корней и т.д.).

В подавляющем большинстве случаев представить решение уравнения (4.1) в виде конечной формулы оказывается невозможным. Даже для простейшего алгебраического уравнения степени

явные формулы, выражающие его корни через коэффициенты с помощью конечного числа арифметических операций и извлечения корней степени не выше найдены лишь при Однако уже для

уравнений пятой и более высоких степеней таких формул не существует. Этот замечательный факт, известный как теорема Абеля, был установлен в 30-е годы XIX в. Н. Абелем и Э. Галуа.

Невозможность найти точное решение нелинейного уравнения кажется огорчительной. Однако нужно признать, что желание найти точное числовое значение решения вряд ли следует считать разумным. Во-первых, в реальных исследованиях зависимость является лишь приближенным описанием, моделирующим истинную связь между параметрами у их. Поэтому точное решение х уравнения (4.1) все равно является лишь приближенным значением того параметра х, который в действительности соответствует значению . Во-вторых, даже если уравнение (4.1) допускает возможность нахождения решения в виде конечной формулы, то результат вычислений по этой формуле почти с неизбежностью содержит вычислительную погрешность и поэтому является приближенным.

Пример 4.1. Предположим, что исследование некоторого явления привело к необходимости решить уравнение

Воспользовавшись формулами (3.2) для корней квадратного уравнения, получим значения Найдены ли нами точные значения параметра Очевидно, нет. Скорее всего коэффициенты уравнения (4.3) известны приближенно и в лучшем случае они представляют округленные значения "истинных" коэффициентов. В действительности можно лишь утверждать, что

Предположим теперь, что "истинный" вид уравнения (4.3) таков: Тогда точные значения параметра можно вычислить по формуле Однако она лишь указывает на то, какие операции и в каком порядке следует выполнить. В данном случае точное вычисление по формуле невозможно, так как она содержит операцию извлечения квадратного корня. Вычисленные по ней значения неизбежно окажутся приближенными.

В дальнейшем мы откажемся от попыток найти точные значения корней уравнения (4.1) и сосредоточим внимание на методах решения более реалистичной задачи приближенного вычисления корней с заданной точностью

В данной главе под задачей отыскания решений уравнения (4.1) будем понимать задачу вычисления с заданной точностью конечного числа подлежащих определению корней этого уравнения.

3. Основные этапы решения.

Решение задачи отыскания корней нелинейного уравнения осуществляют в два этапа. Первый этап называется этапом локализации (или отделения) корней, второй - этапом итерационного уточнения корней.

Локализация корней. Отрезок содержащий только один корень х уравнения (4.1), называют отрезком локализации корня х. Цель этапа локализации считают достигнутой, если для каждого из подлежащих определению корней удалось указать отрезок локализации (его длину стараются по возможности сделать минимальной).

Прежде чем переходить непосредственно к отысканию отрезков локализации, имеет смысл провести предварительное исследование задачи для выяснения того, существуют ли вообще корни уравнения (4.1), сколько их и как они расположены на числовой оси.

Способы локализации корней многообразны, и указать универсальный метод не представляется возможным. Иногда отрезок локализации известен либо он определяется из физических соображений. В простых ситуациях хороший результат может давать графический метод (см. пример 4.2). Широко применяют построение таблиц значений функций вида При этом способе локализации о наличии на отрезке корня судят по перемене знака функции на концах отрезка (см. пример 4.3). Основанием для применения указанного способа служит следующая хорошо известная теорема математического анализа.

Теорема 4.1. Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на ею концах значения разных знаков, т. е. Тогда отрезок содержит по крайней мере один корень уравнения

К сожалению, корень четной кратности не удается локализовать на основании перемены знака с помощью даже очень подробной таблицы.

Дело в том, что в малой окрестности такого корня (например, корня на рис. 4.1) функция имеет постоянный знак.

Важно подчеркнуть, что далеко не всегда для успешного отыскания

корня х уравнения (4.1) необходимо полное решение задачи локализации. Часто вместо отрезка локализации достаточно найти хорошее начальное приближение к корню х. Пример 4.2. Локализуем корни уравнения

Для этого преобразуем уравнение к виду и построим графики функций (рис. 4.2). Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями данного уравнения. Из рис. 4.2 видно, что уравнение имеет два корня и расположенные на отрезках и . Убедимся, что функция принимает на концах указанных отрезков значения разных знаков. Действительно, Следовательно, в силу теоремы 4.1 на каждом из отрезков и находится по крайней мере один корень.

Пример 4.3. Локализуем корни уравнения

Для этого составим таблицу значений функции на отрезке с шагом 0.4.

Таблица 4.1 (см. скан)

Из табл. 4.1 видно, что функция меняет знак на концах отрезков Теорема 4.1 дает основание утверждать, что каждый из этих отрезков содержит по крайней мере один корень. Учитывая, что в силу основной теоремы алгебры многочлен третьей степени не может иметь более трех корней, заключаем, что полученные три отрезка содержат ровно по одному корню. Таким образом, корни локализованы.

Итерационное уточнение корней. На этом этапе для вычисления каждого из корней с точностью используют тот или иной итерационный метод, позволяющий построить последовательность приближений к корню

Общее представление об итерационных методах и основные определения были даны в § 3.3. Введем дополнительно некоторые определения.

Итерационный метод называют одношаговым, если для вычисления очередного приближения используется только одно предыдущее приближение и к шаговым, если для вычисления используются к предыдущих приближений Заметим, что для построения итерационной последовательности одношаговым методом требуется задание только одного начального приближения в то время как при использовании -шагового метода - к начальных приближений

Скорость сходимости - одна из важнейших характеристик итерационных методов. Говорят, что метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой если для всех справедлива следующая оценка:

Как нетрудно видеть, из оценки (4.5) действительно вытекает сходимость метода.

Пусть одношаговый итерационный метод обладает следующим свойством: существует -окрестность корня х такая, что если приближение принадлежит этой окрестности, то справедлива оценка

где постоянные. В этом случае число называют порядком сходимости метода. Если то говорят, что метод обладает линейной скоростью сходимости в указанной -окрестности корня. Если то принято говорить о сверхлинейной скорости сходимости. При скорость сходимости называют

Цель работы

Ознакомиться с основными методами решения нелинейных уравнений и их реализацией в пакете MathCAD.

Методические указания

Инженеру часто приходится составлять и решать нелинейные уравнения, что может представлять собой самостоятельную задачу или являться частью более сложных задач. В обоих случаях практическая ценность метода решения определяется быстротой и эффективностью полученного решения, а выбор подходящего метода зависит от характера рассматриваемой задачи. Важно отметить, что к результатам компьютерных вычислений всегда нужно относиться критически, анализировать их на правдоподобность. Чтобы избежать "подводных камней" при использовании любого стандартного пакета, реализующего численные методы, нужно иметь хотя бы минимальное представление о том, какой именно численный метод реализован для решения той или иной задачи.

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые – в частности многочлен, рациональные, иррациональные). Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.) называются трансцендентными. Нелинейные уравнения могут решаться точными или приближенными методами. Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). К сожалению, большинство трансцендентных уравнений, а также произвольные алгебраические уравнения степени выше четвертой не имеют аналитических решений. Кроме того, коэффициенты уравнения могут быть известны лишь приблизительно и, следовательно, сама задача о точном определении корней теряет смысл. Поэтому для решения используются итерационные методы последовательного приближения. Вначале следует вначале отделить корни (т.е. найти их приближенное значение или отрезок их содержащий), а затем методом последовательных приближений их уточнить. Отделить корни можно – установив знаки функции f (x ) и ее производной в граничных точках области ее существования, оценив приближенные значения из физического смысла задачи, или из решения аналогичной задачи при других исходных данных.

Широко распространен графический способ определения приближенных значений действительных корней – строят график функции f (x ) и отмечают точки пересечения его с осью ОХ. Построение графиков часто удается упростить, заменив уравнение f (x )= 0 равносильным ему уравнением , где функции f 1 (x ) и f 2 (x ) - более простые, чем функция f (x ). В этом случае следует искать точку пересечения этих графиков.

Пример 1. Графически отделить корни уравнения x lg x = 1. Перепишем его в виде равенства lg x= 1/xи найдем абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = 1/x (рис. 5). Видно, что единственный корень уравнения .

Реализация классических приближенных методов решения в пакете MathCAD.

Метод половинного деления

Отрезок, на концах которого функция принимает значения разного знака, делится пополам и, если корень лежит правее центральной точки, то к центру подтягивается левый край, а если – левее, то правый край. Новый суженный отрезок снова делится пополам и процедура повторяется. Этот метод прост и надежен, всегда сходится (хотя часто медленно – расплата за простоту!). Программная реализация его в пакете MathCAD рассмотрена в лабораторной работе №7 данного пособия.

Метод хорд

В качестве последовательных приближений к корню уравнения принимаются значения х 1 , х 2 , ..., х n точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс (рис. 6).

Уравнение хорды AB имеет вид: . Для точки пересечения ее с осью абсцисс (х=х 1 , y= 0) имеем:

Пусть для определенности кривая у = f (x ) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ , т.е. на отрезке f ²(x )>0. Возможны два случая: f (а )>0 (рис. 6, а ) и f (а )<0 (рис. 6, б ).

В первом случае, конец а неподвижен. Последовательные итерации образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность: и определяются согласно уравнениям:

x 0 = b ; . (4.1)

Во втором случае неподвижен конец b , последовательные итерации образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность: и определяются согласно уравнениям:

x 0 = а ; . (4.2)

Таким образом, неподвижным следует выбирать тот конец, для которого знак функции f (х ) и ее второй производной f ²(х ) совпадают, а последовательные приближения x n лежат по ту сторону корня x, где эти знаки противоположны. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока модуль разности двух последовательных приближений не станет меньше, чем заданная точность решения.

Пример 2. Найти положительный корень уравнения f (x ) º x 3 –0,2x 2 –0,2х –1,2 = 0 с точностью e= 0,01. (Точный корень уравнения x = 1,2).

Для организации итерационных вычислений в MathCAD документе используется функция until(a, z ), котораявозвращает значение величины z , пока выражение a не становится отрицательным.

Метод Ньютона

Отличие этого метода от предыдущего состоит в том, что вместо хорды на каждом шаге проводится касательная к кривой y=f (x )при x=х i и ищется точка пересечения ее с осью абсцисс (рис. 7):

При этом не обязательно задавать отрезок [а, b], содержащий корень уравнения), а достаточно лишь задать начальное приближение корня x=х 0 , которое должно находиться на том же конце интервала [а, b], где знаки функции и ее второй производной совпадают.

Уравнение касательной, проведенной к кривой y = f (x ) через точку В 0 с координатами х 0 и f (х 0), имеет вид:

Отсюда найдем следующее приближение корня х 1 как абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох (y = 0):

Аналогично могут быть найдены и последующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках В 1 , В 2 и так далее. Формула для (i + 1) приближения имеет вид:

Условием окончания итерационного процесса является неравенство ïf (x i )ï

Пример 3 . Реализация итерационного метода Ньютона.

Метод простой итерации (последовательных итераций )

Заменим исходное нелинейное уравнение f (х )=0 равносильным уравнением вида x =j(x ). Если известно начальное приближение корня х = х 0 , то новое приближение может быть получено по формуле: х 1 =j(х 0). Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в исходное уравнение получаем последовательность значений:

Геометрическая интерпретация метода состоит в том, что каждый действительный корень уравнения является абсциссой точки пересечения М кривой у= j(х ) с прямой у=х (рис. 8). Отправляясь от произвольной т. А 0 [x 0 ,j(x 0)] начального приближения, строим ломаную А 0 В 1 А 1 В 2 А 2 .., которая имеет форму «лестницы» (рис. 8, а ) если производная j’(x) положительна и форму «спирали» (рис. 8, б ) в противоположном случае.

	в)
Рис. 8. Метод простой итерации: а, б – сходящаяся итерация, в – расходящаяся итерация.

Отметим, что следует заранее проверить пологость кривой j(х ), поскольку если она не является достаточно пологой ( >1), то процесс итерации может быть расходящимся (рис. 8, в ).

Пример 4. Решитьуравнение x 3 – x – 1 = 0 методом простой итерации с точностью e = 10 -3 . Реализация этой задачи представлена следующим MathCAD документом.

Реализация приближенных методов решения встроенными функциями MathCAD

Использование функции root

Для уравнений вида f (x ) = 0 решение находится с помощью функции: root(f (х ),х,a,b ) , которая возвращает значение х , принадлежащее отрезку [a, b ] , при котором выражение или функция f (х ) обращается в 0. Оба аргумента этой функции x и f(x) должны быть скалярами, а аргументы a, b – являютсянеобязательными и, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a < b. Функция позволяет находить не только вещественные, но и комплексные корни уравнения (при выборе начального приближения в комплексной форме).

Если уравнение не имеет корней, они расположены слишком далеко от начального приближения, начальное приближение было вещественным, а корни – комплексные, функция f (х ) имеет разрывы (локальные экстремумы между начальными приближениями корня) то появится сообщение (отсутствует сходимость). Причину ошибки можно выяснить, исследуя график f (x ). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f (x ) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет сходиться функция root .

Для выражения f (x ) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f (x ) эквивалентно поиску корней уравнения h (x )=f (x )/(x‑a ). Проще искать корень выражения h (x ), чем пробовать искать другой корень уравнения f (x )=0, выбирая различные начальные приближения. Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу, он реализован в приведенном ниже документе.

Пример 5 . Решить алгебраическое уравнения с помощью функции root:

Примечание. Если увеличить значение системной переменной TOL (tolerance), то функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен, а при уменьшении TOL более медленная сходимость обеспечивает более высокую точность, соответственно. Последнее необходимо, если требуется различить два близко расположенных корня, или же, если функция f (x ) имеет малый наклон около искомого корня, поскольку итерационный процесс в этом случае может сходиться к результату, отстоящему от корня достаточно далеко. В последнем случае альтернативой повышения точности является замена уравнения f (x ) = 0на g (x ) = 0, где .

Использование функции polyroots

Если функция f(x) является полиномом степени n , то для решения уравнения f(x)=0 лучше использовать функцию polyroots (a), нежели root , поскольку она не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные. Аргументом ее является вектор a, составленный из коэффициентов исходного полинома. Его можно сформировать вручную или с помощью команды Символы Þ Коэффициенты полинома (переменная полинома x выделяется курсором). Пример применения функции polyroots:

Использование функции solve и блока решений

Блок решений с ключевыми словами (Given – Find или Given – Minerr ) или функция solve позволяют найти решение произвольного нелинейного уравнения, если предварительно задано начальное приближение.

Отметим, что между функциями Find и root наблюдается своеобразная конкуренция. С одной стороны, Find позволяет искать корни, как уравнений, так и систем. С этих позиций функция root как бы и не нужна. Но с другой стороны, конструкцию Given-Find невозможно вставить в MathCAD программы. Поэтому в программах приходится подстановками сводить систему к одному уравнению и использовать функцию root .

Символьное решение уравнений в пакете MathCAD

Во многих случаях, MathCAD позволяет найти аналитическое решение уравнения. Для того чтобы найти решение уравнения в аналитическом виде необходимо записать выражение и выделить в нем переменную. После этого выбираем из пункта меню Symbolic подпункт Solve for Variable.

Другими вариантами нахождения решения в символьной форме являются (приводятся примеры решения того же уравнения) – использование функции solve из палитры математических операций Символы (Symbolic ).

использование блока решения (с ключевыми словами Given - Find )

Правовой статус муниципальных служащих включает права, обязанности, ограничения и запреты, связанные с муниципальной службой, гарантии и ответственность.

В научной литературе различают общегражданские и служебные права и обязанности служащих . Каждый муниципальный служащий обладает правами и несет обязанности человека и гражданина наравне с другими гражданами. Кроме того, для успешного осуществления своих функций по муниципальной службе муниципальный служащий наделяется специальными служебными правами и обязанностями, которыми другие граждане не обладают.

Основные права и обязанности муниципального служащего предусмотрены в ст. 11 и 12 Закона о муниципальной службе в РФ. К основным правам муниципального служащего относятся:

• 1) право на ознакомление с документами, устанавливающими его права и обязанности по замещаемой должности муниципальной службы, критериями оценки качества исполнения должностных обязанностей и условиями продвижения по службе;
• 2) право на обеспечение организационно-технических условий, необходимых для исполнения должностных обязанностей;
• 3) право на оплату труда и другие выплаты в соответствии с трудовым законодательством, законодательством о муниципальной службе и трудовым договором (контрактом);
• 4) право на отдых, обеспечиваемый установлением нормальной продолжительности рабочего (служебного) времени, предоставлением выходных дней и нерабочих праздничных дней, а также ежегодного оплачиваемого отпуска;
• 5) право на получение в установленном порядке информации и материалов, необходимых для исполнения должностных обязанностей, а также на внесение предложений о совершенствовании деятельности органа местного самоуправления, избирательной комиссии муниципального образования;
• 6) право на участие по своей инициативе в конкурсе на замещение вакантной должности муниципальной службы;
• 7) право на получение дополнительного профессионального образования в соответствии с муниципальным правовым актом за счет средств местного бюджета;
• 8) право на защиту своих персональных данных;
• 9) право на ознакомление со всеми материалами своего личного дела, с отзывами о профессиональной деятельности и другими документами до внесения их в его личное дело, а также на приобщение к личному делу его письменных объяснений;
• 10) право на объединение, включая право создавать профессиональные союзы, для защиты своих прав, социально-экономических и профессиональных интересов;
• 11) право на рассмотрение индивидуальных трудовых споров в соответствии с трудовым законодательством, защиту своих прав и законных интересов на муниципальной службе, включая обжалование в суд их нарушений;
• 12) право на пенсионное обеспечение в соответствии с законодательством РФ.

Помимо закрепленных в законодательстве служебных прав, на муниципальных служащих возлагается ряд обязанностей. Обязанности муниципального служащего представляют собой юридически закрепленную меру должного поведения. Муниципальный служащий обязан:

• 1) соблюдать Конституцию РФ, федеральные конституционные законы, федеральные законы, иные нормативные правовые акты РФ, конституции (уставы), законы и иные нормативные правовые акты субъектов РФ, устав муниципального образования и иные муниципальные правовые акты и обеспечивать их исполнение;
• 2) исполнять должностные обязанности в соответствии с должностной инструкцией;
• 3) соблюдать при исполнении должностных обязанностей права, свободы и законные интересы человека и гражданина независимо от расы, национальности, языка, отношения к религии и других обстоятельств, а также права и законные интересы организаций;
• 4) соблюдать установленные в органе местного самоуправления, аппарате избирательной комиссии муниципального образования правила внутреннего трудового распорядка, должностную инструкцию, порядок работы со служебной информацией;
• 5) поддерживать уровень квалификации, необходимый для надлежащего исполнения должностных обязанностей;
• 6) не разглашать сведения, составляющие государственную и иную охраняемую федеральными законами тайну, а также сведения, ставшие ему известными в связи с исполнением должностных обязанностей, в том числе сведения, касающиеся частной жизни и здоровья граждан или затрагивающие их честь и достоинство;
• 7) беречь государственное и муниципальное имущество, в том числе предоставленное ему для исполнения должностных обязанностей;
• 8) представлять в установленном порядке предусмотренные законодательством РФ сведения о себе и членах своей семьи;
• 9) сообщать представителю нанимателя (работодателю) о выходе из гражданства РФ в день выхода из гражданства РФ или о приобретении гражданства иностранного государства в день приобретения гражданства иностранного государства;
• 10) соблюдать ограничения, выполнять обязательства, не нарушать запреты, которые установлены Законом о муниципальной службе в РФ и другими федеральными законами;
• 11) уведомлять в письменной форме представителя нанимателя (работодателя) о личной заинтересованности при исполнении должностных обязанностей, которая может привести к конфликту интересов, и принимать меры по предотвращению подобного конфликта.

Как уже говорилось, муниципальная служба связана с осуществлением публичной власти. Поэтому жизненно необходимы правовые препятствия возможных злоупотреблений властью. В этих целях законом установлены ограничения и запреты, связанные с муниципальной службой. Такие ограничения и запреты направлены не на ущемление гражданских прав муниципальных служащих, а на обеспечение независимости их служебной деятельности, нормальных условий работы аппарата муниципальной службы.

В связи с прохождением муниципальной службы муниципальному служащему запрещается:

• 1) замещать должность муниципальной службы в случае:
  • а) избрания или назначения на государственную должность РФ либо на государственную должность субъекта РФ, а также в случае назначения на должность государственной службы;
  • б) избрания или назначения на муниципальную должность;
  • в) избрания на оплачиваемую выборную должность в органе профсоюза, в том числе в выборном органе первичной профсоюзной организации, созданной в органе местного самоуправления, аппарате избирательной комиссии муниципального образования;
• 2) заниматься предпринимательской деятельностью лично или через доверенных лиц, а также участвовать в управлении хозяйствующим субъектом (за исключением жилищного, жилищно-строительного, гаражного кооперативов, садоводческого, огороднического, дачного потребительских кооперативов, товарищества собственников недвижимости и профсоюза, зарегистрированного в установленном порядке), если иное не предусмотрено федеральными законами или если в порядке, установленном муниципальным правовым актом в соответствии с федеральными законами и законами субъекта РФ, ему не поручено участвовать в управлении этой организацией;
• 3) быть поверенным или представителем по делам третьих лиц в органе местного самоуправления, избирательной комиссии муниципального образования, в которых он замещает должность муниципальной службы либо которые непосредственно подчинены или подконтрольны ему, если иное не предусмотрено федеральными законами;
• 4) получать в связи с должностным положением или в связи с исполнением должностных обязанностей вознаграждения от физических и юридических лиц (подарки, денежное вознаграждение, ссуды, услуги, оплата развлечений, отдыха, транспортных расходов и иные вознаграждения). Подарки, полученные муниципальным служащим в связи с протокольными мероприятиями, со служебными командировками и с другими официальными мероприятиями, признаются муниципальной собственностью и передаются муниципальным служащим по акту в орган местного самоуправления, избирательную комиссию муниципального образования, в которых он замещает должность муниципальной службы, за исключением случаев, установленных ГК РФ. Муниципальный служащий, сдавший подарок, полученный им в связи с протокольным мероприятием, со служебной командировкой или с другим официальным мероприятием, может его выкупить в порядке, устанавливаемом нормативными правовыми актами РФ;
• 5) выезжать в командировки за счет средств физических и юридических лиц, за исключением командировок, осуществляемых на взаимной основе по договоренности органа местного самоуправления, избирательной комиссии муниципального образования с органами местного самоуправления, избирательными комиссиями других муниципальных образований, а также с органами государственной власти и органами местного самоуправления иностранных государств, международными и иностранными некоммерческими организациями;
• 6) использовать в целях, не связанных с исполнением должностных обязанностей, средства материально-технического, финансового и иного обеспечения, другое муниципальное имущество;
• 7) разглашать или использовать в целях, не связанных с муниципальной службой, сведения, отнесенные в соответствии с федеральными законами к сведениям конфиденциального характера, или служебную информацию, ставшие ему известными в связи с исполнением должностных обязанностей;
• 8) допускать публичные высказывания, суждения и оценки, в том числе в средствах массовой информации, в отношении деятельности органа местного самоуправления, избирательной комиссии муниципального образования и их руководителей, если это не входит в его должностные обязанности;
• 9) принимать без письменного разрешения главы муниципального образования награды, почетные и специальные звания (за исключением научных) иностранных государств, международных организаций, а также политических партий, других общественных объединений и религиозных объединений, если в его должностные обязанности входит взаимодействие с указанными организациями и объединениями;
• 10) использовать преимущества должностного положения для предвыборной агитации, а также для агитации по вопросам референдума;
• 11) использовать свое должностное положение в интересах политических партий, религиозных и других общественных объединений, а также публично выражать отношение к указанным объединениям в качестве муниципального служащего;
• 12) создавать в органах местного самоуправления, иных муниципальных органах структуры политических партий, религиозных и других общественных объединений (за исключением профессиональных союзов, а также ветеранских и иных органов общественной самодеятельности) или способствовать созданию указанных структур;
• 13) прекращать исполнение должностных обязанностей в целях урегулирования трудового спора;
• 14) входить в состав органов управления, попечительских или наблюдательных советов, иных органов иностранных некоммерческих неправительственных организаций и действующих на территории РФ их структурных подразделений, если иное не предусмотрено международным договором РФ или законодательством РФ;
• 15) заниматься без письменного разрешения представителя нанимателя (работодателя) оплачиваемой деятельностью, финансируемой исключительно за счет средств иностранных государств, международных и иностранных организаций, иностранных граждан и лиц без гражданства, если иное не предусмотрено международным договором РФ или законодательством РФ.

Кроме того, ст. 13 Закона о муниципальной службе в РФ закреплены ограничения, связанные с муниципальной службой. В частности, предусматриваются случаи, при которых гражданин не может быть принят на муниципальную службу, а муниципальный служащий не может находиться на муниципальной службе (в случае признания недееспособным или ограниченно дееспособным решением суда, вступившим в законную силу; наличия заболевания, препятствующего поступлению на муниципальную службу или ее прохождению и подтвержденного заключением медицинской организации; признания не прошедшим военную службу по призыву, не имея на то законных оснований, в соответствии с заключением призывной комиссии (за исключением граждан, прошедших военную службу по контракту) и др.). Также предусматривается, что гражданин не может быть принят на муниципальную службу после достижения им возраста 65 лет - предельного возраста, установленного для замещения должности муниципальной службы.

Неотъемлемым элементом юридического статуса муниципальных служащих являются гарантии их прав. Гарантии юридических прав принято определять как условия и средства, которые обеспечивают их фактическую реализацию и надежную охрану (защиту) .

В соответствии с Законом о муниципальной службе в РФ муниципальному служащему гарантируются:

• 1) условия работы, обеспечивающие исполнение им должностных обязанностей в соответствии с должностной инструкцией;
• 2) право на своевременное и в полном объеме получение денежного содержания;
• 3) отдых, обеспечиваемый установлением нормальной продолжительности рабочего (служебного) времени, предоставлением выходных дней и нерабочих праздничных дней, а также ежегодного оплачиваемого отпуска;
• 4) медицинское обслуживание муниципального служащего и членов его семьи, в том числе после выхода муниципального служащего на пенсию;
• 5) пенсионное обеспечение за выслугу лет и в связи с инвалидностью, а также пенсионное обеспечение членов семьи муниципального служащего в случае его смерти, наступившей в связи с исполнением им должностных обязанностей;
• 6) обязательное государственное страхование на случай причинения вреда здоровью и имуществу муниципального служащего в связи с исполнением им должностных обязанностей;
• 7) обязательное государственное социальное страхование на случай заболевания или утраты трудоспособности в период прохождения муниципальным служащим муниципальной службы или после ее прекращения, но наступивших в связи с исполнением им должностных обязанностей;
• 8) защита муниципального служащего и членов его семьи от насилия, угроз и других неправомерных действий в связи с исполнением им должностных обязанностей в случаях, порядке и на условиях, установленных федеральными законами.

Законами субъекта РФ и уставом муниципального образования муниципальным служащим могут быть предоставлены дополнительные гарантии.

Так, Закон Ямало-Ненецкого автономного округа от 22 июня 2007 г. № 67-ЗАО «О муниципальной службе в Ямало-Ненецком автономном округе» в качестве дополнительной гарантии закрепляет, что при расторжении трудового договора (контракта) с муниципальным служащим в связи с ликвидацией органа местного самоуправления, избирательной комиссии муниципального образования либо сокращением штата работников органа местного самоуправления, аппарата избирательной комиссии муниципального образования муниципальному служащему предоставляются гарантии, установленные трудовым законодательством для работников в случае их увольнения в связи с ликвидацией организации либо сокращением штата работников организации.

В соответствии с Законом Ханты-Мансийского автономного округа - Югры от 20 июля 2007 г. № 113-оз «Об отдельных вопросах муниципальной службы в Ханты-Мансийском автономном округе - Югре» муниципальному служащему дополнительно гарантируются переподготовка и повышение квалификации за счет средств бюджета соответствующего муниципального образования с сохранением денежного содержания на период обучения по замещаемой должности, обязательность получения его согласия на перевод на другую должность муниципальной службы, за исключением случаев, предусмотренных федеральным законодательством; возмещаются расходы и предоставляются иные компенсации в связи с командировками, приемом на муниципальную службу, переводом на должность муниципальной службы в другой орган местного самоуправления, направлением на муниципальную службу в другую местность, а также возмещаются связанные с этим транспортные расходы и расходы на оплату жилья.

Для обеспечения трудовой дисциплины муниципальных служащих установлена дисциплинарная ответственность. За совершение дисциплинарного проступка - неисполнение или ненадлежащее исполнение муниципальным служащим по его вине возложенных на него служебных обязанностей - представитель нанимателя (работодатель) имеет право применить следующие дисциплинарные взыскания: замечание; выговор; увольнение с муниципальной службы по соответствующим основаниям.

Следует отметить общую тенденцию последних лет на ужесточение законодательных требований к муниципальному служащему в целях противодействия коррупции и повышения престижа муниципальной службы.

Меры по противодействию коррупции являются одним из наиболее важных направлений развития муниципальной службы. С. Н. Бра- тановский и М. Ф. Зеленов разделяют меры по противодействию коррупции, существующие на государственной и муниципальной службе РФ в настоящее время, на пять основных групп:

• 1) антикоррупционные ограничения:
• 2) антикоррупционные запреты;
• 3) антикоррупционные требования к служебному поведению;
• 4) антикоррупционные обязанности;
• 5) антикоррупционные процедуры .

В 2008 г. Закон о муниципальной службе в РФ был дополнен нормами об урегулировании конфликта интересов на муниципальной службе. Понятие «конфликт интересов» закреплено в ч. 1 ст. 10 Федерального закона от 25 декабря 2008 г. № 273-ФЗ «О противодействии коррупции». Конфликт интересов - это ситуация, при которой личная заинтересованность (прямая или косвенная) лица, замещающего должность, замещение которой предусматривает обязанность принимать меры по предотвращению и урегулированию конфликта интересов, влияет или может повлиять на надлежащее, объективное и беспристрастное исполнение им должностных (служебных) обязанностей (осуществление полномочий).

При этом непринятие муниципальным служащим, являющимся стороной конфликта интересов, мер по предотвращению или урегулированию конфликта интересов является правонарушением, влекущим увольнение муниципального служащего с муниципальной службы. В настоящее время в муниципальных образованиях действуют комиссии по соблюдению требований к служебному поведению муниципальных служащих и урегулированию конфликтов интересов, которые рассматривают спорные вопросы относительно сведений о доходах и имуществе муниципальных служащих, случаи осуществления служащими деятельности, не совместимой с их статусом, и другие факты нарушений законодательства о муниципальной службе.

В 2013 г. в Закон о муниципальной службе в РФ была включена ст. 14 2 , которая дополнила статус муниципальных служащих требованиями к служебному поведению. Это этические нормы, возведенные в ранг закона, соблюдение которых обеспечит повышение авторитета муниципальной службы. Закон обязывает служащих проявлять корректность в обращении с гражданами; проявлять уважение к нравственным обычаям и традициям народов Российской Федерации; учитывать культурные и иные особенности различных этнических и социальных групп, а также конфессий; способствовать межнациональному и межконфессиональному согласию; не допускать конфликтных ситуаций, способных нанести ущерб его репутации или авторитету муниципального органа, и др.

Указанные требования к служебному поведению получили развитие в муниципальных правовых актах. Например, решением городской Думы города Салехарда от 15 ноября 2013 г. № 74 был утвержден Кодекс профессиональной этики и служебного поведения муниципальных служащих муниципального образования город Салехард, целью которого является установление этических норм и правил служебного поведения муниципальных служащих для достойного выполнения ими своей профессиональной деятельности, а также содействие укреплению авторитета муниципального служащего, доверия граждан к органам местного самоуправления и обеспечение единой нравственно-нормативной основы поведения муниципальных служащих .

Необходимо отметить, что повышение престижа муниципальной службы в настоящее время является одной из актуальных проблем местного самоуправления. Е. С. Шугрина, отмечая, что «назрела необходимость комплексного, системного решения данного вопроса», указывает, в частности, такие направления повышения престижа муниципальной службы, как усиление защищенности должностных лиц органов местного самоуправления, муниципальных служащих; создание позитивного имиджа местного самоуправления, муниципальных служащих и информационная открытость; формирование единого кадрового пространства и др.

• См.: Алехин А. П., Козлов Ю. М. Административное право Российской Федерации.М„ 1994. С. 145.
• См.: Витрук Н. В. Основы теории правового положения личности в социалистическом обществе. М., 1979. С. 194.
• См.: Братановский С. Н., Зеленов М. Ф. Виды и особенности мер по противодействию коррупции на государственной и муниципальной службе // Государственнаявласть и местное самоуправление. 2016. № 2. С. 34-39.
• См.: Официальный сайт муниципального образования город Салехард. URL:http://www.salekhard.org.
• См.: Шугрина Е. С. Основные направления повышения престижа муниципальнойслужбы //Актуальные проблемы российского права. 2015. № 10. С. 82-91.