Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Таблица значений функции φ(x); для отрицательных значений x пользуются этой же таблицей (функция φ (x) четная: φ(-x) = φ(x)).
Пример №1
. В каждом из 700 независимых испытаний событие A происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найдите вероятность того, что событие A происходит: а) ровно 270 раз; б) меньше чем 270 и больше чем 230 раз; в) больше чем 270 раз.
Решение.
Так как количество опытов n = 700 довольно велико, то используем формулы Лапласа.
а) Задано: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Найдем P 700 (270). Используем локальную теорему Лапласа.
Находим:
Значение функции φ(x) найдем из таблицы:
б) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Найдем P 700 (230 < k < 270).
Используем интегральную теорему Лапласа (23), (24). Находим: 
Значение функции Ф(x) найдем из таблицы :
в) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Найдем P 700 (k > 270).
Имеем:
Пример №2
. При установившемся технологическом процессе на ткацкой фабрике происходит 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Определите: а) вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити; б) наивероятнейшее число обрывов нити на 80 веретенах в течение часа.
Решение.
Статистическая вероятность обрыва нити в течение часа равна p = 10/100 = 0,1 и, следовательно, q = 1 – 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
Поскольку n велико, то используется локальная теорема Лапласа (23). Вычисляем:
Воспользуемся свойством φ(-x) = φ(x), находим φ(0,37) ≈ 0,3726, а затем вычисляем искомую вероятность:
Таким образом, вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити, приближенно равна 0,139.
Наивероятнейшее число k 0 наступлений события при повторных испытаниях определим по формуле (14). Находим: 7,1 < k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.
Пример №3 . Вероятность того, что деталь первого сорта равна 0.4. Сделано 150 деталей. Найти вероятность того, что среди них 68 деталей первого сорта.
Пример №4
. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна p .
Найти вероятность того, что событие состоится n раз, если проведения m испытаний.
Ответ представить с точностью до трех значащих цифр.
р=0.75, n=87, m=120
Резиновый шар, мыльный пузырь могут оставаться в равновесии лишь при условии, чтобы давление воздуха внутри них было на определенную величину больше давления наружного воздуха. Вычислим превышение внутреннего давления над наружным.
Пусть мыльный пузырь имеет радиус и пусть избыток давления внутри него над наружным давлением равняется Чтобы увеличить объем пузыря на исчезающе малую величину нужно затратить работу которая идет на увеличение свободной энергии поверхности пузыря и равна где а - поверхностное натяжение мыльной пленки, величина одной из поверхностей пузыря (разностью радиусов внутренней и наружной поверхностей для простоты пренебрегаем). Итак, имеем уравнение
с другой стороны,
Подставляя выражения для в вышеприведенное уравнение, получаем:
По закону противодействия такую же величину имеет давление, производимое пузырем на воздух, находящийся внутри него.
Если вместо пузыря, имеющего две поверхностные пленки, будем рассматривать каплю, у которой только одна поверхность, то придем к выводу, что поверхностная пленка производит на внутренность капли давление, равное
где радиус капли.
Вообще вследствие кривизны поверхностного слоя жидкости создается избыточное давление: положительное под выпуклой поверхностью и отрицательное под вогнутой поверхностью. Таким образом, при наличии кривизны поверхностный слой жидкости становится источником силы, направленной от выпуклой стороны слоя к вогнутой стороне.
Рис. 226. К пояснению формулы Лапласа.
Лаплас дал формулу для избыточного давления пригодную для случая, когда поверхность жидкости имеет любую форму, допускаемую физической природой жидкого состояния. Эта формула Лапласа имеет следующий вид:
где имеют следующее значение. В какой-нибудь точке поверхности жидкости (рис. 226) нужно вообразить нормаль и через эту нормаль провести две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекут поверхность жидкости по кривым и Радиусы кривизны этих кривых в точке и обозначаются через
Легко видеть, что из формулы Лапласа для плоской поверхности жидкости получается а для шаровой поверхности как это мы вывели раньше.
Если бы поверхность была «седлообразной», то кривые и лежали бы по разные стороны от касательной плоскости в
точке тогда радиусы имели бы разные знаки. В геометрии доказывается, что у так называемых минимальных поверхностей т. е. имеющих при данном контуре наименьшую возможную площадь, сумма всюду равняется нулю. Как раз этим свойством обладают мыльные пленки, затягивающие какой-нибудь проволочный контур.
Пена есть собрание пузырей, имеющих общие стенки. Кривизна такой стенки (определяемая выражением + пропорциональна разности давлений по обе стороны стенки.
Если конец чистой стеклянной палочки погрузить в чистую воду и вынуть палочку, то увидим на конце ее висящую каплю воды. Очевидно, что молекулы воды сильнее притягиваются к молекулам стекла, чем друг к другу.
Подобно этому медной палочкой можно поднять каплю ртути. В таких случаях говорят, что твердое тело смачивается жидкостью.
Иное будет, если опустим чистую стеклянную палочку в чистую ртуть или если стеклянную палочку, покрытую жиром, опустим в воду: здесь палочка, вынутая из жидкости, не уносит ни капли этой последней. В этих случаях говорят, что жидкость не смачивает твердого тела.
Рис. 227. Стрелками показаны направления сил, с которыми поверхностный слой действует на находящийся под ним столбик жидкости.
Если погрузить в воду узкую чистую стеклянную трубку, то вода в трубке поднимется на известную высоту вопреки силе тяжести (рис. 227, а). Узкие трубки называются капиллярными, или капиллярами, а отсюда и самое явление носит название капиллярности. Жидкости, смачивающие стенки капиллярной трубки, претерпевают капиллярное поднятие. Жидкости, не смачивающие стенок капилляра (например, ртуть в стеклянной трубке), претерпевают, как показано на рис. 227, б, опускание. Капиллярные поднятия и опускания бывают тем больше, чем уже капилляры.
Капиллярные поднятия и опускания вызываются избыточным давлением, которое возникает вследствие искривления поверхности жидкости. В самом деле, в трубке, которая смачивается жидкостью, жидкость образует вогнутый мениск. По сказанному
в предыдущем параграфе поверхность такого мениска будет развивать силу, направленную снизу вверх, и эта сила будет поддерживать в трубке столбик жидкости вопреки действию тяжести. Наоборот, в трубке, которая не смачивается жидкостью, получится выпуклый мениск; он даст силу, направленную вниз и, следовательно, понижающую уровень жидкости,
Выведем зависимость между поверхностным натяжением а жидкости, ее плотностью радиусом трубки и высотой столбика, поднявшегося в трубке. Пусть жидкость «вполне смачивает» стенки трубки (как вода стеклянную трубку), так что в месте встречи с трубкой поверхность жидкости является касательной к поверхности трубки. Это касание имеет место по контуру, длина которого есть Благодаря поверхностному натяжению контур будет развивать силу и эта сила, приложенная к столбику, будет уравновешивать силу его тяжести, равную где ускорение тяжести.
Таким образом,
т. е. высота капиллярного поднятия пропорциональна поверхностному натяжению и обратно пропорциональна радиусу трубки и плотности жидкости.
Ту же формулу (11) для капиллярного поднятия можно получить как следствие формулы Лапласа (10) или (в рассматриваемом случае симметричной поверхности) формулы (9). Можно рассуждать так: в жидкости под вогнутой поверхностью давление понижено на величину поэтому при равновесии, когда давление на уровне свободной поверхности жидкости, налитой в сосуд, равно давлению жидкости в капилляре на том же уровне, столб жидкости в капилляре должен иметь такую высоту, чтобы его давление уравновешивало дефицит давления, создаваемого вогнутостью поверхности мениска. Стало быть, откуда и получается формула (11).
Рассуждая аналогично, убеждаемся, что когда жидкость «совершенно не смачивает» стенок капилляра, при равновесии она будет находиться в капилляре на уровне, пониженном на высоту, которая определяется той же формулой (11).
Измерение капиллярного поднятия является одним из простых способов определения величины а.
На рис. 228 изображено капиллярное поднятие жидкости между двумя пластинками, составляющими двугранный угол. Нетрудно сообразить, что поднявшаяся жидкость будет сверху ограничена
гиперболой; асимптотами этой гиперболы будут служить ребра двугранного угла и линия, лежащая на уровне жидкости в сосуде.
Рассмотрим условия равновесия жидкости, соприкасающейся с твердой стенкой (рис. 229). Обозначим избыточную свободную энергию каждого квадратного сантиметра поверхности твердого тела 3, граничащего с вакуумом или газом 2, через Когда слой какой-либо жидкости смачивая поверхность твердого тела, растекается по ней, поверхность раздела твердое тело - газ заменяется поверхностью раздела твердое тело - жидкость, причем свободная энергия этой новой поверхности будет уже иная, Очевидно, что убыль свободной энергии каждого квадратного сантиметра поверхности твердого тела равна работе сил, под действием которых 1 см периметра жидкой пленки перемещается на расстояние в 1 см по направлению, перпендикулярному к периметру пленки. Стало быть, разность можно рассматривать как силу, приложенную к 1 см периметра жидкой пленки, действующую касательно к поверхности твердого тела и побуждающую жидкость продвигаться по поверхности твердого тела. Однако растекание жидкости по поверхности твердого тела сопровождается увеличением поверхности между жидкостью 1 и вакуумом или газом 2, чему пр епятствует повер хностное натяжение жидкости В общем случае при неполном смачивании жидкостью твердого тела сила (как это показано на рис. 229, а) направлена под некоторым углом к поверхности твердого тела; этот угол называют краевым углом. Мы видим, таким образом, что жидкость, граничащая с твердым телом, будет находиться в равновесии тогда, когда
Отсюда находим, что краевой угол, под которым при равновесии свободная поверхность жидкости встречает поверхность
Рис. 228. Капиллярное поднятие жидкости между пластинками, составляющими двугранный угол.
Рис. 229. Жидкость смачивает твердую стенку (а); не смачивает твердую стенку
твердого тела, определяется формулой
По смыслу вывода формулы (12) ясно, что эта формула остается справедливой и для случая, когда жидкость не смачивает твердого тела (рис. 229, б); тогда краевой угол будет тупым; отсутствие смачивания означает, что (т. е. свободная энергия твердого тела на его поверхности раздела с вакуумом или газом меньше, чем на поверхности раздела того же тела с жидкостью; иначе говоря, в этом случае при продвижении жидкости по поверхности твердого тела работа не будет производиться, но, напротив, работу нужно будет затратить, чтобы осуществить такое продвижение жидкости).
При полном смачивании краевой угол а при полном отсутствии смачивания Краевой угол зависит от природы соприкасающихся веществ и от температуры. Если наклонять стенку сосуда, краевой угол от этого не меняется.
Формула (12) объясняет форму капли, лежащей на горизонтальной плоскости. На твердой подставке, которая смачивается жидкостью, капля принимает форму, изображенную на рис. 230; если же подставка не смачивается, то получается форма капли, изображенная на рис. 231, где краевой угол - тупой.
Рис. 230. Капля смачивающей жидкости.
Рис. 231. Капля несмачивающей жидкости.
Совершенно чистое стекло вполне смачивается водой, этиловым спиртом, метиловым спиртом, хлороформом, бензолом. Для ртути на чистом стекле краевой угол составляет 52° (для свежеобразованной капли 41°), для скипидара 17°, для эфира 16°.
Когда жидкость вполне смачивает подставку, то капли не возникает, а жидкость растекается по всей поверхности. Это происходит, например, с каплей воды на абсолютно чистой стеклянной пластинке. Но обыкновенно стеклянная пластинка бывает несколько загрязнена, что препятствует растеканию капли и создает измеримый краевой угол.
Рис. 232. Масляная капля на воде
Соображения, на основе которых была получена формула можно применить также и к случаю, когда вместо твердого тела мы имеем вторую жидкость, например, когда масляная капля плавает на поверхности воды (рис. 232). Но в этом случае направления сил Уже не противоположны; при соприкосновении жидкости с твердым телом нормальная составляющая поверхностного
натяжения уравновешивается сопротивлением твердой стенки, а при соприкосновении жидкостей это не имеет места; поэтому в данном случае условие равновесия должно быть записано иначе, а именно как равенство полной силы и геометрической суммы (взятой с обратным знаком) сил
Если, например, на воде плавает оливковое масло, то дин/см, дин/см и дан/см. Таким образом, здесь поверхностное натяжение на границе воздуха и воды больше суммы обоих поверхностных натяжений, которые имеет масло по отношению как к воздуху, так и к воде; мы будем поэтому иметь неограниченное растекание капли. Толщина масляного слоя дойдет до размеров одной молекулы (примерно см), а затем слой станет распадаться. Но если вода загрязнена, то ее поверхностное натяжение делается меньше, и тогда на поверхности может оставаться большая масляная капля, после того как по воде распространился очень тонкий слой масла.
Жидкость, проникающая вследствие действия молекулярных сил в тонкий зазор между двумя поверхностями твердых тел, оказывает на эти поверхности расклинивающее действие. Расклинивающее действие тонких слоев жидкости было экспериментально доказано искусными опытами проф. Б. В. Дерягина, который разработал также теорию этого явления и объяснил на основе расклинивающего действия жидкости эффект Ребиндера (§ 46).
Решим следующую задачу (задача Банаха). Некто носит в кармане две коробки спичек (по 60 спичек каждая) и всякий раз, когда нужна спичка, наугад берет коробку и вынимает спичку. Какова вероятность того, что когда первая коробка будет пуста, во второй все еще останется 20 спичек? Выбор коробки можно рассматривать как независимое испытание, в котором с вероятностью выбирается первая коробка. Всего опытов производитсяn = 60+40=100, и в этих ста опытах первая коробка должна быть выбрана 60 раз. Вероятность этого равна:
.
Из записи видно, что при больших n
пользоваться формулой Бернулли
затруднительно из-за громоздких
вычислений. Существуют специальные
приближенные формулы, которые позволяют
находить вероятности
,
еслиn
велико. Одну из
таких формул дает следующая теорема.
Теорема 2.1. (Лапласа локальная).
Если в схеме Бернулли
,
то вероятность того, что событиеA
наступит ровноk
раз,
удовлетворяет при большихn
соотношению
где
.
Для удобства вводится в рассмотрение
функция
–
локальная функция Лапласа, с помощью
которой теорему Лапласа можно записать
так:
Существуют специальные таблицы функции
,
по которым для любого значения:
можно найти соответствующее значение
функции. Получены эти таблицы путем
разложения функции
в ряд.
Геометрически этот результат означает,
что для больших n
многоугольник распределения хорошо
вписывается в график функции, стоящей
в формуле справа (рис. 2.3) и вместо
истинного значения вероятности
можно для каждогоk
брать значение функции в точкеk
.
Рис. 2.3. Локальная функция Лапласа
Вернемся теперь к задаче. Используя формулу (2.1) находим:
,
где значение
определено по таблице .
Теорема 2.2 (Лапласа интегральная). Вероятность того, что в схемеn независимых испытаний событие наступит отk 1 доk 2 раз, приближенно равна
P
n
(k
1
k
2
)
,
–
интегральная функция Лапласа, для
которой составлены таблицы. ФункцияФ(х)
нечетная:Ф(-х)=-Ф(х)
иФ
(х
4)=0,5.
Рассмотрим пока без доказательства еще одно утверждение.
Отклонение относительной частоты от вероятностиp вn независимых испытаниях равно
(
.
Замечание. Обоснование этих фактов будет рассмотрено далее в разделе 7 (подразд. 7.2, 7.3). Теоремы Лапласа иногда называют теоремами Муавра–Лапласа.
Пример 2.3.
Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0.5. 1) найти вероятность того, что событие произойдет от 400 до 500 раз, 2) найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
Решение
1) Р
900
(400<k
<500)=
=
2)
=
Если зафиксировать число опытов n , а вероятность появления события в одном опытер изменять, то многоугольник распределения будет иметь различный вид в зависимости от величиныр (рис.2.4). При значенияхp , близких к 1/2, многоугольник почти симметричен и хорошо вписывается в симметричный график функции Лапласа. Поэтому приближенная формула Лапласа дает хорошую точность.
Для малых р
(на практике меньших
)
приближение плохое из-за несимметричности
многоугольника распределения. Поэтому
возникает задача найти приближенную
формулу для вычисления вероятностей
в случае большихn
и
малых р
. Ответ на этот вопрос дает
формула Пуассона.
Итак, рассмотрим схему независимых испытаний, в которой n велико (чем больше, тем лучше), ар мало (чем меньше, тем лучше). Обозначимn р =λ . Тогда по формуле Бернулли имеем
.
Последнее равенство верно в силу того,
что
(второй замечательный предел). При
получении формулы наивероятнейшего
числа появления событияk
0 было рассмотрено отношение вероятностей.
Из него следует, что
Таким образом, при k много меньшихn имеем рекуррентное соотношение
.
Для k
=0 учтем полученный
ранее результат:
,
тогда
………………
Итак, если в схеме независимых испытаний nвелико, ар мало, то имеет местоформула Пуассона
Р
n
(к)
,
где λ=
n
р.
Закон Пуассона еще называют законом редких явлений.
Пример 2.4.
Вероятность выпуска бракованной детали равна 0,02. Детали упаковываются в коробки по 100 штук. Какова вероятность того, что а) в коробке нет бракованных деталей, б) в коробке больше двух бракованных деталей?
Решение
a
)
Так какn
велико, ар
мало, имеем
;
Р
100
(0)
;
б
)Р
100
(k
>2)=
1-Р
1-
Таким образом, в схеме независимых испытаний для вычисления вероятности Р n (k ) следует пользоваться формулой Бернулли, еслиn невелико, а еслиn велико, то в зависимости от величиныр используется одна из приближенных формул Лапласа или формула Пуассона.
Свойства жидкостей.
Особенности жидкого состояния вещества. Молекулы вещества в жидком состоянии расположены вплотную друг к другу, как и в твердом состоянии. Поэтому объем жидкости мало зависит от давления. Постоянство занимаемого объема является свойством, общим для жидких и твердых тел и отличающим их от газов, способных занимать любой предоставленный им объем.
Возможность свободного перемещения молекул относительно друг друга обусловливает свойство текучести жидкости. Тело в жидком состоянии, как и в газообразном, не имеет постоянной формы. Форма жидкого тела определяется формой сосуда, в котором находится жидкость, действием внешних сил и сил поверхностного натяжения. Большая свобода движения молекул в жидкости приводит к большей скорости диффузии в жидкостях по сравнению с твердыми телами, обеспечивает возможность растворения твердых веществ в жидкостях.
Поверхностное натяжение. С силами притяжения между молекулами и подвижностью молекул в жидкостях связано проявление сил поверхностного натяжения.
Внутри жидкости силы притяжения, действующие на одну молекулу со стороны соседних с ней молекул, взаимно компенсируются. Любая молекула, находящаяся у поверхности жидкости, притягивается молекулами, находящимися внутри жидкости. Под действием этих сил молекулы с поверхности жидкости уходят внутрь жидкости и число молекул, находящихся на поверхности, уменьшается до тех пор, пока свободная поверхность жидкости не достигнет минимального из возможных в данных условиях значения. Минимальную поверхность среди тел данного объема имеет шар, поэтому при отсутствии или пренебрежимо малом действии других сил жидкость под действием сил поверхностного натяжения принимает форму шара.
Свойство сокращения свободной поверхности жидкости во многих явлениях выглядит таким образом, будто жидкость покрыта тонкой растянутой упругой пленкой, стремящейся к сокращению.
Силой поверхностного натяжения называют силу, которая действует вдоль поверхности жидкости перпендикулярно к линии, ограничивающей эту поверхность, и стремится сократить ее до минимума.
Подвесим на крючок пружинного динамометра П-образную проволоку. Длина стороны АВ равна l . Начальное растяжение пружины динамометра под действием силы тяжести проволоки можно исключить из рассмотрения установкой нулевого деления шкалы против указателя действующей силы.
Опустим проволоку в воду, затем будем медленно опускать вниз сосуд с водой (рис. 92). Опыт показывает, что при этом вдоль проволоки образуется пленка жидкости и пружина динамометра растягивается. По показаниям динамометра можно определить силу поверхностного натяжения. При этом следует учесть, что пленка жидкости имеет две поверхности (рис. 93) и сила упругости равна по модулю удвоенному значению силы поверхностного натяжения :
Если взять проволоку со стороной АВ, вдвое большей длины, то значение силы поверхностного натяжения оказывается вдвое большим. Опыты с проволоками разной длины показывают, что отношение модуля силы поверхностного натяжения, действующей на границу поверхностного слоя длиной l , к этой длине есть величина постоянная, не зависящая от длины l . Эту величину называют коэффициентом поверхностного натяжения и обозначают греческой буквой «сигма»:
. (27.1)
Коэффициент поверхностного натяжения выражается в ньютонах на метр (Н/м). Поверхностное натяжение различно у разных жидкостей.
Если силы притяжения молекул жидкостей между собой меньше сил притяжения молекул жидкости к поверхности твердого тела, то жидкость смачивает поверхность твердого тела. Если же силы взаимодействия молекул жидкости и молекул твердого тела меньше сил взаимодействия между молекулами жидкости, то жидкость не смачивает поверхность твердого тела.
Капиллярные явления. Особенности взаимодействия жидкостей со смачиваемыми и несмачиваемыми поверхностями твердых тел являются причиной капиллярных явлений.
Капилляром называется трубка с малым внутренним диаметром. Возьмем капиллярную стеклянную трубку и погрузим один ее конец в воду. Опыт показывает, что внутри капиллярной трубки уровень воды оказывается выше уровня открытой поверхности воды.
При полном смачивании жидкостью поверхности твердого тела силу поверхностного натяжения можно считать направленной вдоль поверхности твердого тела перпендикулярно к границе соприкосновения твердого тела и жидкости. В этом случае подъем жидкости вдоль смачиваемой поверхности продолжается до тех пор, пока сила тяжести , действующая на столб жидкости в капилляре и направленная вниз, не станет равной по модулю силе поверхностного натяжения , действующей вдоль границы соприкосновения жидкости с поверхностью капилляра (рис. 94):
,
.
Отсюда получаем, что высота подъема столба жидкости в капилляре обратно пропорциональна радиусу капилляра:
(27.2)
Формула Лапласа.
Рассмотрим поверхность жидкости, опирающуюся на некоторый плоский контур. Если поверхность жидкости не плоская, то стремление её к сокращению приведёт к возникновению давления, дополнительного к тому, которое испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае выпуклой поверхности это дополнительное давление положительно, в случае вогнутой поверхности – отрицательно. В последнем случае поверхностный слой, стремясь сократиться, растягивает жидкость. Работа преподаватель курса кадровое делопроизводство москва .
Величина добавочного давления, очевидно, должна возрастать с увеличением коэффициента поверхностного натяжения α и кривизны поверхности. Вычислим добавочное давление для сферической поверхности жидкости. Для этого рассечём сферическую каплю жидкости диаметральной плоскостью на два полушария (рис. 5).
Сечение сферической капли жидкости.
Из-за поверхностного натяжения оба полушария притягиваются друг к другу с силой, равной:
Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности S=πR2 и следовательно, обуславливает дополнительное давление:
∆p=F/S=(2πRα)/ πR2=2α/R (4)
Кривизна сферической поверхности всюду одинакова и определяется радиусом сферы R. Очевидно, что чем меньше R, тем больше кривизна сферической поверхности. Кривизну произвольной поверхности принято характеризовать так называемой средней кривизной, которая может оказаться различной для разных точек поверхности.
Средняя кривизна определяется через кривизну нормальных сечений. Нормальным сечением поверхности в некоторой точке называется линия пересечения этой поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в рассматриваемой точке. Для сферы любое нормальное сечение представляет собой окружность радиуса R (R-радиус сферы). Величина H=1/R даёт кривизну сферы. В общем случае различные сечения, проведённые через одну и ту же точку, имеют различную кривизну. В геометрии доказывается, что полусумма обратных радиусов кривизны
H=0,5(1/R1+1/R2) (5)
для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений имеет одно и тоже значение. Эта величина и есть средняя кривизна поверхности в данной точке.
Радиусы R1 и R2 в формуле (5) – алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения находиться под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен, если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен.
Для сферы R1=R2=R, так что в соответствии с (5) H=1/R. Заменив в (4) 1/R через H, получим, что
Лаплас доказал, что формула (6) справедлива для поверхности любой формы, если под H понимать среднюю кривизну поверхности в это точке, под которой определяется дополнительное давление. Подставив в (6) выражение (5) для средней кривизны, получим формулу для добавочного давления под произвольной поверхностью:
∆p=α(1/R1+1/R2) (7)
Она называется формулой Лапласа.
Добавочное давление (7) обуславливает изменение уровня жидкости в капилляре, вследствие чего называется иногда капиллярным давлением.
Существование краевого угла приводит к тому, что вблизи стенок сосуда наблюдается искривление поверхности жидкости. В капилляре или в узком зазоре между двумя стенками искривленной оказывается вся поверхность. Если жидкость смачивает стенки, поверхность имеет вогнутую форму, если не смачивает – выпуклую (рис. 4). Такого рода изогнутые поверхности жидкости называются менисками.
Если капилляр погрузить одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то под искривлённой поверхностью в капилляре давление будет отличаться от давления по плоской поверхностью в широком сосуде на величину ∆p, определённую формулой (7). В результате при смачивании капилляра уровень жидкости в нём будет выше, чем в сосуде, при несмачивании – ниже.
