Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Пр a b = |b|cos(a,b) или

Где a b - скалярное произведение векторов , |a| - модуль вектора a .

Инструкция . Для нахождения проекции вектора Пp a b в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word . Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор .

Заданы :
две координаты вектора
три координаты вектора
a: ; ;
b: ; ;

Классификация проекций вектора

Виды проекций по определению проекция вектора

Виды проекций по системе координат

Свойства проекции вектора

1. Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
2. Алгебраическая проекция вектора есть число.

Теоремы о проекциях вектора

Теорема 1 . Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна проекции слагаемых векторов на ту же ось.

Теорема 2 . Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Пр a b = |b|cos(a,b)

Виды проекций вектора

1. проекция на ось OX.
2. проекция на ось OY.
3. проекция на вектор.

Проекция на ось OX	Проекция на ось OY	Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).

Пример 1 . Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60 о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что .

Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.

Пример 2 . Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120 o . Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр a b=4·cos120 o = -2.

Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.

На чертежах изображения геометрических тел строятся при использовании метода проекции. Но для этого одного изображения недостаточно, необходимо минимум две проекции. С помощью них и определяются точки в пространстве. Следовательно, нужно знать, как найти проекцию точки.

Проекция точки

Для этого потребуется рассмотреть пространство двугранного угла, с расположенной внутри точкой (А). Здесь используются горизонтальная П1 и вертикальная П2 плоскости проекций. Точка (А) проецируется на проекционные плоскости ортогонально. Что касается перпендикулярных проецирующих лучей, то они объединяются в проецирующую плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций. Таким образом, при совмещении горизонтальной П1 и фронтальной П2 плоскостей путем вращения по оси П2 / П1, получаем плоский чертеж.

Затем перпендикулярно оси показывается линия с расположенными на ней точками проекции. Так получается комплексный чертеж. Благодаря построенным отрезкам на нем и вертикальной линии связи, легко можно определять положение точки относительно проекционных плоскостей.

Чтобы было проще понять, как найти проекцию, необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник. Его короткая сторона является катетом, а длинная – гипотенузой. Если выполнить на гипотенузу проекцию катета, то она поделится на два отрезка. Для определения их величины, нужно выполнить расчет набора исходных данных. Рассмотрим на данном треугольнике, способы расчета основных проекций.

Как правило, в данной задаче указывают длину катета N и длину гипотенузы D, чью проекцию и требуется найти. Для этого узнаем, как найти проекцию катета.

Рассмотрим способ нахождения длины катета (А). Учитывая, что среднее геометрическое от проекции катета и длины гипотенузы равняется искомой нами величине катета: N = √(D*Nd).

Как найти длину проекции

Корень из произведения можно найти возведением в квадрат значения длины искомого катета (N), а затем поделенного на длину гипотенузы: Nd = (N / √ D)² = N² / D. При указании в исходных данных значений только катетов D и N, длину проекции следует находить при помощи теоремы Пифагора.
Найдем длину гипотенузы D. Для этого нужно воспользоваться значениями катетов √ (N² + T²), а затем подставить полученное значение в следующую формулу нахождения проекции: Nd = N² / √ (N² + T²).

Когда в исходных данных указаны данные о длине проекции катета RD, а также данные о величине гипотенузы D, следует вычислять длину проекции второго катета ND при помощи простой формулы вычитания: ND = D – RD.

Проекция скорости

Рассмотрим, как найти проекцию скорости. Для того чтобы заданный вектор представлял описание движения, его следует разместить в проекции на координатные оси. Различают одну координатную ось (луч), две координатные оси (плоскость) и три координатные оси (пространство). При нахождении проекции необходимо из концов вектора опустить перпендикуляры на оси.

Для того чтобы уяснить значения проекции, необходимо узнать, как найти проекцию вектора.

Проекция вектора

При движении тела перпендикулярно относительно оси, проекция будет представлена в виде точки, и иметь значение равное нулю. Если же движение осуществляется параллельно координатной оси, то проекция будет совпадать с модулем вектора. В случае, когда тело движется таким образом, что вектор скорости направлен под углом φ относительно оси (х), проекция на данную ось будет являться отрезком: V(x) = V cos(φ), где V – это модель вектора скорости.Когда направления вектора скорости и координатной оси совпадают, то проекция является положительной, и наоборот.

Возьмем следующее координатное уравнение: x = x(t), y = y(t), z = z(t). В данном случае функция скорости будет спроецирована на три оси и будет иметь следующий вид: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Отсюда следует, что для нахождения скорости необходимо брать производные. Сам же вектор скорости выражается уравнением такого вида: V = V(x) i + V(y) j + V(z) k. Здесь i, j, k являются единичными векторами координатных осей x, y, z соответственно. Таким образом, модуль скорости вычисляется по следующей формуле: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).

а на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.

Предварительные сведения

Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

1. Они сонаправлены;
2. Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Определение 8

Геометрической проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A"$ - начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B"$ - конец искомого вектора. Вектор $\overline{A"B"}$ и будет искомым вектором.

Рассмотрим задачу:

Пример 1

Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A"$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B"$ (рис. 7).

Обозначим через а угол между вектором и осью проекции и перенесем вектор

так, чтобы его начало совпало с какой-нибудь точкой оси. Если направления составляющей вектора и оси одина ковы, то угол а будет острым и, как видно из рис. 24, а,

где а - модуль вектора а. Если же направления вектора и оси противоположны, то, учитывая знак проекции, будем иметь-(см. рис. 24, б)

т. е. предыдущее выражение (нужно помнить, что в данном случае угол а тупой и

Таким образом, проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

Кроме этой имеющей исключительно важное значение формулы, для проекции вектора на ось можно дать еще одну очень простую формулу. Установим на оси начало отсчета и выберем масштаб, общий с масштабом векторов. Как известно, координатой точки называется число, выражающее в выбранном масштабе расстояние от начала отсчета оси до проекции данной точки на ось, причем это число берется со знаком плюс, если проекция точки удалена от начала отсчета в сторону направления оси, и со знаком минус в противном случае. Так, например, координатой точки А (рис. 23, б) будет взятое со знаком число, выражающее длину отрезка а координатой точки В будет взятое со знаком - число, определяющее длину отрезка (мы не останавливаемся на этом

подробнее, считая, что читатель знаком с понятием координат точки из курса элементарной математики).

Обозначим через координату начала, а через координату конца вектора на ось х. Тогда, как видно из рис. 23, а, будем иметь

Проекция вектора на ось х будет равна

или, учитывая предыдущие равенства,

Легко видеть, что эта формула имеет общий характер и не зависит от расположения вектора относительно оси и начала отсчета. Действительно, рассмотрим случай, изображённый на рис. 23, б. Из определения координат точек и проекции вектора последовательно получим

(читатель легко проверит справедливость формулы и и при другом расположении вектора относительно оси и начала отсчета).

Из (6.11) следует, что проекция вектора на ось равна разности координат конца и начала вектора.

Вычисление проекции вектора на ось встречается весьма часто в самых различных вопросах. Поэтому необходимо выработать твердые навыки вычисления проекций. Можно указать некоторые приемы, облегчающие процесс вычисления проекций.

1. Знак проекции вектора на ось, как правило, можно определить непосредственно из чертежа, а модуль проекции можно вычислить по формуле

где - острый угол между вектором и осью проекций - если а если Этом прием, не внося ничего принципиально нового, несколько

облегчает вычисление проекции, так как не требует тригонометрических преобразований.

2. Если требуется определить проекции вектора на две взаимноперпендикулярные оси х и у (предполагается, что вектор лежит в плоскости этих осей) и - острый угол между вектором и осью х, то

(знак проекций определяется из чертежа).

Пример. Найти проекции на оси координат х и у силы изображенной на рис. 25. Из чертежа видно, что обе проекции будут отрицательны. Следовательно,

3. Иногда применяется правило двойного проектирования, состоящее в следующем. Пусть дан вектор и ось лежащая в плоскости Опустим из конца вектора перпендикуляры на плоскость и прямую и соединим затем основания перпендикуляров отрезком прямой линии (рис. 26). Обозначим угол между вектором и плоскостью через угол между и через и угол между вектором и осью проекций через а. Так как угол прямой (по построению), то

Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами. Но есть и такие величины, которые определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой-либо силы, необходимо указать не только значение этой силы, но и направление ее действия. Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.

Определение вектора

Любая упорядоченная пара точек А к В пространства определяет направленный отрезок , т.е. отрезок вместе с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В - его концом. Направлением отрезка считают направление от начала к концу.

Определение
Направленный отрезок называется вектором.

Будем обозначать вектор символом \(\overrightarrow{AB} \), причем первая буква означает начало вектора, а вторая - его конец.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается \(\vec{0} \) или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается \(|\overrightarrow{AB}| \) или \(|\vec{a}| \).

Векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \) называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.

Определение
Векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \) называются равными (\(\vec{a} = \vec{b} \)), если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

На рис. 1 изображены слева неравные, а справа - равные векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \). Из определения равенства векторов следует, что если данный вектор перенести параллельно самому себе, то получится вектор, равный данному. В связи с этим векторы в аналитической геометрии называют свободными.

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве заданы ось \(u \) и некоторый вектор \(\overrightarrow{AB} \). Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси \(u \). Обозначим через А" и В" точки пересечения этих плоскостей с осью (см. рисунок 2).

Проекцией вектора \(\overrightarrow{AB} \) на ось \(u \) называется величина А"В" направленного отрезка А"В" на оси \(u \). Напомним, что
\(A"B" = |\overrightarrow{A"B"}| \) , если направление \(\overrightarrow{A"B"} \) совпадает c направлением оси \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow{A"B"}| \) , если направление \(\overrightarrow{A"B"} \) противоположно направлению оси \(u \),
Обозначается проекция вектора \(\overrightarrow{AB} \) на ось \(u \) так: \(Пр_u \overrightarrow{AB} \).

Теорема
Проекция вектора \(\overrightarrow{AB} \) на ось \(u \) равна длине вектора \(\overrightarrow{AB} \) , умноженной на косинус угла между вектором \(\overrightarrow{AB} \) и осью \(u \) , т.е.

\(Пр_u \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|\cos \varphi \) где \(\varphi \) - угол между вектором \(\overrightarrow{AB} \) и осью \(u \).

Замечание
Пусть \(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{A_2B_2} \) и задана какая-то ось \(u \). Применяя к каждому из этих векторов формулу теоремы, получаем

\(Пр_u \overrightarrow{A_1B_1} = Пр_u \overrightarrow{A_2B_2} \) т.е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Проекции вектора на оси координат

Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор \(\overrightarrow{AB} \). Пусть, далее, \(X = Пр_u \overrightarrow{AB}, \;\; Y = Пр_u \overrightarrow{AB}, \;\; Z = Пр_u \overrightarrow{AB} \). Проекции X, Y, Z вектора \(\overrightarrow{AB} \) на оси координат называют его координатами. При этом пишут
\(\overrightarrow{AB} = (X;Y;Z) \)

Теорема
Каковы бы ни были две точки A(x 1 ; y 1 ; z 1) и B(x 2 ; y 2 ; z 2), координаты вектора \(\overrightarrow{AB} \) определяются следующими формулами:

X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1

Замечание
Если вектор \(\overrightarrow{AB} \) выходит из начала координат, т.е. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, то координаты X, Y, Z вектора \(\overrightarrow{AB} \) равны координатам его конца:
X = x, Y = y, Z = z.

Направляющие косинусы вектора

Пусть дан произвольный вектор \(\vec{a} = (X;Y;Z) \); будем считать, что \(\vec{a} \) выходит из начала координат и не лежит ни в одной координатной плоскости. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям. Вместе с координатными плоскостями они образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок ОА (см. рисунок).

Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений. Следовательно,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Но \(|OA| = |\vec{a}|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); таким образом, получаем
\(|\vec{a}|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
или
\(|\vec{a}| = \sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2} \)
Эта формула выражает длину произвольного вектора через его координаты.

Обозначим через \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) углы между вектором \(\vec{a} \) и осями координат. Из формул проекции вектора на ось и длины вектора получаем
\(\cos \alpha = \frac{X}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} \)
\(\cos \beta = \frac{Y}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} \)
\(\cos \gamma = \frac{Z}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) называются направляющими косинусами вектора \(\vec{a} \) .

Возводя в квадрат левую и правую части каждого из предыдущих равенств и суммируя полученные результаты, имеем
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Линейные операции над векторами и их основные свойства

Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов и умножения векторов на числа.

Сложение двух векторов

Пусть даны два вектора \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \). Суммой \(\vec{a} + \vec{b} \) называется вектор, который идет из начала вектора \(\vec{a} \) в конец вектора \(\vec{b} \) при условии, что вектор \(\vec{b} \) приложен к концу вектора \(\vec{a} \) (см. рисунок).

Замечание
Действие вычитания векторов обратно действию сложения, т.е. разностью \(\vec{b} - \vec{a} \) векторов \(\vec{b} \) и \(\vec{a} \) называется вектор, который в сумме с вектором\(\vec{a} \) дает вектор \(\vec{b} \) (см. рисунок).

Замечание
Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора \(\vec{a},\;\; \vec{b}, \;\; \vec{c} \). Сложив \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \), получим вектор \(\vec{a} + \vec{b} \). Прибавив теперь к нему вектор \(\vec{c} \), получим вектор \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \)

Произведение вектора на число

Пусть даны вектор \(\vec{a} \neq \vec{0} \) и число \(\lambda \neq 0 \). Произведением \(\lambda \vec{a} \) называется вектор, который коллинеарен вектору \(\vec{a} \), имеет длину, равную \(|\lambda| |\vec{a}| \), и направление такое же, как и вектор \(\vec{a} \) , если \(\lambda > 0 \), и противоположное, если \(\lambda Геометрический смысл операции умножения вектора \(\vec{a} \neq \vec{0} \) на число \(\lambda \neq 0 \) можно выразить следующим образом: если \(|\lambda| >1 \), то при умножении вектора \(\vec{a} \) на число \(\lambda \) вектор \(\vec{a} \) «растягивается» в \(\lambda \) раз, а если \(|\lambda| 1 \).

Если \(\lambda =0 \) или \(\vec{a} = \vec{0} \), то произведение \(\lambda \vec{a} \) считаем равным нулевому вектору.

Замечание
Используя определение умножения вектора на число нетрудно доказать, что если векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \) коллинеарны и \(\vec{a} \neq \vec{0} \), то существует (и притом только одно) число \(\lambda \) такое, что \(\vec{b} = \lambda \vec{a} \)

Основные свойства линейных операций

1. Переместительное свойство сложения
\(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \)

2. Сочетательное свойство сложения
\((\vec{a} + \vec{b})+ \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+ \vec{c}) \)

3. Сочетательное свойство умножения
\(\lambda (\mu \vec{a}) = (\lambda \mu) \vec{a} \)

4. Распределительное свойство относительно суммы чисел
\((\lambda +\mu) \vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a} \)

5. Распределительное свойство относительно суммы векторов
\(\lambda (\vec{a}+\vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b} \)

Замечание
Эти свойства линейных операций имеют фундаментальное значение, так как дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия. Например, в силу свойств 4 и 5 можно выполнять умножение скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».

Теоремы о проекциях векторов

Теорема
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.
\(Пр_u (\vec{a} + \vec{b}) = Пр_u \vec{a} + Пр_u \vec{b} \)

Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

Теорема
При умножении вектора \(\vec{a} \) на число \(\lambda \) его проекция на ось также умножается на это число, т.е. \(Пр_u \lambda \vec{a} = \lambda Пр_u \vec{a} \)

Следствие
Если \(\vec{a} = (x_1;y_1;z_1) \) и \(\vec{b} = (x_2;y_2;z_2) \), то
\(\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Следствие
Если \(\vec{a} = (x;y;z) \), то \(\lambda \vec{a} = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) для любого числа \(\lambda \)

Отсюда легко выводится условие коллинеарности двух векторов в координатах.
В самом деле, равенство \(\vec{b} = \lambda \vec{a} \) равносильно равенствам \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \) или
\(\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} \) т.е. векторы \(\vec{a} \) и \(\vec{b} \) коллинеарны в том и только в том случае, когда их координаты пропорциональны.

Разложение вектора по базису

Пусть векторы \(\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k} \) - единичные векторы осей координат, т.e. \(|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1 \), и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат (см. рисунок). Тройка векторов \(\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k} \) называется базисом.
Имеет место следующая теорема.

Теорема
Любой вектор \(\vec{a} \) может быть единственным образом разложен по базису \(\vec{i}, \; \vec{j}, \; \vec{k}\; \), т.е. представлен в виде
\(\vec{a} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} + \nu \vec{k} \)
где \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) - некоторые числа.