ВЕРОЯТНОСТНАЯ ДИАГНОСТИКА ПО БАЙЕСУ

Цели работы

1. Познакомиться с возможностями диагностических систем.

2. Познакомиться с принципом метода вероятностной диагностики.

3. Опробовать на практике метод вероятностной диагностики по Байесу в компьютерном исполнении.

I. Контрольные вопросы

1. В каких случаях целесообразно использовать диагностические системы?

2. Назовите этапы диагностического алгоритма.

3. Назовите основные виды врачебной логики.

4. В чем заключается смысл информационно-вероятностной логики?

5. Как рассчитывается вероятность диагноза по Байесу?

6. Что такое априорная вероятность диагноза?

7. В чем на, Ваш взгляд, заключаются преимущества и недостатки машинных методов диагностики, по сравнению с традиционными?

8. Как Вы считаете, действительно симптомы, перечисленные в диагностической таблице, встречаются с такой вероятностью?

II. Теоретическая часть

В медицине врачи принимают важное решение, которое определяет успех всей работы: ставят диагноз. Точность диагностики зависит от квалификации специалиста (эксперта) – его умения правильно проанализировать имеющуюся информацию. Но бывают ситуации, когда нет высококвалифицированного специалиста по какой-либо специальности. Поэтому, по мере развития вычислительной техники, возникла идея заложить знания специалистов в компьютер и использовать его в качестве электронного эксперта.

По способу решения задачи диагностики различают вероятностные системы и экспертные системы . В вероятностных системах диагностика осуществляется реализацией одного из методов распознавания образов или статистических методов принятия решений. В экспертных системах - реализуется логика принятия диагностического решения опытным врачом.

Применение диагностических систем (вероятностных и экспертных) наиболее важно в следующих случаях:

неотложные и угрожающие состояния;

дефицит времени;

ограниченные возможности обследования;

скудная клиническая симптоматика;

быстрые темпы развития заболевания.

Необходимо отметить, что работа с диагностическими системами может вестись удаленно.

1. Диагностический алгоритм

С точки зрения кибернетики, диагностика - это поэтапный процесс переработки информации в системе “врач - больной“. Первый этап диагностического процесса - сбор информации о состоянии больного; второй этап - отбор из нее наиболее существенных данных и систематизация их в определенный симптомокомплекc; третий этап - сопоставление его с данными об известных заболеваниях. Логическая последовательность правил, в которой информация о состоянии больного сопоставляется с комплексом признаков типичных заболеваний, называется диагностическим алгоритмом. На основании результатов сравнения и принимается решение о диагнозе. Это решение является простым и для врача, и для компьютера, только тогда, когда весь набор симптомов у больного совпадает с симптомокомплексом определенного заболевания. На практике это встречается не столь часто и приходится выбирать несколько возможных диагнозов с указанием их вероятности.

2. Основные виды врачебной логики

Детерминистская логика - это наиболее простой диагностический приём, основанный на прямых связях между наличием у больного определенных симптомов и диагнозом заболевания. Есть симптом - 1, нет - 0. И затем количество “единичек” у больного сравнивается с количеством их у эталона диагноза.

Метод фазового интервала - это приём, при котором в многомерном пространстве симптомов заранее строятся области различных заболеваний. Сущность диагностического процесса состоит в том, чтобы определить, к какой из выделенных областей ближе всего находится точка, представляющая симптомокомплекс данного больного.

Информационно-вероятностная логика- это диагностический приём, в котором при вычислении вероятностей нескольких диагнозов при данном симптомокомплексе учитывается разная вероятность каждого симптома при разных заболеваниях (а не просто “да - нет”, как в детерминистском).

Метод экспертных систем - это такой диагностический алгоритм, при котором знания опытных специалистов, экспертов представлены в виде программы с ветвлениями типа “если..., то...”, а на концах этих ветвей расположены диагнозы. Компьютер при опросе больного проходит по той или иной ветви и в завершение выставляет диагноз. Такие программы при постановке диагноза в трудных случаях действуют на уровне специалиста высшей медицинской категории.

Целью данной работы является более подробное ознакомление с информационновероятностным подходом при машинной постановке диагноза.

3. Метод информационно-вероятностной логики

Данный метод предложен М.Л. Быховским. В основе метода лежит диагностическая таблица, составленная для определённого класса заболеваний. Составление таких таблиц - сложная задача. Для её решения изучается и обрабатывается большое количество историй болезней с проверенными диагнозами, что стало возможным только благодаря применению для этих целей компьютера. А именно, на компьютере вычисляются условные вероятности наличия симптомов Si при заболевании Dj , которые обозначаются P(Si /Dj ) (читается: “Вероятность Si при Dj ”).

Условная вероятность P(Si /Dj ) означает, что если у больного установлено заболевание с диагнозом Dj , то симптомы Si , относящиеся к данному заболеванию, имеют вероятность P (Si /Dj ). Например, берется 1000 историй болезней с диагнозом “туберкулёз лёгких”. Из историй болезней выписываются все симптомы, встретившиеся при этом заболевании. Так повышение температуры встретилось у 980 больных, значит вероятность этого симптома равна 980/1000 = 0,98. Повышение давления встретилось в 30 случаях при данном диагнозе, вероятность этого симптома равна 30/1000 = 0,03 и т.д. Эти вероятности сводятся в таблицу, которая является основой метода. В диагностическую таблицу, входит: набор симптомов Si , относящихся к определенному классу заболеваний (по вертикали), болезни данного класса (по горизонтали), и набор P(Si /Dj ) для различных заболеваний. Диагноз ставится не по одному, а по нескольким симптомам, обнаруженным у больного. Например, S2 , S7 , S9 , S14 , S19 - этот набор симптомов называется симптомокомплексом. Будем обозначать его Sci .

4. Вероятность диагноза

Первое, что делается при рассматриваемом диагностическом методе - это выборка вероятностей всех симптомов для предполагаемых заболеваний. Так как одни и те же симптомы могут с разной вероятностью проявляться при разных диагнозах, то должно появиться четыре группы чисел, если заболеваний четыре:

P(S2 /D1 ), …		P(S2 /D4 )
P(S7 /D1 ), …		P(S7 /D4 )

…. … … ….

P(S19 /D1 ), … …. P(S19 /D4 )

Если симптомов много и много возможных диагнозов, что и бывает на практике, то один этот этап выборки осуществить без привлечения компьютера трудно.

Второе: условную вероятность симптомокомплекса вычисляют по формуле:

P(Sci /Dj )=P(S1 /Dj )*P(S2 /Dj )*…..*P(Sn /Dj )

То есть перемножают вероятности симптомов последовательно во всех группах чисел.

Третье: задача диагностики заключается в том, чтобы на основании симптомокомплекса, установленного у больного, и данных диагностической таблицы определить вероятности P(Dj /Sci ) каждой из имеющихся в таблице болезней Dj , т.е. по сути дела нужно перейти от P(Sci /Dj ) к P(Dj /Sci ). Этот переход осуществляется по известной в теории вероятностей формуле Байеса:

P(Dj /Sci ) = P(Sci /Dj )*P(Dj )/P(Sc).

В эту формулу входит P(Dj ), которую называют априорной вероятностью некоторого заболевания Dj . Вероятность P(Dj ) характеризует распределение болезней в данной группе населения. Такой группой может быть контингент данной больницы, данного района, данного города. Априорной (доопытной) она называется потому, что уже известна до получения симптомокомплекса, т.е. к ней новый больной никакого отношения не имеет. Смысл введения в диагностику величины P(Dj ) состоит в том, что она непостоянна и зависит от географических, сезонных, эпидемиологических и других факторов, которые должны быть учтены при постановке диагноза. Например, в какой-либо больнице наугад было выбрано 100 больных, 70 из них оказались больны гриппом. Значит, вероятность заболевания гриппом у всех пациентов в данной больнице будет равна 70/100 = 0,7, когда эпидемия гриппа будет ликвидирована, естественно и P(Dj ) для гриппа в этой больнице будет другой.

Знаменатель формулы Байеса представляет полную вероятность наличия комплекса при всех болезнях:

P(Sc) = ∑ P(Sci /Dj )*P(Dj )

Этот сомножитель вводится в формулу Байеса для нормировки, т.е. чтобы получающиеся вероятности были выражены в процентах. Суммирование здесь производится по индексу j (номер диагноза). В нашем примере в этой сумме окажется четыре слагаемых.

Диагноз, имеющий наибольшую вероятность, и будет рассматриваться как искомый диагноз. Оценить достоверность результата и поставить окончательный диагноз может только врач. Например, если полученный диагноз имеет вероятность меньше 60%, то результат не является достоверным и необходимо повторить процедуру диагностики, увеличив число симптомов.

Модальная логика. Вероятностная логика

1. Сущность модальной логики

Традиционная или классическая логика, которую мы до сих пор рассматривали, является самой простой и наиболее употребительной логической системой. Она исходит из того, что атомарные (простые) суждения и понятия, из которых строятся рассуждения и которые уже не анализируются, либо истины, либо ложны, но ни то ни другое вместе. Однако многие понятия и суждения повседневных и научных рассуждений не так хорошо укладываются в категории истинных и ложных. Истинностное значение суждения «Вероятно, завтра будет дождь» весьма и весьма не определено. Некоторые логики, начиная с Аристотеля, стали учитывать различие между истинами, являющимися таковыми, так сказать, в силу необходимости, и истинами случайными. Так возникли модальная логика и вероятностная логика.

В отличие от классической логики, приписывающей суждениями и понятием два истинностных значения: истина и ложь, модальная логика оперирует такими истинностными значениями, как «возможно», «необходимо», «невозможно», и т.д. Первую попытку построить модальную логику предпринял Аристотель в своем сочинении «Первая и вторая аналитики» (ей посвящены главы третья и восьмая – двадцать вторая «первой аналитики»). Однако, как подметил Я. Лукосевич (1878–1956), аристотелевское изложение модальной логики не было свободно от недостатков. Ученик Аристотеля Теофраст (370–288 до н. э.) уточнил учение Аристотеля о модальности суждений. Средневековые схоласты развили аристотелевскую модальную силлогистику. Современные исследования в области модальной логики характеризуются стремление построить аксиоматические системы модальной логики. Наиболее известные из них это системы Льюиса, Аккермана и Лукасевича.

Модальная и вероятностная логики – довольно специфические ветви логики. Знакомство с их основами необходимо для понимания методологии научного исследования.

2. Модальность суждений

Под модальностью суждений понимается различия между суждением в зависимости от того, выражают ли они необходимую или вероятностную (случайную) связь между субъектом и предикатом. По модальности суждения делят на три группы: суждения возможности (проблематические), суждения действительности(ассерторические) и суждения необходимости(аподиктические). В суждении возможности отображается возможность наличия или отсутствия признаков у предмета, о котором говорится в данном суждении. Его формула «S возможно есть (не есть) Р ». Таким будет, например, суждение «Возможно в Киеве в апреле этого года будет снег». В суждении действительности констатируется наличие или отсутствие у предмета того или иного признака. Его формулы «S есть (не есть) Р ». Суждение «Киев стоит на Днепре» – это суждение действительности. В суждении необходимости отображается такой признак, который имеется (отсутствует) у предмета при всех условиях. Его формула «S необходимо есть (не есть) Р ». примером суждения необходимости может быть следующее суждение: «Тело, лишенное опоры, падает на Землю».

Суждения возможности, действительности и необходимости делятся по качеству на утвердительные и отрицательные, а также по количеству на частные и общие.

В модальной логики различают логические и физические модальности. Логические модальности – это законы логики и математики. В число физических или каузальных (причинных) модальностей входят все законы экспериментальных наук. Так, суждение «Не верно, что Р и не‑Р », «2+2=4 » и т.п. выражают логические модальности, а суждения «PV=RT », «U=IR » и т.п. – физические.

Различают также абсолютные и относительные модальности. К абсолютным модальностям относят законы логики, математики, других наук необходимые сами по себе, независимые от чего бы то ни было. Это скажем, суждения «А=А », «2+3=5 », «S=Vt » и т.д. Относительные модальности являются таковыми, необходимо или не необходимо зависимы от чего-либо.

Такими модальностями будут, например, суждения: «Прямоугольник является квадратом, если его стороны равны», «Вода кипит при 100 0 С при атмосферном давлении 760 мм ртутного столба» и т.п.

Логические и физические модальности, независимо от того абсолютны они или относительны, объединяются в алетевтические модальности.

Модальности, характеризующие допустимые (или недопустимые) поступки людей, называются деонтологическими. Они выражаются в суждениях, в которых употребляются такие слова (модальные операторы), как «обязательно», «разрешено», «запрещено», «имеют право» и др. Примерами таких модальностей будут суждения: «На Украине пропаганда войны запрещена», «Граждане Украины имеют право исповедовать любую религию или никакую, быть атеистами» и т.п. Деонтологические модальности являются предметом изучения таких наук как этика, юриспруденция.

Модальности, характеризующие доказательность каких-либо суждений, называются эпистемологическими. В суждениях эпистемологической модальности употребляются такие слова (модальные операторы), как «доказуемо», «опровержимо». Примерами таких модальностей могут быть суждения: «Доказуемо, что на Марсе есть жизнь», «Опровержимо, что свет имеет волновую природу» и т.д.

Эпистемологические модальности по своим свойствам близки к алетевтическим модальностям, при чем оператору «доказуемо», соответствует оператор «необходимо», оператору «опровержимо» – оператор «невозможно».

Наконец, иногда различают модальность de dicto («о речи») относящиеся к суждению в целом и de re («о вещи»), которые относятся к предикату. Так, суждение «Возможно, что на Марсе есть жизнь» будет суждением de dicto, а суждение «На Марсе возможна жизнь» – de re. Однако в большинстве современных системах модальной логики модальности интерпретируются как «абсолютные» логические модальности de dicto.

3. Модальная силогистика

Модальная силлогистика Аристотеля является крайне сложной логической системой как по своему содержанию, так и по числу модусов (их по меньшей мере 137) Аристотель последовательно рассматривает силлогизмы, в которых одна из посылок является проблематической (символически обозначается Р r ) или аподиктической (А Р ), или ассерторической (А s ). Возможное в сочетании этих посылок: 1) А р А р ; 2) А р А s ; 3) А s А р ; 4) Р r Р r ; 5) Р r А s ; 6) А s Р r ; 7) Р r А р ; 8) А р Р r . Это следует читать так: «1) большая посылка аподиктическая, меньшая – аподиктическая; 2) большая посылка аподиктическая, меньшая – ассерторическая и т.д.». В каждом из этих случаев он строит модусы, подбирая в качестве посылок общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные суждения. Руководствуясь аналогией с расположением терминов в посылках І, ІІ, ІІІ фигур категорического силлогизма, он решает задачу, какой вывод вытекает из данного сочетания посылок.

Так, подбирая посылки по аналогии с расположением посылок в 1 модусе 1 фигуры АМР Ù ASM→АSP мы получаем задачу: если всякому у необходимо присуще х и всякому z необходимо присуще у , то? в этом случае мы не вправе заменить вопросительный знак общеутвердительным аподиктическим суждением. Мы должны довольствоваться ассерторическим суждением: всякому z присуще х . Еще например, подбирая в четвертой группе (Р r Р r ) посылки согласно модусу АМР Ù YSM→YSP ІІІ фигуры получаем: если всякому у может быть присуще х и некоторым у может присуще z , то? Ответом будет вывод некоторым z может быть присуще х .

В ряде случаев трудно бывает сразу интуитивно решить, какой должен быть вывод при данном подборе посылок, являющимися модальными высказываниями и требуется тщательное изучение этих случаев.

В формализованных аксиоматических системах модальной логики эти вопросы решаются с помощью простой процедуры следования (правда, для введения этой процедуры требуется очень сложный символический язык, который вряд ли смогут понять нематематики).

Имеют место следующие содержательные правила для умозаключений модальности. В каждом истинном модус можно заключать:

1) от необходимости к действительности;

2) от невозможного к недействительному;

3) от необходимого и действительного к возможному;

4) от невозможного и недействительного к не необходимому.

Нельзя заключать:

1) от возможного к действительному;

2) от действительного к необходимому;

3) от не необходимости к недействительности;

4) от недействительности к невозможности.

4. Вероятностная логика

В вероятностной логике исследуются рассуждения с суждениями вероятности. В этих суждениях что-то утверждается или отрицается с известной степенью правдоподобия. При определении вероятностей применяются правила математического исчисления вероятностей. Это делается тремя основными путями.

Индуктивное или классическое определение вероятностей было развито Л. Ферма, Я. Бернули (1654–1705), П. Лапласом (1749–1827) и др. Оно основано на анализе равновероятных исходов мыслимого эксперимента. Если все исходы этого мыслимого эксперимента составляют n , а, m – число тех наступления события А в этом эксперименте, вероятность которого хотят найти, то

Р (А)=

Например, исходя из симметрии игральной кости до ее подбрасывания легко подсчитать, что вероятность выпадения более четырех очков (событие А ) равна 1/3. В самом деле, вероятность выпадения пяти очков равна, вероятность выпадения шести очков-то же. Следовательно,

Р (А)=

В ХХ в. сначала Р. Мизес, а затем Г. Рейхенбах обратили внимание на то, что часто интересуемые нас события опосредованы такой массой обстоятельств, что учесть их и априорно предсказать, с какой вероятностью из них будут вытекать эти события, не представляется возможным. Поэтому на практике приходится ограничиваться приближенной оценкой вероятности, получаемой из обобщения ряда наблюдений или физических экспериментов. Вероятность события А , т.е. Р (А), по Мизесу и Рейхенбаху представляет собой отношения числа m появления события А в n наблюдениях или экспериментов, т.е.

Р (А)=

Формулы вычисления вероятности события А при первом и при втором подходах совпадают. Но смысл их совершенно различен. При первом подходе вероятность вычисляетсяаpriori (до опыта), при втором apasteriori (после опыта), т.е. статистически. При первом подходе вероятностная логика может рассматриваться как расширение логики модальной, при втором – логики индуктивной.

В аксиоматической теории вероятностей вопрос о том, как определяются вероятности основных событий, не играет роли. В основу этой теории, развитой С.Н. Бернштейном, А.Н. Колмогоровым, А.Я. Хичиным лежит некоторая система аксиом, указывающая основные правила составления вероятностей сложных событий. Произведением событий А и В называется событие «А и В », суммой – событие «А или В » и т.д. вероятностью события называется число Р обладающее следующими свойствами: 0≤р(A)≤1 ; р (1)=1 ; р(0)=0 ; если А Ì В , то Р(А) ≤ Р (В) ; если А Ç В=0 , то р (А или В )= Р(А) + Р (В) и т.д.

Аксиоматическое построение теории вероятности превращает ее в раздел чистой математики.

Литература

1. Логика. К. – Хатнюк В.С. 2005 г.

2. Логика – искусство мышления. Тимирязев А.К. – К. 2000 г.

3. Философия и жизнь – журнал – К. 2004 г.

4. История логики и мышления – Касинов В.И. 1999.

5. Логика и человек – М. 2000.

6. Философия жизни. Матюшенко В.М. – Москва – 2003 г.

7. Философия бытия. Марикова А.В. – К. 2000 г.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛОГИКА

Логическая , в которой высказываниям соответствует непрерывная шкала значений истинности от 0 до 1, причем нуль приписывается высказыванию о невозможном событии, а 1 - практически достоверному. В.л. формально можно рассматривать как разновидность многозначной логики, которая оперирует дискретными значениями истинности, а В.л. - непрерывным множеством значений в интервале от 0 до 1. Поскольку появлению случайного события из статистического коллектива можно приписать некоторую , то такую же вероятность можно соотнести с высказыванием, характеризующим это , а тем самым установить соответствие между событиями и высказываниями о них. В.л. опирается, однако, на логическую интерпретацию вероятности, в которой последняя рассматривается как между посылками и заключением индукции. Первые системы В.л. возникли именно в рамках логической интерпретации, нередко логическую вероятность называют также индуктивной вероятностью.
Системы В.л. могут строиться с помощью аксиоматического метода, когда аксиомами описываются свойства вероятностных высказываний, а все дальнейшие положения, или теоремы, логически выводятся из аксиом. Первую такую систему в 1921 построил известный англ. экономист Дж.М. Кейнс. Более совершенную аксиоматическую систему В.л. в 1939 создал англ. Г. Джеффрис. В существует подобных систем.
Др. системы В.л. основываются на индуктивной интерпретации вероятности как семантической степени подтверждения заключения или гипотезы посылками или данными. К таким семантическим системам принадлежит система, предложенная в 1950 Р. Карнапом, а также появившиеся позднее системы его последователей.

Философия: Энциклопедический словарь. - М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛОГИКА

логич. система, в которой высказываниям (суждениям, утверждениям, предложениям) , помимо истины и лжи, приписываются «промежуточные» истинностные значения, наз. вероятностями истинности высказываний, степенями их правдоподобия, степенями подтверждения и т. п. Поскольку вероятности естественно соотносить с некоторым событием, а наступление события есть , допускающий (хотя бы в принципе) эмпирич. проверку, то В. л. представляет собой уточнение индуктивной логики. Взаимные переходы от языка высказываний к языку событий и обратно совершаются т. о. , что каждому событию сопоставляется о его наступлении, а высказыванию сопоставляется событие, состоящее в том, что оказалось истинным. Специфика В. л. состоит в принципиальной неустранимости неполной достоверности («относит. истинности») посылок и выводов, присущей всякому индуктивному познанию.

Проблематика В. л. развивалась уже в древности (напр., Аристотель) , а в новое время - Г. В. Лейбницем, Дж. Булем, У. С. Джевонсом, Дж. Венном.

Как логич. система В. л.- разновидность многозначной логики: истинным высказываниям (достоверным событиям) приписывается истинностное (вероятность) 1, ложным высказываниям (невозможным событиям) - значение 0; гипотетич. же высказываниям может приписываться в качестве значения любое дей-ствит. из интервала (0,1) . Вероятность гипотезы, зависящая как от её содержания, так и от информации об уже имеющемся знании («опыта») , есть их . Над истинностными значениями (вероятностями) гипотез определяются логические операции: конъюнкция (соответствующая умножению событий в теории вероятностей) и дизъюнкция (соответствующая сложению событий) ; мерой (значением) отрицания гипотезы является вероятность события, состоящего в её неподтверждении. Значения гипотез образуют при этом т. н. нормированную булеву алгебру, аппарат которой позволяет легко аксиоматизировать теорию вероятностей и является простейшим вариантом В. л.

Интенсивное получила проблематика В. л., базирующаяся на связи теоретиковероятностных понятий с идеями теории информации и логич. семантики.

Философский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛО́ГИКА

логика, приписывающая высказываниям не только значение истины и лжи, но и промежуточные значения, к-рые она называет вероятностями истинности высказываний, степенями их правдоподобия, степенями подтверждения и т.п.; совр. индуктивной логики. Вообще , приписывающая высказываниям более чем два значения, наз. многозначной логикой. Если обозначить истину через 1, а через 0, то значениями в В. л. могут быть все действит. числа между нулем и единицей. Строящийся на этом фундаменте логич. аппарат В. л. применяется для того, чтобы оценить приближенно вероятность (или правдоподобие, или степень подтверждения) высказывания, к-рого неизвестна. Всякое такое высказывание в В. л. наз. гипотезой. Напр., мы можем говорить о вероятности гипотезы "завтра будет дождь". В зависимости от соответствия данной гипотезы метеорологич. данным, от степени точности этих данных можно говорить о высокой или низкой вероятности этой гипотезы. Т. о., вероятность гипотезы определяется относительно нек-рого знания – совокупности высказываний, истинность к-рых уже известна, и является функцией от двух аргументов – гипотезы и имеющегося знания. Если логически следует из имеющихся знаний, то она истинна в той же мере, как и эти знания, и получает относительно них значение 1; если она противоречит им, то она ложна в той же мере, в какой они истинны, и получает значение 0. Во всех остальных случаях она получает нек-рое промежуточное значение.

Многозначность вероятностной оценки гипотезы не противоречит тому факту, что сама гипотеза может иметь только одно из двух значений: истины или лжи (напр., дождь завтра или будет, или не будет). Это объясняется тем, что значение вероятности характеризует отношение гипотезы к действительности не непосредственно (непосредств. отношение гипотезы к действительности остается двузначным), а через др. высказывания, выражающие наши знания.

Вопрос о точном числовом определении вероятности одних высказываний относительно других является до сих пор предметом дискуссии и решается по-разному представителями разных направлений В. л. Вычисление вероятностей сложных гипотез, для к-рых известны вероятности составляющих их высказываний, во всех системах В. л. происходит по правилам математич. исчисления вероятностей, к-рое в наст. время представляет собой аксиоматич. систему. В такой системе определяются свойства тех абстрактных объектов, о вероятностях к-рых мы можем говорить, и правила получения одних вероятностей из других.

Для исчисления вероятностей, как и всякой аксиоматич. теории, безразлично, каким образом впервые получаются вероятностные значения; в нем формулируются лишь правила получения новых вероятностей из уже имеющихся. Значение аксиоматич. подхода к теории вероятностей (ведущую роль в разработке к-рого сыграли в 20–30-е гг. 20 в. сов. математики С. Н. Бернштейн и А. Н. Колмогоров) заключалось в том, что он позволил окончательно отделить формальное от его интерпретаций, т.е. правил его применения к конкретным объектам. В. л. как раз и является одной из таких интерпретаций этого формального исчисления, т.к. она конкретизирует объектов, относительно к-рых мы можем говорить об их вероятностях, и строит получения исходных вероятностных значений (наз. часто правилом индукции), к-рое имеет вид нек-рой функции от двух аргументов: рассматриваемой гипотезы и имеющегося знания. Множество возможных систем В. л. определяется множеством возможных вариантов правила индукции.

Аксиоматич. исчисление вероятностей имеет и др. интерпретацию. С ее помощью описываются массовые случайные события (случаи смертности и рождаемости, распределение скоростей молекул и т.п.). Вероятность события понимается как его относит. частота в достаточно длинном ряду событий этого класса. Напр., то, что вероятность выпадения пятерки при бросании кости, равная 1 /6, означает, что пятерка выпадает приблизительно в 1 /6 всех случаев при достаточно большом числе бросаний. Здесь задача интерпретации заключается в том, чтобы построить правило получения вероятностей из наблюдаемых частот (напр., определить, когда может считаться достаточно длинным, и т.п.), к-рое также иногда наз. правилом индукции, или правилом статистич. вывода. Первая (логич.) , т.е. В. л., используется для оценки гипотез при логич. анализе нашего знания. Вторая (частотная, статистич.) интерпретация используется для непосредств. описания событий объективной действительности и играет важнейшую роль в большинстве совр. наук и обществе. Часто именно эту статистич. интерпретацию называют теорией вероятностей.

Т.о., среди логич. проблем, связанных с понятием вероятности, следует различать собственно В. л., занимающуюся оценкой гипотез, и логич. статистики, относящееся к уточнению осн. понятий, связанных с теорией массовых случайных событий. Иногда оба эти аспекта считаются принадлежащими к В. л., к-рая в этом случае понимается более широко – как общая индуктивных правил и интерпретаций вероятности. Оценка истинности гипотез является важнейшей методологич. задачей. Всякое вновь высказываемое науч. положение можно рассматривать как гипотезу, истинность к-рой подлежит проверке. Такой гипотезой может являться науч. , и мы можем оценить, в какой степени он вытекает из имеющихся . данных. Т.о., в В. л. на более точном языке и в более общем виде формулируется классич. индуктивной логики – общих положений из единичных данных наблюдения и эксперимента. Обобщение этой проблемы проводится в двух направлениях. Во-первых, В. л. должна иметь не только формулировать закон, но и оценивать степень его подтверждения, что, в свою очередь, позволяет сравнивать различные гипотезы и выбирать из них наиболее подтвержденную. Во-вторых, В. л. включает в круг своего рассмотрения статистич. законы, с к-рыми не умела обращаться классич. индукт. логика. Поэтому В. л. является совр. формой индукт. логики.

Развитие В. л. связано с достижениями математической логики вообще. Точная формулировка ее проблем стала возможной лишь с 30-х гг. 20 в. Однако и теперь существуют различные мнения по ряду вопросов В. л., в частности такому важнейшему вопросу, как возможность приписывать высказываниям точные числовые значения. Рассел и Пойа, напр., считают, что такое приписывание принципиально невозможно. По их мнению, мы можем говорить лишь о большей или меньшей вероятности гипотезы в сравнении с др., но не о точном числовом значении этой вероятности. С помощью исчисления вероятностей можно выяснить лишь направление вероятности вывода, т.е. ее уменьшение или увеличение. В то же время существуют системы В. л., в к-рых вероятность гипотез оценивается количественно. Наиболее известны системы Рейхенбаха и Карнапа.

История В. л. восходит почти к тем же временам, что и классич. логики. Уже у создателя классич. логики – Аристотеля имеются исследования силлогизмов, к-рых вероятны. Зачатки В. л. можно найти также у древних скептиков – Карнеада и Пиррона. Карнеаду принадлежит понятия степени правдоподобия. Большой вклад в развитие В. л. был сделан Лейбницем, у к-рого уже имеются: непрерывная шкала вероятностей, достаточно четкое вероятности или правдоподобности как меры нашего знания и попытки выяснить закрномерности, возникающие при различных операциях над вероятностями. Лейбниц положил в основу своей В. л. "равно принимать в расчет равноценные предположения", к-рый он рассматривал как один из короллариев своего закона достаточного основания. Этот принцип, часто называвшийся впоследствии принципом индифферентн о с т и, долгое время был осн. принципом В. л. К этому же времени относится создание Ферма и Паскалем матем. исчисления вероятностей. До последней трети 19 в. матем. исчисление вероятностей развивалось в тесной связи с его логич. интерпретацией, к-рая считалась единственной. Индукт. правилом являлся принцип индифферентности, согласно к-рому вероятность каждого из взаимоисключающих событий, из к-рых мы не имеем оснований предпочесть к.-л. одно (т.е. к-рые равновозможны), равна Ι/n. Определение вероятности через равновозможные случаи получило классического. Классич. вероятности была завершена в трудах Пуассона и Лапласа.

Однако с развитием естествознания, и в особенности статистич. физики, исчисление вероятностей стало применяться к новому кругу объектов – массовым случайным событиям. Вероятность стала уже объективной, измеримой характеристикой явлений действительности. Физиков не могла удовлетворить логич. концепция вероятности, рассматривавшая вероятность как меру нашего знания. Многообразие и сложность соотношений между массовыми событиями, вскрытые новой физикой, никак не укладывались в рамки понятия равновозможности, с к-рым по крайней мере в то время была самым существенным образом связана логич. концепция вероятности. Попытки же насильственным образом произвести такую операцию втискивания неизбежно приводили к субъективизации ряда физических понятий, необходимых при описании вполне объективных явлений. Применение логич. концепции вероятности к естествознанию приводило, т.о., на той стадии развития логики и естествознания к субъективному идеализму. В результате пересмотра понятий теории вероятностей (следует особо отметить труды Пуанкаре, Смолуховского, нем. ученого Мизеса) возникла частотная, статич. концепция вероятности, к-рая вначале также была объявлена единственно возможной. Такова, напр., была концепция Мизеса, к-рый определял вероятность события как предел, к к-рому стремится относит. частота появления данного события в бесконечном ряду некоторого фиксированного класса событий. Однако определение вероятности черев предел имеет серьезные как методологич., так и математич. дефекты; практически оно неприменимо, т.к. мы всегда имеем дело с конечным рядом событий. Дав резкую и в осн. справедливую критику классич. концепции, Мизес допустил др. крайность: он отрицал вообще всякую возможность применения исчисления вероятностей к логике, считая, что единств. объектом теории вероятностей являются массовые случайные события.

Широкое применение теории вероятностей в естествознании и пересмотр классич. концепции вероятности в конце 19 – нач. 20 вв. поставили новые задачи перед логикой, к-рая должна была дать правила индуктивного (в т. ч. и статистич.) вывода, а в области оценки гипотез критически пересмотреть принцип индифферентности. В работах Буля и Джевонса проблемы индукции рассматривались в связи с начавшей развиваться матем. логикой. Эти новые задачи нашли свое прежде всего в попытке распространить частотную концепцию вероятности на логику. Идея такого распространения была высказана в конце 19 в. англ. логиком Дж. Венном в книге "Логика случая" (J. Venn, The logic or chance, 1876), т.е. до появления концепции Мизеса. Наиболее полное выражение частотная концепция В. л. получила в 30-х гг. 20 в. в работах Рейхенбаха, к-рый, положив в основу определение вероятности по Мизесу, распространил его на логику.

Возможность такого распространения доказала, по мнению Рейхенбаха, что частотная концепция вероятности является универсальной и единственной. Рейхенбах дополнил определение Мизеса, сформулировав правило установления вероятности из конечной наблюдаемой частоты (правило индукции Рейхенбаха). Однако его формулировка определяет фактически множество таких индуктивных правил, не устраняя, т.о., произвола в установлении числовых значений вероятностей. В статистич. концепции вероятность является характеристикой не отд. события, а нек-рой последовательности событий. Если мы говорим, что вероятность выпадения пятерки при бросании кости равна 1 /6, то это значит, что при достаточно большом числе бросаний пятерка выпадает приблизительно в 1 /6 всех бросаний. Эта величина, т.о., определяется экспериментально, путем подсчета. Но мы не можем говорить о том, что след. бросание кости даст с такой-то вероятностью пятерку. Пятерка выпадает или не выпадает, и проверить нашу вероятностную оценку гипотезы о ее выпадении не представляется, по Мизесу, возможным. Именно поэтому Мизес считал, что говорить о вероятности отд. случая бессмысленно, и отказывался от применения исчисления вероятностей к оценке гипотез, т.е. к логике. Распространение Рейхенбахом частотной концепции вероятности на логику и заключалось в том, что он попытался дать статистич. вероятностей оценки гипотез. Этот метод состоит в следующем. Если мы делаем гипотезу о выпадении пятерки, то примерно в 1 /6, всех случаев она оказывается истинной. Т. о., наша гипотеза образует нек-рую последовательность высказываний, каждый элемент к-рой – ложное или истинное высказывание. Относит. частота истинных высказываний и является вероятностью данной гипотезы. В. л., по Рейхенбаху, есть логика пропозициональных последовательностей, последова- тельностей высказываний. Последовательность, состоящая из одного элемента, относит к данной гипотезе одно из двух значений: 1 или 0. Бесконечная (у Рейхенбаха она может быть и трансфинитной) последовательность может относить к гипотезе любые действит. числа от 0 до 1.

Однако этот метод связан с серьезными затруднениями. В действительности мы имеем дело лишь с конечным отрезком пропозициональной последовательности. Из конечной частоты мы должны заключить о вероятности во всей бесконечной последовательности. Это является нек-рой гипотезой (по Рейхенбаху, ставкой), надежность к-рой зависит от длины отрезка и также нуждается в оценке. Эта будет уже ставкой второго порядка и т.д. Образуется сколь угодно длинная система ставок, оценка последней из к-рых всегда неизвестна. Не говоря уже об искусственности и громоздкости такого метода, его применение к оценке гипотез потребовало бы записи всего нашего знания в терминах пропозициональных последовательностей, что практически неосуществимо.

Этими затруднениями, к-рые обнаружились еще у Венна, во мн. объясняется тот факт, что нек-рые исследователи пошли по др. пути – "усовершенствования" старой, классич. концепции и уточнения ее осн. принципа – принципа индифферентности. Сюда относятся, прежде всего, работы Кейнса и Джефриса. К ним примыкает по своим идеям Витгенштейн, к-рый, впрочем, не дал законченной концепции.

Кейнс определяет вероятность как степень разумной уверенности, понимая ее, т.о., как субъективную категорию. Он исходит из того, что обычная p & q является частным случаем более широкой вероятностной импликации вида "p более или менее влечет q", что можно записать так: p оправдывает разумную уверенность в q, степень к-рой = С. Тогда мы скажем, что между p и q существует отношение вероятности, равное C (q/p = C). Правда, вероятность C, по Кейнсу, вообще говоря, не имеет численной величины. Больше того, вероятности весьма редко можно сравнивать друг с другом, ибо, хотя они, согласно Кейнсу, и расположены между 0 и 1, но находятся не на одной прямой, а как бы на разных кривых, соединяющих точки 0 и 1 так, что для сравнения вероятностей необходимо еще знать, находятся они на одной линии.

Для такого сравнения вероятностей служит уточненный Кейнсом принцип индифферентности, к-рый становится у него одним из осн. принципов теории познания. Это уточнение Кейнс проводит с помощью понятия релевентности, к-рое заключается в следующем. Пусть мы имеем гипотезу h, имеющую нек-рую вероятность относительно знания l. Тогда i будет релевентно по отношению к l, если его конъюнктивное присоединение к l меняет вероятность h. Релевентность может быть положит. или отрицат. в зависимости от увеличения или уменьшения вероятности. В терминах релевентности оказывается возможным исследовать одних высказываний с другими, определить равновероятность неск. гипотез относительно нек-рого знания и благодаря этому уточнить принцип индифферентности. Однако количественно измерить вероятности с помощью одного понятия релевентности Кейнс не смог. Теория Кейнса сыграла определенную роль в развитии В. л. Однако он ошибочно считал логич. концепцию вероятности единственно правомерной и всюду применимой, в т. ч. и для описания статистич. объектов. Описание же статистич. объектов – физич. и др. явлений реального мира – в терминах кейнсовской разумной уверенности неизбежно приводит через субъективизацию этих явлений и объектов к . идеализму. Именно за это концепция Кейнса была подвергнута резкой критике со стороны мн. математиков и естествоиспытателей.

Т.о., история теории вероятностей и В. л. показали, что ни статистич., ни логич. концепции вероятности не являются единственными. Логич. концепция применима в области логики, анализа связей между высказываниями; статистич. – в области описания массовых случайных событий, анализа . связей между явлениями. На различения двух понятий вероятности впервые указал Р. Карнап, введя в 1945 понятия вероятность 1 (степень подтверждения) и вероятность 2 (относительная частота). Собственно В. л. Карнап считает теорию вероятности 1, или теорию степени подтверждения. Он строит семантич. систему с фиксированным логич. языком, типа узкого исчисления предикатов с равенством, содержащим число предикатов и не более чем счетное число . констант. В этой системе определяется понятие логич. связи через понятия описания состояния и области высказывания (см. Логическая семантика). Каждому высказыванию в этой системе приписывается нек-рая числовая . Правило гадания этой меры (m-функция) также определяется через понятия описания состояния и области. Для каждых двух высказываний l и h, имеющих меру, может быть определена функция C (h, l), числовое значение к-рой показывает, в какой степени знание l подтверждает гипотезу h. Эта функция является индукт. правилом в системе Карнапа. Карнап доказывает, что при нек-рых требованиях, наложенных на С-функции, они подчиняются аксиоматике обычного исчисления вероятностей. Однако этим требованиям удовлетворяет бесчисл. множество С-функций, к-рое Карнап называет множеством регулярных С-функций.

Введя более сильные требования, Карнап строит одну конкретную С-функцию. В частности, в ее построении существ. роль играет заимствованное у Кейнса понятие релевентности. Для уяснения различий в теориях Рейхенбаха и Карнапа приведем , показывающий их подходов к решению одной и той же задачи. Предположим, что среди 30 событий, обладающих свойством М1, имеется 20, обладающих свойством М2. Гипотеза h, вероятность которой нужно оценить, состоит в том, что следующее событие будет также обладать свойством M2. Согласно теории Рейхенбаха, мы должны сделать на эту гипотезу некоторую ставку первого порядка, вес которой можно определить из ставки второго порядка, состоящей в данном случае в апелляции к положению дел в прошлом, когда относительная частота событий, обладающих свойством М2, составляла, естественно, 2 /3. Согласно же Карнапу, эта ставка второго порядка – апелляция к прошлому опыту – как раз и представляет собой один из аргументов С-функции, именно знание l. Далее, исходя иэ этого, знание l, уже чисто дедуктивно, т.е. с помощью определенной чисто математической процедуры, мы вычисляем C (h, l), естественно в данном случае также = 2 /3.

То, что данный отрезок является слишком коротким и, в общем, может далеко не представлять состояния вещей во всей последовательности, обстоятельство, весьма важное для Рейхенбаха, для Карнапа не имеет значения. Данная гипотеза оценена при данных знаниях, и в этой ситуации эта оценка истинна. Она не нуждается еще в какой-то неквалифицированной ставке. Т. о., как видим, в отличие от Рейхенбаха, В. л. Карнапа является двузначной, а вовсе не многозначной логикой. Недостатки системы В. л. Карнапа связаны с недостатками его семантики, в частности с неудовлетворительностью определения логич. связи через понятие описания состояния, бедностью языка, не позволяющей формализовать сколько-нибудь значит. области знания. Кроме того, его С-функция дает очень малую (или равную нулю) степень подтверждения для всеобщих высказываний и, следовательно, для законов природы, что, конечно, не соответствует реальной практике науки. В последнее время значение В. л. возрастает в связи с развитием информационно-логич. машин, автоматич. перевода.

Лит.: Аристотель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч., [М.], 1952; Джевонс В. С., Основы науки, пер. с англ., СПБ, 1881; Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, пер. с нем., М., 1936; Лаплас, Опыт философии теории вероятностей, пер. с ., М., 1908; Лейбниц, Новые о человеческом разуме, пер. с нем., М.–Л., 1936; Mизес Р., Вероятность и , пер. с нем., М.–Л., 1930; Πойа Д., Математика и , пер. с англ., т. 1–2, М., 1957; Πорецкий П. С., Сообщение об основаниях математической логики, в кн.: Собрание протоколов секции физико-математических наук об-ва естество- испытателей при имп. Казанском университете, т. 1, Казань, 1883; Рассел Б., Человеческое , его сфера и границы, пер. с англ., М., 1957; Смолуховский Μ., Ο понятии случайности и о происхождении законов вероятностей в физике, "Успехи физ. наук", 1927, т. 7, вып. 5; Стрьюк Д. Дж., К обоснованию теории вероятностей, [пер. с англ.], "Под знаменем марксизма", 1934, No 2; Хинчин А. Я., Учение Мизеса о вероятностях и принципы физической статистики, "Успехи физ. наук", 1929, т. 9, вып. 2; Boole G., Studies in logic and probability, L., 1953; Carnap R., Logical foundations of probability, Chi., 1950; его же, Continuum of inductive methods, Chi., 1952; Hagstroem K. G., Les préludes antiques de la théorie de probabilité, Stockh. 1939; Greniewski H., Elementy logikl indukcji, Warsz., 1955; Jeffreys H., Theory of probability, Oxf., 1939; Kemeny J. G., Extension of methods of inductive logic, "Philosophical studies", Minneapolis (Minnesota), 1952, v, 3, No 3; Keynes J. M., Treatise on probability, 2 ed., L., 1952; Кries, Die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Eine logische Untersuchung, Tübingen, 1927; Leibniz, "De condicionibus" , в кн.: Couturat, La Logique de Leibniz d"après des documents inédits, P., 1901; Lukasiewicz J., Die logischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kr., 1913; Reichenbach, The theory of probability, 2 ed., Los–Ang., 1949; Riсhter H., Zur Grundlegung der Wahrscheinlichkeitstheorie, "Math. Ann.", Β., 1952, Bd 125, Η. 2

В. Пятницын. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. - М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960-1970 .

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛОГИКА

ВЕРОЯТНОСТНАЯ - раздел логики, изучающий логические системы, в которых множеством значений истинности высказываний служат вероятности (степени правдоподобия или подтверждения). Чаще всего вероятности добавляются к системе пропозициональной логики в качестве нового отношений, соединяющего множество высказываний и множество их значений из интервала Q

А)- вероятность истинности высказывания А. Т. о., система аксиом вероятностной логики состоит из трех частей; пропозициональной, задающей операции между высказываниями; арифметической, задающей операции между значениями вероятности; вероятностной, задающей функцию приписывания высказываниям их значений. Обычно арифметическая часть опускается и тогда система аксиом и правил вывода может иметь следующий вид: AI. Пропозициональное исчисление, АВ1. 0 АВ2. Р(ЛЛ)=1

АВЗ. Р(А&ВС)=Р(АС)Р(.ВАС)

АВ4. -)В-Р(АВ)”1-Р(АВ)

АВ5. tA=C)&(B"D)i-P(AB)”P(CD), где Р{АВ) есть вероятность истинности А при условии истинности В.

Нередко вероятностную логику рассматривают как уточнение индуктивной логики. Это связано с тем, что отношение между посылками индуктивного рассуждения можно оценивать с помощью вероятности. Значения этой вероятности можно определить либо численно, либо посредством сравнения понятий (больше, меньше, равно). Еще одной разновидностью систем вероятностной логики являются системы прагматической вероятностной логики, в которых понятие вероятности используется для анализа прагматических аспектов исследования. К подобным логикам относятся вероятностные логики действия, вероятностные логики выбора, вероятностные логики изменения, вероятностные логики принятия решения, вероятностные логики предпочтения. При этом в ряде систем понятие вероятности в явном виде не фигурирует, но связь ее с основными понятиями в каждом случае можно легко установить.

Различение между знанием достоверным и правдоподобным (вероятностным) мы встречаем еще у элеатов (Парменид). Значительное уделяет в своих работах по логике исследованию познания неопределенных ситуаций и Аристотель. Он противопоставляет аподиктическое, доказательное знание, знанию диалектическому и эвристическому, полученному с помощью умозаключений, основанных на проблематических посылках. Идеи Аристотеля не получили развития. Лишь с возникновением в 17 в. математической теории вероятностей можно говорить об оживлении философского интереса к исследованию вероятностных методов. Лейбниц пишет в этой связи о необходимости нового раздела логики, основывающегося на тех новых способах рассуждений и понятиях, которые потребовались для разработки математической теории вероятности. С ним согласен и Я. Бернулли, который вслед за Лейбницем истолковывая вероятность как степень уверенности. Он рассматривает различные виды аргументов и проблему оценки их весомости для вычисления вероятностного заключения. И. Г. Ламберт идет еще дальше, и там, где Бернулли говорите вероятности “вещей” и “дел”, Ламберт прямо говорит о вероятности высказываний. К 19 в. относится предложение представителей концептуалистского понимания логики (Буль , Джевонс, Де Морган, Порецкий) перевести классическую математическую теорию вероятности на логики высказываний. Среди других логиков 19 в., уделивших много внимания исследований природы вероятности, был Ч. С. Пирс. Однако он не подвергал систематическому рассмотрению формальные основания вероятностного вывода. Другой подход развивается в работах представителей “содержательной логики”, в частности у Дж. Венна, чья концепция представляет собой первую систематическую попытку развить теорию вероятностей на частотной основе. Наиболее интересными и фундаментальными из всех исследований в этой области были исследования Б. Больцано, к сожалению, незаслуженно забытые.

Первые аксиоматические системы, использующие вероятность как логическое отношение между высказываниями, были построены С. Н. Бернштейном в России (1917) и Дж. М. Кейнсом в Англии (1921). Но последний выходит за рамки обычного исчисления вероятности. (Он не ограничивает значения вероятности областью действительных чисел и, кроме того, у него существуют несравнимые по величине вероятности.)

Дальнейшее развитие идеи Кейнса получили в работах Г. Джеффри и Б. Купмана. В более поздней системе Р. Карнапа вместо функции Р(АВ) из аксиом АВ1- АВ5 используются функции уверенности. Помимо этого используются также функции правдоподобия и функции подтверждения.

Несколько иначе рассматриваются подобные проблемы в системах вероятностной логики, основанных на эпистемологической интерпретации вероятности (Н. Гудмен, Г. Кайберг). В них вводится вероятностное отношение на множестве предложений (“системе знаний”) и если об эквивалентности двух предложений считается разумным, то эти предложения должны иметь одинаковые вероятности. При статистической интерпретации вероятности (Я. Шинделяр) место системы знаний занимает система допущений. Каждая процедура статистического вывода характеризуется при этом конкретным отношением выводимости, числом η рассмотренных допущений и числом т (или отношением т/п) тех допущений, для которых имеет место данное отношение выводимости. С металингвистической интерпретацией имеет дело система Г. Рейхенбаха (1949), где вероятность высказываний вычисляется как относительная частота истинности высказываний этого типа в их бесконечной (или конечной) вероятностной последовательности.

Однако сложилось так, что в XX веке в науке, искусстве, образовании и всей духовной жизни общества возникло ощущение исчерпанности прежней логики освоения мира. В структуру законов природы в разных науках, притом самых продвинутых - физика, химия, математика, - вошли на равных правах с ясностью и однозначностью причинно-следственных связей представления о вероятностности и неопределенности. Оказалось, что даже в отношении явлений неживой природы можно предсказывать лишь вероятность наступления тех или иных событий («Истинная логика нашего мира - это подсчет вероятностей» - Джеймс Максвелл). Выяснилось, что предсказания относительно поведения объектов регулируются принципами, которые так и называются принципами неопределенности (по Вернеру Гейзенбергу, чем точнее мы знаем, где сейчас находится частица, тем хуже нам известно, куда она направляется). Законы логики изменились, стали другими и тем самым показали, что они - такие же продукты человеческого опыта и разума, как и основные положения естественных наук.

Ограниченность причинной логики становится очевидной для некоторых (пока очень немногих) мыслителей еще в первой половине XIX века. Серен Кьеркегор, основоположник философии экзистенциализма, пишет: «Спрашивайте меня о чем угодно, только не о причинах. Молодой девушке извиняют, если она не может привести причин, на том основании, что она, мол, живет чувством. Со мной

не то: у меня бывает обыкновенно так много одна другой противоречащих причин, что по этой причине я и не могу сослаться ни на одну из них. Что же касается отношения между причиной и следствием, то и тут, если не ошибаюсь, что-то не ладно. То громадная причина имеет самые ничтожные последствия - а то и вовсе никаких, то какая-нибудь вздорная ничтожная причина ведет к колоссальным последствиям».

В XX веке многим ученым и философам стало ясно, что неопределенности и случайности в принципе нельзя избежать, и там, где раньше наука была готова однозначно предсказывать вполне определенные следствия из известных причин, она стала предсказывать лишь распределение вероятностей. Это не означает, что предсказательная сила законов стала меньше, но обнаружились ограничения, согласно которым какие-то сведения вообще получить невозможно. (Например, закон радиоактивного распада позволяет на основе учета вероятностей событий с большой точностью предсказать, сколько ядер распадется за данный промежуток времени, но ни этот, ни какой-либо другой закон не дает ни малейшей возможности предсказать, какое именно ядро распадется, а какое - нет.)

Логика классического детерминизма не справлялась с простыми (на первый взгляд) проблемами. Это можно проиллюстрировать примером из книги Ипполита Васильевича Давыдовского «Проблемы причинности в медицине»: суждение типа «микроб - причина болезни» представляется вполне здравым, однако хорошо известно, что в организме человека всегда находятся, не вызывая в нем каких-либо заметных болезненных проявлений, сотни и сотни болезнетворных микробов. Так что же это за причина, которая может вызывать следствие, а может и не вызывать? Вопрос, является ли микроб причиной заболевания, оказался не имеющим ответа, неправильно поставленным; не только многие конкретные вопросы, но и сам сложившийся в науке способ рассуждения о проблемах взаимодействия сложных систем оказался неплодотворным.

Хаос, случайность, неустойчивость до самого последнего времени считались врагами научных теорий и тщательно из них изгонялись. Теперь они стали рассматриваться как важные факторы развития. В своей книге «От существующего к возникающему» И.Р. Пригожий пишет: «Основная цель этой книги - попытаться показать читателю, что мы переживаем тот период научной революции, когда коренной переоценке подвергается место и самое существо научного подхо-

да, - период, несколько напоминающий возникновение научного подхода в Древней Греции или его возрождение во времена Галилея».

Стало ясно, что поведение сложных систем, любые особенности взаимодействия системы со средой невозможно объяснить действием какой-то одной причины - всегда имеет место сложная совокупность многих факторов, которые заведомо не могут быть известны все. Не может быть и полной определенности в описании взаимодействия сложных систем - для этого приходится использовать вероятностные распределения.

Распространение нового подхода к познанию мира - дело нелегкое и небыстрое, сложившаяся в общественном сознании традиция закрепляется, как правило, прочно. Гегель утверждал, что здравый смысл - это способ рассуждений, содержащий все предрассудки данной эпохи. Его суждение хочется немного подправить: совокупность предрассудков принадлежит обычно эпохе предыдущей.

В ранней античности путь человека по жизни казался заранее предопределенным: человека ведет рок; все, что должно с ним произойти, произойдет непременно, не в его власти изменить предначертанное. Судьба отдельного человека вплеталась нитью в ткань упорядоченного космоса, подчинявшегося в своем функционировании общим законам, в которых не было места вероятности или неопределенности. Очень ярко такое представление выразилось в мифе об Эдипе, который широко известен по трагедии Софокла Эдип не желает убивать отца и жениться на матери, но все его усилия избежать предопределения оказываются тщетными, рок торжествует. Осмысление человеком своей судьбы, отстаивание человеческого достоинства и составляют содержание этой потрясающей душу трагедии.

В логике детерминизма можно поставить вопрос: что является причиной того или иного результата образования - совокупность внешних обстоятельств или врожденных, генетически заданных качеств? При такой постановке вопроса любой из ответов приводит к заранее предопределенному результату, поскольку учитывается только однонаправленное влияние. Как отмечал Дьюи, люди склонны представлять в виде противоречий те аспекты реальности, которые на деле неразделимы и разводятся чисто теоретически. Он писал в начале нынешнего века: «Вся история педагогической мысли отмечена борьбой двух идей: идеи о том, что образование - это развитие, идущее изнутри, что оно основано на природных способностях, и идеи о том, что образование - формирование, идущее извне и представляющее

собой процесс преодоления природных наклонностей и замещения их приобретенными под внешним давлением навыками».

Но данное противоречие - кажущееся, потому что в образовании любого человека можно разглядеть влияние как природных склонностей, так и внешнего окружения. Если бы личность была дана человеку с самого начала его существования в этом мире, врожденные качества определяли бы все ее свойства и, таким образом, вполне подходили бы на роль античного рока. Однако вопрос о соотношении врожденных и приобретенных свойств во многом еще остается открытым.

Как уже отмечалось, процесс образования представляет собой взаимодействие систем самого высокого уровня сложности, таких как личность, культура, сообщество. Для раскрытия логики этого процесса нужно учитывать сложность психики личности, которая многократно умножается при рассмотрении взаимодействия личности и сообщества. Тем не менее существуют модели образования, каждая из которых раскрывает нечто существенное в логике этого взаимодействия и позволяет соответственно этому строить образовательный процесс. Эти модели можно противопоставить друг другу по их отношению к роли случая в процессе и результате образования.

Логико-вероятностный метод

ЛВМ возник в результате исследований проблем безопасности сложных систем. С его помощью можно оценить вероятность отказа сложной системы.

ЛВМ относится к аксиоматическим методам принятия решений в условиях стохастической неопределенности. Он позволяет снизить эту неопределенность своим доказательным подходом и результатами экспериментов – вероятностными характеристиками альтернатив.

В пособии ЛВМ рассмотрен на примере решения задачи выбора наиболее надежной информационной системы.

Пусть множество альтернатив – это множество показателей рисков информационных систем (ИС). Требуется найти такую ИС, риск которой минимален.

Под риском системы рассматривается сумма рисков ресурсов, из которых она состоит:

где R i – риск i -го ресурса, n – количество ресурсов. С каждым ресурсом связано множество опасных состояний (ОС), реализация которых приводит к отказу данного ресурса.

В качестве примеров ресурсов ИС могут выступать информационные ресурсы, сервисы, физические или аппаратные ресурсы, программное обеспечение. Одним из примеров информационного ресурса может выступать база данных ИС.

Под риском i-го ресурса понимается сумма рисков, связанных с реализацией опасных состояний данного ресурса:

где r i j – риск реализации j -го опасного состояния i -го ресурса, ; M i – количество опасных состояний i -го ресурса.

Примерами ОС для ресурса «БД» являются нарушение конфиденциальности информации, полная или частичная потеря информации из-за выхода из строя носителя информации, нарушение доступа.

Под риском реализации j-го опасного состояния i-го ресурса понимается произведение вероятности P ij и стоимости потерь C ij от реализации данного опасного состояния ресурса:

Таким образом, задачу оценки риска системы можно разбить на следующие этапы:

1. описание структуры ресурсов системы;

2. описание множества опасных состояний ресурсов системы;

3. оценка вероятностей P ij реализации опасных состояний, в том числе, выявление меры влияния угроз на реализацию опасных состояний;

4. оценка стоимости потерь C ij от реализации опасных состояний.

Основные положения логико-вероятностного метода

Логико-вероятностный метод анализа безопасности сложных технических систем был предложен в 70-х годах 20 века
И. А. Рябининым. Основная идея данного метода состоит в сочетании логического и вероятностного подходов при оценке показателей надежности сложных технических, экономических, социальных систем и других систем .

В ЛВМ в качестве базовых используются понятия опасного состояния системы и опасности – способности системы переходить в опасное состояние. Описание опасного состояния системы начинается с составления сценария опасного состояния (ОС), который строится с использованием операций дизъюнкция и конъюнкция над инициирующими условиями и событиями .

В качестве инициирующих условий и событий выступают отказы одного или нескольких элементов системы. Каждому элементу системы ставится в соответствие логическая переменная x k () с двумя возможными состояниями (например, работоспособности/отказа, готовности/неготовности и т.п.) c заданными вероятностными параметрами этих состояний p k и q k =1-p k .

Сценарий является основой для составления логической функции, или функции алгебры логики (ФАЛ), описывающей опасное состояние системы.

Следующим шагом является преобразование функции алгебры логики к вероятностной функции, которая в дальнейшем используется для получения количественной оценки вероятности реализации опасного состояния.

Таким образом, с одной стороны, метод предоставляет механизм для формализации множества опасных состояний системы, а, с другой стороны, – теоретически обоснованный подход к количественной оценке риска системы.

Для системы, состоящей из различных ресурсов, ЛВМ используется с целью получения количественных оценок вероятностей реализации опасных состояний для каждого вида ресурсов. В свою очередь, каждый ресурс в ЛВМ также рассматривается как отдельная система.

Постановка задачи оценки вероятностей реализации опасных состояний ресурса

Дано:

1. Ресурс с номером i , для которого выделены опасные состояния S ij , , где m - число возможных состояний.

2. Структура ОС и вероятности инициирующих событий (угроз) x k , .

Требуется найти:

Вероятности P ij реализации опасных состояний S ij , .

Алгоритм решения

Шаг 1. Составление сценария опасного состояния S ij .

Шаг 2. Построение функции алгебры логики (ФАЛ) с использованием операций конъюнкция и дизъюнкция на основе сценария опасного состояния S ij .

Шаг 3. Построение вероятностной функции (ВФ) на основе функции алгебры логики.

Шаг 4. Расчет вероятности P ij реализации опасного состояния с помощью вероятностной функции.

Теоретические основы ЛВМ

В настоящее время математическая логика и теория вероятностей объединяются на основе логико-вероятностного исчисления . При этом предполагается, что теория вероятностей позволяет количественно оценивать надежность или безопасность систем, структура которых описывается средствами математической логики.

Основной проблемой в практическом применении ЛВМ является преобразование произвольных ФАЛ к формам перехода к полному замещению (ФППЗ). Для того чтобы сделать это преобразование стандартным и математически строгим, необходимо обратиться к специальному теоретическому аппарату, основные понятия и теоремы которого будут приведены ниже.

Будем полагать, что каждому элементу системы ставится в соответствие логическая переменная x k , () с двумя возможными состояниями (работоспособности/отказа, готовности/не готовности и т.п.) c заданными вероятностными параметрами этих состояний p k и q k =1-p k :

Кроме того, делается предположение, что все события x k являются независимыми в совокупности и что на рассматриваемом интервале времени работы системы исходные параметры законов распределений элементов не изменяются.

Выражение вида называется элементарной конъюнкцией K ранга r . Выражение вида , где – элементарные конъюнкции различных рангов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Если функция записана в ДНФ, причем ранг каждой элементарной конъюнкции равен n , то такая ДНФ называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Выражение вида называется элементарной дизъюнкцией ранга r .

Две элементарные конъюнкции называются ортогональными , если их произведение равно нулю (пример: и ).

ДНФ называется ортогональной дизъюнктивной нормальной формой (ОДНФ), если все ее члены попарно ортогональны.

Бесповторной ДНФ (БДНФ) называется такая ДНФ, в которой каждая логическая переменная встречается ровно один раз.

Правила де Моргана позволяют логическое умножение выразить через отрицание логической суммы инверсий высказываний, а логическую сумму – через отрицание логического произведения инверсных высказывания. В дальнейшем они будут использоваться для приведения ФАЛ к специальному виду:

Вероятностной функцией (ВФ) будем называть вероятность истинности ФАЛ:

P (f (x 1 , x 2 , …, x h )=1 )

Функции алгебры логики, допускающие непосредственный переход к вероятностной функции заменой логических переменных вероятностями, а логических операций соответствующими арифметическими операциями, назовем формами перехода к замещению (ФПЗ).

Формами перехода к полному замещению (ФППЗ) называются ФПЗ, в которых производится замещение одновременно всех логических переменных.

Булевой разностью функции по аргументу x k называется

где символом « » обозначена логическая операция «сумма по модулю два».

Функция называется монотонной , если для любых наборов (a 1 , …, a h ) и (b 1 , …, b h ), таких, что , (k=1,2,…,h ) имеет место соотношение f (a 1 , …, a h ) f (b 1 , …, b h ). Далее рассмотрим ряд основных теорем.

Теорема 1. Частная производная от вероятности истинности монотонной ФАЛ по вероятности истинности аргумента x k численно равна вероятности истинности булевой разности этой функции по аргументу x k :

Теорема 2. Вероятность истинности произвольной ФАЛ, представленной в ОДНФ, равна сумме вероятностей истинности всех ортогональных членов этой ФАЛ:

где O u – не только элементарные конъюнкции ОДНФ, но и любые ФАЛ, попарно ортогональные.

Теорема 3. Дизъюнкция ортогональных бесповторных форм в базисе конъюнкция-отрицание является формой перехода к полному замещению.

В настоящее время известно несколько ФППЗ – это совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), ортогональная дизъюнктивная нормальная форма (ОДНФ) и бесповторные ФАЛ (БФАЛ) в базисе «конъюнкция-отрицание».

Если ФАЛ представлена в ФППЗ, то переход к вероятностной функции осуществляется по следующим правилам:

1. Каждая логическая переменная в ФППЗ заменяется вероятностью ее равенства единице:

, ;

2. Отрицание функции заменяется разностью между единицей и вероятностью равенства этой функции единице;

3. Операции логического умножения и сложения заменяются операциями арифметического умножения и сложения.

Составление сценария опасного состояния

Составления сценария опасного состояния ИС можно представить в виде следующей последовательности шагов:

1. выделение конечного события – опасного состояния (отказа),

2. выделение промежуточных событий, приводящих к реализации опасного состояния и получаемых как комбинация двух или более инициирующих событий,

3. выделение инициирующих событий-угроз.

Для представления опасного состояния используется дерево событий или отказов.

На рис. 5.2 представлен пример сценария опасного состояния в виде дерева событий.

Рис. 5.2. Пример дерева событий для описания опасного состояния системы

Построение функции алгебры логики

С помощью дерева событий составляется функция алгебры логики, описывающая условия перехода системы в опасное состояние.

Для описания условий перехода системы в опасное состояние используется понятие «кратчайший путь опасного функционирования » (КПОФ), под которым понимается конъюнкция минимального набора элементов системы, обеспечивающих вместе переход системы в опасное состояние:

где K wl – множество номеров переменных, соответствующих данному пути.

Условие перехода системы в опасное состояние можно представить в виде дизъюнкции всех имеющихся КПОФ:

Пример. Пусть дерево событий имеет вид, представленный на рис. 5.2.

Тогда КПОФ являются: , , , .

Условие перехода системы в опасное состояние имеет вид:

Построение вероятностной функции

На предыдущем этапе была получена ФАЛ , описывающая опасное состояние системы как дизъюнкцию всех КПОФ. Следующим шагом является преобразование ФАЛ к ФППЗ – СДНФ, ОДНФ или бесповторной ФАЛ в базисе конъюнкция-отрицание (БФАЛ).

Построение вероятностной функции на основе ФППЗ осуществляется согласно правилам, описанным выше. Результатом данного этапа является вероятностная функция

Расчет оценки вероятности реализации опасного состояния

Подставляя значения в ВФ, полученную на предыдущем этапе, получаем оценку вероятности реализации опасного состояния P ij .