Особенно наглядное представление о поверхностях дают сетчатые графики, использующие функциональную закраску ячеек. Например, цвет окраски поверхности z(x, у) может быть поставлен в соответствие с высотой z поверхности с выбором для малых высот темных тонов, а для больших - светлых. Для построения таких поверхностей используются команды класса surf (…) :
Команды axis , caxis , color-map , hold , shading и view задают координатные оси и свойства поверхности, которые могут использоваться для большей эффектности показа поверхности или фигуры.
Ниже приведен простой пример построения поверхности - параболоида:
> > = meshgrid([ - 3: 0.15: 3 ]);
> > Z = X. ^ 2 + Y. ^ 2 ;
> > Surf(X,Y,Z)
Соответствующий этому примеру график показан на рис. 6.25.
Рис. 6.25 . График параболоида с функциональной окраской ячеек
Можно заметить, что благодаря функциональной окраске график поверхности гораздо более выразителен, чем при построениях без такой окраски, представленных ранее (причем даже в том случае, когда цветной график печатается в черно-белом виде).
В следующем примере используется функциональная окраска оттенками серого цвета с выводом шкалы цветовых оттенков:
> > = meshgrid([ - 3: 0.1: 3 ]);
> > Z = sin(X). / (X. ^ 2 + Y. ^ 2 + 0.3);
> > surf(X.Y.Z)
> > colormap(gray)
> > shading interp
> > colorbar
В этом примере команда colormap(gray) задает окраску тонами серого цвета, а команда shading Interp обеспечивает устранение изображения сетки и задает интерполяцию для оттенков цвета объемной поверхности. На рис. 6.26 показан вид графика, построенного в этом примере.
Рис. 6.26
. График поверхности с функциональной окраской серым цветом
Обычно применение интерполяции для окраски придает поверхностям и фигурам более реалистичный вид, но фигуры каркасного вида дают более точные количественные данные о каждой точке.
Отображение функции в виде таблицы удобно, если имеется сравнительно небольшое число значений функции. Пусть требуется вывести в командное окно таблицу значений функции
в точках 0.2, 0.3, 0.5, 0.8, 1.3, 1.7, 2.5.
Задача решается в два этапа.
1. Создается вектор-строка х,
содержащая координаты заданных точек.
2. Вычисляются значения функции y
(х
)от каждого элемента вектора х
и записываются полученные значения в вектор-строку у.
Значения функции необходимо найти для каждого из элементов вектор-строки х,
поэтому операции в выражении для функции должны выполняться поэлементно
.
» х =
х =
0.2000 0.3000 0.5000 0.8000 1.3000 1.7000 2.5000 » у = sin(x).^2./(l+cos(x))+exp(-x).*log(x)
У =
Обратите внимание, что при попытке использования операций возведения в степень ^, деления / и умножения * (которые не относятся к поэлементным) выводится сообщение об ошибке уже при возведении sin(x) в квадрат:
» у = sin(х)^2/(1+соз(х))+exp(-x)*log(x)
??? Error using ==> ^
Matrix must be square.
Дело в том, что в MatLab операции * и ^ применяются для перемножения матриц соответствующих размеров и возведения квадратной матрицы в степень.
Таблице можно придать более удобный для чтения вид, расположив значения функции непосредственно под значениями аргумента:
» х
х =
0.2000 0.3000 0.5000 0.8000 1.3000 1.7000 2.5000 » у
у =
-1.2978 -0.8473 -0.2980 0.2030 0.8040 1.2258 1.8764
Часто требуется вывести значение функции в точках отрезка, отстоящих друг от друга на равное расстояние (шаг). Предположим, что необходимо вывести таблицу значений функции y
(х
)наотрезке с шагом 0.2. Можно, конечно, ввести вектор-строку значений аргумента х=
из командной строки и вычислить все значения функции так, как описано выше. Однако, если шаг будет не 0.2, а, например 0.01, то предстоит большая работа по вводу вектора х.
В MatLab предусмотрено простое создание векторов, каждый элемент которых отличается от предшествующего на постоянную величину, т.е. на шаг. Для ввода таких векторов служит двоеточие (не путайте с индексацией при помощи двоеточия). Следующие два оператора приводят к формированию одинаковых вектор-строк. Условно можно записать
» х =
х =
» х =
х =
1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000
Условно можно записать
х = [начальное значение: шаг: конечное значение]
Необязательно заботиться о том, чтобы сумма предпоследнего значения шага равнялась бы конечному значению, например, при выполнении следующего оператора присваивания
» х =
х =
1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000
Вектор-строка заполнится до элемента, не превосходящего определенное нами конечное значение. Шаг может быть и отрицательным:
» х =
х =
1.9000 1.7000 1.5000 1.3000 1.1000
В случае отрицательного шага для получения непустой вектор-строки начальное значение должно быть больше конечного.
Для заполнения вектор-столбца элементами, начинающимися с нуля и заканчивающимися 0.5 с шагом 0.1, следует заполнить вектор-строку, а затем использовать операцию транспонирования:
» х = "
х =
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
Обратите внимание, что элементы вектора, заполняемого при помощи двоеточия, могут быть только вещественными, поэтому для транспонирования можно использовать апостроф вместо точки с апострофом.
Шаг, равный единице, допускается не указывать при автоматическом заполнении:
» х =
х =
1 2 3 4 5
Пусть требуется вывести таблицу значений функции
на отрезке с шагом 0.05,
Для выполнения этого задания необходимо произвести следующие действия:
1. Сформировать вектор-строку х
при помощи двоеточия.
2. Вычислить значения у
(х
)отэлементов х
.
3. Записать результат в вектор-строку y.
4. Вывести х
и у.
» х = ;
» у = ехр(-х).*sin(10*x);
» х
х =
Columns 1 through 7
О 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000
Columns 8 through 14
0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 0.5500 0.6000 0.6500
Columns 15 through 21
0.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500 1.0000
» у
У =
Columns 1 through 7
0 0.4560 0.7614 0.8586 0.7445 0.4661 0.1045
Columns 8 through 14
-0.2472 -0.5073 -0.6233 -0.5816 -0.4071 -0.1533 0.1123
Columns 15 through 21
0.3262 0.4431 0.4445 0.3413 0.1676 -0.0291 -0.2001
Вектор-строки x и y состоят из двадцати одного элемента, и не помещается на экране в одну строку, поэтому выводятся по частям. Так как х иy хранятся в двумерных массивах размерностью один на двадцать один, то выводятся по столбцам, каждый из которых состоит из одного элемента. Сначала выводятся столбцы с первого по седьмой (columns 1 through 7), затем - с восьмого по четырнадцатый (columns 8 through 14), и, наконец, - с пятнадцатого по двадцать первый (columns 15 through 21). Более наглядным и удобным является графическое представление функции.
MatLab обладает хорошо развитыми графическими возможностями для визуализации данных. Рассмотрим в начале построение простейшего графика функции одной переменной на примере функции
,
определенной на отрезке . Вывод функции в виде графика состоит из следующих этапов:
1. Задание вектора значений аргумента х.
2. Вычисление вектора у
значений функции y
(х
).
3. Вызов команды plot для построения графика.
Команды для задания вектора х
и вычисления функции лучше завершать точкой с запятой для подавления вывода в командное окно их значений (после команды plot точку с запятой ставить необязательно, т. к. она ничего не выводит в командное окно).
» х = ;
» у = ехр(-х).*sin(10*x);
» plot(x, у)
После выполнения команд на экране появляется окно Figure
No. 1
с графиком функции. Окно содержит меню, панель инструментов и область графика. В дальнейшем будут описаны команды, специально предназначенные для оформления графика. Сейчас нас интересует сам принцип построения графиков и некоторые простейшие возможности визуализации функций.
Для построения графика функции в рабочей среде MatLab должны быть определены два вектора одинаковой размерности, например х
и у.
Соответствующий массив х содержит значения аргументов, а у - значения функции от этих аргументов. Команда plot соединяет точки с координатами (x(i), y(i)) прямыми линиями, автоматически масштабируя оси для оптимального расположения графика в окне. При построении графиков удобно расположить на экране основное окно MatLab и окно с графиком рядом так, чтобы они не перекрывались.
Построенный график функции имеет изломы. Для более точного построения графика функцию необходимо вычислить y
(х
) в большем числе точек на отрезке , т.е. задать меньший шаг при вводе вектора х
:
» х = ;
» у = ехр(-х).*sin(10*x);
» plot(x, у)
В результате получается график функции в виде более плавной кривой.
Сравнение нескольких функций удобно производить, отобразив их графики на одних осях. Например, построим на отрезке [-1, -0.3] графики функций 
, 
при помощи следующей последовательности команд:
» х = [-1:0.005:-0.3];
» f = sin(x.^-2);
» g = sin(1.2*x.^-2);
» plot(x, f, x, g)
Функции необязательно должны быть определены на одном и том же отрезке. В этом случае при построении графиков MatLab выбирает максимальный отрезок, содержащий остальные. Важно только в каждой паре векторов абсцисс и ординат указать соответствующие друг другу вектора, например:
» х1 = [-1:0.005:-0.3];
» f = sin(x1.^-2);
» х2 = [-1:0.005:0.3];
» g = sin(1.2*x2.^-2);
» plot(x1, f, x2, g)
Аналогичным образом при помощи задания в plot через запятую пар аргументов вида: вектор абсцисс, вектор ординат, осуществляется построение графиков произвольного числа функций.
Замечание 1
Использование plot с одним аргументом - вектором - приводит к построению "графика вектора", т.е. зависимости значений элементов вектора от их номеров. Аргументом plot может быть и матрица, в этом случае на одни координатные оси выводятся графики столбцов.
Иногда требуется сравнить поведение двух функций, значения которых сильно отличаются друг от друга. График функции с небольшими значениями практически сливается с осью абсцисс, и установить его вид не удается. В этой ситуации помогает функция plotyy, которая выводит графики в окно с двумя вертикальными осями, имеющими подходящий масштаб.
Сравните, например, две функции: и
» х = ;
» f = х.^-3;
» F = 1000*(х+0.5).^-4;
» plotyy(x, f, x, F)
При выполнении этого примера обратите внимание, что цвет графика совпадает с цветом соответствующей ему оси ординат.
Функция plot использует линейный масштаб по обеим координатным осям. Однако MatLab предоставляет пользователю возможность строить графики функций одной переменной в логарифмическом или полулогарифмическом масштабе.
2.2. Графики функций в логарифмических масштабах
Для построения графиков в логарифмическом и полулогарифмическом масштабах служат следующие функции:
- loglog (логарифмический масштаб по обеим осям);
- semilogx (логарифмический масштаб только по оси абсцисс);
-semilogy (логарифмический масштаб только по оси ординат).
Аргументы loglog, semilogx и semilogy задаются в виде пары векторов значений абсцисс и ординат так же, как для функции plot, описанной в предыдущем пункте. Построим, например, графики функций 
и 
на отрезке в логарифмическом масштабе по оси х
:
» х = ;
» f = log(0.5*x);
» g = sin(log(x));
» semilogx(x, f, x ,g)
Построенные графики функций должны быть максимально удобными для восприятия. Часто требуется нанести маркеры, изменить цвет линий, а при подготовке к монохромной печати - задать тип линии (сплошная, пунктирная, штрих-пунктирная и т.д.). MatLab предоставляет возможность управлять видом графиков, построенных при помощи plot, loglog, semilogx и semilogy, для чего служит дополнительный аргумент, помещаемый за каждой парой векторов. Этот аргумент заключается в апострофы и состоит из трех символов, которые определяют: цвет, тип маркера и тип линии. Используется одна, две или три позиции, в зависимости от требуемых изменений. В таблице приведены возможные значения данного аргумента с указанием результата.
Тип маркера |
Тип линии |
||||
сплошная |
|||||
пунктирная |
|||||
штрих-пунктирная |
|||||
знак "плюс" |
штриховая |
||||
звездочка |
|||||
Треугольник вершиной вниз |
|||||
Треугольник вершиной вверх |
|||||
Треугольник вершиной влево |
|||||
треугольник вершиной вправо |
|||||
пятиконечная звезда |
|||||
шестиконечная звезда |
|||||
Если, например, необходимо построить первый график красными точечными маркерами без линии, а второго график - черной пунктирной линией, то следует использовать команду plot(x, f, "r.", х, g, "k:").
Удобство использования графиков во многом зависит от дополнительных элементов оформления: координатной сетки, подписей к осям, заголовка и легенды. Сетка наносится командой grid on, подписи к осям размещаются при помощи xlabel, ylabel, заголовок дается командой title. Наличие нескольких графиков на одних осях требует помещения легенды командой legend с информацией о линиях. Все перечисленные команды применимы к графикам как в линейном, так и в логарифмическом и полулогарифмическом масштабах. Следующие команды выводят графики изменения суточной температуры, которые снабжены всей необходимой информацией.
» time = ;
» temp1 = ;
» temp2 = ;
» plot(time, temp1, "ro-", time, temp2, "go-")
» grid on
» title("Суточные температуры")
» xlabel("Время (час.)")
» ylabel("Температура (С)")
» legend("10 мая, 11 мая")
При добавлении легенды следует учесть, что порядок и количество аргументов команды legend должны соответствовать линиям на графике. Последним дополнительным аргументом может быть положение легенды в, графическом окне:
* -1 - вне графика в правом верхнем углу графического окна;
* 0 - выбирается лучшее положение в пределах графика так, чтобы как можно меньше перекрывать сами графики;
* 1 - в верхнем правом углу графика (это положение используется по умолчанию);
* 2 - в верхнем левом углу графика;
* 3 - в нижнем левом углу графика;
* 4 - в нижнем правом углу графика.
В заголовке графика, легенде и подписях осей допускается добавление формул и изменение стилей шрифта при помощи формата ТеХ.
MatLab выводит графики разным цветом. Монохромный принтер напечатает графики различными оттенками серого цвета, что не всегда удобно. Команда plot позволяет легко задать стиль и цвет линий, например
» plot(x,f,"k-",x,g,"k:")
осуществляет построение первого графика сплошной черной линией, а второго - черной пунктирной. Аргументы "k-" и "k:" задают стиль и цвет первой и второй линий. Здесь k означает черный цвет, а дефис или двоеточие - сплошную или пунктирную линию. Окно с графиком можно закрыть, нажав на кнопку с крестиком в правом верхнем углу.
Построение графика функции двух переменных в MatLab на прямоугольной области определения переменных включает два предварительных этапа:
1. Разбиение области определения прямоугольной сеткой.
2. Вычисление значений функции в точках пересечения линий сетки и запись их в матрицу.
Построим график функции z
(x
, у
)= х
2 + у
2 на области определения в виде квадрата х
принадлежит , y
- . Необходимо разбить квадрат равномерной сеткой (например, с шагом 0.2) и вычислить значения функций в узлах, обозначенных точками.
Удобно использовать два двумерных массива х и у, размерностью шесть на шесть для хранения информации о координатах узлов. Массив х состоит из одинаковых строк, в которых записаны координаты x
1, х
2, ..., х
6, а массив у
содержит одинаковые столбцы с y1
, у
2, ..., у
6. Значения функции в узлах сетки запишем в массив z такой же размерности (6 x 6), причем для вычисления матрицы Z
используем выражение для функции, но с поэлементными
матричными операциями. Тогда, например z
(3,4) как раз будет равно значению функции z
(x,y
)в точке (х3, у
4). Для генерации массивов сетки х
и у
по координатам узлов в MatLab предусмотрена функция meshgrid, для построения графика в виде каркасной поверхности - функция mesh. Следующие операторы приводят к появлению на экране окна с графиком функции (точка с запятой в конце операторов не ставится для того, чтобы проконтролировать генерацию массивов):
» = meshgrid(0:0.2:1,0:0.2:1)
X =
0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000
0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000
0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000
0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000
0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000
y =
0 0 0 0 0 0
0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000
0.4000 0.4000 0.4000 0.4000 0.4000 0.4000
0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000
0.8000 0.8000 0.8000 0.8000 0.8000 0.8000
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
» Z = X.^2+Y.^2
Z =
0 0.0400 0.1600 0.3600 0.6400 1.0000
0.0400 0.0800 0.2000 0.4000 0.6800 1.0400
0.1600 0.2000 0.3200 0.5200 0.8000 1.1600
0.3600 0.4000 0.5200 0.7200 1.0000 1.3600
0.6400 0.6800 0.8000 1.0000 1.2800 1.6400
1.0000 1.0400 1.1600 1.3600 1.6400 2.0000
Какие недостатки имеет построенный график? И как их устранить? Построенный график и новый привести в электронном отчете по лабораторной работе.
MatLab позволяет наносить на график дополнительную информацию, в частности, соответствие цветов значениям функции. Сетка генерируется при помощи команды meshgrid, вызываемой с двумя аргументами. Аргументами являются векторы, элементы которых соответствуют сетке на прямоугольной области построения функции. Можно использовать один аргумент, если область построения функции - квадрат. Для вычисления функции следует использовать поэлементные операции.
Рассмотрим основные возможности, предоставляемые MatLab для визуализации функций двух переменных, на примере построения графика функции
на прямоугольной области определения х
принадлежит [-1, 1], y
.
Подготовим матрицы с координатами узлов сетки и значениями функции:
» = meshgrid(-1:0.05:1, 0:0.05:1);
» Z = 4*sin(2*pi*X).*cos(1.5*pi*Y).*(1-Х.^2).*Y.*(1-Y);
Для построения каркасной поверхности используется функция mesh, вызываемая с тремя аргументами:
Цвет линий поверхности соответствует значениям функции. MatLab рисует только видимую часть поверхности.
При помощи команды hidden off можно сделать каркасную поверхность "прозрачной", добавив скрытую часть. Команда hidden on убирает невидимую часть поверхности, возвращая графику прежний вид.
Функция surf строит каркасную поверхность графика функции и заливает каждую клетку поверхности определенным цветом, зависящим от значений функции в точках, соответствующих углам клетки. В пределах каждой клетки цвет постоянный. Посмотрите результаты выполнения команды
Команда shading flat
позволяет убирать каркасные линии. Для получения поверхности, плавно залитой цветом, зависящим от значений функции, предназначена команда shading interp.
При помощи shading faceted можно вернуться к поверхности с каркасными линиями.
Трехмерные графики, получаемые с помощью описанных выше команд, удобны для получения представления о форме поверхности, однако по ним трудно судить о значениях функции. В MatLab определена команда colorbar, которая выводит рядом с графиком столбик, устанавливающий соответствие между цветом и значением функции. Постройте при помощи surf график поверхности и дополните его информацией о цвете.
» surf(X,Y,Z)
» colorbar
Команду colorbar можно применять в сочетании со всеми функциями, строящими трехмерные объекты.
Пользуясь цветной поверхностью, трудно сделать вывод о значении функции в той или иной точке плоскости xy. Команды meshc или surfc позволяют получить более точное представление о поведении функции. Эти команды строят каркасную поверхность или залитую цветом каркасную поверхность и размещают на плоскости xy линии уровня функции (линии постоянства значений функции):
» surfc(X,Y,Z)
» colorbar
MatLab позволяет построить поверхность, состоящую из линий уровня, при помощи функции contour3. Эту функцию можно использовать так же, как и описанные выше mesh, surf, meshc и surfc с тремя аргументами. При этом число линий уровня выбирается автоматически. Имеется возможность задать четвертым аргументом в contour3 либо число линий уровня, либо вектор, элементы которого равны значениям функции, отображаемым в виде линий уровня. Задание вектора (четвертого аргумента levels) удобно, когда требуется исследовать поведение функции в некоторой области ее значений (срез функции). Постройте, например поверхность, состоящую из линий уровня, соответствующих значениям функции от 0 до 0.5 с шагом 0.01:
» levels = ;
» contour3(X, Y, Z, levels)
» colorbar
MatLab предоставляет возможность получать различные типы контурных графиков при помощи функций contour и contourf. Рассмотрим их возможности на примере функции
Использование contour с тремя аргументами
» contour(X,Y,Z)
приводит к графику, на котором показаны линии уровня на плоскости xy , но без указания числовых значений на них. Такой график является малоинформативным, он не позволяет узнать значения функции на каждой из линий уровня. Использование команды colorbar также не позволит точно определить значения функции. Каждую линию уровня можно снабдить значением, которое принимает на ней исследуемая функция, при помощи определенной в MatLab функции clabel. Функция clabel вызывается с двумя аргументами: матрицей, содержащей информацию о линиях уровня и указателем на график, на котором следует нанести разметку. Пользователю не нужно самому создавать аргументы clabel. Функция contour, вызванная с двумя выходными параметрами, не только строит линии уровня, но и находит требуемые для clabel параметры. Используйте contour с выходными аргументами CMatr и h (в массиве CMatr содержится информация о линиях уровня, а в массиве h - указатели). Завершите вызов contour точкой с запятой для подавления вывода на экран значений выходных параметров и нанесите на график сетку:
» = contour(X, Y, Z);
» clabel(CMatr, h)
» grid on
Дополнительным аргументом функции contour (так же, как и contour3, описанной выше) может быть или число линий уровня, или вектор, содержащий значения функции, для которых требуется построить линии уровня.
Наглядную информацию об изменении функции дает заливка прямоугольника на плоскости xy
цветом, зависящим от значения функции в точках плоскости. Для построения таких графиков предназначена функция contourf, использование которой не отличается от применения contour. В следующем примере выводится график, который состоит из двадцати линий уровня, а промежутки между ними заполнены цветами, соответствующими значениям исследуемой функции:
» contourf(X, Y, Z, 20)
» colorbar
Простым и эффективным способом изменения цветового оформления графика является установка цветовой палитры при помощи функции colormap. Следующий пример демонстрирует подготовку графика функции для печати на монохромном принтере, используя палитру gray.
» surfc(X, Y, Z)
»colorbar
» colormap(gray)
» title("График функции z(x,y)")
» xlabel("x")
» ylabel("у")
» zlabel("z")
Обратите внимание, что команда colormap(gray) изменяет палитру графического окна, т.е. следующие графики будут выводиться в этом окне также в серых тонах. Для восстановления первоначального значения палитры следует применить команду colormap("default"). Цветовые палитры, доступные в MatLab, приведены в табл. 2.
Таблица 2
Палитра |
Изменение цвета |
Плавное изменение красный - оранжевый - желтый. |
|
Похожа на палитру gray, но с легким оттенком синего цвета. |
|
Каждый цвет изменяется от темного к яркому. |
|
Оттенки голубого и пурпурного цветов. |
|
Оттенки медного цвета. |
|
Циклическое изменение красный - белый - синий - черный. |
|
Оттенки серого. |
|
Плавное изменение черный - красный - оранжевый - желтый - белый. |
|
Плавное изменение как цветов радуги. |
|
Плавное изменение синий - голубой - красный - зеленый - желтый - красный. |
|
Похожа на палитру gray, но с легким оттенком коричневого цвета |
|
Циклическое изменение красный - оранжевый - желтый - зеленый - синий - фиолетовый. |
|
Оттенки пурпурного и желтого. |
|
Оттенки зеленого и желтого. |
|
Палитра Windows из шестнадцати цветов. |
|
Один белый цвет. |
|
Оттенок синего и зеленого. |
Для отображения нескольких графиков функций одной переменной на одних осях использовались возможности функций plot, plotyy, semilogx, semilogy, loglog . Они позволяют выводить графики нескольких функций, задавая соответствующие векторные аргументы парами, например plot(x,f,x,g). Однако для объединения трехмерных графиков их использовать нельзя. Для объединения таких графиков предназначена команда hold on, которую нужно задать перед построением графика. В следующем примере объединение двух графиков (плоскости и конуса) приводит к их пересечению. Конус задается параметрически следующими зависимостями:
, , 
, .
Для графического отображения конуса сначала необходимо сгенерировать с помощью двоеточия вектор-столбец и вектор-строку, содержащие значения параметров на заданном интервале (важно, что u М. Вектор-столбец и вектор-строка есть матрицы, у которых один из размеров равен единице. Фактически, С = abT , где умножение происходит по правилу матричного произведения. Для вычисления матричного произведения в MatLab используется оператор "звездочка". Определим внешнее произведение для двух векторов:
» a = ;
» b = ;
» C = a*b"
C =
5 6 7
10 12 14
15 18 21
Сформируем матрицы X ,Y , необходимые для графического отображения конуса:
» X = 0.3*u*cos(v);
» Y = 0.3*u*sin(v);
Матрица Z должна быть того же размера, что и матрицы X иY . Кроме того, она должна содержать значения, соответствующие значениям параметров. Если бы в функцию входило произведение и и v , то матрицу Z можно было заполнить аналогично матрицам X и Y при помощи внешнего произведения. С другой стороны, функцию z (u,v )можно представить в виде , где . Поэтому для вычисления Z можно применить внешнее произведение векторов и , где вектор-строка имеет ту же размерность, что v, но состоит из единиц:
» Z = 0.6*u*ones(size(v));
Все требуемые матрицы для отображения конуса созданы. Задание плоскости выполняется следующим образом:
» = meshgrid(-2:0.1:2);
» Z = 0.5*X+0.4*Y;
Теперь не сложно записать и полную последовательность команд для построения пересекающихся конуса и плоскости:
» u = [-2*pi:0.1*pi:2*pi]";
» v = [-2*pi:0.1*pi:2*pi];
» X = 0.3*u*cos(v);
» Y = 0.3*u*sin(v);
» Z = 0.6*u*ones(size(v));
» surf(X, Y, Z)
» = meshgrid(-2:0.1:2);
» Z = 0.5*X+0.4*Y;
» hold on
» mesh(X, Y, Z)
» hidden off
Команда hidden off применена для того, чтобы показать часть конуса, находящуюся под плоскостью.
Обратите внимание, что команда hold on распространяется на все последующие выводы графиков в текущее окно. Для размещения графиков в новых окнах следует выполнить команду hold off. Команда hold on может применяться и для расположения нескольких графиков функций одной переменной, например,
» plot(x,f,х,g)
эквивалентно последовательности
» plot(х,f)
» hold on
» plot(x,g)
Результаты работы, полученные мною:
3. Трёхмерная графика .
Графики функций двух переменных представляют из себя куски поверхностей, нависающие над областями определения функций. Отсюда ясно, что изображение графиков функций двух переменных требует реализации "трёхмерной графики" на пл оском экране дисплея компьютера.
Высокоуровневая графическая подсистема MATLABа автоматически реализует трёхмерную графику без специальных усилий со стороны пользователя. Пусть в точке с координатами x1,y1 вычислено значение функции z=f(x,y) и оно равно z1. В некоторой другой точке (то есть при другом значении аргументов) x2,y2 вычисляют значение функции z2. Продолжая этот процесс, получают массив (набор) точек (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (xN,yN,zN) в количестве N штук, расположенных в трёхмерном пространстве. Специальные функции системы MATLAB проводят через эти точки гладкие поверхности и отображают их проекции на плоский дисплей компбютера.
Чаще всего точки аргументов расположены в области определения функции регулярно в виде прямоугольной сетки (то есть матрицы). Такая сетка точек порождает две матрицы одной и той же структуры: первая матрица содержит значения первых координат этих точек (x - координат), а вторая матрица содержит значения вторых координат (y - координат). Обозначим первую матрицу как X, а вторую - как Y. Есть ещё и третья матрица - матрица значений функции z=f(x,y)при этих аргументах. Эту матрицу обозначим буквой Z.
Простейшей функцией построения графика функции двух переменных в системе MATLAB является функция
plot3(X , Y , Z)
где X, Y и Z - матрицы одинаковых размеров, смысл которых мы только что объяснили.
В системе MATLAB имеется специальная функция для получения двумерных массивов X и Y по одномерным массивам x, y.
P P> Пусть по оси x задан диапазон значений в виде вектора
u = -2: 0.1: 2
а по оси y этот диапазон есть
v = -1: 0.1: 1
Для получения матриц X и Y, представляющих первые и вторые координаты получающейся прямоугольной сетки точек используют специальную функцию системы MATLAB:
[ X , Y ] = meshgrid(u, v)
Как мы видим, эта функция получает на входе два одномерных массива (вектора), представляющие массивы точек на осях координат, и возвращает сразу два искомых двумерных массива. На прямоугольной сетке точек вычисляем значения функции, например функции exp:
Z = exp(- X.^2 - Y.^2)
Наконец, применяя описанную выше функцию plot3,получаем следующее изображение трёхмерного графика этой функции:
Из этого рисунка видно, что функция plot3 строит график в виде набора линий в пространстве, каждая из которых является сечением трёхмерной поверхности плоскостями, параллельными плоскости yOz. По-другому можно сказать, что каждая линия получается из отрезков прямых, соединяющих набор точек, координаты которых берутся из одинаковых столбцов матриц X, Y и Z. То есть, первая линия соответствует первым столбцам матриц X, Y Z; вторая линия - вторым столбцам этих матриц и так далее.
Для построения трёхмерных линий, задаваемых параметрически применяется другая форма вызова функции plot3:
plot3(x, y, z)
где x, y и z являются одномерными массивами координат точек, которые и нужно последовательно соединить отрезками прямых. Например, следующий фрагмент кода
t = 0: pi/50: 10*pi ;
x = sin(t);
y = cos(t);
plot3(x , y , t);
grid on
где применена известная по плоским графикам команда
grid on
для проставления сетки координатных значений в области построения графика (также допустимо использовать команды и функции по оформлению графиков, ранее рассмотренные для "плоского" случая), позволяет построить винтовую линию, изображение которой показано на следующем рисунке:
Помимо этой простейшей функции система MATLAB располагает ещё рядом функций, позволяющих добиваться большей реалистичности в изображении трёхмерных графиков. Это функции mesh, surf и surfl.
Функция mesh соединяет вычисленные соседние точки поверхности графика отрезками прямых и показывает в графическом окне системы MATLAB плоскую проекцию такого объёмного "каркасно-ребристого" (по-английски зовётся wireframe mesh) тела. Вместо ранее показанного при помощи функции plot3 графика функции
exp(- X.^2 - Y.^2)
можно получить вот такое изображение
Для лучшего восприятия "объёмности" изображения разные рёбра автоматически окрашиваются в разные цвета. Кроме того (в отличие от функции plot3) осуществляется удаление невидимых линий. Если вы считаете, что изображённое ребристое тело является прозрачным и не должно скрывать задних линий, то можно ввести команду hidden off , после чего такие линии появятся на изображении. Более плотного изображения поверхности можно добиться, если вместо
функции mesh применить функцию surf(X, Y, Z).
В результате получается следующее изображение представляющее плотную (непрозрачную) сетчатую поверхность, причём отдельные ячейки (грани) этой сетчатой поверхности (плоские четырёхугольники) автоматически окрашиваются в разные цвета.
С помощью функции surf получаются хотя и искусственно раскрашенные, но весьма наглядные изображения. Если же мы хотим добиться более естественных и объективных способов окрашивания поверхностей, то следует использовать функцию surfl.
Функция surfl трактует поверхность графика как материальную поверхность с определёнными физическими свойствами по отражению света. По умолчанию задаётся некоторый источник света, освещающий такую материальную поверхность, после чего рассчитываеются траектории отражённых лучей, попадающих в объектив условной камеры. Изображение в такой камере и показывается в графическом окне системы MATLAB.
Так как разные материалы по-разному отражают падающие лучи, то можно подобрать некоторый материал, чтобы получить наилучшее (с точки зрения пользователя) изображение. В частности, можно использовать функцию
colormap(copper)
с помощью которой для изображения графика выбирается набор цветов (по-английски - colormap), который характерен для света, отражающегося от медной поверхности (медь по-английски - copper). После этого применение функции
surfl(X, Y, Z)
вместо surf(X,Y,Z) приводит к получению очень реалистически выглядящего и очень наглядного графика:
Можно с такого графика убрать чёрные линии, изображающие рёбра, а также добиться ещё более плавного перехода освещения поверхности, если выполнить команду
shading interp
означающую, что теперь цвет (освещённость) будет меняться даже внутри отдельных граней (ячеек). В итоге будет получаться совсем уж реальное изображение некоторой объёмной фигуры. Лучше это или хуже для задачи изображения графиков функций двух переменных - судить конкретному пользователю.
Программа MatLab обладает рядом инструментов для визуализации графиков в трехмерном пространстве. Такие задачи обычно возникают при отображении графиков функций типа .
В самом простом случае, для визуализации графика в трехмерных координатных осях, используется функция
которая в качестве первых двух аргументов принимает матрицы с координатами точек по осям Ox и Oy соответственно, а в качестве третьего аргумента передается матрица значений точек по оси Oz. Рассмотрим работу данной функции на примере отображения графика функции
,
при
и 
.
Сформируем матрицы X и Y, содержащие координаты точек данного графика по осям Ox и Oy соответственно. Данные матрицы нужны для того, чтобы функция plot3() «знала» какие реальные координаты соответствуют точке Z(i,j) матрицы значений по оси Oz. Для этого достаточно взять i-ю и j-ю компоненту матриц
Формирование матриц X и Y можно осуществить с помощью функции
Meshgrid(x,y);
языка MatLab. Здесь x и y – одномерные векторы значений координат по осям Ox и Oy соответственно, которые можно сформировать как
x=-1:0.1:1; %
координаты точек по оси Ox
y=-2:0.1:2; %
координаты точек по оси Oy
и, затем, вычислить матрицы
Meshgrid(x,y); % матрицы координат точек по осям Ox и Oy
В результате, матрицы X и Y будут содержать следующие первые восемь значений по строкам и столбцам:
Матрица X:
1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3
1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3
1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3
1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3
1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3
1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3
1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3
Матрица Y:
2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2
1,9 -1,9 -1,9 -1,9 -1,9 -1,9 -1,9 -1,9
1,8 -1,8 -1,8 -1,8 -1,8 -1,8 -1,8 -1,8
1,7 -1,7 -1,7 -1,7 -1,7 -1,7 -1,7 -1,7
1,6 -1,6 -1,6 -1,6 -1,6 -1,6 -1,6 -1,6
1,5 -1,5 -1,5 -1,5 -1,5 -1,5 -1,5 -1,5
1,4 -1,4 -1,4 -1,4 -1,4 -1,4 -1,4 -1,4
1,3 -1,3 -1,3 -1,3 -1,3 -1,3 -1,3 -1,3
Используя данные матрицы, можно вычислить значения матрицы Z, следующим образом:
Z=exp(-X.^2-Y.^2);
и отобразить результат на экране
Рис. 3.10. Пример отображения графика с помощью функции plot3()
Из приведенного рисунка видно, что
функция plot3() отображает
график в виде набора линий, каждая из которых соответствует сечению графика
функции вдоль
оси Oy.
Такое представление графика не всегда удобно, т.к. набор одномерных не дает полное представление о характере двумерной плоскости. Более лучшей визуализации можно получить, используя функцию
mesh(X,Y,Z); % отображение графика в виде сетки
В результате получим следующий вид трехмерного графика (рис. 3.11).
Благодаря использованию функции mesh() получается график, образованный интерполяцией точек массивов X, Y и Z линиями по осям Ox и Oy. Кроме того, цветом указывается уровень точки по оси Oz: от самого малого значения (синего) до самого большого (красного) и производится удаление «невидимых» линий. Это позволяет лучше визуально оценивать структуру трехмерного графика по сравнению с функцией plot3(). Если же необходимо отобразить «прозрачный» график, то следует выключить режим удаления «невидимых» линий:
hidden off; % скрытые линии рисуются
В системе MatLab предусмотрена функция визуализации непрерывной поверхности в трехмерных осях
surf(X,Y,Z); % отображение непрерывной поверхности
В результате получается график, представленный на рис. 3.12.
Рис. 3.11. Результат работы функции mesh()
Рис. 3.12. Результат работы функции surf()
Функция surf() может использоваться в режиме
shading interp; % интерполяция тени на гранях графика
которая интерполирует цвет на гранях для получения более гладкого изображения поверхности (рис. 3.13). Также существует возможность менять цветовую карту отображения графика с помощью функции
colormap(<карта>); % установка цветовой карты
Например, карта с именем hot, используемая по умолчанию может быть заменена на любую другую доступную (hot, hsv, gray, pink, cool, bone copper) или созданную самостоятельно.
Рис. 3.13. Результат работы функции surf() в режиме shading interp
Следует отметить, что все три функции plot3(), mesh() и surf() могут быть использованы и с одним аргументом Z, который интерпретируется как матрица со значениями точек по оси Oz.
Для масштабирования отдельных участков трехмерных графиков, также как и в случае с двумерными графиками, используется функция
axis();
с очевидным набором параметров.
Для оформления трехмерных графиков можно пользоваться описанными ранее функциями: text, xlabel, ylabel, zlabel, title, grid , subplot.
Наконец, для трёхмерных графиков существует возможность изменять точку их обзора, т.е. положение виртуальной камеры с помощью функции
где az – угол азимута; el – угол возвышения. Изменение первого угла означает вращение плоскости xOy вокруг оси Oz против часовой стрелки. Угол возвышения есть угол между направлением на камеру и плоскостью xOy.
