Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Периодичность функций”; формировать навыки применения свойств периодической функции, нахождения наименьшего положительного периода функции, построения графиков периодических функций; содействовать повышению интереса к изучению математики; воспитывать наблюдательность, аккуратность.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями, слайды, часы, таблицы орнаментов, элементы народного промысла
“Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой”
А.Н. Колмогоров
Ход урока
I. Организационный этап.
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и задач урока.
II. Проверка домашнего задания.
Домашнее задание проверяем по образцам, наиболее сложные моменты обсуждаем.
III. Обобщение и систематизация знаний.
1. Устная фронтальная работа.
Вопросы теории.
1) Сформируйте определение периода функции
2) Назовите наименьший положительный период функций y=sin(x), y=cos(x)
3). Назовите наименьший положительный период функций y=tg(x), y=ctg(x)
4) Докажите с помощью круга верность соотношений:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π
n)=tgx, n € Z
ctg(x+π
n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π
n)=sinx, n € Z
cos(x+2π
n)=cosx, n € Z
5) Как построить график периодической функции?
Устные упражнения.
1) Доказать следующие соотношения
a) sin(740º
) = sin(20º
)
b) cos(54º
)
= cos(-1026º)
c) sin(-1000º) =
sin(80º
)
2. Доказать, что угол в 540º является одним из периодов функции y= cos(2x)
3. Доказать, что угол в 360º является одним из периодов функции y=tg(x)
4. Данные выражения преобразовать так, чтобы входящие в них углы по абсолютной величине не превышали 90º .
a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)
5. Где вы встречались со словами ПЕРИОД, ПЕРИОДИЧНОСТЬ?
Ответы учащихся: Период в музыке – построение, в котором изложено более или менее завершенная музыкальная мысль. Геологический период – часть эры и разделяется на эпохи с периодом от 35 до 90 млн. лет.
Период полураспада радиоактивного вещества. Периодическая дробь. Периодическая печать – печатные издания, появляющиеся в строго определенные сроки. Периодическая система Менделеева.
6. На рисунках изображены части графиков периодических функций. Определите период функции. Определить период функции.
Ответ : Т=2; Т=2; Т=4; Т=8.
7. Где в жизни вы встречались с построением повторяющихся элементов?
Ответ учащихся: Элементы орнаментов, народное творчество.
IV. Коллективное решение задач.
(Решение задач на слайдах.)
Рассмотрим один из способов исследования функции на периодичность.
При этом способе обходятся трудности, связанные с доказательством того, что тот или иной период является наименьшим, а также отпадает необходимость касаться вопросов об арифметических действиях над периодическими функциями и о периодичности сложной функции. Рассуждение опирается лишь на определение периодической функции и на такой факт: если Т – период функции, то и nT(n?0) – ее период.
Задача 1. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=1+3{x+q>5}
Решение: Предположим, что Т-период данной функции. Тогда f(x+T)=f(x) для всех x € D(f), т.е.
1+3{x+T+0,25}=1+3{x+0,25}
{x+T+0,25}={x+0.25}
Положим x=-0,25 получим
{T}=0 <=> T=n, n € Z
Мы получили, что все периоды рассматриваемой функции (если они существуют) находятся среди целых чисел. Выберем среди этих чисел наименьшее положительное число. Это 1 . Проверим, не будет ли оно и на самом деле периодом 1 .
f(x+1) =3{x+1+0,25}+1
Так как {T+1}={T} при любом Т, то f(x+1)=3{(x+0.25)+1}+1=3{x+0,25}+1=f(x), т.е. 1 – период f. Так как 1 – наименьшее из всех целых положительных чисел, то T=1.
Задача 2. Показать, что функция f(x)=cos 2 (x) периодическая и найти её основной период.
Задача 3. Найдите основной период функции
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Допустим Т-период функции, тогда для любого х справедливо соотношение
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Если х=0, то
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Если х=-Т, то
sin0+5cos0=sin(-1,5Т)+5cos0,75(-Т)
5= – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)
| sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 |
Сложив, получим:
10cos(0,75Т)=10
2π n, n € Z
Выберем из всех “подозрительных” на период чисел наименьшее положительное и проверим, является ли оно периодом для f. Это число
f(x+)=sin(1,5x+4π )+5cos(0,75x+2π )= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)
Значит – основной период функции f.
Задача 4. Проверим является ли периодической функция f(x)=sin(x)
Пусть Т – период функции f. Тогда для любого х
sin|x+Т|=sin|x|
Если х=0, то sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
Предположим. Что при некотором n число π n является периодом
рассматриваемой функции π n>0. Тогда sin|π n+x|=sin|x|
Отсюда вытекает, что n должно быть одновременно и четным и нечетным числом, а это невозможно. Поэтому данная функция не является периодической.
Задача 5. Проверить, является ли периодической функция
f(x)=
Пусть Т – период f, тогда
,
отсюда sinT=0, Т=π
n,
n € Z. Допустим, что при некотором n число
π
n действительно является периодом
данной функции. Тогда и число 2π
n
будет периодом
Так как числители равны, то равны и их знаменатели, поэтому
Значит, функция f не периодическая.
Работа в группах.
Задания для группы 1.
Задания для группы 2.
Проверьте является ли функция f периодической и найдите ее основной период (если существует).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Задания для группы 3.
По окончании работы группы презентуют свои решения.
VI. Подведение итогов урока.
Рефлексия.
Учитель выдаёт учащимся карточки с рисунками и предлагает закрасить часть первого рисунка в соответствии с тем, в каком объёме, как им кажется, они овладели способами исследования функции на периодичность, а в части второго рисунка – в соответствии со своим вкладом в работу на уроке.
VII. Домашнее задание
1). Проверьте, является ли функция f периодической и найдите её основной период (если он существует)
b). f(x)=x 2 -2x+4
c). f(x)=2tg(3x+5)
2). Функция y=f(x) имеет период Т=2 и f(x)=x 2 +2x при х € [-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5)
Литература/
Часто при изучении явлений природы, химических и физических свойств различных веществ, а также при решении сложных технических задач приходится сталкиваться с процессами, характерной чертой которых является периодичность, то есть тенденция к повторению через некоторый промежуток времени. Для описания и графического изображения такой цикличности в науке существует функция особого вида - периодическая функция.
Самый простой и всем понятный пример - обращение нашей планеты вокруг Солнца, при котором все время меняющееся между ними расстояние подчиняется годовым циклам. Точно так же возвращается на свое место, совершив полный оборот, лопасть турбины. Все подобные процессы можно описать такой математической величиной, как периодическая функция. По большому счету, весь наш мир имеет цикличный характер. А значит, и периодическая функция занимает немаловажное место в системе человеческих координат.
Потребность математической науки в топологии, и точных геометрических вычислениях привела к появлению в девятнадцатом веке новой категории функций с необычными свойствами. Ими стали периодические функции, принимающие тождественные значения в определенных точках в результате сложных преобразований. Сейчас они применяются во многих разделах математики и других наук. Например, при изучении различных колебательных эффектов в волновой физике.
В различных математических учебниках даются разные определения периодической функции. Однако независимо от этих расхождений в формулировках, все они эквивалентны, так как описывают они и те же Наиболее простым и понятным может быть следующее определение. Функции, числовые показатели которых не подвергаются изменениям, если прибавить к их аргументу некоторое число, отличное от нуля, так называемый период функции, обозначаемый литерой Т, называются периодическими. Что все это значит на практике?
Например, простая функция вида: y = f(x) станет периодической в том случае, если Х имеет определенное значение периода (Т). Из данного определения следует, что если числовое значение функции, имеющей период (Т), определено в одной из точек (х), то ее значение также становится известным в точках х + Т, х - Т. Важным моментом здесь является то, что при Т равном нулю функция превращается в тождество. Периодическая функция может обладать бесконечным числом различных периодов. В основной массе случаев среди положительных значений Т существует период с наименьшим числовым показателем. Его называют основным периодом. А все остальные значения Т всегда ему кратны. Это еще одно интересное и очень важное для различных областей науки свойство.
График периодической функции обладает тоже несколькими особенностями. Например, если Т является основным периодом выражения: y = f(x), то при построении графика данной функции достаточно всего лишь построить ветвь на одном из промежутков длины периода, а затем перенести ее по оси х на следующие значения: ±Т, ±2Т, ±3Т и так далее. В заключение следует отметить, что не у всякой периодической функции есть основной период. Классическим примером этого служит функция немецкого математика Дирихле следующего вида: y = d(x).
Число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.
Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.
Обычно интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.
Классический пример периодических функций - тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции - не единственные периодические.
Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность - вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.
Если F(x) - с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) - тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку периодически повторяется, то должна повторяться . Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.
Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C - нет.
Если F(x) - периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k - константы и k не равно нулю - тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) - периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете функции по горизонтали именно в столько раз
Если F1(x) и F2(x) - периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 - рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй - 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.
Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.
Однако если соотношение периодов , то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π - иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.
Источники:
Многие математические функции имеют одну особенность, облегчающую их построение, - это периодичность , то есть повторяемость графика на координатной сетке через равные промежутки.
Инструкция
Самыми известными периодическими функциями математики синусоида и косинусоида. Эти функции имеют волнообразный и основной период, равный 2П. Также частным случаем периодической функции является f(x)=const. На позицию х подходит любое число, основного периода данная функция не имеет, так как представляет собой прямую.
Вообще функция является периодической, если существует целое число N, которое от нуля и удовлетворяет правилу f(x)=f(x+N), таким образом обеспечивая повторяемость. Период функции - это и есть наименьшее число N, но не ноль. То есть, например, функция sin x равна функции sin (x+2ПN), где N=±1, ±2 и т.д.
Иногда при функции может
По школьным урокам математики каждый помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством - повторяться через определенный промежуток - обладают и многие другие функции. Они называются периодическими. Периодичность - очень важное свойство функции, часто встречающееся в различных задачах. Поэтому полезно уметь определять, является ли функция периодической.
Изучая явления природы, решая технические задачи, мы сталкиваемся с периодическими процессами, которые можно описать функциями особого вида.
Функция y = f(x) с областью определения D называется периодической, если существует хотя бы одно число T > 0, такое, при котором выполняются следующие два условия:
1) точки x + T, x − T принадлежат области определения D для любого x ∈ D;
2) для каждого x из D имеет место соотношение
f(x) = f(x + T) = f(x − T).
Число T называется периодом функции f(x). Иными словами, периодической функцией является такая функция, значения которой повторяются через некоторый промежуток. Например, функция y = sin x - периодическая (рис. 1) с периодом 2π.
Заметим, что если число T является периодом функции f(x), то и число 2T также будет ее периодом, как и 3T, и 4T и т. д., т. е. у периодической функции бесконечно много разных периодов. Если среди них имеется наименьший (не равный нулю), то все остальные периоды функции являются кратными этого числа. Заметим, что не каждая периодическая функция имеет такой наименьший положительный период; например, функция f(x)=1 такого периода не имеет. Важно также иметь в виду, что, например, сумма двух периодических функций, имеющих один и тот же наименьший положительный период T 0 , не обязательно имеет тот же самый положительный период. Так, сумма функций f(x) = sin x и g(x) = −sin x вообще не имеет наименьшего положительного периода, а сумма функций f(x) = sin x + sin 2x и g(x) = −sin x, наименьшие периоды которых равны 2π, имеет наименьший положительный период, равный π.
Если отношение периодов двух функций f(x) и g(x) является рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также будут периодическими функциями. Если же отношение периодов всюду определенных и непрерывных функций f и g будет иррациональным числом, то функции f+g и fg уже будут непериодическими функциями. Так, например, функции cos x sin √2 x и cosj √2 x + sin x являются непериодическими, хотя функции sin x и cos x периодичны с периодом 2π, функции sin √2 x и cos √2 x периодичны с периодом √2 π.
Отметим, что если f(x) - периодическая функция с периодом T, то сложная функция (если, конечно, она имеет смысл) F(f(x)) является также периодической функцией, причем число T будет служить её периодом. Например, функции y = sin 2 x, y = √(cos x) (рис. 2,3) - периодические функции (здесь: F 1 (z) = z 2 и F 2 (z) = √z). Не следует, однако, думать, что если функция f(x) имеет наименьший положительный период T 0 , то и функция F(f(x)) будет иметь такой же наименьший положительный период; например, функция y = sin 2 x имеет наименьший положительный период, в 2 раза меньший, чем функция f(x) = sin x (рис. 2).
Нетрудно показать, что если функция f периодична с периодом T, определена и дифференцируема в каждой точке действительной прямой, то функция f"(x) (производная) есть также периодическая функция с периодом T, однако первообразная функция F(x) (см. Интегральное исчисление) для f(x) будет периодической функцией только в том случае, когда
F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.
