В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n).
Определение 1
Степень числа a с натуральным показателем n – это произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен числу а. Записывается степень так: a n , а в виде формулы ее состав можно представить следующим образом:
Например, если показатель степени равен 1 , а основание – a , то первая степень числа a записывается как a 1 . Учитывая, что a – это значение множителя, а 1 – число множителей, мы можем сделать вывод, что a 1 = a .
В целом можно сказать, что степень – это удобная форма записи большого количества равных множителей. Так, запись вида 8 · 8 · 8 · 8 можно сократить до 8 4 . Примерно так же произведение помогает нам избежать записи большого числа слагаемых (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4) ; мы это уже разбирали в статье, посвященной умножению натуральных чисел.
Как же верно прочесть запись степени? Общепринятый вариант – « a в степени n ». Или можно сказать « n -ная степень a » либо « a n -ной степени». Если, скажем, в примере встретилась запись 8 12 , мы можем прочесть « 8 в 12 -й степени», « 8 в степени 12 » или « 12 -я степень 8 -ми».
Вторая и третья степени числа имеют свои устоявшиеся названия: квадрат и куб. Если мы видим вторую степень, например, числа 7 (7 2) , то мы можем сказать « 7 в квадрате» или «квадрат числа 7 ». Аналогично третья степень читается так: 5 3 – это «куб числа 5 » или « 5 в кубе». Впрочем, употреблять стандартную формулировку «во второй/третьей степени» тоже можно, это не будет ошибкой.
Пример 1
Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.
В основании не обязательно должно стоять целое число: для степени (4 , 32) 9 основанием будет дробь 4 , 32 , а показателем – девятка. Обратите внимание на скобки: такая запись делается для всех степеней, основания которых отличаются от натуральных чисел.
Например: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .
Для чего нужны скобки? Они помогают избежать ошибок в расчетах. Скажем, у нас есть две записи: (− 2) 3 и − 2 3 . Первая из них означает отрицательное число минус два, возведенное в степень с натуральным показателем три; вторая – число, соответствующее противоположному значению степени 2 3 .
Иногда в книгах можно встретить немного другое написание степени числа – a ^ n (где а – основание, а n - показатель). То есть 4 ^ 9 – это то же самое, что и 4 9 . В случае, если n представляет собой многозначное число, оно берется в скобки. Например, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но мы будем использовать обозначение a n как более употребительное.
О том, как вычислить значение степени с натуральным показателем, легко догадаться из ее определения: нужно просто перемножить a n -ное число раз. Подробнее об этом мы писали в другой статье.
Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.
В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.
Определение 2
Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: 
.
При этом n – любое целое положительное число.
Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:
Определение 3
Равенство a m: a n = a m − n будет верно при условиях: m и n – натуральные числа, m < n , a ≠ 0 .
Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n: a n = a n − n = a 0
Но при этом a n: a n = 1 - частное равных чисел a n и a . Выходит, что нулевая степень любого отличного от нуля числа равна единице.
Однако такое доказательство не подходит для нуля в нулевой степени. Для этого нам нужно другое свойство степеней – свойство произведений степеней с равными основаниями. Оно выглядит так: a m · a n = a m + n .
Если n у нас равен 0 , то a m · a 0 = a m (такое равенство также доказывает нам, что a 0 = 1 ). Но если а также равно нулю, наше равенство приобретает вид 0 m · 0 0 = 0 m , Оно будет верным при любом натуральном значении n , и неважно при этом, чему именно равно значение степени 0 0 , то есть оно может быть равно любому числу, и на верность равенства это не повлияет. Следовательно, запись вида 0 0 своего особенного смысла не имеет, и мы не будем ему его приписывать.
При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени (a m) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.
Пример 2
Разберем пример с конкретными числами: Так, 5 0 - единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , а значение 0 0 не определено.
После нулевой степени нам осталось разобраться, что из себя представляет степень отрицательная. Для этого нам понадобится то же свойство произведения степеней с равными основаниями, которое мы уже использовали выше: a m · a n = a m + n .
Введем условие: m = − n , тогда a не должно быть равно нулю. Из этого следует, что a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1 . Выходит, что a n и a − n у нас являются взаимно обратными числами.
В итоге a в целой отрицательной степени есть не что иное, как дробь 1 a n .
Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).
Пример 3
Степень a с целым отрицательным показателем n можно представить в виде дроби 1 a n . Таким образом, a - n = 1 a n при условии a ≠ 0 и n – любое натуральное число.
Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:
Пример 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:
Определение 4
Степень числа a с натуральным показателем z – это: a z = a z , e с л и z - ц е л о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с л о 1 , z = 0 и a ≠ 0 , (п р и z = 0 и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 0 , з н а ч е н и я в ы р а ж е н и я 0 0 н е о п р е д е л я е т с я) 1 a z , е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a ≠ 0 (е с л и z - ц е л о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с л о и a = 0 п о л у ч а е т с я 0 z , е г о з н а ч е н и е н е о п р е д е л я е т с я)
Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.
Что такое рациональные числа? В их множество входят как целые, так и дробные числа, при этом дробные числа можно представить в виде обыкновенных дробей (как положительных, так и отрицательных). Сформулируем определение степени числа a с дробным показателем m / n , где n – натуральное число, а m – целое.
У нас есть некоторая степень с дробным показателем a m n . Для того, чтобы свойство степени в степени выполнялось, равенство a m n n = a m n · n = a m должно быть верным.
Учитывая определение корня n -ной степени и что a m n n = a m , мы можем принять условие a m n = a m n , если a m n имеет смысл при данных значениях m , n и a .
Приведенные выше свойства степени с целым показателем будут верными при условии a m n = a m n .
Основной вывод из наших рассуждений таков: степень некоторого числа a с дробным показателем m / n – это корень n -ой степени из числа a в степени m . Это справедливо в том случае, если при данных значениях m , n и a выражение a m n сохраняет смысл.
1. Мы можем ограничить значение основания степени: возьмем a , которое при положительных значениях m будет больше или равно 0 , а для отрицательных – строго меньше (поскольку при m ≤ 0 мы получаем 0 m , а такая степень не определена). В таком случае определение степени с дробным показателем будет выглядеть следующим образом:
Степень с дробным показателем m / n для некоторого положительного числа a есть корень n -ной степени из a, возведенного в степень m . В виде формулы это можно изобразить так:
Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.
Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как
0 m n = 0 m n = 0 при условии целого положительного m и натурального n .
При отрицательном отношении m n < 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.
Выражение a m n иногда все же имеет смысл при некоторых отрицательных значениях a и некоторых m . Так, верны записи (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , в которых основание отрицательно.
2. Второй подход – это рассмотреть отдельно корень a m n с четными и нечетными показателями. Тогда нам потребуется ввести еще одно условие: степень a , в показателе которой стоит сократимая обыкновенная дробь, считается степенью a , в показателе которой стоит соответствующая ей несократимая дробь. Позже мы объясним, для чего нам это условие и почему оно так важно. Таким образом, если у нас есть запись a m · k n · k , то мы можем свести ее к a m n и упростить расчеты.
Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.
Объединим все данные выше определения в одной записи:
Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.
Определение 5
Для любой обыкновенной сократимой дроби m · k n · k степень можно заменить на a m n .
Степень числа a с несократимым дробным показателем m / n – можно выразить в виде a m n в следующих случаях: - для любых действительных a , целых положительных значений m и нечетных натуральных значений n . Пример: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .
Для любых отличных от нуля действительных a , целых отрицательных значений m и нечетных значений n , например, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7
Для любых неотрицательных a , целых положительных значений m и четных n , например, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .
Для любых положительных a , целых отрицательных m и четных n , например, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .
В случае других значений степень с дробным показателем не определяется. Примеры таких степеней: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .
Теперь объясним важность условия, о котором говорили выше: зачем заменять дробь с сократимым показателем на дробь с несократимым. Если бы мы этого не сделали бы, то получились бы такие ситуации, скажем, 6 / 10 = 3 / 5 . Тогда должно быть верным (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , а (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .
Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.
Определение 6
Таким образом, степень положительного числа a с дробным показателем m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 . В случае отрицательных a запись a m n не имеет смысла. Степень нуля для положительных дробных показателей m / n определяется как 0 m n = 0 m n = 0 , для отрицательных дробных показателей мы степень нуля не определяем.
В выводах отметим, что можно записать любой дробный показатель как в виде смешанного числа, так и в виде десятичной дроби: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .
При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.
Пример 5
Допустим, что у нас есть иррациональное число a и последовательность его десятичных приближений a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, возьмем значение a = 1 , 67175331 . . . , тогда
a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .
Последовательности приближений мы можем поставить в соответствие последовательность степеней a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Если вспомнить, что мы рассказывали ранее о возведении чисел в рациональную степень, то мы можем сами подсчитать значения этих степеней.
Возьмем для примера a = 3 , тогда a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . и т.д.
Последовательность степеней можно свести к числу, которое и будет значением степени c основанием a и иррациональным показателем a . В итоге: степень с иррациональным показателем вида 3 1 , 67175331 . . можно свести к числу 6 , 27 .
Определение 7
Степень положительного числа a с иррациональным показателем a записывается как a a . Его значение – это предел последовательности a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , где a 0 , a 1 , a 2 , . . . являются последовательными десятичными приближениями иррационального числа a . Степень с нулевым основанием можно определить и для положительных иррациональных показателей, при этом 0 a = 0 Так, 0 6 = 0 , 0 21 3 3 = 0 . А для отрицательных этого сделать нельзя, поскольку, например, значение 0 - 5 , 0 - 2 π не определено. Единица, возведенная в любую иррациональную степень, остается единицей, например, и 1 2 , 1 5 в 2 и 1 - 5 будут равны 1 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Информационный бум В биологии - колонии микробов в чашке Петри Кролики в Австралии Цепные реакции – в химии В физике - радиоактивный распад, изменение атмосферного давления с изменением высоты, охлаждение тела.В физике - радиоактивный распад, изменение атмосферного давления с изменением высоты, охлаждение тела. Выбрасывание адреналина в кровь и его разрушение А так же утверждают, что количество информации удваивается каждые 10 лет.А так же утверждают, что количество информации удваивается каждые 10 лет.
(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3,5
Выражение 2 х 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = ,5 = 1/2 3,5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/16 2)=
3=1, … 1; 1,7 1,73; 1,732;1,73205; 1, ;… последовательность возрастает 2 1 ; 2 1,7 ; 2 1,73 ;2 1,732 ; 2 1,73205 ; 2 1, ;… последовательность возрастает Ограниченная, а значит сходится к одному пределу - значение 2 3
Можно определить π 0
10 10
18
Свойства функции у = а х п \ п а >10
10
10
10 10
title="Свойства функции у = а х п \ п а >10
21
Количество информации удваивается каждые 10 лет По оси Ох – по закону арифметической прогрессии:1,2,3,4…. По оси Оу – по закону геометрической прогрессии: 2 1,2 2,2 3,2 4 … График показательной функции, его называют экспонентой (от латинского exponere - выставлять напоказ)
Степень с рациональным показателем, её свойства.
Выражение а
n определено для всех а и n, кроме случая а=0 при n≤0. Напомним свойства таких степеней.
Для любых чисел а, b и любых целых чисел m и п справедливы равенства:
A m *a n =a m+n ;
a m:а n =a m-n (а≠0);
(а m) n = а mn ;
(ab) n = a n *b n ;
(b≠0);
а 1 =а; а 0 =1 (а≠0).
Отметим также следующее свойство:
Если m>n, то а m >а n при а>1 и а m <а n при 0<а<1.
В этом пункте мы обобщим понятие степени числа, придав смысл выражениям типа 2
0.3 , 8
5/7 , 4
-1/2 и т. д. Естественно при этом дать определение так, чтобы степени с рациональными показателями обладали теми же свойствами (или хотя бы их частью), что и степени с целым показателем. Тогда, в частности, n-я степень числа
должна быть равна а
m . Действительно, если свойство
(a p) q =a pq
выполняется, то
Последнее равенство означает (по определению корня n-й степени), что число
должно быть корнем п-й степени из числа а
m .
Определение.
Степенью числа а>0 с рациональным показателем r=, где m — целое число, а n — натуральное (n > 1), называется число
Итак, по определению
(1)
Степень числа 0 определена только для положительных показателей; по определению 0
r = 0 для любого r>0.
Степень с иррациональным показателем.
Иррациональное число
можно представить в виде
предела последовательности рациональных чисел
:
.
Пусть . Тогда существуют степени с рациональным показателем . Можно доказать, что последовательность этих степеней является сходящейся. Предел этой последовательности называется степенью с основанием и иррациональным показателем : .
Зафиксируем положительное число а и поставим в соответствие каждому числу . Тем самым получим числовую функцию f(x) = a x , определенную на множестве Q рациональных чисел и обладающую ранее перечисленными свойствами. При а=1 функция f(x) = a x постоянна, так как 1 x =1 для любого рационального х.
Нанесем несколько точек графика функции у =2
x предварительно вычислив с помощью калькулятора значения 2
x на отрезке [—2; 3] с шагом 1/4 (рис. 1, а), а затем с шагом 1/8 (рис. 1, б).Продолжая мысленно такие же построения с шагом 1/16, 1/32 и т. д., мы видим, что получающиеся точки можно соединить плавной кривой, которую естественно считать графиком некоторой функции, определенной и возрастающей уже на всей числовой прямой и принимающей значения
в рациональных точках
(рис. 1, в). Построив достаточно большое число точек графика функции
, можно убедиться в том, что аналогичными свойствами обладает и эта функция (отличие состоит в том, что функция
убывает на R).
Эти наблюдения подсказывают, что можно так определить числа 2
α и
для каждого иррационального α, что функции, задаваемые формулами y=2
x и
будут непрерывными, причем функция у=2
x возрастает, а функция
убывает на всей числовой прямой.
Опишем в общих чертах, как определяется число a
α для иррациональных α при а>1. Мы хотим добиться того, чтобы функция у = a
x была возрастающей. Тогда при любых рациональных r
1 и r
2 , таких, что r
1 <α
Выбирая значения r
1 и r
2 , приближающиеся к х, можно заметить, что и соответствующие значения a
r 1 и a
r 2 будут мало отличаться. Можно доказать, что существует, и притом только одно, число у, которое больше всех a
r 1 для всех рациональных r
1 и меньше всех a
r 2 для всех рациональных r
2 . Это число у по определению есть а
α .
Например, вычислив с помощью калькулятора значения 2
x в точках х
n и х`
n , где х
n и х`
n — десятичные приближения числа
мы обнаружим, что, чем ближе х
n и х`
n к
, тем меньше отличаются 2
x n и 2
x` n .
Так как
, то
и, значит,
Аналогично, рассматривая следующие десятичные приближения
по недостатку и избытку, приходим к соотношениям
;
;
;
;
.
Значение
вычисленное на калькуляторе, таково:
.
Аналогично определяется число a
α для 0<α<1. Кроме того полагают 1
α =1 для любого α и 0
α =0 для α>0.
Показательная функция.
При a > 0, a = 1, определена функция y = a x , отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функцией с основанием a .
y
= a
x
при a
> 1:
Графики показательных функций с основанием 0 < a < 1 и a > 1 изображены на рисунке.
Основные свойства показательной функции y = a x при 0 < a < 1:
Начальный уровень
Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?
Чтобы узнать все о степенях, о том для чего они нужны, как использовать свои знания в повседневной жизни читай эту статью.
И, конечно же, знание степеней приблизит тебя к успешной сдаче ОГЭ или ЕГЭ и к поступлению в ВУЗ твоей мечты.
Let"s go... (Поехали!)
Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).
Возведение в степень - это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.
Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.
Начнем со сложения.
Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно - 16 бутылок.
Теперь умножение.
Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики - люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем.
Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения
. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…
Вот таблица умножения. Повторяй.
И другой, красивее:
А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно -возведение числа в степень .
Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, . Математики помнят, что два в пятой степени - это. И решают такие задачки в уме - быстрее, легче и без ошибок.
Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел . Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.
Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью - кубом ? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.
Начнем с квадрата или со второй степени числа.
Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.
Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток (штук) и по другой тоже плиток. Умножив на, ты получишь плиток ().
Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет (). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет. Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат - это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат - это изображение второй степени числа.
Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа... По одной стороне клеток и по другой тоже. Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска - это квадрат со стороной, то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. () Так?
Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.
Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов… Легче правда?
А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно. Записывается это так: .
Остается только запомнить таблицу степеней . Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки - можешь продолжать считать пальцем.
Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.
У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты - умный! Итак, в первый год - два умножить на два… во второй год - то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз. Значит, два в пятой степени - миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?
У тебя есть миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года? Давай считать. Первый год - умножить на, потом результат еще на … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или.
Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.
Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени ? Это очень просто - это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…
Ну и заодно, что такое основание степени ? Еще проще - это то число, которое находится внизу, в основании.
Вот тебе рисунок для верности.
Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как « в степени » и записывается следующим образом:
Степень числа с натуральным показателем
Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени - это натуральное число. Да, но что такое натуральное число ? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?
Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число. Ноль понять легко - это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне рублей, это значит, что ты должен оператору рублей.
Всякие дроби - это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа … Интересно, правда ведь?
Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число.
Резюме:
Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
Определение.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
.
Откуда эти свойства взялись? Сейчас покажу.
Посмотрим: что такое и ?
По определению:
Сколько здесь множителей всего?
Очень просто: к множителям мы дописали множителей, итого получилось множителей.
Но по определению это степень числа с показателем, то есть: , что и требовалось доказать.
Пример : Упростите выражение.
Решение:
Пример: Упростите выражение.
Решение:
Важно заметить, что в нашем правиле обязательно
должны быть одинаковые основания!
Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:
только для произведения степеней!
Ни в коем случае нельзя написать, что.
2. то и есть -ая степень числа
Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:
Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -ая степень числа:
По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:
Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать?
Но это неверно, ведь.
До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени.
Но каким должно быть основание?
В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом . И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже.
Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?
Например, положительным или отрицательным будет число? А? ? С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.
Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на, получится.
Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Справился?
Вот ответы: В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным.
Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).
Пример 6) уже не так прост!
Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов! Получаем:
Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило.
Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.
Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках.
Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно !
Вернемся к примеру:
И снова формула:
Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком « ») и число.
целое положительное число , а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.
А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного.
Любое число в нулевой степени равно единице :
Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?
Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием. Возьмем, например, и домножим на:
Итак, мы умножили число на, и получили то же, что и было - . А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на. Значит.
Можем проделать то же самое уже с произвольным числом:
Повторим правило:
Любое число в нулевой степени равно единице.
Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть - это число (в качестве основания).
С одной стороны, в любой степени должен равняться - сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, как и любое число в нулевой степени, должен равняться. Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.
Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа к целым относятся отрицательные числа. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:
Отсюда уже несложно выразить искомое:
Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:
Итак, сформулируем правило:
Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: (т.к. на делить нельзя).
Подведем итоги:
I. Выражение не определено в случае. Если, то.
II. Любое число в нулевой степени равно единице: .
III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: .
Ну и, как обычно, примеры для самостоятельного решения:
Знаю-знаю, числа страшные, но на ЕГЭ надо быть готовым ко всему! Реши эти примеры или разбери их решение, если не смог решить и ты научишься легко справляться с ними на экзамене!
Продолжим расширять круг чисел, «пригодных» в качестве показателя степени.
Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными?
Ответ: все, которые можно представить в виде дроби, где и - целые числа, причем.
Чтобы понять, что такое «дробная степень» , рассмотрим дробь:
Возведем обе части уравнения в степень:
Теперь вспомним правило про «степень в степени» :
Какое число надо возвести в степень, чтобы получить?
Эта формулировка - определение корня -ой степени.
Напомню: корнем -ой степени числа () называется число, которое при возведении в степень равно.
То есть, корень -ой степени - это операция, обратная возведению в степень: .
Получается, что. Очевидно, этот частный случай можно расширить: .
Теперь добавляем числитель: что такое? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:
Но может ли основание быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.
Никакое!
Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень - число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!
А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение не имеет смысла.
А что насчет выражения?
Но тут возникает проблема.
Число можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, или.
И получается, что существует, но не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.
Или другой пример: раз, то можно записать. Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: (то есть, получили совсем другой результат!).
Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем .
Итак, если:
Примеры:
Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:
Ну а теперь - самое сложное. Сейчас мы разберем степень с иррациональным показателем .
Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением
Ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа кроме рациональных).
При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.
Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя;
...число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число;
...степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.
Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число.
Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.
КУДА МЫ УВЕРЕНЫ ТЫ ПОСТУПИШЬ! (если научишься решать такие примеры:))
Например:
1. Начнем с уже обычного для нас правила возведения степени в степень:
Теперь посмотри на показатель. Ничего он тебе не напоминает? Вспоминаем формулу сокращенного умножения разность квадратов:
В данном случае,
Получается, что:
Ответ: .
2. Приводим дроби в показателях степеней к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например:
Ответ: 16
3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:
Степенью называется выражение вида: , где:
Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя раз:
Если показателем степени является целое положительное число:
Возведение в нулевую степень :
Выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, в любой степени - это, а с другой - любое число в -ой степени - это.
Если показателем степени является целое отрицательное число:
(т.к. на делить нельзя).
Еще раз о нулях: выражение не определено в случае. Если, то.
Примеры:
Примеры:
Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.
Посмотрим: что такое и?
По определению:
Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:
Но по определению это степень числа с показателем, то есть:
Что и требовалось доказать.
Пример : Упростите выражение.
Решение : .
Пример : Упростите выражение.
Решение : Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:
Еще одно важное замечание: это правило - только для произведения степеней !
Ни в коем случае нелья написать, что.
Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:
Перегруппируем это произведение так:
Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -я степень числа:
По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: !
Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать? Но это неверно, ведь.
До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом .
И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже. Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?
Например, положительным или отрицательным будет число? А? ?
С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.
Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на (), получится - .
И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:
Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Справился? Вот ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.
В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).
Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: или? Если вспомнить, что, становится ясно, что, а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило 2: результат будет отрицательным.
И снова используем определение степени:
Все как обычно - записываем определение степеней и, делим их друг на друга, разбиваем на пары и получаем:
Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.
Вычисли значения выражений:
Решения :
Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов!
Получаем:
Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило 3. Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.
Если домножить его на, ничего не поменяется, верно? Но теперь получается следующее:
Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках. Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно! Нельзя заменить на, изменив только один неугодный нам минус!
Вернемся к примеру:
И снова формула:
Итак, теперь последнее правило:
Как будем доказывать? Конечно, как обычно: раскроем понятие степени и упростим:
Ну а теперь раскроем скобки. Сколько всего получится букв? раз по множителей - что это напоминает? Это не что иное, как определение операции умножения : всего там оказалось множителей. То есть, это, по определению, степень числа с показателем:
Пример:
В дополнение к информации о степенях для среднего уровня, разберем степень с иррациональным показателем. Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением - ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа, кроме рациональных).
При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах. Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число; степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.
Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.
Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.
Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)
Например:
Реши самостоятельно:
| 1) | 2) | 3) |
Ответы:
Степенью называется выражение вида: , где:
Степень с целым показателем
степень, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
Степень с рациональным показателем
степень, показатель которой — отрицательные и дробные числа.
Степень с иррациональным показателем
степень, показатель которой — бесконечная десятичная дробь или корень.
Свойства степеней
Особенности степеней.
Как тебе статья? Напиши внизу в комментариях понравилась или нет.
Расскажи о своем опыте использования свойств степеней.
Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.
Напиши в комментариях.
И удачи на экзаменах!
Дата: 27.10.2016
Класс: 11Б
Тема урока Степень с иррациональным показателем.
Иррациональное выражение. Преобразования иррациональных выражений.
Цель урока:
Обобщение и систематизация знаний по данной теме
Задачи урока:
Повышение вычислительной культуры уч-ся;
Проверка уровня усвоения темы путем дифференцированного
опроса уч-ся;
Развитие интереса к предмету;
Воспитание навыков контроля и самоконтроля.
Ход урока.
I этап урока (1 минута)
Организационный момент
Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и задачи урока (слайд№2); поясняет, как во время урока будет использоваться раздаточный материал, который находится на рабочем месте каждого ученика, обращает внимание учащихся на лист самоконтроля, в который постепенно в ходе урока будут заноситься баллы, полученные за выполнение заданий разноуровневых тестов, выполнения заданий у доски, за активную работу на уроке.
Лист самоконтроля
Вопросытеории
Разноуровневая самостоятельная работа «Повышение вычислительной культуры»
Работа на уроке (оценка учителя)
Разноуровневый тест
«Обобщение понятия степени.»
Итог
Резуль
таты
са мо
оц ен ки
Учитель обращается к учащимся:
«В конце урока мы увидим результаты вашей самооценки. Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед.
Поэтому вы сегодня должны работать самостоятельно и объективно оценивать свои знания».
II этап урока (3 минуты)
Повторение теоретического материала по теме.
Учитель просит учащихся дать определение степени с натуральным показателем.
Звучит определение.
Определение. Степенью действительного числа а с натуральным показателем п называется произведение п множителей, каждый из которых равен а.
Учитель просит учащихся дать определение степени с целым показателем.
Звучит определение.
Определение. Если - целое отрицательное число, то , где 0 Учитель спрашивает: «Чему равна нулевая, первая степень любого действительного числа?» ; .
Учитель просит учащихся дать определение степени с рациональным
показателем. Звучит определение.
Определение. Степенью действительного числа а > 0 c рациональным показателем r = , где m - целое, n - натуральное, называется число:
Если, то.
Учитель: «Вспомните основные свойства степени».
Учащиеся перечисляют свойства степени:
Для любых действительных чисел т и п и для любых положительных а и в выполняются равенства:
1. 4.
2. 5.
Во время ответов на интерактивной доске учащиеся видят определения и свойства степени, и если надо вносят дополнения и исправления в ответы своих товарищей.
III этап урока (3 минуты)
Устная работа по решению простейших задач по теме « Основные свойства степени»
Работа с диском « Новые возможности для усвоения курса математики».
(Учебное электронное издание «Математика 5-11»/ Дрофа.)
Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению упражнений:
Вычислите
2. Упростите
3) () 6)
3. Выполните действия
К компьютеру вызываются по очереди 3 ученика, они решают предложенные задачи устно, комментируя свой ответ, ссылаясь на теорию. Если задача решена правильно, то звучат аплодисменты, на экране и на доске появляется улыбающееся лицо, а если упражнение выполнено неверно, то лицо грустное, и тогда учитель предлагает взять подсказку. С помощью программы все учащиеся видят на интерактивной доске правильное решение.
IV этап урока (5 минут)
Вариант 1
Вычислите:
648
Уровень II
(2-)
7- 4
0,0640,49
0,28
Уровень III
0,3
Вариант 2
Вычислите:
| 4 64 | |||
| Уровень II | |||
| (-2) | |||
| при а = | |||
| 125 16-36 | |||
| Уровень III | |||
| 1,5 |
|||
Учащийся должен решить задания своего уровня сложности. Если у него остается ещё время, то он может набирать дополнительные баллы, решая задания другого уровня сложности. Сильные учащиеся, прорешав задания менее сложного уровня, смогут помочь своим товарищам из другой группы в случае необходимости. (По просьбе учителя они выступают в роли консультантов).
Проверка теста с помощью инструмента « Шторка» интерактивной доски.
V этап урока (15 минут)
Разноуровневый тест тематического контроля знаний
«Обобщение понятия степени».
У доски учащиеся группы III записывают и подробно объясняют решение варианта 7 и 8
Во время выполнения работы учитель, если необходимо, помогает учащимся группы III выполнять задания и контролирует решение задач на доске.
Учащиеся двух других групп и остальные учащиеся группы III решают в это время разноуровневый тест (1 и 2 вариант)
VI этап урока (7 минут)
Обсуждение решений задач представленных на доске.
На доске учащиеся решали пять задач. Учащиеся, выполнявшие задачи у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят, при необходимости, коррективы.
VII этап урока (5 минут) Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию. Учитель еще раз обращает внимание, на те типы заданий и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся.
1). Подсчет баллов (слайд)
Каждое задание самостоятельной работы и теста, если
оно выполнено верно, оценивается в 1 балл.
Не забудьте прибавить оценки-баллы учителя за урок…
2). Заполнение листа самоконтроля (слайд)
«5» - 15 баллов
«4» - 10 баллов
«3» - 7баллов < 7 баллов
…мы надеемся, что ты очень старался,
просто сегодня – не твой день!..
Решения теста и самостоятельной работы учащиеся забирают с собой, чтобы дома сделать работу над ошибками, листы самоконтроля сдают учителю. Учитель после урока анализирует их и выставляет оценки, докладывая о результатах анализа на следующем уроке.
3). Домашнее задание:
Работа над ошибками в тестах.
Творческое задание для группы III : составить карточку с заданиями на применение свойств степеней для опроса на следующем уроке.
Выучить определение и свойства
Выполнить упражнения
Разноуровневая самостоятельная работа «Повышение вычислительной культуры»:
Вариант 1
Вычислите:
| Уровень II | |
|
Тематические материалы:
Обновлено: 26.09.2019
103583
Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter
Рубрики сайта
|
