Рассмотрим дробь $\frac63$. Ее величина равна 2, так как $\frac63 =6:3 = 2$. А что произойдет, если числитель и знаменатель умножить на 2? $\frac63 \times 2=\frac{12}{6}$. Очевидно, величина дроби не изменилась, так $\frac{12}{6}$ как у также равно 2. Можно умножить числитель и знаменатель на 3 и получить $\frac{18}{9}$, или на 27 и получить $\frac{162}{81}$ или на 101 и получить $\frac{606}{303}$. В каждом из этих случаев величина дроби, которую мы получаем, разделив числитель на знаменатель, равна 2. Это означает, что не изменилась.
Такая же закономерность наблюдается и в случае других дробей. Если числитель и знаменатель дроби $\frac{120}{60}$ (равной 2) разделить на 2 (результат $\frac{60}{30}$), или на 3 (результат $\frac{40}{20}$), или на 4 (результат $\frac{30}{15}$) и так далее, то в каждом случае величина дроби остается неизменной и равной 2.
Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу .
Если числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ умножить на 2, мы получим $\frac{2}{6}$, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{6}$ идентичны. Сформулируем общее правило.
Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется.
Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.
Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби $\frac{126}{189}$ на 63 и получить дробь $\frac{2}{3}$ с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример. Числитель и знаменатель дроби $\frac{155}{31}$ можем разделить на 31 и получить дробь $\frac{5}{1}$ или 5, поскольку 5:1=5.
В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1 . Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть $\frac{273}{1}$ равно 273; $\frac{509993}{1}$ равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на , поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: $\frac{15}{1}+\frac{15}{1}=\frac{30}{1}$, $\frac{4}{1} \times \frac{3}{1}=\frac{12}{1}$.
Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами. Например, чтобы научится складывать дроби с разными знаменателями . Предположим, нам надо сложить $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$.
Мы знаем, что складывать можно только те дроби, знаменатели которых равны. Значит, нам нужно научиться приводить дроби к такому виду, когда их знаменатели равны. В этом случае нам опять пригодится то, что можно умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же число без изменения ее величины.
Сначала умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ на 5. Получим $\frac{5}{15}$, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{1}{5}$ на 3. Получим $\frac{3}{15}$, опять величина дроби не изменилась. Следовательно, $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$.
Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.
Нам надо сложить $3 + \frac{1}{3}+1\frac{1}{4}$. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: $\frac31 + \frac{1}{3}+\frac{5}{4}$. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй - на 4, а третьей - на 3. В результате получаем $\frac{36}{12} + \frac{4}{12}+\frac{15}{12}$, что равно $\frac{55}{12}$. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби , ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей: $\frac{55}{12} = \frac{48}{12}+\frac{7}{12}$ или $4\frac{7}{12}$.
Все правила, позволяющие проводить операции с дробями , которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1: 3 можно записать как $\frac{-1}{3}$, а 1: (-3) как $\frac{1}{-3}$.
Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при делении положительного числа на отрицательное в результате мы получаем отрицательные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть
$(-1) : 3 = \frac{1}{3}$ или $1: (-3) = \frac{1}{-3}$. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.
С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как $\frac{-1}{-3}$, а поскольку при делении отрицательного числа на отрицательное число мы получаем положительное число, то $\frac{-1}{-3}$ можно записать как $+\frac{1}{3}$.
Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дробей. Например, что такое $1- 1\frac13$? Представим оба числа в виде дробей и получим $\frac{1}{1}-\frac{4}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю и получим $\frac{1 \times 3}{1 \times 3}-\frac{4}{3}$, то есть $\frac{3}{3}-\frac{4}{3}$, или $-\frac{1}{3}$.
Числителем, а то, на которое делят - знаменателем.
Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель - в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.
Чтобы рассчитать произведение дробей, умножьте сначала числитель одной дроби на числитель другой. Запишите результат в числитель новой дроби . После этого перемножьте и знаменатели. Итоговое значение укажите в новой дроби . Например, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 ? 1 = 1; 3 ? 5 = 15).
Чтобы поделить одну дробь на другую, умножьте сначала числитель первой на знаменатель второй. То же произведите и со второй дробью (делителем). Или перед выполнением всех действий сначала «переверните» делитель, если вам так удобнее: на месте числителя должен оказаться знаменатель. После этого умножьте знаменатель делимого на новый знаменатель делителя и перемножьте числители. Например, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Источники:
Дробные числа позволяют выражать в разном виде точное значение величины. С дробями можно выполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Чтобы научиться решать дроби , надо помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, общего знаменателя. Некоторые арифметические действия после выполнения требуют сокращения дробной части результата.
Вам понадобится
Инструкция
Внимательно посмотрите на числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, иногда удобнее вначале выполнить действия с десятичными, а затем перевести их в неправильный вид. Можете перевести дроби
в такой вид изначально, записав значение после запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, разделив числа выше и ниже на один делитель. Дроби, в которых выделяется целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к результату числитель. Данное значения станет новым числителем дроби
. Чтобы выделить целую часть из первоначально неправильной дроби
, надо поделить числитель на знаменатель. Целый результат записать от дроби
. А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби
при этом не меняется. Для дробей с целой частью возможно выполнение действий отдельно сначала для целой, а затем для дробной частей. Например, сумма 1 2/3 и 2 ¾ может быть вычислена :
- Переведение дробей в неправильный вид:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.
Перепишите их через разделитель «:» и продолжите обычное деление.
Для получения конечного результата полученную дробь сократите, разделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее возможное в данном случае. При этом выше и ниже черты должны быть целые числа.
Обратите внимание
Не выполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, чтобы при умножении на него числителя и знаменателя каждой дроби в результате знаменатели обеих дробей были равны.
Полезный совет
При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, или знаменатель, дроби. Например, полтора килограмма риса в виде дроби запишется следующим образом: 1 ½ кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для удобства вычислений такую дробь всегда можно записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для упрощения можно сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере возможно деление на 2. В результате получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь выполнять арифметические действия, представлены в одном виде.
Правила сложения дробей с разными знаменателями очень простые.
Рассмотрим правила сложения дробей с разными знаменателями по шагам:
1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей. Полученный НОК будет общим знаменателем дробей;
2. Привести дроби к общему знаменателю;
3. Сложить дроби, приведенные к общему знаменателю.
На простом примере научимся применять правила сложения дробей с разными знаменателями.
Пример сложения дробей с разными знаменателями.
Сложить дроби с разными знаменателями:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Будем решать по шагам.
1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей.
Число 12 делится на 6.
Отсюда делаем вывод, что 12 есть наименьшее общее кратное чисел 6 и 12.
Ответ: нок чисел 6 и 12 равен 12:
НОК(6, 12) = 12
Полученный НОК и будет общим знаменателем двух дробей 1/6 и 5/12.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
В нашем примере привести к общему знаменателю 12 нужно только первую дробь, ведь у второй дроби знаменатель уже равен 12.
Разделим общий знаменатель 12 на знаменатель первой дроби:
2 есть дополнительный множитель.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби (1/6) на дополнительный множитель 2.
Изучение вопроса вычитания дробей с разными знаменателями встречается в школьном предмете Алгебра в восьмом классе и оно иногда вызывает у детей сложности в понимании. Для вычитания дробей с разными знаменателями используют следующую формулу:
Процедура вычитания дробей аналогично сложению, поскольку полностью копирует принцип действия.
Во-первых, вычисляем самое маленькое число, которое кратно как одному, так и другому знаменателю.
Во-вторых, перемножаем числитель и знаменатель каждой дроби на определнное число, которое позволит нам знаменатель привести к данному минимальному общему знаменателю.
В-третьих, происходит процедура самого вычитания, когда в итоге знаменатель дублируется, а вычитается числитель второй дроби из первой.
Пример: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 целых 1/6
Сначала нужно привести их к одному знаменателю, а потом уже произвести вычитание. Например, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Или, сложнее, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Объяснять, как приводятся дроби к общему знаменателю нужно?
При таких операциях как сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями действует простое правило - знаменатели этих дробей приводятся к одному числу, а само действие выполняется с числами стоящими в числителе. То есть дроби получают общий знаменатель и словно объединяются в одну. Нахождение общего знаменателя для произвольных дробей обычно сводится к простому перемножению каждой из дробей на знаменатель другой дроби. Но в более простых случаях можно сразу найти сомножители, которые приведут знаменатели дробей к одному числу.
Пример вычитания дробей: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21
Многие взрослые уже забыли, как вычесть дроби с разными знаменателями , а ведь это действие относится к элементарной математике.
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями , нужно привести их к общему знаменателю, то есть найти наименьшее общее кратное знаменателей, затем числители умножить на дополнительные множители, равные отношению наименьшего общего кратного и знаменателя.
Знаки дробей при этом сохраняются. После того, как у дробей появились одинаковые знаменатели, можно производить вычитание, а потом, если получится, сократить дробь.
Елена, Вы решили повторить школьный курс математики?)))
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями их сначала нужно привести к одному знаменателю, а потом вычесть. Самый простой вариант: Числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби. Получили две дроби с одинаковыми знаменателями. Теперь от числителя первой дроби отнимаем числитель второй дроби, а знаменатель у них одинаковый.
Например, три пятых отнять две седьмых равно двадцать одна тридцать пятая отнять десять тридцать пятых и это равно одиннадцать тридцать пятых.
Если знаменатели большие числа, то можно найти их наименьшее общее кратное, т.е. число, которое будет делиться и на один и на другой знаменатель. И приводить обе дроби к общему знаменателю (наименьшему общему кратному)
Как вычитывать дроби с разными знаменателями задача очень простая - приводим дроби к общему знаменателю и затем в числителе делаем вычитание.
Очень многие сталкиваются с трудностями, когда возле этих дробей стоят целые числа, поэтому хотел показать, как это делать на следующем примере:
вычитание дробей с целой частью и с разными знаменателями
сначала вычитываем целые части 8-5 = 3 (тройка остается возле первой дроби);
приводим дроби к общему знаменателю 6 (если числитель первой дроби больше второго, делаем вычитание и записываем возле целой части, в нашем же случае двигаемся дальше);
целую часть 3 раскладываем на 2 и 1;
1 записываем в виде дроби 6/6;
6/6+3/6-4/6 записываем под общим знаменателем 6 и делаем действия в числителе;
записываем найденный результат 2 5/6.
Важно помнить, что вычитание дробей производиться при наличии у них одинаковых знаменателю. Поэтому-то когда у нас имеются в разности дроби с различными знаменателями, их нужно привести просто напросто к общему знаменателю, что сделать не сложно. Мы просто должны разложить у каждой дроби числитель на множители и вычислить наименьшее общее кратное, которое не должно равняться нулю. Не забываем также умножить числители на полученные дополнительные множители, а вот пример для удобства:
Если вы хотите вычесть дроби с разными знаменателями, то для начала вам придется найти для этих двух дробей общий знаменатель. И потом вычесть из числителя первой дроби вторую. Получается новая дробь, с новым значением.
На сколько я помню из курса математики 3его класса, то для вычета дробей с разными знаминателями для начала нужно вычислить общий знаминатель и привести к нему, а потом просто вычетаются числители между собой а знаминатель остается тот общий.
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нам сначала придется найти наименьший общий знаменатель этих дробей.
Рассмотрим на примере:
Делим большее число 25 на меньшее 20. Не делится. Значит умножаем знаменатель 25 на такое число, получившая сумма при этом чтобы могла делится на 20. Таким числом будет 4. 25х4=100. 100:20=5. Таким образом мы нашли наименьший общий знаменатель - 100.
Теперь нам необходимо найти дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого делим новый знаменатель на старый.
Умножаем 9 на 4 = 36. Умножаем 7 на 5 = 35.
Имея общий знаменатель мы проводим вычитание, как показано в примере и получаем результат.
Как известно из математики, дробное число состоит из числителя и знаменателя. Числитель расположен вверху, а знаменатель внизу.
Производить математические действия по сложению или вычитанию дробных величин с одним и тем же знаменателем достаточно просто. Нужно всего лишь уметь складывать или вычитать между собой цифры, находящиеся в числителе (сверху), а одинаковое нижнее число остается без изменений.
Для примера возьмем дробное число 7/9, здесь:
Пример 1 . Сложение:
5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.
Пример 2 . Вычитание:
6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.
Чтобы выполнить математическое действие по вычитанию величин, имеющих разный знаменатель, надо первым делом привести их к единому знаменателю. При выполнении этой задачи необходимо придерживаться того правила, что этот общий знаменатель должен быть меньшим из всех возможных вариантов.
Пример 3
Даны две простые величины с разными знаменателями (нижними цифрами): 7/8 и 2/9.
Необходимо вычесть из первой величины вторую.
Решение состоит из нескольких действий:
1. Находимо найти общее нижнее число, т.е. то, что делится как на нижнюю величину первой дроби, так и второй. Это будет цифра 72, поскольку она кратна цифрам «восемь» и «девять».
2. Нижняя цифра каждой дроби увеличилась:
3. Если изменился знаменатель (нижняя цифра), значит, должен измениться и числитель (верхняя цифра). По существующему математическому правилу, верхнюю цифру надо увеличить ровно во столько же, что и нижнюю. То есть:
4. В результате действий у нас получились две новые величины, которые, однако, тождественны первоначальным.
5. Теперь допускается произвести вычитание одного дробного числа из другого:
7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?
6. Выполняя это действие, возвращаемся к теме вычитания дробей с одинаковыми нижними цифрами (знаменателями). А это значит, что сверху, в числителе, будет проведено действие вычитания, а нижняя цифра переносится без изменений.
63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.
7/8−2/9 = 47/72.
Пример 4
Усложним задачу, взяв для решения несколько дробей с разными, но кратными цифрами внизу.
Даны величины: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.
Надо их отнять друг от друга в этой последовательности.
1. Приводим дроби вышеуказанным способом к общему знаменателю, которым будет цифра «24»:
7/24 - эту последнюю величину оставляем без изменения, поскольку знаменателем является общее число «24».
2. Выполняем вычитание всех величин:
20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.
3. Поскольку числитель и знаменатель получившейся дроби делятся на одно число, то их можно сократить, разделив на цифру «три»:
3:3 / 24:3 = 1/8.
4. Ответ записываем так:
5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.
Пример 5
Дано три дроби с некратными знаменателями: 3/4; 2/7; 1/13.
Требуется найти разницу.
1. Приводим к общему знаменателю два первых числа, им будет цифра «28»:
2. Вычитаем первые две дроби между собой:
¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.
3. Вычитаем из получившегося значения третью заданную дробь:
4. Приводим числа к общему знаменателю. Если нет возможности подобрать одинаковый знаменатель более легким способом, то нужно лишь выполнить действия, умножив последовательно все знаменатели друг на друга, не забывая повышать и значение числителя на такую же цифру. В этом примере делаем так:
5. Отнимаем полученные дроби:
13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.
Ответ: ¾−2/7−5/13 = 29/364.
В примерах, которые были рассмотрены выше, применялись лишь правильные дроби.
Как пример:
Неправильную дробь превратить в правильную нельзя, но есть возможность превратить ее в смешанную . Для чего верхнее число (числитель) делят на нижнее (знаменатель) и получают цифру с остатком. Получившееся при делении целое число так и записывают, остаток пишут в числитель вверху, а знаменатель, который снизу, остается прежним. Чтобы было понятнее, рассмотрим конкретный пример:
Пример 6
Переводим неправильную дробь 9/8 в правильную.
Для этого цифру «девять» делим на «восемь», получаем в результате смешанную дробь с целым числом и остатком:
9: 8 = 1 и 1/8 (по-другому это можно записать, как 1+1/8), где:
Целое число называют еще натуральным.
Остаток и знаменатель - это новая, но уже правильная дробь.
При записи числа 1 его пишут перед правильной дробью 1/8.
Из вышесказанного дадим определение смешанного дробного числа: «Смешанное число - это такая величина, которая равна сумме целого числа и правильной обыкновенной дроби. При этом целую часть называют натуральным числом , а то число, что в остатке, его дробной частью ».
Пример 7
Дано: две смешанные дробные величины, состоящие из целого числа и правильной дроби:
Требуется найти разность между этими величинами.
1. Чтобы из 9+4/7 вычесть 3+5/21, нужно сначала вычесть друг из друга целые величины:
4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.
3. Полученный результат разницы двух смешанных чисел будет состоять из натурального (целого) числа 6 и правильной дроби 7/21 = 1/3:
(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.
Математики всех стран договорились, что знак «+» при написании смешанных величин можно опустить и оставить лишь целое число перед дробью без всякого знака.
