Площади небольших участков с криволинейными граница­ми можно измерять с помощью палеток. Палетка для измере­ния площадей – лист прозрачного материала (восковки, лавса­на, пластика, кальки), на который нанесена сетка квадратов размером 2×2 мм или система равноотстоящих параллельных линий.

Наложив палетку с сеткой квадратов на план, подсчиты­вают число квадратов, уместившихся в измеряемой площади, оценивая дробные части квадратов на краях участка на глаз. Результат подсчета умножают на площадь одного квадрата.

Так, квадрату размером 2×2 мм на плане масштаба 1:1000 соответствует на местности квадрат 2×2 м, то есть площадь равная 4 м 2 . Если подсчитанное число квадратиков равно 122,4, то площадь участка равна 122,4 · 4 м 2 = 490 м 2 .

Для измерения площади палеткой с параллельными линия­ми ее накладывают на план так, чтобы противоположные края участка расположились посредине между линиями палетки (рис. 5.1).

Отрезки линий палетки, ограниченные контуром участка, можно рассматривать как средние линии трапеций, заключенных на рисунке между пунктирными линиями. Из­мерив длины средних линий d 1 , d 2 , ..., d n , площадь участка вычисляют по формуле (5.1):

P = h (d 1 + d 2 + … + d n ), (5.1)

где h - расстояние между линиями палетки (в масштабе).

Определение суммы отрезков d 1 + d 2 + … + d n выполняют циркулем-измерителем. Взяв в раствор измерителя отрезок d 1 , переносят измеритель на следующую линию, на продолжение отрезка d 2 и увеличивают раствор так, что в растворе будет набрана сумма d 1 + d 2 . Продолжая, накапливают всю сумму расстояний и определяют ее значение по масштабной линейке.

Прямоугольная палетка построена в виде сетки квадратов. Определение площади прямоугольной палеткой выполняют по способу А.Н. Савича (рис.5.2).

Способ А. Н. Савича применяется при измерении на плане больших площадей. Часть Р 0 площади участка (рис. 5.2), состоящая из целых квадратов, образованных линиями координатной сетки, не требует измерения – она равна сумме известных площадей квадратов. Измеряют площади Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , расположенные на краях участка и составленные

Р = Р 0 + Р 1 + Р 2 + Р 3 + Р 4 . (5.2)

Измерение площадей Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 может быть выполнено любым из описанных выше методов (по координатам, по линейно-угловым измерениям).

Рис. 5.3 К способу Савича

Для повышения точности измерения площадей Р 1 , Р 2 , Р 3 и Р 4 рекомендуется измерять еще и дополнения этих площа­дей до целых квадратов и окончательные их значения вычис­лять. Пусть, например, непосредственное измерение площади Р 1 дало результат R (рис. 5.3). Измерением площади, дополняющей R до пяти целых квадратов, получен результат Q . Если бы не погрешности измерений и деформации бумаги, то сумма R + Q равнялась бы точно P Q – площади прямоуголь­ника, состоящего из пяти квадратов. Полагая погрешности пропорциональными размерам измеряемых площадей, напишем пропорцию , откуда следует . (5.3)

Аналогично вычисляют и площади Р 2 , Р 3 , Р 4 .

Достоинством способа Савича является то, что значитель­ная часть площади (а именно – Р 0 ) определяется без измере­ний, аналитически. Уменьшение измеряемой части площади и выполнение измерений с контролем повышают точность оп­ределения площади. Кроме того, оказывается учтенной дефор­мация бумаги.

Если значительная часть площади составлена целыми квад­ратами, а измерять приходится лишь малую ее часть, точность способа Савича близка к точности аналитических способов.

5.2 Способы определения площади участка с криволинейными границами

Урок – практикум

Тема: "Измерение площади фигуры с помощью палетки", математика, 4-й класс. Технология : технология проблемного обучения

Цель : найти способ нахождения площади фигур с помощью палетки.
Задачи урока :
1.Учить анализировать геометрические фигуры.
2.Развивать логическое мышление учащихся, умение точно и обоснованно аргументировать, выделять те стороны наблюдаемых явлений, которые необходимы для существа исследования и осмысления задачи.
3.Создать условия для самостоятельного поиска знаний.
5.Воспитать интерес к предмету, любознательность, дружеское отношение к одноклассникам в совместной работе.
Оборудование : авторская презентация "Измерение площади фигуры с помощью палетки", мультимедийная установка.
Дидактические материалы к учебному занятию : учебник "Математика", 4 класс, М. И. Моро; палетки, фигуры из цветного картона.

Ход урока

I . Оргмомент.

Долгожданный дан звонок –

Начинается урок.

Ум и сердце в работу вложи,

Каждой секундой в труде дорожи.

II . Мотивация.

Почти на каждом уроке математики мы открываем новые знания. И сегодняшний наш урок – не исключение. Мы откроем новый секрет математики. Прочитаем тему нашего урока. (Слайд №1) Что заметили? Новое слово - палетка. Урок – практикум - как вы это понимаете?

III . Актуализация знаний

Что такое площадь? Выберите верное утверждение (Слайд 2)

Давайте вспомним, в каких единицах измеряется площадь? (Слайд 3)

На какие группы можно разбить данные величины? Запишите в тетрадь единицы измерения площади. Расположив их в порядке увеличения.

Проверьте! (Слайд 4)

Как поступить ребятам, которым трудно?(Таблица на форзаце)

Что вы располагали в порядке возрастания? (единицы площади).

О чем пойдет разговор на уроке? (о площади фигур)

Какими знаниями вы уже владеете в рамках этой темы?

Работа с таблицей «Знаю, хочу узнать, узнал».

Вспомним всё, что мы знаем о понятии площадь. Напишите это в первой графе таблицы “Знаю” .

Обсудите всё, что вы написали в парах, … в группах.

(Заслушиваются ответы нескольких учеников)

В математике множество различных фигур. (Слайд 7) Вы узнали их, на какие группы их можно разделить? (многоугольники и фигуры без углов) Площадь каких фигур вы можете найти?

Вот прямоугольник с заданными сторонами. (Слайд 8)

Запишите в тетрадь решение.

Проверьте себя! (Слайд 9)

IV . Новая тема

А что же нам делать, если нужно найти площадь остальных фигур? (Слайд 10) (Предложение учащихся)

Что бы вы ещё хотели узнать о площади? Запишите графе таблицы «Хочу узнать» (Выслушиваются предложения нескольких учеников, которые записываются в краткой форме на

Интересное слово, на которое вы обратили внимание

Что же это за приспособление? (от ф

Вот как она выглядит. (Демонстрация палетки)

Палетка - прозрачная пленка, разделенная на одинаковые квадраты: это могут быть квадратные дециметры, квадратные сантиметры, квадратные миллиметры .

Рассмотрите вашу палетку, чему равна её сторона. (Слайд 11)

Давайте подумаем, как можно с помощью палетки измерять площадь. (Ответы детей)

У нас практическая работа , давайте измерять - у вас есть овал, у меня на экране свой.

Обозначим последовательность действий. (Слайд 12-13)

У всех разное количество целых квадратов. Почему? (Кто как наложил палетку)

Остались ещё нецелые квадраты. Что делать с ними? Дети высказывают свои предположения. (Проверка по учебнику с. 45)

(Общее количество поделить на 2. Что делать далее? Сложить результаты.)

Почему значение площади получилось примерное? (Округляли результат неполных клеток, по-разному накладывали палетку)

VI . Работа в парах (Слайд 15)

Предлагаю вам закрепить ваше умение находить площадь фигур, выполнив задание в парах. В конвертах фигуры, порядок работы на доске. Полученные результаты запишите в тетрадь.

8. Рефлексия работы на уроке

Подведение итога, самооценка.

Запишите в третьей графе таблицы “Знаю, хочу узнать, узнал” всё то новое, что вы узнали сегодня на уроке в соответствии с темой.

«Доска благодарностей»

За что я хочу похвалить себя

Кому из класса и за что

я хочу сказать «спасибо»

9. Итог урока.

В школе изучаете тему площадь. Как вы думаете, а в жизни эти знания нужны?

VII . Подведение итогов, рефлексия. (Слайд 16)

Я сегодня научился (ась)…

Мне понравилось…

Мне ещё трудно…

VIII .Домашнее задание (Слайд 17)

Для определения площадей небольших участков с криволинейными контурами на плане применяют палетки, в основном прямолинейные. К прямолинейным палеткам относятся известные и наиболее распространенные квадратные и параллельные палетки.

Квадратная палетка представляет собой сеть взаимно перпендикулярных линий, проведенных через 1–2 мм на прозрачном целлулоиде, плексигласе, фотопленке, стекле или кальке.

Площадь фигуры определяется простым подсчетом клеток палетки, наложенной на фигуру. Доли клеток, рассекаемых контуром на части, учитываются на глаз (рис. 13). Квадратной палеткой не рекомендуется определять площади больше 2 см 2 на плане. Недостаток ее применения (помимо того, что площади долей клеток, рассекаемых контуром, приходится оценивать на глаз) в том, что подсчет количества целых клеток нередко сопровождается грубыми погрешностями.

Такие недостатки не наблюдаются при определении площадей параллельной палеткой, представляющей собой листок прозрачного целлулоида, плексигласа или кальки, на котором нанесены параллельные линии преимущественно через 2 мм одна от другой. Площадь контура определяют этой палеткой следующим образом. Накладывают ее на контур так, чтобы крайние точки a и b разместились посредине между параллельными линиями палетки. Тогда, весь контур оказывается разделенным параллельными линиями на фигуры, близкие к трапециям, с одинаковыми высотами, причем отрезки параллельных линий внутри контура являются средними линиями трапеций (рис.14). Пунктиром показаны основания этих трапеций.

Сумма площадей трапеций, т.е. площадь контура, равна

Следовательно, чтобы получить площадь контура, нужно взять сумму средних линий, т.е. сумму отрезков параллельных прямых внутри контура, и умножить на расстояние между ними.

Для упрощения определения площади сумму средних линий последовательно набирают в раствор циркуля, которую определяют по масштабной линейке и полученную длину умножают на h , м (рис.15). Чтобы не выполнять подобных вычислений, для каждого масштаба строят специальную шкалу, по которой отсчитывают площадь контура, зная сумму средних линий.

Расчет шкалы: М 1:10000, h = 2 мм, при длине шкалы 1 см площадь равна (0.2 см  100 м)  (1 см  100 м) = 2000 м 2 = 0.2 га. Параллельной палеткой не следует определять площади больше 10 см 2 на плане.

4.5. Точность вычисления площадей графическим способом и с помощью палетки

При разбивке участка на простейшие фигуры точность вычисления для различных вариантов не будет одинаковой. Площадь треугольника графическим способом вычисляется точнее, чем площади других фигур. Следовательно, площадь при разбивке участка на треугольники вычисляется точнее, чем при разбивке на другие фигуры (трапеции, прямоугольники). При разбивке участка на треугольники из всех вариантов будет лучшим тот, в котором треугольники будут равносторонними или высота h примерно равна основанию a .

Погрешность уменьшается, если вычислять площадь треугольника не как
, а по формуле Герона

где
. Это дает уточнение до 13% даже для равностороннего треугольника. Основание треугольника может быть во много раз меньше высоты, если оно измеряется на местности, а не на плане.

Поурочный план открытого урока

Предмет: математика.

Тема:"Измерение площади фигуры. Палетка".

Цели:

· Познакомить детей со способом нахождения площади фигур различной формы с помощью палетки.

· Учить анализировать геометрические фигуры.

· Развивать логическое мышление учащихся, умение точно и обоснованно аргументировать, выделять те стороны наблюдаемых явлений, которые необходимы для с исследования и осмысления задачи.

· Совершенствовать умение решать задачи.

· Воспитать интерес к предмету, любознательность, дружеское отношение к одноклассникам в совместной работе.

Задачи урока: Создать условия для самостоятельного поиска знаний.

Оборудование: "Измерение площади фигуры с помощью палетки",презентация

Дидактические материалы к учебному занятию:

Ход учебного занятия

1.Организационный момент :

Ну-ка проверь, дружок,
Ты готов начать урок?
Все ль на месте,
Все ль в порядке,
Ручка, книжка и тетрадка?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?

Каждый хочет получать
Лишь оценку "5"?

2. Сообщение темы урока

Учитель: Ребята, мы вновь погружаемся в мир нескучной математики. Сегодня познакомимся с геометрическими фигурами, площадь которых находим новым способом. А каким, узнаем на уроке. У нас всё получится.

3. Оформление работ в тетрадях.

Математика - царица всех наук. Она нужна в любой науке, в любой профессии, например, археологам. Вы знаете, кто такие археологи? Посмотрим презентациию «Кто такие археологи».

7. Работа по индивидуальным карточкам.

Нахождение площади фигур прямоугольной и квадратной формы.

Поиграем в эту профессию. Вы приехали на раскопки. Вам необходимо определить, какова площадь участка земли прямоугольной или квадратной формы, на которой вы будете что-то искать. (У каждого карточка с чертежом, данными. Дети по формуле находят площадь, делают чертёж и запись в тетрадь.)Один ученик у доски.

S = 5* 9= 45 м2

ПРОВЕРКА. Учитель раздаёт карточки, на которых указан верный ответ, дети зачитывают свои ответы - Отогните ответы и вы увидите, археологи, кого вы откопали. Динозавров..jpg" width="45" height="59 src=">.jpg" width="49" height="65 src=">

8 . Физминутка

Вы наверное устали?
-Да!
- И поэтому все встали.
Дружно вытянули шеи
как динозавры зашипели:, зарычали.
Пошипели, помолчали
как динозавры, поскакали.
Поскакали, поскакали
И за кустиком пропали.

9. Знакомство с новой темой.

Я вот такого динозавра нашла.(На доску вывешен плакат.)

- Можем мы найти его площадь по формуле? Почему?

Существует способ нахождения площади фигур неправильной формы с помощью палетки – плёнки прозрачной с нанесенными на ней квадратными сантиметрами.

10. Знакомство с презентацией «Палетка»

11. Работа по теме урока

Нахождение площади динозавра по алгоритму . используя большую палетку. Учитель комментирует.

Алгоритм вычисления площади с помощью палетки

1. Наложи палетку.

2. Посчитай количество

полных квадратов в фигуре.

3. Посчитай количество неполных квадратов и раздели это число на 2:

4. Сложи количество полных квадратов и число неполных квадратов, делённое на 2.

Дети делают запись в тетрадь.

12. Физминутка. (Парный танец)

Давай, Дино, попрыгаем, попрыгаем. попрыгаем.

И ножками подрыгаем, подрыгаем, подрыгаем.

13. Самостоятельная работа. Найди площадь яйца с помощью палетки.

А вы знаете, как появляются на свет маленькие динозаврики? Из яиц. Продолжим наши археологические раскопки. Кто найдёт в пределах расчерченных на полу квадратных метрах яйцо динозавра, имеет право в него посмотреть.

(Дети находят по «яйцу» от киндера, внутри каждого – палетка и надпись «палетка»)

Учитель раздаёт рисунки яйца, просит найти его площадь. Дети самостоятельно находят площадь яйца с помощью палетки.

14. Тестирование.

Проверим наши знания. В тесте обведите в кружок правильный ответ.

ТЕСТ по теме «Палетка»

1. Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется

Треугольник

2. Чтобы найти площадь квадрата или прямоугольника, нужно

Длину умножить на ширину

Найти сумму всех сторон.

3. С помощью палетки площадь находят так:

Сложи количество полных квадратов и число неполных квадратов, делённое на 2.

Длину умножить на ширину

4. Единицы измерения площади:

Мм см м к м

Мм2 см2 м2 к м2

5. Формула площади квадрата или прямоугольника

15 . РЕЗЕРВ .

Работа в группах.

1 группа пишет названия предметов, площадь которых удобно находить по формуле

2. группа пишет названия предметов, площадь которых удобно находить палеткой.

16. Итог урока. Комментирование оценок.

Ч то нового узнали на уроке?

Что понравилось?

17. Домашнее задание.

С помощью палетки находи площади мелких предметов, рисунков.