Треугольник - это одна из самых распространенных геометрических фигур, с которой мы знакомимся уже в начальной школе. С вопросом, как найти площадь треугольника, сталкивается каждый школьник на уроках геометрии. Так, какие же особенности нахождения площади данной фигуры можно выделить? В данной статье мы рассмотрим основные формулы, необходимые для выполнения такого задания, а также разберем виды треугольников.
Найти площадь треугольника можно абсолютно разными способами, потому что в геометрии выделяется не один вид фигур, содержащих три угла. К таким видам относятся:
Рассмотрим подробнее каждый из существующих типов треугольников.
Такая геометрическая фигура считается наиболее распространенной при решении геометрических задач. Когда возникает необходимость начертить произвольный треугольник, на помощь приходит именно этот вариант.
В остроугольном треугольнике, как понятно по названию, все углы острые и в сумме составляют 180°.
Такой треугольник также очень распространен, однако встречается несколько реже остроугольного. Например, при решении треугольников (т. е. известно несколько его сторон и углов и нужно найти оставшиеся элементы) иногда требуется определить, является угол тупым или нет. Косинус - это отрицательное число.
В величина одного из углов превышает 90°, поэтому оставшиеся два угла могут принимать маленькие значения (например, 15° или вовсе 3°).
Чтобы найти площадь треугольника данного типа, необходимо знать некоторые нюансы, о которых мы поговорим дальше.
Правильным многоугольником называется фигура, включающаяся в себя n углов, у которой все стороны и углы равны. Таким и является правильный треугольник. Так как сумма всех углов треугольника составляет 180°, то каждый из трех углов равен 60°.
Правильный треугольник, благодаря его свойству, также называют равносторонней фигурой.
Стоит также отметить, что в правильный треугольник можно вписать только одну окружность и около него можно описать только одну окружность, причем их центры расположены в одной точке.
Помимо равностороннего типа, можно также выделить равнобедренный треугольник, несильно от него отличающийся. В таком треугольнике две стороны и два угла равны между собой, а третья сторона (к которой прилегают равные углы) является основанием.
На рисунке показан равнобедренный треугольник DEF, углы D и F которого равны, а DF является основанием.
Прямоугольный треугольник назван так потому, что один из его углов прямой, то есть равен 90°. Другие же два угла в сумме составляют 90°.
Самая большая сторона такого треугольника, лежащая против угла в 90° является гипотенузой, остальные же две его стороны - это катеты. Для данного типа треугольников применима теорема Пифагора:
Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
На рисунке изображен прямоугольный треугольник BAC с гипотенузой AC и катетами AB и BC.
Чтобы найти площадь треугольника с прямым углом, нужно знать числовые значения его катетов.
Перейдем к формулам нахождения площади данной фигуры.
В геометрии можно выделить две формулы, которые подходят для нахождения площади большинства видов треугольников, а именно для остроугольного, тупоугольного, правильного и равнобедренного треугольников. Разберем каждую из них.
Данная формула является универсальной для нахождения площади, рассматриваемой нами фигуры. Для этого достаточно знать длину стороны и длину проведенной к ней высоты. Сама формула (половина произведения основания на высоту) выглядит следующим образом:
где A - сторона данного треугольника, а H - высота треугольника.
Например, чтобы найти площадь остроугольного треугольника ACB, нужно умножить его сторону AB на высоту CD и разделить получившееся значение на два.
Однако не всегда бывает легко найти площадь треугольника таким способом. Например, чтобы воспользоваться этой формулой для тупоугольного треугольника, необходимо продолжить одну из его сторон и только после этого провести к ней высоту.
На практике данная формула применяется чаще остальных.
Данная формула, как и предыдущая подходит для большинства треугольников и по своему смыслу является следствием формулы нахождения площади по стороне и высоте треугольника. То есть рассматриваемую формулу можно легко вывести из предыдущей. Ее формулировка выглядит так:
S = ½*sinO*A*B,
где A и B - это стороны треугольника, а O - угол между сторонами A и B.
Напомним, что синус угла можно посмотреть в специальной таблице, названной в честь выдающегося советского математика В. М. Брадиса.
А теперь перейдем к другим формулам, подходящим только для исключительных видов треугольников.
Помимо универсальной формулы, включающей в себя необходимость проводить высоту в треугольнике, площадь треугольника, содержащего прямой угол, можно найти по его катетам.
Так, площадь треугольника, содержащего прямой угол, - это половина произведения его катетов, или:
где a и b - катеты прямоугольного треугольника.
Данный вид геометрических фигур отличается тем, что его площадь можно найти при указанной величине лишь одной его стороны (так как все стороны правильного треугольника равны). Итак, встретившись с задачей «найти площадь треугольника, когда стороны равны», нужно воспользоваться следующей формулой:
S = A 2 *√3 / 4,
где A - это сторона равностороннего треугольника.
Последний вариант для нахождения площади треугольника - это формула Герона. Для того чтобы ею воспользоваться, необходимо знать длины трех сторон фигуры. Формула Герона выглядит так:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
где a, b и c - это стороны данного треугольника.
Иногда в задаче дано: «площадь правильного треугольника - найти длину его стороны». В данном случае нужно воспользоваться уже известной нам формулой нахождения площади правильного треугольника и вывести из нее значение стороны (или ее квадрата):
A 2 = 4S / √3.
В задачах ГИА по математике встречаются множество формул. Помимо этого, достаточно часто необходимо найти площадь треугольника на клетчатой бумаге.
В данном случае удобнее всего провести высоту к одной из сторон фигуры, определить по клеткам ее длину и воспользоваться универсальной формулой для нахождения площади:
Итак, после изучения представленных в статье формул, у вас не возникнут проблемы при нахождении площади треугольника любого вида.
Треугольник — хорошо знакомая всем фигура. И это, несмотря на богатое разнообразие его форм. Прямоугольный, равносторонний, остроугольный, равнобедренный, тупоугольный. Каждый из них чем-то отличается. Но для любого требуется узнавать площадь треугольника.
Обозначения, принятые в них: стороны — а, в, с; высоты на соответствующие стороны н а, н в, н с.
1. Площадь треугольника вычисляется, как произведение ½, стороны и высоты, опущенной на нее. S = ½ * а * н а. Аналогично следует записать формулы для двух остальных сторон.
2. Формула Герона, в которой фигурирует полупериметр (его принято обозначать маленькой буквой р, в отличии от полного периметра). Полупериметр необходимо сосчитать так: сложить все стороны и разделить их на 2. Формула полупериметра: р = (а+в+с) / 2. Тогда равенство для площади фигуры выглядит так: S = √ (р * (р - а) * (р - в) * (р - с)).
3. Если не хочется использовать полупериметр, то пригодится такая формула, в которой присутствуют только длины сторон: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в - с)). Она несколько длиннее предыдущей, но выручит, если забылось, как находить полупериметр.
Обозначения, которые требуются для прочтения формул: α, β, γ — углы. Они лежат напротив сторон а, в, с, соответственно.
1. По ней половина произведения двух сторон и синуса угла между ними равна площади треугольника. То есть: S = ½ а * в * sin γ. Подобным образом следует записать формулы для двух других случаев.
2. Площадь треугольника можно вычислить по одной стороне и трем известным углам. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Существует еще формула с одной известной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Она выглядит таким образом: S = с 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
Две последние формулы являются не самыми простыми. Запомнить их довольно сложно.
Дополнительные обозначения: r, R — радиусы. Первый используется для радиуса вписанной окружности. Второй — для описанной.
1. Первая формула, по которой вычисляется площадь треугольника, связана с полупериметром. S = р * r. По-другому ее можно записать так: S = ½ r * (а + в + с).
2. Во втором случае потребуется перемножить все стороны треугольника и разделить их на учетверенный радиус описанной окружности. В буквенном выражении это выглядит так: S = (а * в * с) / (4R).
3. Третья ситуация позволяет обойтись без знания сторон, но потребуются значения всех трех углов. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
Это самая простая ситуация, поскольку требуется знание только длины обоих катетов. Они обозначаются латинскими буквами а и в. Площадь прямоугольного треугольника равна половине площади достроенного к нему прямоугольника.
Математически это выглядит так: S = ½ а * в. Она запоминается проще всего. Потому что выглядит, как формула для площади прямоугольника, только появляется еще дробь, обозначающая половину.
Поскольку у него две стороны равные, то некоторые формулы для его площади выглядят несколько упрощенными. Например, формула Герона, по которой вычисляется площадь равнобедренного треугольника, принимает следующий вид:
S = ½ в √((a + ½ в)*(a - ½ в)).
Если ее преобразовать, то она станет короче. В таком случае формула Герона для равнобедренного треугольника записывается так:
S = ¼ в √(4 * a 2 - b 2).
Несколько проще, чем для произвольного треугольника, выглядит формула площади, если известны боковые стороны и угол между ними. S = ½ a 2 * sin β.
Обычно в задачах про него известна сторона или ее можно как-либо узнать. Тогда формула, по которой находится площадь такого треугольника, выглядит следующим образом:
S = (а 2 √3) / 4.
Самой простой является ситуация, когда прямоугольный треугольник начерчен так, что его катеты совпадают с линиями бумаги. Тогда требуется просто посчитать число клеточек, укладывающихся в катеты. Потом перемножить их и разделить на два.
Когда треугольник остроугольный или тупоугольный, его нужно дорисовать до прямоугольника. Тогда в получившейся фигуре будет 3 треугольника. Один — тот что дан в задаче. А два других — вспомогательные и прямоугольные. Определить площади двух последних нужно по описанному выше способу. Потом сосчитать площадь прямоугольника и вычесть из него те, что вычислены для вспомогательных. Площадь треугольника определена.
Гораздо сложнее оказывается ситуация, в которой ни одна из сторон треугольника не совпадает с линиями бумаги. Тогда его нужно вписать в прямоугольник так, чтобы вершины исходной фигуры лежали на его сторонах. В этом случае вспомогательных прямоугольных треугольников будет три.
Условие. У некоторого треугольника известны стороны. Они равны 3, 5 и 6 см. Необходимо узнать его площадь.
Теперь можно вычислять площадь треугольника по указанной выше формуле. Под квадратным корнем оказывается произведение четырех чисел: 7, 4, 2 и 1. То есть площадь равна √(4 * 14) = 2 √(14).
Если не требуется большая точность, то можно извлечь квадратный корень из 14. Он равен 3,74. Тогда площадь будет равна 7,48.
Ответ. S = 2 √14 см 2 или 7,48 см 2 .
Условие. Один катет прямоугольного треугольника больше, чем второй на 31 см. Требуется узнать их длины, если площадь треугольника равна 180 см 2 .
Решение. Придется решить систему из двух уравнений. Первое связано с площадью. Второе — с отношением катетов, которое дано в задаче.
180 = ½ а * в;
а = в + 31.
Сначала значение «а» нужно подставить в первое уравнение. Получится: 180 = ½ (в + 31) * в. В нем только одна неизвестная величина, поэтому его легко решить. После раскрытия скобок получается квадратное уравнение: в 2 + 31 в - 360 = 0. Оно дает два значения для «в»: 9 и - 40. второе число не подходит в качестве ответа, так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной.
Осталось вычислить второй катет: прибавить к полученному числу 31. Получается 40. Это искомые в задаче величины.
Ответ. Катеты треугольника равны 9 и 40 см.
Условие. Площадь некоторого треугольника 60 см 2 . Необходимо вычислить одну из его сторон, если вторая сторона равна 15 см, а угол между ними равен 30º.
Решение. Исходя из принятых обозначений, искомая сторона «а», известная «в», заданный угол “γ”. Тогда формула площади можно переписать так:
60 = ½ а * 15 * sin 30º. Здесь синус 30 градусов равен 0,5.
После преобразований «а» оказывается равным 60 / (0,5 * 0,5 * 15). То есть 16.
Ответ. Искомая сторона равна 16 см.
Условие. Вершина квадрата со стороной 24 см совпадает с прямым углом треугольника. Две другие лежат на катетах. Третья принадлежит гипотенузе. Длина одного из катетов равна 42 см. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?
Решение. Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Первый — заданный в задаче. Второй — опирается на известный катет исходного треугольника. Они подобны, так как имеют общий угол и образованы параллельными прямыми.
Тогда отношения их катетов равны. Катеты меньшего треугольника равны 24 см (сторона квадрата) и 18 см (заданный катет 42 см вычесть сторону квадрата 24 см). Соответствующие катеты большого треугольника — 42 см и х см. Именно этот «х» нужен для того, чтобы вычислить площадь треугольника.
18/42 = 24/х, то есть х = 24 * 42 / 18 = 56 (см).
Тогда площадь равна произведению 56 и 42, разделенному на два, то есть 1176 см 2 .
Ответ. Искомая площадь равна 1176 см 2 .
Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров. Формулы представлены в виде картинки, здесь же приведены пояснения по применению или обоснованию их правильности. Также на отдельном рисунке указаны соответствия буквенных обозначений в формулах и графических обозначений на чертеже.
Примечание . Если же треугольник обладает особыми свойствами (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), можно использовать формулы, приведенные ниже, а также дополнительно специальные, верные только для треугольников с данными свойствами, формулы:
Пояснения к формулам
:
a, b, c
- длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
r
- радиус вписанной в треугольник окружности
R
- радиус описанной вокруг треугольника окружности
h
- высота треугольника, опущенная на сторону
p
- полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра)
α
- угол, противолежащий стороне a
треугольника
β
- угол, противолежащий стороне b
треугольника
γ
- угол, противолежащий стороне c
треугольника
h
a
, h
b
, h
c
- высота треугольника, опущенная на сторону a
, b
, c
Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.
Примечание . Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет - пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа "квадратный корень" может применяться функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение . Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √
Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника .
Решение .
Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока.
Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна
S=1/2 ab sin γ
Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60
В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов . Он будет равен корню из трех на два.
S = 15 √3 / 2
Ответ : 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)
Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.
Решение .
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:
S =
√3 / 4 * a 2
S =
√3 / 4 * 3 2
Ответ : 9 √3 / 4.
Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?
Решение .
Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.
Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься вниз решения.
Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:
S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(см. первую строку рисунка внизу)
Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.
Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:
S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(см. вторую строку на рисунке внизу)
Как видно, 4 - общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.
Тогда
S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третьей строке рисунка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвертая строка
Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(см. пятую строку рисунка внизу)
Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.
Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.
Треугольник – это такая геометрическая фигура, которая состоит из трех прямых, соединяющихся в точках, не лежащих на одной прямой. Точки соединения прямых – это вершины треугольника, которые обозначаются латинскими буквами (например, A, B,C). Соединяющиеся прямые треугольника называются отрезками, которые также принято обозначать латинскими буквами. Различают следующие типы треугольников:
S= a*h/2,
где а – это длина стороны треугольника, площадь которого нужно найти, h-длина проведенной к основанию высоты.
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
где √-это квадратный корень, p-полупериметр треугольника, a,b,c-это длина каждой стороны треугольника. Полупериметр треугольника можно вычислить по формуле p=(a+b+c)/2.
S = (a*b*sin(α))/2,
где b,c -это длина сторон треугольника, sin(α)- синус угла между двумя сторонами.
S=p*r,
где p-это полупериметр треугольника, площадь которого нужно найти, r-радиус вписанной в этот треугольник окружности.
S= (a*b*c)/4*R,
где a,b,c-это величина длины каждой стороны треугольника, R- радиус описанной вокруг треугольника окружности.
Декартовы координаты точек – это координаты в системе xOy, где x- это абсцисса, y- ордината. Декартовой системой координат xOy на плоскости называют взаимно перпендикулярные числовых оси Oх и Oy с общим началом отсчета в точке О. Если заданы координаты точек на этой плоскости в виде A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), то можно вычислить площадь треугольника по следующей формуле, которая получена из векторного произведения двух векторов.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
где || обозначает модуль.
Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого один угол составляет 90 градусов. Такой угол у треугольника может быть лишь один.
S= a*b/2,
где a,b – это длина катетов. Катетами называются стороны, прилежащие к прямому углу.
S = a*b*sin(α)/ 2,
где a, b – это катеты треугольника, а sin(α)- это синус угла, в котором пересекаются прямые a, b.
S = a*b/2*tg(β),
где a, b – это катеты треугольника, tg(β) – это тангенс угла, в котором соединяются катеты a, b.
Равнобедренным называется такой треугольник, который имеет две равные стороны. Эти стороны называются боковыми, а другая сторона является основой. Для вычисления площади равнобедренного треугольника можно использовать одну из следующих формул.
S=h*c/2,
где с – это основание треугольника, h-это высота треугольника, опущенного к основанию.
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
где с – основание треугольника, a- величина одной из боковых сторон равнобедренного треугольника.
Равносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади равностороннего треугольника можно использовать следующую формулу:
S = (√3*a*a)/4,
где a-это длина стороны равностороннего треугольника.
Вышеприведенные формулы позволят вычислить искомую площадь треугольника. Важно помнить, что для вычисления пощади треугольников нужно учитывать тип треугольника и доступные данные, которые можно использовать для вычисления.