Монотонность последовательности
Монотонная последовательность - последовательность , удовлетворяющая одному из следующих условий:
Среди монотонных последовательностей выделяются строго монотонные последовательности, удовлетворяющие одному из следующих условий:
Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» - в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.
Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров , а лишь для номеров из некоторого диапазона
(здесь допускается обращение правой границы N + в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке I , а сам диапазон I называется промежутком монотонности последовательности.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… … Энциклопедия Кольера
Тестирование псевдослучайных последовательностей совокупность методов определения меры близости заданной псевдослучайной последовательности к случайной. В качестве такой меры обычно выступает наличие равномерного распределения, большого… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… … Википедия
Известный писатель. Род. в Орле в 1871 г.; отец его был землемер. Учился в Орловской гимназии и в университетах С. Петербургском и Московском, по юридическому факультету. Студентом сильно нуждался. Тогда же он написал первый свой рассказ "о… … Большая биографическая энциклопедия
Численные методы решения методы, заменяющие решение краевой задачи решением дискретной задачи (см. Линейная краевая задача;численные методы решения и Нелинейное уравнение;численные методы решения). Во многих случаях, особенно при рассмотрении… … Математическая энциклопедия
Манускрипт Войнича написан с помощью неизвестной системы письма Рукопись Войнича (англ. Voyni … Википедия
Написан с помощью неизвестной системы письма Рукопись Войнича (англ. Voynich Manuscript) таинственная книга, написанная около 500 лет назад неизвестным автором, на неизвестном языке, с использованием неизвестного алфавита. Рукопись Войнича… … Википедия
Сиджизмондо д’Индия (итал. Sigismondo d India, ок. 1582, Палермо? до 19 апреля 1629, Модена) итальянский композитор. Содержание 1 Биография 2 Творчество … Википедия
Модернизация - (Modernization) Модернизация это процесс изменения чего либо в соответствии с требованиями современности, переход к более совершенным условиям, с помощью ввода разных новых обновлений Теория модернизации, типы модернизации, органическая… … Энциклопедия инвестора
Одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений. I. Ещё в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчётливо сформулированы свойства В., называемых теперь, для отличия от… … Большая советская энциклопедия
Цель: Дать понятие, определение последовательности, конечной, бесконечной, различные способы задания последовательностей, их различие, научить применять при решении примеров.
Оборудование: Таблицы.
Ход занятия
I. Организационный момент.
II. Фронтальная проверка домашнего задания:
1) ученик на доске задачу № 2.636 (из II части “Сборника заданий для письменного экзамена в 9 кл.)
2) ученик. Построить график
3) фронтально со всем классом № 2.334 (а).
III. Объяснение нового материала.
Школьная лекция – это такая форма организации учебного процесса, которая ориентирует учащихся при изучении той или иной темы на главное и предполагает широкую демонстрацию личностного отношения учителя и учащихся к учебному материалу. Т.к. урок-лекция предусматривает крупноблочное изложение учителем материала, то речевое общение учителя и учащихся является главным в ее технологии. Слово учителя оказывает эмоциональное, эстетическое воздействие и создает определенное отношение к предмету. С помощью лекции осуществляется руководство различными видами деятельности учащихся на занятии, а через знания, умения и навыки формируется познание как основа учебной деятельности.
I. Выпишите в порядке возрастания двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 3.
13; 23; 33;………….93.
Каждому порядковому номеру от 1 до 9 поставьте в соответствие определенное двузначное число:
1->13; 2->23;………9->93.
Между множеством первых девяти натуральных чисел и множеством двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 3, установилось соответствие. Это соответствие является функцией.
Областью определения служит {1; 2; 3;……..9}
Множество значений {13; 23; 33;…….93}.
Если соответствие обозначить f, то
Эту последовательность можно задать с помощью пар.
(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)
б) 1; 0; 1; 0; 1; 0
Таблица № 1
а) б)
II. 
О.о.ф. {1; 2; 3; 4;…..}
М.з.ф.  g(1) = ;
|
g(3) =; … | g(60) = |
Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется бесконечной последовательностью.
в) 2; 4; 6; 8; 10;……..
1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n
f(1); f(2); f(3)… …..f(n)
- члены
последовательности.
Замечание: следует различать понятие множества и понятие последовательности.
а) {10; 20; 30; 40}
Одно и то же множество.
{40; 30; 20; 10}
б) однако, последовательности 10; 20; 30; 40
Различны:
(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)
(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).
III. Рассмотрим последовательность:
1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> бесконечная, возрастающая
2) 10; 9; 8; 7; 6. -> конечная, убывающая.
а) 
Последовательность называется возрастающей, если каждый член ее, начиная со второго, больше своего предыдущего.
б) 
Дается определение убывающей последовательности.
Возрастающие или убывающие последовательности называются монотонными.
1; 0; 1; 0; 1; 0. - колеблющаяся;
5; 5; 5; 5; ….. - постоянная.
IV. Последовательности можно изобразить геометрически. Т.к. последовательности – это функция, областью определения которой служит множество N, то графиком, видимо, является множество точек плоскости (х; у).
Пример: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.
(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)
Построим график этой последовательности
Рисунок 1.
Пример: Докажите, что последовательность, заданная в таком виде
99; 74; 49; 24; -1;……………
является убывающей.
V. Способы задания последовательностей.
Т.к. последовательность – это функция, определенная на множестве N, то существует пять способов задания последовательностей:
I. Табличный
II. Способ описания
III. Аналитический
IV. Графический
V. Рекуррентный
I. Табличный – очень неудобный. Составляем таблицу и по ней определяем, какой член? какое место он занимает……..
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
| 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
II. Способ описания.
Пример: Последовательность такова, что каждый ее член записывается с помощью цифры 4, и число цифр равно номеру числа последовательности.
III. Аналитический способ (с помощью формулы).
Формула, выражающая каждый член последовательности через его номер n, называется формулой n члена последовательности.
например:
и ученики составляют эти последовательности, и наоборот: подберите формулу для членов последовательностей:
| а) 1; ; ;………….. | |
б)  ...
|
|
в)  |
|
г)  |
 |
| д) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. |
IV. Графический способ – тоже не очень удобный, обычно им и не пользуются.
Иногда такие последовательности наз. строго возрастающим и, а термин "В. п." применяется к последовательностям, удовлетворяющим для всех плишь условию Такие последовательности наз. также неубывающими. Всякая ограниченная сверху неубывающая последовательность имеет конечный , а всякая не ограниченная сверху имеет бесконечный предел, равный +бесконечн. Л. Д. Кудрявцев.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
возрастающая последовательность - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ascending sequence … Справочник технического переводчика
Задача поиска наибольшей увеличивающейся подпоследовательности состоит в отыскании наиболее длинной возрастающей подпоследовательности в данной последовательности элементов. Содержание 1 Постановка задачи 2 Родственные алгоритмы … Википедия
Монотонная функция это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Содержание 1 Определения 2… … Википедия
Последовательность Числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства. Числовые пос … Википедия
Это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств.… … Википедия
Монотонная последовательность последовательность, удовлетворяющая одному из следующих условий: для любого номера выполняется неравенство (неубывающая последовательность), для любого номера выполняется неравенство (невозрастающая… … Википедия
Раздел теории чисел, в к ром изучаются и метрически (т. е. на основе теории меры)характеризуются множества чисел, обладающих определенными арифметич. свойствами. М. т. ч. тесно связана с теорией вероятностей, что иногда дает возможность… … Математическая энциклопедия
Утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней грани. Несмотря на простоту доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих… … Википедия
Теорема, дающая оценку плотности суммы двух последовательностей. Пусть А={0, а 1, а.2,. . ., а i, ...} возрастающая последовательность целых чисел и Плотностью последовательности Аназ. величина А р и ф м е т и ч е с к о й суммой двух… … Математическая энциклопедия
Пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играют Фреше пространства (типа FS)и сильно сопряженные к ним (типа DFS). Пространство типа FS есть проективный предел компактной… … Математическая энциклопедия
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности
Любая монотонная ограниченная последовательность {
x n }
имеет конечный предел, равный точной верней границе, sup {
x n }
для неубывающей и точной нижней границе, inf {
x n }
для невозрастающей последовательности.
Любая монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный плюс бесконечности, для неубывающей и минус бесконечности, для невозрастающей последовательности.
Доказательство
1) неубывающей ограниченной последовательностью .
(1.1)
.
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную верхнюю границу
.
Это означает, что:
.
Здесь мы также использовали (1.3). Комбинируя с (1.2), находим:
при .
Поскольку ,
то
,
или
при .
Первая часть теоремы доказана.
2)
Пусть теперь последовательность является невозрастающей ограниченной последовательностью
:
(2.1)
для всех n
.
Поскольку последовательность ограничена, то она имеет точную нижнюю границу
.
Это означает следующее:
.
Здесь мы также использовали (2.3). Учитывая (2.2), находим:
при .
Поскольку ,
то
,
или
при .
Это и означает, что число является пределом последовательности .
Вторая часть теоремы доказана.
Теперь рассмотрим неограниченные последовательности.
3)
Пусть последовательность является неограниченной неубывающей последовательностью
.
Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n
выполняются неравенства:
(3.1)
.
Поскольку последовательность является неубывающей и неограниченной, то она неограниченна с правой стороны. Тогда для любого числа M
существует такой номер ,
зависящий от M
,
для которого
(3.2)
.
Поскольку последовательность неубывающая, то при имеем:
.
Здесь мы также использовали (3.2).
.
Это означает, что предел последовательности равен плюс бесконечности:
.
Третья часть теоремы доказана.
4) Наконец рассмотрим случай, когда является неограниченной невозрастающей последовательностью .
Аналогично предыдущему, поскольку последовательность невозрастающая, то
(4.1)
для всех n
.
Поскольку последовательность является невозрастающей и неограниченной, то она неограниченна с левой стороны. Тогда для любого числа M
существует такой номер ,
зависящий от M
,
для которого
(4.2)
.
Поскольку последовательность невозрастающая, то при имеем:
.
Итак, для любого числа M
существует такое натуральное число ,
зависящее от M
,
так что для всех номеров выполняются неравенства:
.
Это означает, что предел последовательности равен минус бесконечности:
.
Теорема доказана.
Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать сходимость последовательности:
,
,
. . . ,
,
. . .
После чего найти ее предел.
Представим последовательность в виде рекуррентных формул:
,
.
Докажем, что заданная последовательность ограничена сверху значением
(П1)
.
Доказательство выполняем методом математической индукции.
.
Пусть .
Тогда
.
Неравенство (П1) доказано.
Докажем, что последовательность монотонно возрастает.
;
(П2)
.
Поскольку ,
то знаменатель дроби и первый множитель в числителе положительные. В силу ограниченности членов последовательности неравенством (П1), второй множитель также положителен. Поэтому
.
То есть последовательность является строго возрастающей.
Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она является ограниченной последовательностью. Поэтому, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.
Найдем этот предел. Обозначим его через a
:
.
Воспользуемся тем, что
.
Применим это к (П2), используя арифметические свойства пределов сходящихся последовательностей :
.
Условию удовлетворяет корень .
Определение
1. Последовательностьназываетсяубывающей
(невозрастающей
),
если для всех
выполняется неравенство
.
Определение
2. Последовательность
называетсявозрастающей
(неубывающей
),
если для всех
выполняется неравенство
.
Определение 3. Убывающие, невозрастающие, возрастающие и неубывающие последовательности называютсямонотонными последовательностями, убывающие и возрастающие последовательности называют такжестрого монотонными последовательностями.
Очевидно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, невозрастающая последовательность ограничена сверху. Поэтому всякая монотонная последовательность заведомо ограничена с одной стороны.
Пример
1. Последовательность
возрастает,не
убывает,
убывает,
не возрастает,
– немонотонная последовательность.
Для монотонных последовательностей важную роль играет следующая
Теорема 1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.
Доказательство
. Пусть последовательность
не убывает и ограничена сверху, т.е.
и множество
ограничено сверху. По теореме 1 § 2
существует
.
Докажем, что
.
Возьмем
произвольно. Посколькуа
– точная
верхняя граница, существует номерN
такой, что
.
Так как последовательность неубывающая,
то для всех
имеем,
т.е.
,
поэтому
для всех
,
а это и означает, что
.
Для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу, доказательство проводится аналогично (студенты могут доказать это утверждение дома самостоятельно ). Теорема доказана.
Замечание . Теорему 1 можно сформулировать иначе.
Теорема 2. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.
Достаточность установлена в теореме 1, необходимость – в теореме 2 § 5.
Условие монотонности не является
необходимым для сходимости
последовательности, так как сходящаяся
последовательность не обязательно
монотонна. Например, последовательность
не монотонная, однако сходится к нулю.
Следствие
. Если последовательность
возрастает (убывает) и ограничена сверху
(снизу), то
(
).
Действительно, по теореме 1
(
).
Определение
4. Еслии
при
,
то последовательностьназываетсястягивающейся системой
вложенных отрезков
.
Теорема 3 (принцип вложенных отрезков). У всякой стягивающейся системы вложенных отрезков существует, и притом единственная, точкас , принадлежащая всем отрезкам этой системы.
Доказательство
. Докажем, что точкас
существует. Поскольку
,
то
и, следовательно, последовательность
не убывает, а последовательность
не возрастает. При этом
и
ограничены, так как.
Тогда по теореме 1 существуют
и
,
но так как
,
то
=
.
Найденная точкас
принадлежит всем
отрезкам системы, так как по следствию
теоремы 1
,
,
т.е.
для всех значенийn
.
Покажем теперь, что точка с
–
единственная. Предположим, что таких
точек две:с
иd
и пусть для определенности
.
Тогда отрезок
принадлежит всем отрезкам
,
т.е.
для всехn
, что
невозможно, так как
и, значит, начиная с некоторого номера,
.
Теорема доказана.
Отметим, что здесь существенно то, что
рассматриваются замкнутые промежутки,
т.е. отрезки. Если рассмотреть систему
стягивающихся интервалов, то принцип,
вообще говоря, неверен. Например,
интервалы
,
очевидно, стягиваются в точку
,
однако точка
не принадлежит ни одному интервалу этой
системы.
Рассмотрим теперь примеры сходящихся монотонных последовательностей.
1) Число е .
Рассмотрим теперь последовательность
.
Как она себя ведет? Основание
степени
,
поэтому
?
С другой стороны,
,
а
,
поэтому
?
Или предел не существует?
Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим
вспомогательную последовательность
.
Докажем, что она убывает и ограничена
снизу. При этом нам будет нужна
Лемма
. Если
,
то для всех натуральных значенийn
имеем
(неравенство Бернулли).
Доказательство . Воспользуемся методом математической индукции.
Если
,
то
,
т.е. неравенство верно.
Предположим, что оно верно для
и докажем его справедливость для
+1.
Верно
.
Умножим это неравенство на
:
Таким образом, . Значит, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли верно для всех натуральных значенийn . Лемма доказана.
Покажем, что последовательность
убывает. Имеем
׀неравенство
Бернулли׀
,а это и означает, что
последовательность
убывает.
Ограниченность снизу следует из
неравенства
׀неравенство
Бернулли׀
для всех натуральных значенийn
.
По теореме 1 существует
,
который обозначают буквойе
. Поэтому
.
Число е иррационально и трансцендентно,е = 2,718281828… . Оно является, как известно, основанием натуральных логарифмов.
Замечания
. 1) Неравенство Бернулли
можно использовать для доказательства
того, что
при
.
Действительно, если
,
то
.
Тогда, по неравенству Бернулли,при
.
Отсюда при
имеем
,
то есть
при
.
2) В рассмотренном выше примере основание
степени
стремится к 1, а показатель степениn
– к
,
то есть имеет место неопределенность
вида
.
Неопределенность такого вида, как мы
показали, раскрывается с помощью
замечательного предела
.
2)
(*)
Докажем, что эта последовательность
сходится. Для этого покажем, что она
ограничена снизу и не возрастает. При
этом воспользуемся неравенством
для всех
,
которое является следствием неравенства
.
Имеем
см.
неравенство выше
,
т.е. последовательность ограничена
снизу числом
.
Далее,
так
как
,
т.е. последовательность не возрастает.
По теореме 1 существует
,
который обозначимх
. Переходя в
равенстве (*) к пределу при
,
получим
,
т.е.
,
откуда
(берем знак «плюс», так как все члены
последовательности положительны).
Последовательность (*) применяется при
вычислении
приближенно. За
берут любое положительное число.
Например, найдем
.
Пусть
.
Тогда
,.
Таким образом,
.
3)
.
Имеем
.
Поскольку
при
,
существует номерN
,
такой, что для всех
выполняется неравенство
.
Таким образом, последовательность
,
начиная с некоторого номераN
,
убывает и ограничена снизу, так как
для всех значенийn
.
Значит, по теореме 1 существует
.
Поскольку
,
имеем
.
Итак,
.
4)
,
справа –n
корней.
Методом математической индукции покажем,
что
для всех значенийn
.
Имеем
.
Пусть
.
Тогда,
отсюда получаем утверждение по принципу
математической индукции. Используя
этот факт, находим,
т.е. последовательность
возрастает и ограничена сверху. Поэтому
существует,
так как
.
Таким образом,
.
