На предыдущих уроках мы с вами познакомились с логарифмическими уравнениями и теперь знаем, что это такое и как их решать. А сегодняшний урок будет посвящен изучению логарифмических неравенств. Что же это за такие неравенства и в чем разница между решением логарифмического уравнения и неравенства?
Логарифмические неравенства - это неравенства, которые имеют переменную, стоящую под знаком логарифма или в его основании.
Или же, можно еще сказать, что логарифмическое неравенство – это такое неравенство, в котором его неизвестная величина, как и в логарифмическом уравнении, будет стоять под знаком логарифма.
Простейшие логарифмические неравенства имеют такой вид:
где f(x) и g(x) являются некоторыми выражениями, которые зависят от x.
Давайте это рассмотрим на таком примере: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Перед решением логарифмических неравенств, стоит отметить, что они при решении имеют сходство с показательными неравенствами, а именно:
Во-первых, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нам также необходимо сравнить основание логарифма с единицей;
Во-вторых, решая логарифмическое неравенство, используя замену переменных, нам необходимо решать неравенства относительно замены до того момента, пока мы не получим простейшее неравенство.
Но это мы с вами рассмотрели сходные моменты решения логарифмических неравенств. А сейчас обратим внимание на довольно таки существенное отличие. Нам с вами известно, что логарифмическая функция обладает ограниченной областью определения, поэтому переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, нужно брать в расчет область допустимых значений (ОДЗ).
То есть, следует учитывать, что решая логарифмическое уравнение мы с вами, можем сначала находить корни уравнения, а потом делать проверку этого решения. А вот решить логарифмическое неравенство так не получится, поскольку переходя от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо будет записывать ОДЗ неравенства.
Вдобавок стоит запомнить, что теория неравенств состоит из действительных чисел, которыми являются положительные и отрицательные числа, а также и число 0.
Например, когда число «а» является положительным, то необходимо использовать такую запись: a >0. В этом случае, как сумма, так и произведение таких этих чисел также будут положительными.
Основным принципом решения неравенства является его замена на более простое неравенство, но главное, чтобы оно было равносильно данному. Дальше, также мы получили неравенство и снова его заменили на то, которое имеет более простой вид и т.д.
Решая неравенства с переменной нужно находить все его решения. Если два неравенства имеют одну переменную х, то такие неравенства равносильны, при условии, что их решения совпадают.
Выполняя задания на решение логарифмических неравенств, необходимо запомнить, что когда a > 1, то логарифмическая функция возрастает, а когда 0 < a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Сейчас рассмотрим некоторые способы, которые имеют место при решении логарифмических неравенств. Для лучшего понимания и усвоения, попытаемся в них разобраться на конкретных примерах.
Нам с вами известно, что простейшее логарифмическое неравенство имеет такой вид:
В этом неравенстве V – является одним из таких знаков неравенства, как: <,>, ≤ или ≥.
Когда основание данного логарифма больше единицы (a>1), осуществляя переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, то в этом варианте знак неравенства сохраняется, и неравенство будет иметь такой вид:
что равносильно такой вот системе:
В случае же, когда основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0 Это равносильно данной системе: Посмотрим еще примеры решения простейших логарифмических неравенств, приведенных на картинке ниже: Задание.
Давайте попробуем решить такое вот неравенство: Решение области допустимых значений. Теперь попробуем умножить его правую часть на: Смотрим, что у нас получится: Теперь, давайте с вами перейдем к преобразованию подлогарифмических выражений. В связи с тем, что основание логарифма 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; А из этого следует, что интервал, который мы получили, целиком и полностью принадлежит ОДЗ и является решением такого неравенства. Вот какой ответ у нас получился: А теперь давайте попробуем проанализировать, что нам необходимо для успешного решения логарифмических неравенств? Во-первых, сосредоточить все свое внимание и постараться не допускать ошибок при выполнении преобразований, которые даны в этом неравенстве. Также, следует запомнить, что при решении таких неравенств нужно не допускать расширений и сужений ОДЗ неравенства, которые могут привести к потере или приобретению посторонних решений. Во-вторых, при решении логарифмических неравенств необходимо научиться мыслить логически и понимать разницу между такими понятиями, как система неравенств и совокупность неравенств, чтобы вы без проблем смогли осуществлять отбор решений неравенства, при этом руководствуясь его ОДЗ. В-третьих, для успешного решения таких неравенств каждый из вас должен отлично знать все свойства элементарных функций и четко понимать их смысл. К таким функциям относятся не только логарифмические, но и рациональные, степенные, тригонометрические и т.д., одним словом, все те, которые вы изучали на протяжении школьного обучения алгебры. Как видите, изучив тему о логарифмических неравенствах, в решении этих неравенств нет ничего сложного при условии, если вы будете внимательны и настойчивы в достижении поставленных целей. Чтобы в решении неравенств не возникало никаких проблем, нужно как можно больше тренироваться, решая различные задания и при этом запоминать основные способы решения таких неравенств и их систем. При неудачных решениях логарифмических неравенств, следует внимательно проанализировать свои ошибки, чтобы в будущем не возвращаться к ним снова. Для лучшего усвоения темы и закрепления пройденного материала, решите следующие неравенства: Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе: log k
(x
) f
(x
) ∨ log k
(x
) g
(x
) ⇒ (f
(x
) − g
(x
)) · (k
(x
) − 1) ∨ 0 Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми. Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Если вы забыли ОДЗ логарифма, настоятельно рекомендую повторить - см. «Что такое логарифм ». Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно: f
(x
) > 0; g
(x
) > 0; k
(x
) > 0; k
(x
) ≠ 1. Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства - и ответ готов. Задача. Решите неравенство: Для начала выпишем ОДЗ логарифма: Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем: x
2 + 1 ≠ 1; Получается, что ОДЗ логарифма - все числа, кроме нуля: x
∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Теперь решаем основное неравенство: Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше». Имеем: (10 − (x
2 + 1)) · (x
2 + 1 − 1) < 0; Нули этого выражения: x
= 3; x
= −3; x
= 0. Причем x
= 0 - корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем: Получаем x
∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ. Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами - см. «Основные свойства логарифмов ». А именно: Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая: Задача. Решите неравенство: Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма: Решаем методом интервалов. Находим нули числителя: 3x
− 2 = 0; Затем - нули знаменателя: x
− 1 = 0; Отмечаем нули и знаки на координатной стреле: Получаем x
∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите - можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка: Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их: log 2 (x
− 1) 2 < 2; Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем: (f
(x
) − g
(x
)) · (k
(x
) − 1) < 0; Получили два множества: Осталось пересечь эти множества - получим настоящий ответ: Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем x
∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - все точки выколоты. Определение логарифма
проще всего записать математически: Определение логарифма можно записать и другим способом: Обратите внимание на ограничения которые накладываются на основание логарифма (a
) и на подлогарифмическое выражение (x
). В дальнейшем эти условия превратятся в важные ограничения для ОДЗ, которые нужно будет учитывать при решении любого уравнения с логарифмами. Итак, теперь кроме стандартных условий приводящих к ограничениям на ОДЗ (положительность выражений под корнями четных степеней, не равенство знаменателя нолю и т.д.) нужно учитывать еще и следующие условия: Обратите внимание, что ни основание логарифма, ни подлогарифмическое выражение не могут быть равными нолю. Обратите также внимание и на то, что само значение логарифма может принимать все возможные значения, т.е. логарифм может быть положительным, отрицательным и равным нолю. У логарифмов есть очень много различных свойств, которые следуют из свойств степеней и определения логарифма. Перечислим их. Итак, свойства логарифмов: Логарифм произведения: Логарифм дроби: Вынесение степени за знак логарифма: Обратите особо пристальное внимание на те из последних перечисленных свойств, в которых появляется знак модуля после вынесения степени. Не забывайте, что при вынесении четной степени за знак логарифма, под логарифмом или в основании нужно оставить знак модуля.
Другие полезные свойства логарифмов: Последнее свойство очень часто применяется в сложных логарифмических уравнениях и неравенствах. Его нужно помнить также хорошо, как и все остальные, хотя о нём часто забывают. Самые простые логарифмические уравнения имеют вид: А их решение задаётся формулой, которая напрямую следует из определения логарифма: Другие простейшие логарифмические уравнения, это такие, которые с помощью алгебраических преобразований и приведённых выше формул и свойств логарифмов можно свести к виду: Решение таких уравнений с учетом ОДЗ выглядит следующим образом: Некоторые другие логарифмические уравнения с переменной в основании
могут быть сведены к виду: В таких логарифмических уравнениях общий вид решения также напрямую следует из определения логарифма. Только в этом случае имеются дополнительные ограничения для ОДЗ, которые нужно учесть. В итоге, для решения логарифмического уравнения с переменной в основании нужно решать следующую систему: При решении более сложных логарифмических уравнений, которые нельзя свести к одному из представленных выше уравнений, также активно применяется метод замены переменных
. Как обычно, применяя этот метод нужно помнить, что после введения замены уравнение должно упроститься и больше не содержать старой неизвестной. Также нужно не забывать выполнять обратную замену переменных. Иногда при решении логарифмических уравнений приходится также использовать графический метод
. Данный метод состоит в том, чтобы как можно более точно построить на одной координатной плоскости графики функций, которые стоят в левой и правой частях уравнения, а затем найти координаты точек их пересечения по чертежу. Полученные таким образом корни обязательно нужно проверить подстановкой в первоначальное уравнение. При решении логарифмических уравнений часто также бывает полезен метод группировки
. При использовании этого метода главное помнить, что: для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, необходимо, чтобы хотя бы один их них равнялся нолю, а остальные существовали
. Когда множителями являются логарифмы или скобки с логарифмами, а не просто скобки с переменными как в рациональных уравнениях, то может возникнуть много ошибок. Так как у логарифмов есть много ограничений на ту область, где они существуют. При решении систем логарифмических уравнений
чаще всего приходится использовать либо метод подстановки, либо метод замены переменных. Если есть такая возможность, то при решении систем логарифмических уравнений нужно стремиться к тому, чтобы каждое из уравнений системы по-отдельности привести к такому виду, при котором можно будет осуществить переход от логарифмического уравнения к рациональному. Простейшие логарифмические неравенства решаются примерно также как и аналогичные уравнения. Сначала, с помощью алгебраических преобразований и свойств логарифмов, их нужно постараться привести к такому виду, где у логарифмов в левой и правой части неравенства будут одинаковые основания, т.е. получить неравенство вида: После чего нужно перейти к рациональному неравенству, учитывая, что этот переход должен быть выполнен следующим образом: если основание логарифма больше единицы, то знак неравенства менять не нужно, а если основание логарифма меньше единицы, то нужно поменять знак неравенства на противоположный
(это значит поменять "меньше" на "больше" или наоборот). При этом знаки минус на плюс, в обход ранее изученных правил нигде менять не нужно. Запишем математически то, что получим в результате выполнения такого перехода. В случае если основание больше единицы получим: В случае если основание логарифма меньше единицы поменяем знак неравенства и получим следующую систему: Как видим при решении логарифмических неравенств как обычно учитывается также и ОДЗ (это третье условие в системах выше). Причем в этом случае есть возможность не требовать положительности обоих подлогарифмических выражений, а достаточно потребовать положительности только меньшего из них. При решении логарифмических неравенств с переменной в основании
логарифма необходимо самостоятельно рассматривать оба варианта (когда основание меньше единицы, и больше единицы) и объединять решения этих случаев в совокупность. При этом нужно не забывать и про ОДЗ, т.е. про то, что и основание и все подлогарифмические выражение должны быть положительными. Таким образом, при решении неравенства вида: Получим следующую совокупность систем: Более сложные логарифмические неравенства могут также решаться с помощью замены переменных. Некоторые другие логарифмические неравенства (как и логарифмические уравнения) для решения требуют проведения процедуры логарифмирования обоих частей неравенства или уравнения по одинаковому основанию. Так вот при проведении такой процедуры с логарифмическим неравенствами имеется тонкость. Обратите внимание, что при логарифмировании по основанию большему единицы, знак неравенства не изменяется, а если основание меньше единицы, то знак неравенства изменяется на противоположный. Если логарифмическое неравенство не может быть сведено к рациональному или решено с помощью замены, то в этом случае нужно применять обобщенный метод интервалов
, который состоит в следующем: Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия: Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны. Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка. Введение
Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс. В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. Логарифмические уравнения и неравенства
1. Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида log a
x
= b
. (1) Утверждение 1. Если a
> 0, a
≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b
имеет единственное решение x
= a b
. Пример 1. Решить уравнения: a) log 2
x
= 3, b) log 3
x
= -1, c) Решение. Используя утверждение 1, получим a) x
= 2 3
или x
= 8; b) x
= 3 -1
или x
= 1
/ 3
; c) Приведем основные свойства логарифма. Р1. Основное логарифмическое тождество: где a
> 0, a
≠ 1 и b
> 0. Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей: log a
N
1
·N
2
= log a
N
1
+ log a
N
2
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0). Замечание. Если N
1
·N
2
> 0, тогда свойство P2 примет вид log a
N
1
·N
2
= log a
|N
1
| + log a
|N
2
| (a
> 0, a
≠ 1, N
1
·N
2
> 0). Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя Замечание. Если P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа: log a
N
k
= k
log a
N
(a
> 0, a
≠ 1, N
> 0). Замечание. Если k
- четное число (k
= 2s
), то log a
N
2s
= 2s
log a
|N
| (a
> 0, a
≠ 1, N
≠ 0). P5. Формула перехода к другому основанию: в частности, если N
= b
, получим Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства и, если в (5) c
- четное число (c
= 2n
), имеет место Перечислим и основные свойства логарифмической функции f
(x
) = log a
x
: 1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел. 2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел. 3. При a
> 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x
1
< x
2
log a
x
1
< log a
x
2), а при 0 < a
< 1, - строго убывает (0 < x
1
< x
2
log a
x
1
> log a
x
2). 4. log a
1 = 0 и log a
a
= 1 (a
> 0, a
≠ 1). 5. Если a
> 1, то логарифмическая функция отрицательна при x
(0;1) и положительна при x
(1;+∞), а если 0 < a
< 1, то логарифмическая функция положительна при x
(0;1) и отрицательна при x
(1;+∞). 6. Если a
> 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a
(0;1) - выпукла вниз. Следующие утверждения (см., например, ) используются при решении логарифмических уравнений. До сдачи ЕГЭ по математике остается все меньше времени. Обстановка накаляется, нервы у школьников, родителей, учителей и репетиторов натягиваются все сильнее. Снять нервное напряжение вам помогут ежедневные углубленные занятия по математике. Ведь ничто, как известно, так не заряжает позитивом и не помогает при сдаче экзаменов, как уверенность в своих силах и знаниях. Сегодня репетитор по математике расскажет вам о решении систем логарифмических и показательных неравенств, заданий, традиционно вызывающих трудности у многих современных старшеклассников. Для того, чтобы научиться решать задачи C3 из ЕГЭ по математике как репетитор по математике рекомендую вам обратить внимание на следующие важные моменты. 1.
Прежде чем приступить к решению систем логарифмических и показательных неравенств, необходимо научиться решать каждый из этих типов неравенств в отдельности. В частности, разобраться с тем, как находится область допустимых значений, проводятся равносильные преобразования логарифмических и показательных выражений. Некоторые связанные с этим тайны вы сможете постичь, изучив статьи « » и « ». 2.
При этом необходимо осознавать, что решение системы неравенств не всегда сводится к решению отдельно каждого неравенства и пересечению полученных промежутков. Иногда, зная решение одного неравенства системы, решение второго значительно упрощается. Как репетитор по математике, занимающийся подготовкой школьников к сдаче выпускных экзаменов в формате ЕГЭ, раскрою в этой статье парочку связанных с этим секретов. 3.
Необходимо четко уяснить для себя разницу между пересечением и объединением множеств. Это одно из важнейших математических знаний, которое опытный профессиональный репетитор старается дать своему ученику уже с первых занятий. Наглядное представление о пересечении и объединении множеств дают так называемые «круги Эйлера». Пересечением множеств
называется множество, которому принадлежат только те элементы, которые есть у каждого из этих множеств.
пересечением
Изображение пересечения множеств с помощью «кругов Эйлера» Объяснение на пальцах.
У Дианы в сумочке находится «множество», состоящее из {ручки
, карандаша
, линейки
, тетрадки
, расчески
}. У Алисы в сумочке находится «множество», состоящее из {записной книжки
, карандаша
, зеркальца
, тетрадки
, котлеты по-киевски
}. Пересечением этих двух «множеств» будет «множество», состоящее из {карандаша
, тетрадки
}, поскольку оба этих «элемента» есть и у Дианы, и у Алисы. Важно запомнить!
Если решением неравенства является промежуток а решением неравенства является промежуток то решением систем:
является промежуток то есть пересечение
исходных промежутков. Здесь и далее под
подразумевается любой из знаков
title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">а под
— ему противоположный знак.
Объединением множеств
называется множество, которое состоит из всех элементов исходных множеств.
Другими словами, если даны два множества и то их объединением
будет являться множество следующего вида: Изображение объединения множеств с помощью «кругов Эйлера» Объяснение на пальцах.
Объединением «множеств», взятых в предыдущем примере будет «множество», состоящее из {ручки
, карандаша
, линейки
, тетрадки
, расчески
, записной книжки
, зеркальца
, котлеты по-киевски
}, поскольку оно состоит из всех элементов исходных «множеств». Одно уточнение, которое может оказаться не лишним. Множество не может
содержать в себе одинаковых элементов. Важно запомнить!
Если решением неравенства является промежуток а решением неравенства является промежуток то решением совокупности:
является промежуток то есть объединение
исходных промежутков. Перейдем непосредственно к примерам. Пример 1.
Решите систему неравенств:
Решение задачи C3.
1.
Решаем сперва первое неравенств. Используя замену переходим к неравенству: 2.
Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется неравенством: Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> В области допустимых значений с учетом того, что основание логарифма title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству: Исключая решения, не входящие в область допустимых значений, получаем промежуток 3.
Ответом к системе
неравенств будет пересечение
Полученные промежутки на числовой прямой. Решение — их пересечение Пример 2.
Решите систему неравенств:
Решение задачи C3.
1.
Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе части на title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству: Переходим к обратной подстановке: 2.
Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> Графическое изображение полученных промежуток. Решение системы — их пересечение Пример 3.
Решите систему неравенств:
Решение задачи C3.
1.
Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе его части на title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство: Используя подстановку переходим к следующему неравенству: Переходим к обратной подстановке: 2.
Решаем теперь второе неравенство. Определим сначала область допустимых значений этого неравенства: ql-right-eqno">
Обращаем внимание, что Тогда с учетом области допустимых значений получаем: 3.
Находим общее решения неравенств. Сравнение полученных иррациональных значений узловых точек — задача в данном примере отнюдь не тривиальная. Сделать это можно следующим образом. Так как Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> то Пример 4.
Решите систему неравенств:
Решение задачи С3.
1.
Решим сперва второе неравенство: 2.
Первое неравенство исходной системы представляет собой логарифмическое неравенство с переменным основанием. Удобный способ решения подобных неравенств описан в статье «Сложные логарифмические неравенства », в его основе лежит простая формула: Вместо знака может быть подставлен любой знак неравенства, главное, чтобы он был один и тот же в обоих случаях. Использование данной формулы существенно упрощает решение неравенства: Определим теперь область допустимых значений данного неравенства. Она задается следующей системой: Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> Легко видеть, что одновременно этот промежуток будет являться и решением нашего неравенства. 3.
Окончательным ответом исходной системы
неравенств будет пересечение
полученных промежутков, то есть Пример 5.
Решите систему неравенств:
Решение задания C3.
1.
Решаем сперва первое неравенство. Используем подстановку Переходим к следующему квадратному неравенству: 2.
Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется системой: Title="Rendered by QuickLaTeX.com"> Данное неравенство равносильно следующей смешанной системе: В области допустимых значений, то есть при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе: С учетом области допустимых значений получаем: 3.
Окончательным решением исходной системы
является Решение задачи C3.
1.
Решаем сперва первое неравенство. Равносильными преобразованиями приводим его к виду: 2.
Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется промежутком: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству: Этот ответ целиком принадлежит области допустимых значений неравенства. 3.
Пересечением полученных в предыдущих пунктах промежутков получаем окончательный ответ к системе неравенств: Сегодня мы с вами решали системы логарифмических и показательных неравенств. Задания подобного рода предлагались в пробных вариантах ЕГЭ по математике в течение всего ныне идущего учебного года. Однако, как репетитор по математике, имеющий опыт подготовки к ЕГЭ, могу сказать, что это вовсе не означает, что аналогичные задания будут в реальных вариантах ЕГЭ по математике в июне. Позволю себе высказать одно предостережение, адресованное в первую очередь репетиторам и школьным учителям, занимающимся подготовкой старшеклассников к сдаче ЕГЭ по математике. Весьма опасно готовить школьников к экзамену строго по заданным темам, ведь в этом случае возникает риск полностью «завалить» его даже при незначительном изменении ранее заявленного формата заданий. Математическое образование должно быть полным. Уважаемые коллеги, пожалуйста, не уподобляйте роботам своих учеников так называемым «натаскиванием» на решение определенного типа задач. Ведь нет ничего хуже формализации мышления человека. Всем удачи и творческих успехов! Если пробовать, то есть два варианта: получится или не получится. Если не пробовать — всего один.
Решение примеров
3x > 24;
х > 8.
Что необходимо для решения логарифмических неравенств?
Домашнее задание
x
2 ≠ 0;
x
≠ 0.
(9 − x
2) · x
2 < 0;
(3 − x
) · (3 + x
) · x
2 < 0.
Преобразование логарифмических неравенств
x
= 2/3.
x
= 1.
log 2 (x
− 1) 2 < log 2 2 2 .
((x
− 1) 2 − 2 2)(2 − 1) < 0;
x
2 − 2x
+ 1 − 4 < 0;
x
2 − 2x
− 3 < 0;
(x
− 3)(x
+ 1) < 0;
x
∈ (−1; 3).
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Нашли ошибку?
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1, N
> 0),
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (3)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (4)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (5)
(b
> 0, a
≠ 0, |a
| ≠ 1). (6)
и окончательный ответ к системе имеет вид: 
Сергей Валерьевич
© Народная мудрость
Тематические материалы:
