Во многих множествах можно выделить более мелкие группы элементов, объединенные своим общим свойством. Например, во множестве натуральных чисел можно выделить подмножество четных чисел, а также подмножество нечетных чисел, или подмножество чисел не больше 100 и т. п.
В терминологии теории множеств говорят, что множество B является подмножеством множества A, если каждый элемент B является в то же время и элементом множества A. Обозначается это знаком включения: B ⊂ A.
Из подмножества какого-либо множества можно выделить свое подмножество. Например, среди учеников класса можно выделить подмножество девочек, а среди девочек выделить отличниц. Тогда можно записать так:
Это значит, что множество C включено в B, а B включено в A.
Если множества обозначить кругами, то внутри круга A будет находиться круг B, а внутри него круг C. Подобные рисунки называют диаграммами Эйлера-Венна.
Если два множества равны, то для них выполняются соотношения A ⊂ B и B ⊂ A.
Если задано, что B ⊂ A, и какой-то элемент x принадлежит B (x ∈ B), то это значит, что также x ∈ A. Однако, если известно, что x ∈ A, то нельзя делать однозначный вывод о том, что этот элемент принадлежит B. Это может быть и не так.
Множество А называют подмножеством множества S (или в множестве 5), если каждый элемент множества А является элементом множества S. Обозначение: Ис5.
Выражение AqS также читают: «А включено в 5», «А содержится в 5», «S содержит А», «А часть S». Знак с называют символом включения.
Запишем данное определение символически:
Из определения вытекает: множество А является подмножеством в S тогда и только тогда, когда из предложения (хеА ) следует предложение (xeS).
Построим отрицание к тому, что AczS. По законам логики имеем:
Итак, предложение «Множество А не включено в S » равносильно предложению «Существует элемент множества А , который не лежит в S».
Два множества А и В формально можно соединить знаками включения двумя способами: A(z.B и ВсА. Каждое из этих выражений определяет предложение, которое может быть истинным или ложным. Второе включение В (также пишут А^В) по отношению к первому называют обратным. Не всегда из справедливости одного из включений следует истинность другого включения.
Пример 6.2.1. Имеет место включение {-2;2} с {-2;0; 1 ;2}, так как оба числа (-2) и 2 являются элементами множества {-2;0; 1 ;2}. Однако {-2;0; 1 ;2} не включено в {-2;2}, так как, например, 0г {-2;2}.
Пример 6.2.2. Пусть А - множество всех ромбов, В - множество всех квадратов.
А ? В, так как существует ромб, не являющийся квадратом.
В с: А, так как любой квадрат является ромбом (что вытекает из определений данных фигур).
Друг ими словами, множество всех квадратов является подмножеством множества всех ромбов.
Пример 6.2.3. {х | *:12}с{* | дг:3}, так как *:12=>*:3 (обоснуйте самостоятельно). Однако обратное включение неверно, гак как х:3фх":2 (приведите контрпример).
Из определения вытекает, что то есть каждое множество является подмножеством самою себя.
Возьмем вместо А пустое множество. Тогда утверждение 0qS равносильно V* (хе0 xeS). Так как посылка импликации всегда ложна, то для любого объекта д; импликация принимает истинное значение. Значит, утверждение 0qS верно. Итак, пустое множество является подмножеством любого множества.
Вывод: у любого непустого множества всегда есть два подмножества - само множество и пустое. Их называют тривиальными подмножествами. Само множество также называют несобственным подмножеством.
Подмножество в S называется собственным, если оно не совпадает с S. Запись AaS означает, что А является собственным подмножеством в S:
Знак символом строгого включении.
Мы имеем два отношения: отношение принадлежности элемента множеству (обозначаемое знаком е) и отношение включения множеств (обозначаемое знаком с). В общем случае это разные знаки. Например, {2}с{2,3}, но {2} *г{2,3}. Однако иногда между множествами можно поставить оба знака.
Пример 6.2.4. Множество А = {2} является элементом множества В = {1,2,{2}}. При этом А есть подмножество множества В , так вес элементы множества А лежат в В (в А есть только один элемент - число 2, который лежит в В).
Итак, {2}е{1,2,{2» и {2}с{ 1,2,{2}}.
Пример 6.2.5. Рассмотрим плоскость а и прямую /, лежащую на этой плоскости. Если рассматривать прямую как элемент плоскости, то принято писать lea. Если же понимать прямую как множество точек, принадлежащих данной прямой, то это множество будет подмножеством множества всех точек плоскости. Тогда можно записать /са.
Пусть верны прямое и обратное включения AqB и B В этом случае для всех х выполняются импликации хеЛ ->хеВ и xgB->xеЛ, что равносильно тому, что для всех.v хеЛ тогда и только тогда, когда хеВ. Это означает, что множества А и В совпадают:
Эю простое соображение лежит в основе метода доказательства равенства множеств, называемого методом двойного включения : для того чтобы доказать, что множества А и В равны, надо доказать прямое и обратное включения множ еств.
По сути, эта идея была продемонстрирована в примере 6.1.3, так как прямое включение A означает, что из предиката Р{х), задающего множество А , следует предикат Q{x ), задающий множество В , а обратное включение означает, что из Q(x) следует Р(х). Рассмотрим еще один пример.
Пример 6.2.6. Возьмем множества:
А = {2п | neZ) - множество всех четных чисел,
В - {хх=а+Ь, где а и b - нечетные числа} - множество всех чисел, каждое из которых является суммой некоторых нечетных чисел.
Докажем, что А=В.
Покажем справедливость включения А^В. Пусть хеА, тогда имеем х = 2w = (2/f-l)+1, то есть х представим в виде суммы двух нечетных чисел. Значит, хеВ.
Верно также обратное включение ВсА. В самом деле, пусть хеВ. Тогда х = (2/7+1)+(2А+1) = 2(/;+А"+1) = 2т. Значит х - четное число, поэтому хеА.
Оба включения доказаны. Значит, множества А и В равны.
Упражнение. Докажите, что множества {2/7-1 пе Z} и {2/7+1 | не Z} равны, то есть оба определяют множество нечетных чисел.
Пример 6.2.7. Заметим, что множества А= {2я-1 | //eN} и В - {2/7+1 | /7 € N} нс равны, так как IgA, но 1 &В. Поэтому множество всех нечетных положительных чисел задаст только множество Л. При этом включение Л^В верно.
Пусть дано множество S. Семейство всех подмножеств множества S называется булеаном множества S (или степенью множества S) и обозначается В(5) или 2 s .
По определению В(5) = {X | AfcS}.
Ясно, что 0еВ(5) и SeB(S) для любого множества S.
Пример 6.2.8. Пусть S = {1,2,3}. Найдем булсан этого множества.
Заметим, что элементами булеана являются множества.
Термин «степень множества» и соответствующее обозначение мотивируются тем, что если мы имеем конечное //-элементное множество, то число элементов его булеана будет равно степени 2". Рассмотренный выше пример иллюстрирует эту зависимость. Доказательство данного факта будет дано в главе 3. Там же будет рассмотрена формула, позволяющая находить у //-элементного множества число подмножеств, содержащих фиксированное число элементов.
«Под множеством
мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» - так описал понятие «множество» Георг Кантор, основатель теории множеств.
Основные предпосылки канторовской теории множеств сводятся к следующему:
1°
Множество может состоять из любых различимых объектов.
2°
Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.
3°
Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.
Если х - объект, Р - свойство, Р(х) - обозначение того, что х обладает свойством Р, то через {х|Р(х)} обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.
Термин «множество
» употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить о:
а) множестве пчёл в улье,
б) множестве точек отрезка,
в) множестве вершин квадрата или о множествах его сторон и диагоналей,
г) множестве студентов в аудитории и т.д.
В приведённых примерах в случаях а), в)-г) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными
. Множество точек отрезка (пример б)) пересчитать невозможно, поэтому такие множества называются бесконечными
. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым
множеством.
Наиболее простая форма задания множества — перечисление его элементов, например А={4, 7, 13} (множество А состоит из трёх элементов — целых чисел 4, 7, 13). Другая часто применяемая форма задания — указание свойств элементов множества, например A = {x| x^2 ≤ 4} — множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию.
Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…., а их элементы — малыми: а, в, с,… Запись а ∈ А (читается: а принадлежит А) или A ∋ a (читается: А содержит а) означает, что а есть элемент множества А. Пустое множество обозначается значком Ø.
Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение — B ⊆ A или A ⊇ B).
Каждое множество является своим подмножеством (это самое «широкое» подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое «узкое» подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение B ⊂ A или A ⊃ B. Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т.е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств: A = B. (Символы ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения).
Геометрически множества обычно изображаются как некоторые множества точек плоскости. В любой имеющей смысл задаче обычно рассматриваются подмножества некоторого «наибольшего» множества U, которое называют универсальным множеством. Так, на рис. 1 изображено универсальное множество U и два его подмножества — множества А и В, B ⊂ A. Сами картинки типа рис. 1 называются диаграммами Эйлера-Венна .
В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".
Ели ли Вы сегодня обед? Сейчас станет известна страшная тайна. Обед является множеством. А именно, множеством блюд, из которых он состоит. В нём (как правило) нет одинаковых блюд, и во множестве все элементы должны быть разными. А, если на обед у Вас был тот же самый салат, что и на завтрак, то этот салат является пересечением множеств "Обед" и "Завтрак".
Взгляните на книгу, лежащую на столе или стоящую на полке. Она является множеством страниц. Все страницы в ней отличаются друг от друга, по меньшей мере номерами.
А улица, на которой Вы живёте? Она является собранием многих разных объектов, но обязательно есть множество домов, расположенных на этой улице. Поэтому множество домов является подмножеством множества "Улица".
Итак, мы рассмотрели не только примеры множеств, но и пример операции над множествами - пересечение, а также отношение включения подмножества во множество. Все эти понятия будем рассматривать подробно на этом уроке.
Но пока ещё один пример практического рассмотрения множеств.
Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём.
Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.
Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).
Код PASCAL
Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.
Объекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:
Натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...
Простых чисел
Чётных целых чисел
и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала).
Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество - это "мешок с элементами". Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.
Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.
Если M - множество, а a - его элемент, то пишут: a ∈M , что означает "a принадлежит множеству M ".
Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:
hleb ∈VETEROK ,
что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK".
Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.
Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:
VETEROK = {hleb , syr , maslo } ,
A = {7 , 14 , 28 } .
Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.
Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p (x ) - некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = {x | p (x )} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p (x ) истинно. Это выражение читается так: "Множество M , состоящее из всех таких x , что p (x ) ".
Например, запись
M = {x | x ² - 3x + 2 = 0}
Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые, апельсины купили 29 покупателей, лимоны - 30 покупателей, мандарины - 9, только мандарины - 1, апельсины и лимоны - 10, лимоны и мандарины - 4, все три вида фруктов - 3 покупателя. Сколько покупателей не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?
Для определения ещё одной важной операции над множествами - декартова произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n .
Длиной набора называется число n
его компонент. Набор, составленный
из элементов ,
взятых именно в этом порядке, обозначается 
.
При этом i
я ()
компонента набора есть .
Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно, но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово произведение множеств.
Декартовым (прямым) произведением множеств
называется множество, обозначаемое 
и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n
, i
-я компонента
которых принадлежит 
.
Раздел очень прост в использовании. В предложенное поле достаточно ввести нужное слово, и мы вам выдадим список его значений. Хочется отметить, что наш сайт предоставляет данные из разных источников – энциклопедического, толкового, словообразовательного словарей. Также здесь можно познакомиться с примерами употребления введенного вами слова.
подмножество
понятие теории множеств. Подмножество множества А - множество В (обозначается В? А), каждый элемент которого принадлежит А. Напр., множество всех четных чисел является подмножеством множества всех целых чисел.
Подмножество
множества А (математическое), любое множество, каждый элемент которого принадлежит А. Например, множество всех чётных чисел является П. множества всех целых чисел. Если к числу множеств причислить «пустое» множество, совсем не содержащее элементов, то, в силу определения, его следует считать П. любого другого множества. Само множество А и пустое множество называются иногда несобственными П., остальные же П. ≈ собственными. См.также Множеств теория.
Подмножество
Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.
Вы можете также набрать следующую букву, чтобы перейти к подмножеству всех возможных завершений.
Представленный документ МОЖЕТ быть как подмножеством оригинальной версии, так и содержать сведения, которые в ней не были представлены.
Хармсовский ноль как некое множество, включающее в себя бесконечный ряд нулевых подмножеств , -- это мир бесконечности.
Возможность печати подмножества страниц требует наличия фильтра, который может обрабатывать такую ситуацию.
Создание индекса с правилом фрагментации, не совпадающим с правилом фрагментации таблицы, полезно в тех случаях, когда в разных приложениях выборки из таблицы осуществляются на основе разных подмножеств ее атрибутов.
