Выпуклые множества и функции. Выпуклые множества

Примеры выпуклых множеств

1. E n .

2. Пустое множество.

3. Множество, состоящее из одной точки

,

где
.

4. Гиперплоскость

где
, a ≠ 0, иb – число. Приn = 3 это множество совпадает с обычной плоскостью, а приn = 2 – с прямой.

5. Полупространство

где
, a ≠ 0, иb – число.

6. Конус

а y (k) – заданные векторы
. Заметим, что часто рассматриваются конусы с вершиной не в нуле, а в какой-либо другой точке
, то есть множества типа

7. Выпуклая комбинация (оболочка) конечного числа точек

Такое множество геометрически представляет собой n -мерный выпуклый многогранник.

8. Пересечение конечного числа полупространств

где
. Такое множество называется многогранным выпуклым множеством. В том случае, когда оно ограничено, оно также является выпуклым многогранником. Таким образом, возможны два представления выпуклого многогранника – в виде выпуклой оболочки конечной совокупности точек и в виде пересечения конечного числа полупространств, заданных неравенствами.

9. Шар радиуса r ≥0 с центром в

.

В качестве примеров невыпуклых множеств можно назвать множество целых чисел или множество рациональных чисел.

2.1.2. Свойства выпуклых множеств

Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Объединение двух выпуклых множеств не обязательно выпукло.

Пример: объединение двух точек не есть выпуклое множество.

также является выпуклым множеством.

Эти утверждения следуют из определения выпуклого множества. Докажем, например, первое утверждение для пересечения двух множеств
и
. Пусть. Рассмотрим

Из выпуклости A иB получаем, что
и
при всех
. Отсюда
. Утверждение доказано.

Определение .Крайней (экстремальной) точкой выпуклого множества называется такая его точка, которая не может быть представлена в виде выпуклой комбинации двух различных точек этого множества.

В качестве примера приведем выпуклый многогранник. Его крайними точками являются его вершины.

Определение . МножествоSE n называетсястрого выпуклым , если оно выпукло и все его граничные точки являются крайними.

Примером строго выпуклого множества является замкнутый шар.

2.1.3. Опорная гиперплоскость

Рассмотрим важнейшее понятие опорной гиперплоскости . Прежде всего заметим, что любая гиперплоскость , где
, a ≠ 0, определяет в пространстве
два замкнутых полупространства

Гиперплоскость является пересечением этих полупространств и одновременно границей каждого из них.

Пусть имеется некоторое выпуклое множество S и его граничная точкаy .

Определение . ГиперплоскостьH , проходящая через точкуy и содержащая все точки множествоS в одном из определяемых ею замкнутых полупространств, называется гиперплоскостью,опорной к множествуS в точкеy .

Можно показать, что опорную гиперплоскость можно провести через любую граничную точку выпуклого множества. Иллюстрация опорной гиперплоскости приведена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Опорная гиперплоскость H к выпуклому множеству S в точке y .

Отметим, что опорная гиперплоскость может быть не единственна (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2. Две опорных гиперплоскости H 1 и H 2 к выпуклому множеству S в точке y .

Пусть теперь задано два непустых множества A иB . ГиперплоскостьH называетсяразделяющей гиперплоскостью, если все точки множестваA лежат в одном из замкнутых полупространств, определяемых гиперплоскостьюH , а все точки множестваB лежат в другом из определяемых ею замкнутых полупространств. Можно доказать несколько теорем о разделяющих гиперплоскостях. Рассмотрим простейшую из них. Пусть
– совокупность внутренних точек множестваA .

Теорема 3.1. ПустьA иB – два непустых выпуклых множества, причем
Ø. Тогда существует гиперплоскостьH , разделяющая множестваA иB. 1

Примеры разделяющих гиперплоскостей приведены на рис. 3.3 и 3.4.

Рис. 3.3. Гиперплоскость H разделяет множества S 1 и S 2 , не имеющие общую точку

Рис. 3.4. Гиперплоскость H разделяет множества S 1 и S 2 , имеющие общую точку

Выпуклые и вогнутые функции

Свойства выпуклого множества

Классификация и специфика задач математического программирования.

Введение в математическое программирование.

Математическое программирование является одним из способов исследования операций в экономике. Содержание математического программирования составляют теория и методы решения задач о нахождении экстремума функции на некотором множестве. Множества могут определяться как линœейными так и не линœейными ограничениями. Главная цель задач математического программирования – выбор программ действий, приводящих к наилучшему результату, с точки зрения лица, принимающего решения (ЛПР). Проблема принятия решения в последовательности операции неразрывно связано с проблемами моделирования.

Определœение модели.

Модель - ϶ᴛᴏ образ изучаемого явления или объекта.

Этапы моделирования.

1. Построение качественной модели, ᴛ.ᴇ. выделœение факторов, которые представляются наиболее важными в установлении закономерности, которым они подчиняются.

2. Построение математической модели. Запись качественной модели в математических терминах.

Математическая модель принято называть точной если всœе исходные величины числовых параметров модели являются точными (к примеру, результаты наблюдений). В этом смысле точную модель называют идеальной. Далее будем полагать, что у точной задачи всœегда существует точное решение(результаты наблюдений). В реальной ситуации сведения о входных параметрах носят, как правило, приблизительный характер (результаты измерений). В этом случае полученные задачи называются реальными, а их решения – реальными решениями.

Реальное решение может и не существовать .

2 этап. Включает также построение целœевой функции, ᴛ.ᴇ. такой числовой характеристики, большему или меньшему значению которой соответствует лучшая ситуация с точки зрения лица, принимающего решения.

3 этап. Исследование влияния переменных на значения целœевой функции, нахождение решения, поставленной задачей.

4 этап. Сопоставление результатов вычисления, полученных на 3 этапе с моделированным объектом, ᴛ.ᴇ. критерий практики.

Здесь устанавливается степень адекватности модели и моделируемого объекта.

В математическом программировании можно выделить два направления:

· Собственно математическое программирование – детерминированные задачи, когда вся исходная информация полностью определœена;

· Стохастическое программирование. К нему относятся задачи, в которых исходная информация содержит неопределённость, либо когда некоторые параметры носят случайный характер с известными вероятностными характеристиками.

В математическом программировании выделяют следующие разделы:

1) Линœейное программирование. В этих задачах целœевая функция линœейна, а множества, на котором исследуется его экстремальное значение задается системой линœейных равенств или неравенств. В свою очередь, в линœейном программировании существуют классы задач, структура которых позволяет создавать свои специальные методы решения, выгодно отличающиеся от методов общего характера. К примеру, транспортная задача.

2) Нелинœейное программирование. Данная задача и целœевая функция и ограничения носят нелинœейный характер.
Размещено на реф.рф
Задачи нелинœейного программирования обычно классифицируют на:

a) Выпуклое программирование, когда целœевая функция выпукла и выпукло множество, на котором решается задача.

b) Квадратичное программирование, когда целœевая функция квадратична, а ограничения линœейное равенство или неравенство.

c) Многоэкстремальные задачи. Обычно выделяются специальные классы задач, часто встречающиеся в примечаниях. К примеру, задача минимизации на выпуклом множестве вогнутых функций.

3) Целочисленное программирование, когда на значения переменных или на значения целœевой функции накладывается условие целочисленности.

Специфика задач математического программирования состоит в том, что, во-первых, методы классического анализа для отыскания условных экстремумов неприменимы, т.к. даже в простых задачах экстремумы достигаются в углах многогранника решения, а, следовательно, нарушается дифференцируемость функции.

Во-вторых, в практических задачах число переменных и ограничений столь велико, что если перебирать всœе точки в экстремальности, то может не хватить ресурсов ЭВМ, в связи с этим цель математического программирования создание, где возможно, аналитических методов решения, а при отсутствии таких методов – создание эффективных вычислительных способов нахождения принудительного решения.

Элементы выпускного анализа.

Множество Х принято называть замкнутым если оно содержит всœе свои предельные точки

Множество Х принято называть ограниченным если существует шар конечного радиуса с центром в любой точке этого множества целиком включающее в себя это множество.

Множество Х принято называть выпуклым множеством если на ряду с каждыми точками Х1, Х2 є этому множеству всœе точки Х равны (1-α)· , где 0≤α≤1 так же принадлежат этому множеству Х. Т.е. если множеству Х, то и отрезок, соединяющий эти точки, тоже множеству Х.

Пример:

Дано множество Ө ={х, у такие, что х+у≤1. Доказать, что данное множество является выпуклым.

Пусть взяли две точки () и () Ө (ᴛ.ᴇ. + ≤1 и + ≤1).

Доказать, что точка

1. Теорема 1

Пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Доказательство:

Пусть Х пересечение множеств и, где и выпуклые множества.

Докажем, что Х выпуклое множество.

Пусть точки и Х. Докажем, что отрезок, соединяющий эти точки, тоже принадлежит множеству Х.

т.к. и Х => и Х1

Х1 выпуклое множество => отрезок [ , ] Х1

т.к. , Х => они Х2

Х2 выпуклое множество.

Отсюда следует, что отрезок [ , ] Х1∩Х2=Х

Теорема доказана.

2. Теорема 2.

Объединœение выпуклых множеств не всœегда является выпуклым.

3. Свойство определённости.

Рассмотрим двухмерное пространство, в котором имеется неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ замкнутое и выпуклое множество Х и некая точка d (,), где d Х, тогда найдётся прямая

С такая, что будут выполняться неравенства

Гиперплоскостью в пространстве R принято называть множество точек x (которая удовлетворяет равенству

Свойства выпуклого множества - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Свойства выпуклого множества" 2017, 2018.

Выпуклое множество - подмножество евклидова пространства содержащей отрезок, соединяющий любые какие две точки этой множества.

Определение

Другими словами, множество называется выпуклой, если:

То есть, если множество X вместе с любыми двумя точками, которые принадлежат этому множеству, содержит отрезок, их соединяющий:

В пространстве выпуклыми множествами будут прямая, полупрямой, отрезок, интервал, одноточечный множество.

В пространстве выпуклым будет само пространство, любое его линейный подпространство, шар, отрезок, одноточечный множество. Также, выпуклыми будут такие множества:

• гиперплоскости H p? с нормалью p :

• полупространства на которые гиперплоскости разделяет пространство:

Все перечисленные множества (кроме пули) является частным случаем выпуклой множества полиэдры.

Свойства выпуклых множеств

• Пересечение выпуклых множеств является выпуклым.
• Линейная комбинация точек выпуклой множества выпуклая.
• Выпуклая множество содержит любую выпуклую комбинацию своих точек.
• Любую точку n -мерного евклидова пространства с выпуклой оболочки множества можно представить как выпуклую комбинацию не более n +1 точек этого множества

Рассмотрим n - мерное евклидово пространство и пусть  точка в этом пространстве.

Рассмотрим две точки и , принадлежащие .Множество точек , которые могут быть представлены в виде

(в координатах это записывается так:

отрезком , соединяющим точки и . Сами точки и называются концами отрезка . В случаях n =2 и n =3 это  отрезок в обычном понимании этого слова на плоскости или в пространстве (см. рис. 12). Заметим, что при  =0 , а при  =1 , т.е. при  =0 и  =1 получаются концы отрезка.

где все и называется выпуклой комбинацией точек .

Пусть есть некоторая область в пространстве (другими словами,

Определение. Множество (область) называется выпуклым , если из того, что и следует, что для   . Другими словами, G  выпуклое множество, если оно, вместе с любыми двумя своими точками, содержит в себе отрезок, соединяющий эти точки.

На этих рисунках "а" и "б" - выпуклые множества, а "в" не является выпуклым множеством, так как в нём есть такая пара точек, что соединяющий их отрезок не весь принадлежит этому множеству.

Теорема 1. Пусть G  выпуклое множество. Тогда любая выпуклая комбинация точек, принадлежащих этому множеству, также принадлежит этому множеству.

Доказательство

Докажем теорему методом математической индукции. При k =2 теорема верна, так как она просто переходит в определение выпуклого множества.

Пусть теорема верна для некоторого k . Возьмём точку и рассмотрим выпуклую комбинацию

Теорема доказана.

Теорема 2. Допустимая область задачи линейного программирования является выпуклым множеством.

Доказательство.

1. В стандартной форме в матричных обозначениях допустимая область G определяется условием

Т.е. x принадлежит G и, следовательно, выпукло.

2. В канонической форме область G определена условиями

Пусть и принадлежат G, т.е.

.

т.е. и, следовательно, G выпукло. Теорема доказана.

Таким образом, допустимая область в задаче линейного программирования является выпуклым множеством. По аналогии с двумерным или трехмерным случаями, при любом n эту область называют выпуклым

Теорема 3. Множество оптимальных планов задачи линейного программирования выпукло (если оно не пусто).

Доказательство

Если решение задачи линейного программирования единственно, то оно выпукло по определению  точка считается выпуклым множеством Пусть теперь и два оптимальных плана задачи линейного программирования.

т.е. есть также оптимальный план и, в силу этого, множество оптимальный планов выпукло. Теорема доказана.

Теорема 4. Для того, чтобы задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно, чтобы целевая функция на допустимом множестве была ограничена сверху (при решении задачи на максимум) или снизу (при решении задачи на минимум).

Эту теорему мы даем без доказательства.

Множество AÌE называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками x 1 и x 2 содержит отрезок, соединяющий их, т.е. множества вида

[x 1 x 2 ]={x ÎE n | x =lx 1 +(1-l)x 2 , 0 £l £1}.

Рассмотренные выше полупространства являются выпуклыми множествами. Проверим, например, выпукло ли полупространство Н + ab {x ÎE n | ³b}. Для этого рассмотрим две произвольные точки x 1 и x 2 этого полупространства. Для этих точек выполнены неравенства

x 1 >³ b, x 2 >³ b.

Сложим эти два неравенства, предварительно умножив первое на произвольное число lÎ, а второе на 1-l. В результате получим неравенство

lx 1 > + (1-l) x 2 > = x 1 + (1-l)x 2 >³ b.

Поскольку l произвольно, весь отрезок, соединяющий выбранные точки, принадлежит данному полупространству. Следовательно, полупространство действительно является выпуклым множеством.

Рис.2.10.выпуклое(а), невыпуклое(б) множества.

Глава 3.Основные сведения о функциях .

3.1 Понятие функций .

Пусть X и Y два множества. Если указано правило, согласно которому каждому элементу множества X поставлен в соответствие определенный элемент множества Y, то говорят, что задана функция f , отображающая X в Y. Этот факт записывают в виде f: X®Y или y=f(x) , где x ÎX, yÎY. Множество X называется областью данных или областью определения функции, а множество Y- множество значений. Функция f(x) представляет собой правило, которое позволяет каждому значению x поставить в соответствие единственное значение y=f(x) . В этом случае x- независимая переменная, y- зависимая переменная. Функции y=f(x)=f(x 1 +x 2 ,..,x n), т.е. функции с областью задания X Ì E n и множеством значений Y Ì E называют числовыми функциями в отличие от векторных функций, для которых YÌ E m , m>1.

Множество вида

{(x,y)ÎE n +1 ½ y=f(x) при некоторых xÎX}

называют графиком функции y=f(x) .

Ряд физических процессов можно описать с помощью непрерывных функций, т.е. функций, которые обладают свойством непрерывности в каждой точке x, принадлежащей областям их определения.

Функцию f называют непрерывной в точке x 0 ÎX, если для любого числа e>0 можно указать такое число d e >0, что для всех xÎX Ç Ède ½x 0 ½ выполняется неравенство ½f(x)-f(x 0)½

В качестве примеров функций, непрерывных на E n , приведем линейную функцию f 1 (x)=+b=c 1 x 1 +c 2 x 2 +..+c n x n +b и квадратичную функцию f 2 (x)=1/2++b,

где Q- числовая симметрическая матрица размера n*m, с- некоторый вектор из E n и b- некоторое число, а Qx означает произведение матрицы на вектор по правилам перемножения матриц, принятых в линейной алгебре.

3.2 Классификация функций.

3.2.1 Разрывные и дискретные функции.

В инженерных приложениях нередки случаи, когда приходится использовать

разрывные функции. Например, затраты на сообщение некоторой системе количества

тепла при различных температурах системы получаем кусочно- непрерывную кривую (рис 3.1). возможны случаи, когда переменная принимает дискретные значения(рис 3.2).

В зависимости от того, является ли исследуемая функция непрерывной или разрывной следует использовать различные методы исследования. Необходимо отметить, что метод эффективный при анализе непрерывных функций, может оказаться неэффективным при исследовании разрывных функций, хотя обратное не исключается.

Функции можно также классифицировать в соответствии с их формой, определяющей топологические свойства функций в рассматриваемом интервале.

3.2.2 Монотонные функции.

Функция f(x) является монотонной (рис 3.3) как при возрастании, так и убывании), если для двух произвольных точек x 1 и x 2 , таких, что x 1 f(x 1)£ f(x 2) (монотонно возрастающая функция)
f(x 1)³ (x 2) (монотонно убывающая функция)

Рис.3.3. К понятию монотонной функции.

На рис 3.4 изображен график функции, которая монотонно убывает при x£0 и монотонно возрастает при x³0. Функция достигает своего минимума в точке x=x * (начале координат0) и монотонна по обе стороны от точки минимума. Такие функции называются унимодальными. Заметим что унимодальная функция вовсе не должна быть гладкой (рис. 3.4, а) и даже непрерывной (рис.3.4,б), она может быть изломанной (недифференцируемой), разрывной (рис 3.4, в), дискретной (рис. 3.4 г) и даже может в некоторых интервалах не быть определенной (рис. 3.4, д.).

Итак функция f(x) называется унимодальной на отрезке , если она непрерывна на и существуют числа a и b a£a£b£b, такие, что:

1) если a

2) если b

3) при xÎ f(x)=f * =min f(x);

Рис.3.4.Унимодальные функции: а) гладкая, б) непрерывная, в) разрывная, г) дискретная, д) произвольная.

возможно вырождение в точку одного или двух из отрезков , , (рис 3.5).

Рис.3.5. Варианты расположения и вырождения в точку отрезков монотонности и постоянства унимодальной функции.

множество функций, унимодальных на отрезке будем обозначать Q. Унимодальность функций является исключительно важным свойством, которое широко используется в оптимизационных исследованиях.

3.2.3 Выпуклые, псевдовыпуклые и квазивыпуклые функции .

Выпуклые функции и их обобщения (псевдовыпуклые и квазивыпуклые функции) играют важную роль в теории оптимизации. С помощью этих функций будут сформулированы достаточные условия оптимальности.

Числовую функцию f, определенную на выпуклом множестве X, XÌE n , называют выпуклой, если для любых двух точек x 1 ,x 2 ÎX и произвольного числа lÎ выполняется неравенство

f(lx 1 +(1-l)x 2) £ lf(x 1)+(1-l)f(x 2). (3.1)

Неравенство противоположного смысла определяет вогнутую функцию, причем часто используются термины «выпуклая вниз (1)» «выпуклая вверх (2)» (рис3.6).

Рис.3.6. 1) Выпуклая (выпуклая вниз) функция, 2) Вогнутая (вогнутая вверх)функция.

Геометрически выпуклость функции f означает, что любая точка произвольной хорды графика f располагается не ниже соответствующей точки самого графика (лежит ниже хорды, соединяющей две точки ее графика),(рис 3.6., кривая 1).

Простейшими примерами выпуклых функций одной переменной служат парабола y=x 2 и экспонента y=e x . Функции y=-x 2 и y=-e x являются вогнутыми.

Если при всех x 1, x 2 ÎX x 1 ¹x 2 и lÎ неравенство (3.1) выполняется как строгое (<), то f называется строго выпуклой на X (рис 3.7,а). Функция называется (строго) выгнутой , если - f (строго) выпукла (рис. 3.7, б).

Рис.3.7. Строго выпуклая (а) и строго вогнутая функции, их производные (пунктир) и функция, имеющая линейный участок

Функция f(x) , определенная на выпуклом множестве Х , называется сильно выпуклой с константой l > 0, если

Дадим геометрическую интерпретацию определения (3.2), рассмотрев функцию

y= f(x) одного переменного. Зафиксировав x 1 и x 2 из области определения функции и обозначив , будем изменять l от 0 до 1. Ясно, что тогда значение x(l) , будет изменяться от x 1 до х 2 , а точка (х , f(x) ) пройдет по графику функции y=f(x) от точки B= (x 2 , f(x 2) ) до точки А = (х 1 , f(x 1)) (рис.3.8).

Рис.3.8. График сильно выпуклой функции.

Уравнения

в плоскости xOy описывают прямую L (секущую), соединяющую точки А и В , а уравнения

задают параболу Р вида , которая проходит через точки А и В . Неравенство (3.2) в этом случае означает, что график функции y = f(x) на плоскости хОу расположен ниже не только секущей, соединяющей точки А и В , но и параболы Р, прогиб которой определяется параметром l и его можно выбрать сколь угодно малым. Другими словами, в области, ограниченной секущей и графиком функции, можно построить параболу, соединяющую точки А и В .

· Теорема3.1 Непрерывно дифференцируемая на выпуклом множестве X функция f выпукла на этом множестве тогда и только тогда, когда для любых x 1 ,x 2 Î X верно неравенство

f(x 2) ³ f(x 1) + <Ñf(x 1 ,x 2 -x 1)>, (3.3)

получаемое из разложения функции f(x) в ряд Тейлора в точке x 1 путем исключения членов второго и более высокого порядка разложения

F(x 1 +h) = f(x 1) + hf ¢(x 1) + h 2 /2*f¢¢(x 1) +..., (3.3)

где h достаточно малое число, |h|

Ñf(x 1) = (¶f/¶x 1 , ¶f/¶x 2 ,.., ¶f/¶x n) т,

т.е. представляет собой вектор частичных производных первого порядка, вычисленных в точке x 1 и называется градиентом функции f в точке x 1 .

· Теорема 3.2 Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на выпуклом множестве X, содержащем хотя бы одну внутреннюю точку, и Ñ 2 f(x)- ее гессиан. Тогда для выпуклости f на множестве X необходимо и достаточно, чтобы матрица Ñ 2 f(x) была неотрицательно определена при всех xÎX, т.е. чтобы неравенство

<Ñ 2 f(x)h, h>³0 (3.4)

выполнялось для всех точек xÎX, hÎE n . Здесь числовая матрица Ñ 2 f(x) называется гессианом (или матрицей Гессе). Если функция f имеет непрерывные частные производные второго порядка (дважды непрерывно дифференцируема) в точке x 1 , то она дважды дифференцируема в x 1 и обладает матрицей Гессе вида

причем эта матрица симметрична, т.е.

Аналогичные утверждения имеют место и для вогнутых функций. При этом в формулах (3.2) и (3.4) знак неравенства ³ следует заменить на £.

Проверка функции на выпуклость .

Функция f выпуклая, если ее матрица Гессе положительно определена (>0) или положительна полуопределена для всех значений x 1 ,x 2 ,..,x n.

Проверка функции на выгнутость.

Функция f выгнутая, если ее матрица Гессе отрицательно полуопределена (£0) для всех значений x 1 ,x 2 ,..,x n .

Строго выпуклая или вогнутая функция имеет единственный экстремум, являющийся соответственно глобальным минимумом или максимумом. Функция, имеющая линейный участок (рис 3.7, в), имеет бесконечное число экстремумов, равных по величине.

Для суждения об одноэкстремальности при наличии ограничений можно воспользоваться понятием выпуклости допустимого множества. Множество является выпуклым, если любой отрезок прямой, соединяющей две точки границ множества, целиком лежит внутри множества.

О выпуклости или вогнутости целевой функции можно судить также по характеру изменения ее частных производных ¶f/¶x. В случае строго выпуклой функции эта производная по мере увеличения аргумента возрастает (рис 3.7 а), а для строго выпуклой падает (рис 3.7 б). При наличии линейного участка целевой функции указанная производная на этом участке постоянна.

Выпуклое множество вида

X={xÎE n } | Ax£b}={xÎE n | £b i , i=1,..,m}

где A- некоторая матрица размера m*n со строками a 1 ,..,a m , b=(b 1 ,..,b m) Î E n (m=1,2,..). Принято называть полиэдральными или просто полиэдрами. Таким образом, полиэдр - это множество решений некоторой системы конечного числа линейных неравенств, или, что то же самое, пересечение конечного числа полупространств (рис 3.9).

Рис.3.9. Полиэдральное множество (полиэдр).

Тематические материалы:

Методы оптимизации численности персонала: четыре подхода

Кого кусают комары: критерии отбора жертв Каких людей больше всего кусают комары

Виды ядовитых опят и как их отличить от съедобных грибов Растут ли ложные опята на березе

Рассчитать дату родов: проверенные способы

Не хватает воздуха: причины трудностей с дыханием – кардиогенные, легочные, психогенные, иные

Поливитамины для женщин. Витамины для женщин. Лучшие витамины для женщин Хорошие и недорогие витамины для женщин

Предел функции: основные понятия и определения

Является ли множество а подмножеством в

Обновлено: 20.09.2019

103583

Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter