Численное интегрирование.

Формулы численного интегрирования.

При решении многих задач, встречающихся в геометрии, технике, экономике, приходится вычислять определенные интегралы.

Если для подынтегральной функции f (x ) найдена первообразнаяF (x ) , то интеграл, как известно, можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:

(1)

Однако на практике часто не бывает возможности использовать формулу (1), например, в следующих случаях:

если первообразная функция F (x ) не выражается в конечном виде через элементарные функции. Это относится, например, к интегралам:

если аналитическое выражение первообразной функции F (x ) является настолько сложным, что применение формулы (1) становится затруднительным;

если аналитическое выражение подынтегральной функции f (x ) неизвестно, а ее значения задаются таблицей или графиком.

Во всех этих случаях возникает необходимость разработки методов, позволяющих вычислить приближенные значения интегралов без применения формулы (1). В настоящее время известно много формул приближенного интегрирования, называемых также квадратурными формулами (формулы вычисления площадей).

Формула прямоугольников. Вывод этой формулы основан на замене определенного интеграла интегральной суммой. Из анализа известно, что

где
- интегральная сумма для функцииf (x ) на отрезке[ a , b ].

ξ – внутренняя точка отрезка[ a , b ].

Если отрезок [ a , b ] разбить наn равных частей:

а=х 0 , х 1 , …, х п = b ,

∆х i = = h .

Число h называетсяшагом квадратурной формулы. При этом условии получаем:

Если взять в качестве точек ξ i левые концы частичных отрезков:

f(ξ i ) = f(х i ) (i = 0, 1, …, n-1),

Обозначим f (х i ) = у i . Заменяя интеграл интегральной суммой, получим приближенное равенство:

, (2)

называемое формулой прямоугольников (с левыми ординатами).

Если взять в качестве точек ξ i правые концы частичных отрезков:

f (ξ i ) = f (х i ) (i = 1, 2,…, n ),

то получим приближенное равенство:

, (3)

называемое формулой прямоугольников (с правыми ординатами).

Геометрический смысл формулы прямоугольников состоит в том, что криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, составленной из прямоугольников. Приближенное значение интеграла равно площади ступенчатой фигуры.

Пример. Вычислим интеграл, разбив интервал интегрирования на 10 равных частей (n = 10 ). Найдем и запишем в таблицу значения подынтегральной функции

у = в точках деления:

i	х i	у i =	i	х i	у i =

По формуле прямоугольников с левыми ординатами получим:

По формуле прямоугольников с правыми ординатами получим:

Значение, полученное по формуле (1):

Мы видим, что формулы прямоугольников дают грубые приближения.

Так как функция у = является убывающей на отрезке , то формула прямоугольников с левыми ординатами позволяет получить приближенное значение интеграла с избытком, формула прямоугольников с правыми ординатами – с недостатком.

Абсолютную погрешность r формул прямоугольников (2) и (3) можно оценить по формуле:

(4)

Идея вывода квадратурных формул трапеций и Симпсона:

подынтегральной функции f ( x ) поставить в соответствие близкую ей функциюg n ( x ) , которую можно проинтегрировать, и приближенно заменить искомый интегралI интегралом от этой функции.

Формула трапеций. Пусть требуется вычислить интеграл

Обозначим a = x 0 , b = x 1 .

В качестве аппроксимирующей функции g ( x ) выберем линейную функцию и произведем замену подынтегральной функцииf (x ) по формуле линейного интерполирования

f (x ) ≈у 0 +t у 0 ,

у 0 =f (x 0 ) ,у 1 =f (x 1 ) , у 0 =у 1 - у 0 .

В этом случае

, (5)

Известно, что t =

Отсюда х=х 0 + th и dx =hdt .

При х = х 0 t = 0;

при х =х 1 t = 1 .

Переходя к новой переменной t , получим:

(6)

так как у 0 =у 1 –у 0

Формула (6) называется формулой трапеций.

Ее геометрический смысл состоит в том, что на отрезке [х 0 ;х 1 ] криваяу =f(х) заменяется отрезком прямой (хордой), т. е. криволинейная трапеция заменяется прямолинейной.

Значение интеграла, вычисленное по формуле (6), будет равно площади трапеции. На рисунке эта площадь заштрихована.

Как показывает вычислительная практика, при недостаточно малой длине отрезка интегрирования точность результатов, полученных с помощью формулы (6), бывает недостаточной.

Для получения более точного результата поступают следующим образом:

Отрезок интегрирования [а; b ] разбивают на п равных частей точками: х 0 = а, х 1 , х 2 ,…,х n = b . И аппроксимируют кусочно-линейной функцией g п (x) . Применяя формулу (6) на каждом из частичных отрезков интегрирования, получают:

(7)

Сложив равенства, получают формулу, называемую обобщенной формулой трапеций:

(8)

где у i =f(х i ) (i = 0, 1, …, n).

Геометрический смысл этой формулы состоит в том, что кривая - график функции у = f (х) - заменяется ломаной, вписанной в кривую АВ . Площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей прямолинейных трапеций. Как показывает практика, формула (8) при большом числе точек деления позволяет получать хорошие результаты.

Пример 1. Вычислим по формуле трапеций (8) интеграл , разбив отрезок интегрирования на десять равных частей.

Воспользовавшись данными, занесенными в предыдущую таблицу, получим:

Сравнение полученного результата со значением ln2  0,693147 показывает, что погрешность значения интеграла, вычисленного по обобщенной формуле трапеций, значительно меньше погрешности, допущенной при вычислении этого же интеграла по формуле прямоугольников.

Можно показать, что погрешность результатов, получаемых по обобщенной формуле трапеций, подсчитывается по формуле

(9)

где а <  < b ,

а абсолютная погрешность оценивается следующим образом:

(10)

(11)

Формула Симпсона (формула парабол)

Для вычисления интеграла
разобьем отрезок интегрирования на два равных отрезка:

[х 0 , х 1 ] и[х 1 , х 2 ] (х 0 = а, х 2 =b )

и заменим подынтегральную функцию по формуле квадратичного интерполирования

(12)

где t = .

Перейдем к новой переменной интегрирования, учитывая, что

х = х 0 + ht , dx = hdt ,

при х=х 0 t =0

при х=х 2 t =2

(13)

Формула (13) называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Ее геометрический смысл состоит в следующем: на отрезке [х 0 , х 2 ] кривая у = f (x ) заменяется квадратной параболой - графиком интерполяционного многочлена. При вычислении по формуле (13) значение интеграла будет численно равно значению площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой параболы, проходящей через точки: [ х 0 , f (х 0 )], [ х 1 , f (х 1 )], [ х 2 , f (х 2 )]

На рисунке сплошной линией изображен график функции f (x ) пунктирной - график многочлена Р 2 (х).

Для получения более точного результата достаточно разбить отрезок интегрирования [а; b ] на четное число (2n ) частей и применить формулу (13) для каждой пары смежных отрезков разбиения:

(14)

Суммируя равенства (14), получим обобщенную формулу Симпсона (парабол):

Пример . Вычислим приближенное значение интеграла по формуле Симпсона. Разбив отрезок интегрирования на десять равных частей и используя данные, содержащиеся в таблице, получим:

Итак,
.

Выше показали, что
.

Абсолютная погрешность найденного значения не превосходит 0,000005.

Сравнение приближенных значений интеграла , вычисленных по разным формулам, показывает, что наиболее точное значение было получено по обобщенной формуле Симпсона и наименее точное - по формуле прямоугольников.

Погрешность r обобщенной формулы Симпсона можно вычислить по формуле

(16)

где а < ξ< b.

Для абсолютной погрешности обобщенной формулы Симпсона можно получить следующую оценку:

где
(17)

Сравнение точности квадратурных формул.

Выше были приведены оценки абсолютной погрешности квадратурных формул:

для формул прямоугольников: |r|
;

для обобщенной формулы трапеции: |r|
;

для обобщенной формулы Симпсона: |r|
,

где М i =
|f (i) (x)|.

Сопоставление этих оценок позволяет сделать следующие выводы:

Т.к. производная порядка n+1 от многочлена степениnравна нулю, то получаем точно значение интеграла: по формулетрапеций , если подынтегральная функция линейна,

по формуле парабол , если подынтегральная функция – многочлен не выше третьей степени.

Погрешность вычислений по формулам прямоугольников обратно пропорциональна n; при использовании формулы трапеций – n 2 ; при использовании формулы Симпсона – n 4 .

Так, например, при увеличении числа частичных отрезков в два раза погрешность вычислений по формуле прямоугольников уменьшается примерно в два раза, по формуле трапеций в 4 раза, по формуле Симпсона в 16 раз.

Для иллюстрации сделанных выводов обратимся к сравнению результатов вычисления интеграла

по различным квадратурным формулам. Для оценки погрешностей вычислим производные функции
.

На отрезке все производные являются монотонными функциями. Абсолютная величина каждой из них достигает своего наибольшего значения при x=0, поэтому М 1 =1, М 2 =2, М 4 =24.

Это позволяет получить при вычислении соответствующие оценки погрешностей:

по формуле прямоугольников r≤0,05;

по формуле трапеций r≤ 0,0017;

по формуле Симпсона r≤ 0,000033.

Сравним полученные результаты, полученные по разным квадратурным формулам со значением ln20,6931472:

по формуле прямоугольников 0,71877;

по формуле трапеций 0,69377;

по формуле Симпсона 0,69315

Видно, что оценки погрешности, как и следовало, ожидать, оказались несколько завышенными.

Итак, из рассмотренных квадратурных формул наибольшую точность дает формула Симпсона, наименьшую - формула прямоугольников.

Практические приемы оценки погрешности вычислений по квадратурным формулам.

Практическое применение полученных выше оценок погрешностей квадратурных формул связано с нахождением производных второго или даже четвертого порядка, что приводит к трудоемким вычислениям в тех случаях, когда подынтегральная функция f (х) задается сложным аналитическим выражением. Если же функция f (х) задана таблицей и ее аналитическое выражение неизвестно, то непосредственное использование этих оценок становится невозможным. С такими случаями обычно и приходится иметь дело при решении практических вычислительных задач.

Если таблица, которой задается подынтегральная функция f(х), содержит практически постоянные первые разности, т. е. f(х) ведет себя примерно как многочлен первой степени, то можно воспользоваться формулой трапеций.

Если же таблица функции f (х) содержит практически постоянные вторые или третьи разности, т. е. если f(х) ведет себя примерно как многочлен второй или третьей степени, то целесообразно использовать формулу Симпсона. Это, как уже отмечалось, связано с тем, что вычисление по формуле трапеций позволяет получить точное значение интеграла при условии линейности подынтегральной функции, а формула Симпсона в том случае, если подынтегральная функция является многочленом не выше третьей степени.

При табличном задании функции f (х) приближенное значение погрешности , получаемой при вычислении интеграла по той или иной квадратурной формуле, находится следующим образом:

1. Вычисление интеграла
выполняется два раза с шагамиh и 2h . Полученные значения интеграла обозначаются соответственно S h и S 2 h .

2. Если предположить, что на рассматриваемом отрезке [а; b] вторая производная f "(x ) изменяется медленно, то при вычислении интеграла по формуле трапеций можно воспользоваться следующим приближенным выражением для погрешности:

(18)

3. В качестве исправленного (приближенного) значения интеграла можно взять следующее значение:

(19)

Если предположить, что на рассматриваемом отрезке [а; b] четвертая производная f (4) (х) изменяется медленно, то при вычислении интеграла по формуле Симпсона можно считать, что погрешность приближенно равна

(20)

В качестве исправленного (приближенного) значения интеграла в этом случае можно взять:

(21)

В вычислительной практике часто пользуются также следующим правилом подсчета верных знаков в полученном результате: считают практически верными все совпадающие цифры значений S h иS 2 h .

Приближенное вычисление площадей плоских фигур

Пусть плоская фигура Р ограничена замкнутым контуром С. Выберем систему координат таким образом, чтобы рассматриваемая фигура лежала в пером квадранте. Будем предполагать, что любая прямая, параллельная осиОу, пересекает контур С не более, чем в двух точках. Спроецируем фигуру Р на осьОх ; в проекции получится отрезок[ a ; b ] .

Пусть А – точка фигуры с абсциссой х = а , В – точка фигуры с абсциссойх = b . Точки А и В разбивают контур С на две кривые верхнюю и нижнюю с уравнениями соответственноy = f (x ) иy = g (x ), гдеf (x ), g (x ) – непрерывные на отрезке[ a ; b ] функции. Обозначим черезР площадь фигуры Р. ПлощадьР будет равна разности площадей двух криволинейных трапеций:

аАтВ b иaAhBb ,

т.е. численно равна разности двух интегралов:

Приближенные значения этих интегралов могут быть вычислены по любой из квадратурных формул.

Разобьем отрезок [а; b ] наn равных частей

[х 0 , х 1 ] , [х 1 , х 2 ], …,[ х п-1 ; х п ]

(а=х 0 , х 1 , …, х п = b ).

Значения подынтегральной функции y = f (x ) - g (x ) будут вычисляться в узлах квадратурной формулы по соотношениям:

y i = f(x i ) - g(x i ) (i = 0, 1, …, п ) .

Очевидно, что

y 0 = f (x 0 ) - g (x 0 ) = 0 и y n = f (x n ) - g (x n ) = 0

Значения y i – длины отрезков ординат в узловых точках, заключенных внутри фигуры Р. Если аналитические выражения функцийf (x ) иg (x ) неизвестны, тоy i можно измерить, пользуясь чертежом.

Общие формулы Ньютона-Котеса

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

I =
,

если на отрезке [а; b ] функция задана таблицей спостоянным шагомh :

x i	x 0	x 1	x 2		x n
y i	y 0	y 1	y 2		y n

Подынтегральную функцию заменим первым интерполяционным многочленом Ньютона и получим:

f (x ) = P n (x ) + R n (x ) (22)

где R n (x ) – остаточный член интерполирования. Интегрируя равенство (22), получим:

отбрасывая второе слагаемое в правой части, получим приближенное равенство

, (23)

погрешность которого определяется формулой:

. (24)

Равенство (23) называют квадратурными формулами Ньютона-Котеса. Из формулы (23) прип=1 получается формула трапеций, а прип =2 – формула Симпсона.

Вычисление интегралов простейшим методом Монте-Карло

Каким образом с помощью кучи камней измерить площадь пруда? Предположим, что пруд расположен в центре поля известной площади А. Бросайте камни в пруд произвольным образом так, чтобы они падали в случайных точках в пределах поля, и считайте количество всплесков при попадании камней в пруд. Эта простая процедура является примером метода Монте-Карло.

Выясним подробнее суть этого метода. Пусть дан прямоугольник высотойН и длинойb - a такой, что функцияf (x ) лежит внутри него. Генерируемп пар случайных чиселx i иy i , удовлетворяющих условиямa <= x i <= b и0 <= y i <= H . Доля точек(x i , y i ) , которые удовлетворяют условиюy i <=f (x i ) , представляет собой оценку отношения интеграла от функцииf (x ) к площади прямоугольника. Отсюда оценкаF n в методе "проб и ошибок" определяется выражением

, (4)

где n s – число "всплесков" или точек, лежащих под кривой,п – общее количество точек, а А – площадь прямоугольника.

Другая разновидность метода Монте-Карло основывается на теореме математического анализа, согласно которой определенный интеграл

определяется средним значением подынтегральной функции f (x ) на отрезке[ a ; b ]. Для вычисления этого среднего возьмемx i не с постоянным шагом, а случайным образом и произведемвыборку значенийf (x ) . ОценкаF n одномерного интеграла

Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?

Сначала формула в общем виде. Возможно, она будет не всем и не сразу понятна… да Карлссон с вами – практические примеры всё прояснят! Спокойствие. Только спокойствие.

Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на равных отрезков:
. При этом, очевидно: (нижний предел интегрирования) и (верхний предел интегрирования). Точки также называют узлами .

Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций :
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг ;
– значения подынтегральной функции в точках .

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение:
а) Специально для чайников я привязал первый пункт к чертежу, который наглядно демонстрировал принцип метода. Если будет трудно, посматривайте на чертёж по ходу комментариев, вот его кусок:

По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть .
Вычислим длину каждого отрезка разбиения: . Параметр , напоминаю, также называется шагом .

Сколько будет точек (узлов разбиения)? Их будет на одну больше , чем количество отрезков:

Таким образом, общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-его знака после запятой .

Окончательно:

Напоминаю, что полученное значение – это приближенное значение площади (см. рисунок выше).

б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть . Зачем это нужно? Чтобы Фобос-Грунт не падал в океан – увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.

Если , то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения:
, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

В первой строке записываем «счётчик»

Как формируется вторая строка, думаю, всем видно – сначала записываем нижний предел интегрирования , остальные значения получаем, последовательно приплюсовывая шаг .

По какому принципу заполняется нижняя строка, тоже, думаю, практически все поняли. Например, если , то . Что называется, считай, не ленись.

В результате:

Ну что же, уточнение, и серьёзное, действительно есть!
Если для 3-х отрезков разбиения , то для 5-ти отрезков . Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере .

Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01).

Решение: Почти та же задача, но немного в другой формулировке. Принципиальное отличие от Примера 1 состоит в том, что мы не знаем , НА СКОЛЬКО отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение .

Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы гарантированно достигнуть требуемой точности, но практике она часто трудноприменима. Поэтому выгодно использовать упрощенный подход.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей. Формула уже знакома:

И шаг, естественно, тоже известен:

Но возникает еще один вопрос, до какого разряда округлять результаты ? В условии же ничего не сказано о том, сколько оставлять знаков после запятой. Общая рекомендация такова: к требуемой точности нужно прибавить 2-3 разряда . В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):

В результате:

После первичного результата количество отрезков удваивают . В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков. И когда количество отрезков растёт, то в голову приходит светлая мысль, что тыкать пальцами в микрокалькулятор уже как-то надоело. Поэтому еще раз предлагаю закачать и использовать мой калькулятор-полуавтомат (ссылка в начале урока).

Для формула трапеций приобретает следующий вид:

В бумажной версии запись можно спокойно перенести на следующую строчку.

Вычислим шаг разбиения:

Результаты расчётов сведём в таблицу:

При чистовом оформлении в тетрадь длинную таблицу выгодно превратить в двухэтажную.

5.3 Метод трапеций

Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f(x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.

Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке длины h = , равна h , то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу трапеций:

I=»I тр =h= (5.7)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I тр | £ h 2 , (5.8)

где M 2 = |f "(x)|.

Пример 5.2.

Вычислим значение интеграла по формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.

Используя таблицу значений функции eиз примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим: I тр = 0.74621079.

Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)| £ M 2 = 2. Поэтому по формуле (5.8)

I – I тр | £ (0.1) 2 » 1.7× 10 -3 .

Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.

5.4 Метод Симпсона (метод парабол)

Заменим график функции y = f(x) на отрезке , i = 0, 2, … , n – 1, параболой, проведенной через точки (x i , f(x i)), (x,f(x)), (x i+ 1 , f(x i+ 1)), где x - середина отрезка . Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L 2 (x) с узлами x i , x, x i+ 1 . Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:

f(x) + (x – x) + (x - x) 2 , (5.9)

Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке , получим

I i = » = (f(x i) + 4f(x) + f(x i+ 1)). (5.10)

Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

I =» I С = (f(x 0) + f(x n) + 4 + 2). (5.11)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке непрерывную производную четвертого порядка f (4) (x). Тогда для формулы Симпсона (5.9) справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I С | £ h 4 , (5.12)

где M 4 = | f (4) (x)|.

Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок , четно, т.е. n = 2m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка длины h рассматривать отрезок длины 2h. Тогда формула Симпсона примет вид:

I » (f(x 0) + f(x 2m) + 4 + 2), (5.13)

а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I С | £ h 4 , (5.14)

Пример 5.3.

Вычислим значение интеграла по формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.

Используя таблицу значений функции eиз примера 5.1 и производя вычисления по формуле Симпсона (5.11) , получим:

I С = 0.74682418.

Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f (4) (x).

f (4) (x) = (16x 4 – 48x 2 + 12) e, | f (4) (x)| £ 12.

| I – I С | £ (0.1) 4 » 0.42 × 10 -6 .

Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим, что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций.

Как вычислить определенный интеграл
по формуле трапеций и методом Симпсона?

Численные методы – достаточно большой раздел высшей математики и серьезные учебники по данной теме насчитывают сотни страниц. На практике, в контрольных работах традиционно предлагаются для решения некоторые задачи по численным методам, и одной из распространенных задач является – приближенное вычисление определенных интегралов . В этой статье я рассмотрю два метода приближенного вычисления определенного интеграла – метод трапеций и метод Симпсона .

Что нужно знать, чтобы освоить данные методы? Прозвучит забавно, но можно вообще не уметь брать интегралы. И даже вообще не понимать, что такое интегралы. Из технических средств потребуется микрокалькулятор. Да-да, нас ждут рутинные школьные расчёты. А еще лучше – закачайте мой калькулятор-полуавтомат для метода трапеций и метода Симпсона . Калькулятор написан в Экселе и позволит в десятки раз уменьшить время решения и оформления задач. Для экселевских чайников прилагается видеомануал! К слову, первая видеозапись с моим голосом.

Сначала зададимся вопросом, а зачем вообще нужны приближенные вычисления? Вроде бы можно найти первообразную функции и использовать формулу Ньютона-Лейбница, вычислив точное значение определенного интеграла. В качестве ответа на вопрос сразу рассмотрим демонстрационный пример с рисунком.

Вычислить определенный интеграл

Всё было бы хорошо, но в данном примере интеграл не берётся – перед вами неберущийся, так называемый интегральный логарифм . А существует ли вообще этот интеграл? Изобразим на чертеже график подынтегральной функции :

Всё нормально. Подынтегральная функция непрерывна на отрезке и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Да вот только одна загвоздка – интеграл не берётся. И в подобных случаях на помощь как раз приходят численные методы. При этом задача встречается в двух формулировках:

1) Вычислить определенный интеграл приближенно, округляя результат до определённого знака после запятой . Например, до двух знаков после запятой, до трёх знаков после запятой и т.д. Предположим, получился приближенный ответ 5,347. На самом деле он может быть не совсем верным (в действительности, скажем, более точный ответ 5,343). Нашазадача состоит лишь в том , чтобы округлить результат до трёх знаков после запятой.

2) Вычислить определенный интеграл приближенно, с определённой точностью . Например, вычислить определённый интеграл приближенно с точностью до 0,001. Что это значит? Это значит, мы должны отыскать такое приближенное значение, которое по модулю (в ту или другую сторону) отличается от истины не более чем на 0,001.

Существуют несколько основных методов приближенного вычисления определенного интеграла, который встречается в задачах:

Отрезок интегрирования разбивается на несколько частей и строится ступенчатая фигура, которая по площади близка к искомой площади:

Не судите строго за чертежи, точность не идеальна – они лишь помогают понять суть методов.

Идея аналогична. Отрезок интегрирования разбивается на несколько промежуточных отрезков, и график подынтегральной функции приближается ломаной линией:

Таким образом, наша площадь (синяя штриховка) приближается суммой площадей трапеций (красный цвет). Отсюда и название метода. Легко заметить, что метод трапеций даёт значительно лучшее приближение, чем метод прямоугольников (при одинаковом количестве отрезков разбиения). И, естественно, чем больше более мелких промежуточных отрезков мы рассмотрим, тем будет выше точность. Метод трапеций время от времени встречается в практических заданиях, и в данной статье будет разобрано несколько примеров.

Метод Симпсона (метод парабол) . Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Чертеж строить не вижу смысла, поскольку визуально приближение будет накладываться на график функции (ломаная линия предыдущего пункта – и то практически совпала).

Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона – самая популярное задание на практике. И методу парабол будет уделено значительное внимание.

Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?

Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций :
, где:
шаг ;
– значения подынтегральной функции в точках .

Пример 1

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.
б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Сколько будет точек (узлов разбиения)? Их будет на одну больше , чем количество отрезков:

Ну а общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-го знака после запятой .

Окончательно:

С геометрической точки зрения мы вычислили сумму площадей трёх трапеций (см. рис. выше) .

Если , то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения:
, то есть, длина каждого промежуточного отрезка равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

В первой строке записываем «счётчик»

В результате:

Ну что же, уточнение, и серьёзное, действительно есть! Если для 3 отрезков разбиения приближённое значение составило, то для 5 отрезков . Таким образом, с большой долей уверенности можно утверждать, что, по крайне мере .

Пример 2

И шаг, естественно, тоже известен:

В результате:
, обозначим приближение через .

Для формула трапеций приобретает следующий вид:

В бумажной версии запись можно спокойно перенести на следующую строчку.

Вычислим шаг разбиения:

В результате:

Теперь вычислим расхождение между приближениями:

Здесь используем знак модуля, поскольку нас интересует абсолютная разность , а не какой результат больше, а какой – меньше.

Что касается дальнейших действий, то лично мне на практике встречалось 2 пути решения:

1) Первый способ – это «сравнение в лоб». Поскольку полученная оценка погрешности больше , чем требуемая точность:, то необходимо ещё раз удвоить количество отрезков разбиения до и вычислить уже . С помощью экселевского калькулятора готовый результат можно получить в считанные секунды: . Теперь снова оцениваем погрешность: . Полученная оценка меньше , чем требуемая точность: , следовательно, вычисления закончены. Осталось округлить последний (наиболее точный) результат до двух знаков после запятой и дать ответ.

2) Другой, более эффективный способ основан на применении так называемого правила Рунге , согласно которому мы ошибаемся в оценке определённого интеграла на самом деле не более чем на . В нашей задаче: , таким образом, надобность в вычислении отпадает. Однако за скорость решения в данном случае пришлось расплатиться точностью: . Тем не менее, такой результат приемлем, поскольку наш «лимит на ошибку» как раз и составляет одну сотую.

Что выбрать? Ориентируйтесь на вашу методичку или предпочтения преподавателя.

Ответ: с точностью до 0,01 ( при использовании правила Рунге) .

Пример 3

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до 0,001.

Перед вами опять неберущийся интеграл (почти интегральный косинус). В образце решения на первом шаге проведено разбиение на 4 отрезка, то есть . Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона?

Если вы искали на данной страничке только метод Симпсона, то настоятельно рекомендую сначала прочитать начало урока и просмотреть хотя бы первый пример. По той причине, что многие идеи и технические приемы будут схожими с методом трапеций.

И снова, начнём с общей формулы
Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через .

На практике отрезков может быть:
два :
четыре :
восемь :
десять :
двадцать :
Другие варианты не припоминаю.

Внимание! Число понимается как ЕДИНОЕ ЧИСЛО. То есть, НЕЛЬЗЯ сокращать, например, на два, получая . Запись лишь обозначает , что количество отрезков чётно . И ни о каких сокращениях речи не идёт

Итак, наше разбиение имеет следующий вид:

Термины аналогичны терминам метода трапеций:
Точки называют узлами .

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг ;
– значения подынтегральной функции в точках .

Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:
– сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;
– сумма членов с чётными индексами умножается на 2;
– сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

Пример 4

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков

Интеграл, кстати, опять неберущийся.

Решение: Сразу обращаю внимание на тип задания – необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью . Что это значит, уже комментировалось в начале статьи, а также на конкретных примерах предыдущего параграфа. Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков (значение «эн») чтобы гарантированно достичь требуемой точности. Правда, придётся находить четвертую производную и решать экстремальную задачу. Кто понял, о чём я, и оценил объем работы, тот улыбнулся. Однако здесь не до смеха, находить четвертую производную от такой подынтегральной функции будет уже не мегаботан, а клинический психопат. Поэтому на практике практически всегда используется упрощенный метод оценки погрешности.

Начинаем решать. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше : . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

Еще раз комментирую, как заполняется таблица:

В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования , а затем последовательно приплюсовываем шаг .

В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если , то . Сколько оставлять знаков после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 5-6 знаков после запятой.

В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Найдём абсолютное значение разности между приближениями:

Правило Рунге для метода Симпсона очень вкусное. Если при использовании метода средних прямоугольников и метода трапеций нам даётся «поблажка» в одну треть, то сейчас – аж в одну пятнадцатую:
, и точность здесь уже не страдает:

Но для полноты картины я приведу и «простецкое» решение, где придётся сделать дополнительный шаг: так как больше требуемой точности: , то необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .

Формула Симпсона растёт, как на дрожжах:

Вычислим шаг:

И снова заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Заметьте, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздка, и если сразу бУхнуть:
, то выглядеть сиё бухло будет как халтура. А при более детальной записи у преподавателя сложится благостное впечатление, что вы добросовестно стирали клавиши микрокалькулятора в течение доброго часа. Детальные вычисления для «тяжелых» случаев присутствуют в моём калькуляторе.

Оцениваем погрешность:

Погрешность меньше требуемой точности: . Осталось взять наиболее точное приближение , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:

Ответ : с точностью до 0,001

Пример 5

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,0001. Разбиение начать с двух отрезков

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

В заключительной части урока рассмотрим еще пару распространенных примеров

Пример 6

Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления проводить с точностью до третьего знака после запятой.

Учебно-воспитательные задачи:

Дидактическая цель. Познакомить учащихся с методами приближённого вычисления определённого интеграла.
Воспитательная цель. Тема данного занятия имеет большое практическое и воспитательное значение. Наиболее просто к идее численного интегрирования можно подойти, опираясь на определение определённого интеграла как предела интегральных сумм. Например, если взять какое-либо достаточно мелкое разбиение отрезка [a ; b ] и построить для него интегральную сумму, то её значение можно приближённо принять за значение соответствующего интеграла. При этом важно быстро и правильно производить вычисления с привлечением вычислительной техники.

Основные знания и умения. Иметь понятие о приближённых методах вычисления определённого интеграла по формулам прямоугольников и трапеций.

Обеспечение занятия

Раздаточный материал. Карточки-задания для самостоятельной работы.
ТСО. Мультипроектор, ПК, ноутбуки.
Оснащение ТСО. Презентации: “Геометрический смысл производной”, “Метод прямоугольников”, “Метод трапеций”. (Презентации можно взять у автора).
Вычислительные средства: ПК, микрокалькуляторы.
Методические рекомендации

Вид занятия. Интегрированное практическое.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Очень часто приходится вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов. Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально. Идея приближённого вычисления интеграла заключается в том, что кривая заменяется новой, достаточно “близкой” к ней кривой. В зависимости от выбора новой кривой можно использовать ту или иную приближённую формулу интегрирования.

Последовательность занятия.

Формула прямоугольников.
Формула трапеций.
Решение упражнений.

План занятия

Повторение опорных знаний учащихся.

Повторить с учащимися: основные формулы интегрирования, сущность изученных методов интегрирования, геометрический смысл определённого интеграла.

Выполнение практической работы.

Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.

Пусть, например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно. В этом случае можно заменить данную линию более простой, уравнение которой известно. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближённое значение искомого интеграла.

Простейшим приближённым методом является метод прямоугольников. Геометрически идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции АВСD заменяется суммой площадей прямоугольников, одна сторона которых равна , а друга - .

Если суммировать площади прямоугольников, которые показывают площадь криволинейной трапеции с недостатком [Рисунок1], то получим формулу:

[Рисунок1]

то получим формулу:

Если с избытком

[Рисунок2],

то

Значения у 0 , у 1 ,..., у n находят из равенств , к = 0, 1..., n .Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый результат. С увеличением n результат становится более точным.

Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла , нужно:

Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:

Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Разобьём отрезок [a, b ] на несколько (например, на 6) равных частей. Тогда а = 0, b = 3 ,

х k = a + k х
х 0 = 2 + 0 = 2
х 1 = 2 + 1 = 2,5
х 2 = 2 + 2 =3
х 3 = 2 + 3 = 3
х 4 = 2 + 4 = 4
х 5 = 2 + 5 = 4,5

f (x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

х	2	2,5	3	3,5	4	4,5
у	4	6,25	9	12,25	16	20,25

По формуле (1):

Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:

Вычисления проходили долго и мы получили довольно-таки грубое округление. Чтобы вычислить этот интеграл с меньшим приближением, можно воспользоваться техническими возможностями компьютера.

Для нахождения определённого интеграла методом прямоугольников необходимо ввести значения подынтегральной функции f(x) в рабочую таблицу Excel в диапазоне х с заданным шагом х = 0,1.

Составляем таблицу данных (х и f(x)). х f(x). Аргумент , а в ячейку В1 – слово Функция 2 2,1 ). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А32, до значения х=5 ).
Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение. Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2 и с клавиатуры ввести формулу =А2^2 (при английской раскладке клавиатуры). Нажимаем клавишу Enter . В ячейке В2 появляется 4 . Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В32.
В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
Теперь в ячейке В33 может быть найдено приближённое значение интеграла. Для этого в ячейку В33 вводим формулу = 0,1*, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В2:В31. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В33 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (37,955 ) .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла (39 ), можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Пример 2. Используя метод прямоугольников, вычислить с заданным шагом х = 0,05.

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла , можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна

Метод трапеций обычно даёт более точное значение интеграла, чем метод прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется на сумму нескольких трапеций и приближённое значение определённого интеграла находится как сумма площадей трапеций

[Рисунок3]

Пример 3. Методом трапеций найти с шагом х = 0,1.

Открываем чистый рабочий лист.
Составляем таблицу данных (х и f(x)). Пусть первый столбец будет значениями х , а второй соответствующими показателями f(x). Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент , а в ячейку В1 – слово Функция . В ячейку А2 вводится первое значение аргумента – левая граница диапазона (0 ). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг построения (0,1 ). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А33, до значения х=3,1 ).
Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение (в примере синуса). Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции f(x) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию SIN . Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN . Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А ). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В33. В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближённое значение интеграла по методу трапеций. Для этого в ячейку В34 вводим формулу = 0,1*((В2+В33)/2+, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В3:В32. Нажимаем кнопку ОК и ещё раз ОК. В ячейке В34 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (1,997 ) .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае вполне приемлемая для практики.