Понятие отношения делимости
Определение. Число а делится на число в тогда и только тогда, когда существует такое число q, что а = в × q. а в ( q N 0) [а = вq].
Обозначают: а в. Читают: «число а кратно числу в», «число в – делитель числа а», «а кратно в».
Равенство а=вq называют формулой кратности числа а числу в.
Число а, кратное 2, называют четным. Общий вид четного числа: а = 2n, n N 0 .
Число, кратное 3 имеет формулу: а = 3n, n N 0 .
Определение. Отношение делимости на множестве N 0 N содержит те и только те пары чисел (а, в), у которых первая координата кратна второй. Обозначают: « ».
« » = {(а, в)| (а, в) N 0 N а в}.
Если отношение делимости обозначить , то N 0 N ={(а, в)| (а, в) N 0 N а=вq}.
Теорема. Делитель в данного числа а не превышает этого числа, то есть, если а в в а.
Доказательство. Так как а в, то ( q N 0) [а = вq] а – в=вq-в=в(q – 1), так как q N q 1.
Тогда в (q – 1) 0 в а. Из определения отношения делимости и равенства а = 1 × а, следует, что 1 является делителем для любого натурального числа.
Следствие. Множество делителей данного числа конечно.
Например, делители числа 18 является конечное множество: {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Свойства отношения делимости
1. Отношение делимости рефлексивно, то есть любое натуральное число делится само на себя: ( а N) [(а,а) ], то есть а: а = 1.
Доказательство. ( а N)[а = а × 1] по определению отношения делимости а: а.
2. Отношение делимости антисимметрично, то есть для различных чисел а и в из того, что а в, следует, что в не кратно а. ( а, в N 0 N)[а в а в ].
Доказательство. Допустим, что в а, тогда в а. Но по условию а в, так как а в.
Неравенства в а а в истины только в том случае, если а = в. пришли к противоречию с условием. Следовательно, допущение, что в а Л. Таким образом, отношение делимости антисимметрично.
3. Отношение делимости транзитивно. ( а,в,с N 0 N)[а в в с а с].
Доказательство. Если а в ( q N)[а = вq] (1) Из того, что в с ( t N)[в = сt] (2)
Подставим в = сt в равенство (1), получим: а = (сt)q = c(tq), t,q N tq N tq = р а = ср, р N. А это значит, что а с.
Признаки делимости. Делимость суммы, разности, произведения
Определение. Признаком делимости называется предложение, в котором доказывается как можно предсказать делимость одного числа на другое, не выполняя деления этих чисел.
Теорема (признак делимости суммы). Если числа а и в делится на число n, то их сумма делится на это число, ( а,в, n N 0 N)[а n в n (а + в) n].
Доказательство. Из того что а n в n (по определению отношения делимости)
а=nq 1 (1), q 1 N. в=nq 2 (2), q 2 N. Преобразуем сумму (а + в) к виду:
а + в = nq 1 + nq 2 = n (q 1 + q 2) = nq,q = q 1 + q 2 . а + в = nq.
Следовательно, по определению отношения делимости, что (а + в) n.
Теорема (признак делимости разности). Если числа а и в делятся на число n и а в, то их разность а – в делится на число n, то есть
( а,в,n N 0 N)[а n в n а в (а – в) n].
Теорема (признак делимости произведения). Если один из множителей произведения делится на число n, то и все произведение делится на число n.
( а,в,n N 0 N)[а n (ав) n].
Доказательство. Из того, что а n а = nq (1). Умножим обе части равенства (1) на в N, получим: ав = nqв (по ассоциативности умножения) ав = n(qв) = nt, где t = qв ав = nt. А это значит, что ав n (по определению отношения делимости). Таким образом, для делимости произведения на число достаточно чтобы на данное число делился хотя бы один из множителей этого произведения.
Теорема. Если в произведении ав множитель а делится на натуральное число m, а множитель в делится на натуральное число n, то ав делится на mn.
( а,в,m,n N)[а m в n ав mn].
Доказательство. Из того, что а m а = mq 1 , q 1 N; в n в = nq 2 , q 2 N
ав = mq 1 × nq 2 , = mn(q 1 × q 2) = mnq, q 1 × q 2 = q N. ав = mnq ав mn.
Теорема (признак делимости на 2). Для того, чтобы число х делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8.
Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, то есть:
х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 , где а n , a n –1 , …, а 1 – цифры, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а n 0, а 0 – принимает значения 0, 2, 4, 6, 8.
Докажем, что число х 2. Так как 10 2, то любая степень числа 10 2. Десятичную запись числа х представим в виде: х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10) + a 0
I слагаемое II слагаемое
В этой сумме первое слагаемое по признаку делимости суммы делится на 2. Второе слагаемое а 0 2 (по условию). Следовательно, по признаку делимости суммы на число х делится на 2.
Обратно, если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8.
Запишем число х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 в виде: а 0 = х – (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10).
В этой разности число х 2 (по условию), вычитаемое (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10) 2 (по признаку делимости суммы). Следовательно, по теореме о делимости разности а 0 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.
Признак делимости на 2. На 2 делятся те и только те числа, в разряде единиц которых содержится число, делящееся на 2 или на 2 делятся те и только те числа, десятичная запись которых оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.
Теорема (признак делимости на 5). Для того, чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.
Лемма . ( n N) .
Доказательство. Так как 100 = 4 × 25, то по признаку делимости произведения
100 4. Тогда ( n N n > 1) 10 n = 100 × 10 n–2 и по признаку делимости произведения 10 n 4.
Теорема (признак делимости на 4). Натуральное число х делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры его десятичной записи образуют двузначное число, делящееся на 4.
Пусть х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 и пусть десятичная запись двух последних цифр a 1 10 + a 0 выражает число , которое делится на 4.
Доказательство. Представим число х в виде суммы двух слагаемых:
х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) + (а 1 10 + а 0),
I слагаемое II слагаемое
где первое слагаемое, по доказанной выше Лемме, делится на 4, второе слагаемое делится на 4 по условию. Следовательно, согласно признака делимости суммы на число, число х делится на 4.
Обратно, если число х 4, то – двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, делится на 4.
По условию х 4. Докажем, что (а 1 10 + а 0) 4.
Доказательство. Десятичная запись числа х имеет вид:
х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+а 2 10 2 + a 1 10 + a 0 , представим число х в виде суммы двух слагаемых:
х = (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) + (а 1 10 + а 0) и запишем равенство в виде:
х – (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) = а 1 10 + а 0 , где х 4 (а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 2 10 2) 4 (по лемме).
Следовательно, по признаку делимости разности а 1 10 + а 0 4. выражение а 1 10 + а 0 = – есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.
Признак делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа, две последние цифры десятичной записи которых образуют число, делящееся на 4.
Теорема. Для того чтобы число х делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы на 25 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.
Доказывается аналогично.
Признак делимости на 25. На 25 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры в записи числа 00, 25, 50, 75.
Лемма. ( n N) [(10 n – 1) 9].
Докажем методом математической индукции.
1. Проверим справедливость утверждения для n = 1,
имеем: 10 1 – 1 = 9 9 9. А(1) И.
Следовательно, лемма доказана, то есть (10 n – 1) 9.
Теорема (признак делимости на 9). Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делалась на 9.
Пусть х = а n 10 n + a n –1 10 n –1 + …+a 1 10 + a 0 (1), где где а n , a n –1 , …, а 1 , а 0 – цифры, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а n 0 и (а n + a n –1 + … + а 1 + а 0) 9.
Докажем, что число х 9. Доказательство. Преобразуем сумму (1), прибавив и вычтя из нее выражение а n + a n –1 + … + а 1 + а 0 , получим:
х = а n 10 n + a n–1 10 n–1 + …+a 1 10 + a 0 + а n – a n + a n – 1 – a n – 1 + …+ a 1 – a 1 + a 0 – a 0 =
= (а n 10 n – a n) + (a n–1 10 n–1 – a n – 1) + … + (a 1 10 – a 1) + (a 0 – a 0) =
=а n (10 n – 1) + a n–1 (10 n–1 – 1) + … + a 1 (10 –1) + (а n + a n–1 + … + а 1 + а 0). 9, то есть сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9. 3 (по признаку делимости произведения), второе слагаемое 10 k – 1 3 (по допущению индукции). Следовательно, по признаку делимости суммы вся сумма делится на 3.
Таким образом, А (1) И А(k) И А(k + 1) И. Следовательно, (10 n – 1) 3
Признак делимости на 3. На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-08-26
§ 63. Содержание главы.
Мы изучили сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел. Сложение и умножение всегда выполнимы независимо от того, над какими числами они выполняются,
Иначе обстоит дело с обратными действиями, т. е. с вычитанием и делением. Относительно вычитания мы говорили, что оно возможно в тех случаях, когда вычитаемое не больше уменьшаемого.
Гораздо больше затруднений связано с делением. Прежде всего возникает затруднение в том случае, когда делимое меньше делителя (14: 20), но это специальный вопрос, которым мы будем заниматься в следующей части нашей книги. Обратимся к другому случаю. Вы знаете, что деление иногда выполняется без остатка или, как говорят, «нацело», а иногда с остатком. Возникают вопросы: какими должны быть данные числа, чтобы они могли разделиться без остатка одно на другое? Можно ли по каким-нибудь признакам данных чисел установить, что деление в данном случае выполнимо?
§ 64. Кратное и делитель.
Определение. Если одно число делится без остатка на другое, то первое называется кратным второго, а второе - делителем первого.
Значит, число 6 будет кратно 3 (трём), а само число 3 будет делителем 6 (шести). Число 15 кратно 5, а само 5 будет делителем 15.
Число может быть кратно нескольким числам.
Например число 36 кратно числам: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36.
Числа, делящиеся на 2, называются чётными. Число нуль тоже относится к чётным числам. Все же остальные числа называются нечётными. Следовательно:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... - чётные, 1, 3, 5, 7, 9, 11... - нечётные.
§ 65. Делимость суммы и разности.
1. Рассмотрим следующее важное свойство суммы .
Если каждое слагаемое делится без остатка на какое-нибудь число, то и сумма разделится на это число.
П р им е р:
14 делится на 7, 21 делится на 7, их сумма 14 + 21, т. е. 35, тоже делится на 7.
Ещё пример: 39 делится на 13, 65 делится на 13, их сумма 39 + 65 = 104 тоже делится на 13.
Мы можем взять сумму более чем двух слагаемых, например трёх, и высказанное утверждение окажется справедливым:
25 делится на 5,
35 делится на 5,
50 делится на 5.
Сумма 25 + 35 +50 = 110 тоже разделится на 5.
Этим свойством суммы мы можем воспользоваться, если хотим узнать, делится ли какое-нибудь число на другое. Например, я хочу узнать, не выполняя деления, разделится ли 756 на 7. Можно поступить так: 756 представить как сумму двух слагаемых 700 + 56. Теперь нужно подумать, делится ли каждое из этих слагаемых на 7. Здесь уже легко сообразить, что 700 делится на 7 и 56 делится на 7, значит и сумма, т. е. 756, разделится на 7.
Возникает вопрос: если слагаемые не делятся на какое-нибудь число, то разделится ли на это число сумма или нет?
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть различные возможные здесь случаи:
а) Слагаемые 21 и 22 не делятся на 5; их сумма 43 тоже не делится на 5.
б) Слагаемые 22 и 23 не делятся на 5; но их сумма 45 делится на 5.
Значит, если отдельные слагаемые не делятся на данное число, то их сумма в некоторых случаях может разделиться на это число.
Теперь подумаем, будет ли сумма двух слагаемых делиться на некоторое число, если одно из слагаемых не делится на это число, а другое делится.
Пусть одно из слагаемых будет 33, а другое 17, их сумма 50. Первое слагаемое (33) делится на 11, а второе 17 не делится, сумма 50 тоже не делится на 11.
Возьмём сумму трёх слагаемых: 15, 20 и 23, т. е. 58. Каждое из первых двух слагаемых (15 и 20) делится на 5, но третье слагаемое 23 на 5 не делится, сумма 58 тоже не делится на 5.
Из рассмотрения этих примеров можно сделать вывод:
Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на некоторое число, а это одно на него яе делится, то сумма всех этих слагаемых на него не разделится.
Используем этот вывод для решения вопроса о том, разделится ли число 150 на 14. Представим 150 следующим образом:
Первое слагаемое этой суммы (140) делится на 14, но так как второе слагаемое, т. е. 10, на 14 не делится, то и150 на 14 не разделится.
2. Теперь рассмотрим важное свойство разности.
Если уменьшаемое и вычитаемое делятся нацело на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.
45 делится на 9, 18 делится на 9, их разность 45-18, т. е. 27, тоже делится на 9.
Ещё пример:
88 делится на 11, 33 делится на 11, их разность 88-33 = 55 тоже делится на 11.
Этим свойством разности мы можем иногда воспользоваться для выяснения вопросов о делимости одного числа на другое. Пусть требуется ответить на вопрос, делится ли на 7 число 693. Прибавим к нему 7, получим 700. Тогда мы можем написать такое равенство: 700 - 7 = 693. В нём уменьшаемое 700 делится на 7, вычитаемое 7 делится на 7, значит и разность 693 тоже делится на 7.
§ 66. О признаках делимости чисел.
Во многих случаях очень важно бывает определить, не выполняя деления, разделится ли нацело одно число на другое. Пусть требуется, например, ответить на вопрос, будет ли 156 делиться на 4. Такие вопросы в будущем, например при изучении дробей, придётся ставить очень часто. Чтобы ответить на поставленный вопрос, можно, конечно, разделить первое число на второе, но такой приём является невыгодным. Поэтому в арифметике пытаются, не производя деления, узнать, разделится ли одно число на другое нацело или нет. В силу этого мы теперь займёмся изучением таких особенностей или свойств чисел, которые позволяют судить о делимости одного числа на другое. Сейчас мы выведем некоторые из этих «признаков» делимости.
§ 67. Признак делимости на 2.
Какие числа делятся на 2? Чем отличаются числа, делящиеся на 2, от чисел, не делящихся на 2? Возьмём два числа: 35 и 32. Первое из них, т. е. 35, не делится на 2, а 32 делится на 2. В чём же между ними разница? Мы уже знаем из предыдущего, что если каждое из двух чисел делится на третье, то сумма их разделится на это число. Представим данные числа в виде суммы десятков и единиц:
35 составляется из трёх десятков и пяти единиц. Каждый десяток делится на 2, значит и 3 десятка, т. е. 30, разделится на 2, но второе слагаемое, т. е. 5, не делится на 2; именно поэтому и всё число 35 не делится на 2.
Если же мы рассмотрим число 32, то увидим, что оно есть сумма 30 и 2, т. е. таких чисел, из которых каждое делится на 2. Значит, число 32 разделится на 2.
Рассмотрим ещё одно число, причём выберем большее число, чем 32, например 876. Это число мы можем представить так:
Первое слагаемое 870 делится на 2, так как состоит из 87 десятков, второе слагаемое 6 тоже делится на 2, значит и всё число 876 разделится на 2.
Эти примеры показывают, что делимость чисел на 2 зависит исключительно от делимости второго слагаемого (единиц). Ведь число 35 не разделилось на 2 потому, что у него не делилось на 2 второе слагаемое. Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то оно разделится на 2, в противном случае - не разделится.
На основе изложенного признак делимости на 2 мы можем высказать так: на 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются чётной цифрой. (Нуль относится к чётным числам.)
§ 68. Признак делимости на 4.
Прежде всего установим такой факт; на 4 делится число 100 и, следовательно, всякое число, представляющее собой сумму сотен (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 2 000, ...). Но всякое число, являющееся суммой сотен, оканчивается двумя нулями. Значит, на 4 делится всякое число, оканчивающееся двумя нулями.
Возьмём теперь число, которое оканчивается не нулями, а какими-нибудь другими цифрами, например 123 456.
Представим его как сумму двух слагаемых следующим образом:
Первое слагаемое этой суммы (123 400) разделится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Если второе слагаемое (56) разделится на 4, то и сумма (123 456) разделится на 4. Второе слагаемое 56 делится на 4. Значит, и число 123 456 разделится на 4.
Возьмём число 1 634 и представим его как сумму двух слагаемых так:
Первое слагаемое этой суммы 1 600 делится на 4, но второе (34) не делится. Значит, сумма, т. е. число 1 634, на 4 не разделится.
Таким образом, на 4 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.
Например делятся на 4: 4 600, 1 264; не делятся на 4: 110, 4 562.
§ 69. Признак делимости на 5.
Прежде всего отметим, что на 5 делится число 10 и, значит, всякое число, состоящее из десятков (20, 30, ..., 140, 150, ..., 2 160, 2 170, ...).
С другой стороны, всякое многозначное число можно рассматривать как сумму десятков и единиц.
Первое слагаемое, как состоящее из одних десятков, всегда разделится на 5. Значит, делимость всякого многозначного числа на 5 будет зависеть исключительно от делимости на 5 второго слагаемого, т. е. единиц числа.
Но среди единиц есть единственное число, делящееся на 5, - это самое число 5. Следовательно, у чисел, делящихся на 5, вторым слагаемым может быть только число 5.
Если же мы возьмём, например, число 2 347, у которого на месте единиц стоит не 5, а 7, то это число не разделится на 5, так как в сумме 2 340 + 7 первое слагаемое делится, а второе слагаемое (7) не делится на 5.
В силу этого признак делимости на 5 можно высказать так: на 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулём или цифрой 5.
Например, на 5 делятся: 1 320; 4 065; на 5 не делятся: 21; 432; 6 543.
§ 70. Признак делимости на 25.
Число 100 делится на 25. Следовательно, и всякое число, составленное из сотен, должно делиться на 25 (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 5 600, ...). Но так как число, состоящее из сотен, оканчивается двумя нулями, то на 25 должны делиться все числа, оканчивающиеся двумя нулями.
Теперь возьмём два числа, оканчивающиеся не нулями, а какими-нибудь другими цифрами: 23 456 и 34 875.
Каждое из них можно представить в виде двух слагаемых так:
23 400 + 56 и 34 800 + 75.
В первом случае второе слагаемое (56) не делится на 25, поэтому и всё число (сумма) не делится на 25. Во втором случае второе слагаемое (75) делится на 25,поэтому всё число разделится на 25. Значит, делимость числа на 25 зависит от деления на 25 числа, составленного двумя последними цифрами. Но в пределах сотни есть только три таких числа: 25, 50 и 75.
На этом основании мы можем сказать, что на 25 делятся те и только те числа, которые оканчиваются на 00; 25; 50 и 75.
§ 71. Признаки делимости на 9 и на 3.
Какие числа делятся на 9? Прежде всего на 9 делятся все числа, которые написаны посредством цифры 9, т. е. 9; 99; 999; 9 999 и т. д.
Далее, запомним, что числа изображаемые единицей с нулями, при делении на 9 дают в остатке 1. В самом деле: 10: 9 = 1 и 1 в остатке; 100: 9 = 11 и 1 в остатке; 1 000: 9 = 111 и 1 в остатке; 10 000: 9 = 1 111 и 1 в остатке.
Приняв это во внимание, разделим на 9 число 567. Представим его в виде суммы разрядных единиц:
567 = 500 + 60 + 7.
Число 500 при делении на 9 даёт в остатке пять (5) единиц, потому что каждая сотня при делении на 9 даёт в остатке 1.
Число 60 при делении на 9 даёт в остатке шесть (6) единиц, потому что каждый десяток при делении на 9 даёт в остатке 1.
Число семь (7) не делится на 9 и тоже является остатком.
Таким образом, у нас получились следующие остатки: 5, 6 и 7.
Если сумма этих остатков, т. е. 5 + 6 + 7 = 18, разделится на 9, то и число 567 разделится на 9. В данном случае сумма остатков на 9 делится.
Если же мы возьмём другое число, например 476, у которого сумма остатков, как легко сообразить на основании предыдущего, будет:
то здесь сумма остатков на 9 не делится; значит, и всё число (476) на 9 не разделится.
Но что представляет собой эта сумма остатков? Это есть сумма чисел, соответствующих цифрам данного числа (ради краткости говорят, что это есть сумма цифр числа).
Поэтому признак делимости на 9 можно высказать так: на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
Всякое число, делящееся на 9, будет делиться и на 3 (но не наоборот). Мы могли бы провести подобные рассуждения, применительно к числу 3. Тогда признак делимости на 3 был бы высказан так: на 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, на 3 делятся: 51; 231; 8 112; 12 345.
Делимость натуральных чисел
Как известно, вычитание и деление на множестве натуральных чисел выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности натуральных чисел а и b решается просто - достаточно установить (по записи чисел), что b < а. Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деления а на b. В результате этих поисков были открыты не только некоторые признаки делимости, но и другие важные свойства чисел; познакомимся с некоторыми из них.
В начальных курсах математики делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются. Например, признак делимости суммы, разности и произведения на число тесно связаны с правилами деления суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости чисел на 2, 3, 5 и другие.
Вообще знания о делимости натуральных чисел расширяют представления о множестве натуральных чисел, позволяют глубже усвоить материал, связанный с делением натуральных чисел, применять полученные ранее знания о способах доказательства, о свойствах отношений и др.
Отношение делимости и его свойства
Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a - bq.
В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числа b.
Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.
В том случае, когда а делится на b, пишут: а b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».
Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5-делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.
Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.
Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.
Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если a b, тo b≤a.
Доказательство. Так как а b, то существует такое q N, что a=bq и, значит, a-b = bq-b = b· (q- 1). Поскольку а N, то q≥l. Тогда b· (q- 1) ≥0 и, следовательно, b≤a.
Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно . Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3,4, 6,9, 12, 18, 36}.
В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.
Определение. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.
Например, число 13 - простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.
Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.
Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4.
Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.
Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....
Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.
Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.
Доказательство . Для любого натурального а справедливо равенство а = а·1. Так как 1 N, то, по определению отношения делимости, а а.
Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е.
если a b и а≠b, то .
Доказательство . Предположим противное, т.е. что b а. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.
По условию a b и а≠b. Тогда, по той же теореме, b≤а.
Неравенства а ≤b и b ≤а будут справедливы лишь тогда, когда а=b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и поэтому если a b и а≠b, то .
Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если a b и b с, то а с.
Доказательство . Так как a b, то существует такое натуральное число q, что a - bq, а так как b с, то существует такое натуральное число р, что b= ср. Но тогда имеем: a=bq = (cp)q = c(pq). Число pq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости, а с.
Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а 1 , а 2 , ... , а n делится на натуральное число b, то и их сумма а 1 +а 2+ ...+ а n делится на это число.
Доказательство . Так как а 1 b, то существует такое натуральное число q 1 , что а 1= bq 1 . Так как a 2 b, то существует такое натуральное число q 2 , что а 2 = bq 2 . Продолжая рассуждения, получим, что если а n b, то существует такое натуральное число q n , что а n = bq n . Эти равенства позволяют преобразовать сумму а 1 +а 2 + ... + а n в сумму вида bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q 1 + q 2 + ... + q n обозначим буквой q. Тогда а 1 + а 2 + ... + a n = b(g 1 + q 2 + ... + q n)= bq, т.е. сумма а 1 + а 2 + ... + а n оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а 1 + а 2 + ... + a n делится на b, что и требовалось доказать.
Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.
Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа a 1 и а 2 делятся на b и а 1 > а 2 , то их разность а 1 - а 2 делится на b.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.
Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х N, делится на b.
Доказательство . Так как а b, то существует такое натуральное число q, что а = bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах = (bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x – b(qx) и, значит, ах = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости ах b, что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.
Например, произведение 24 – 976 - 305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.
Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.
Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.
Доказательство . Пусть s = а 1 + а 2 + ... + a n + с и известно,
что а 1 b, а 2 b ... a n b, но . Докажем, что тогда .
Предположим противное, т.е. пусть s b. Преобразуем сумму s к виду с = s - (а 1 + а 2 + ... + a n). Так как s b по предположению, (а 1 + а 2 + ... + a n) b согласно признаку делимости суммы, то по теореме о делимости разности с b. Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, .
Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34 2, 376 2,124 2, но .
Теорема 9. Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то ab делится на mn.
Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.
Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и я делится на b.
Доказательство . Так как ас делится на bс, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а =bq, т.е. а b.
Признаки делимости
Рассмотренные в п. 88 свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3,4, 5, 9.
Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления.
Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.
Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 , где а n , a n-1 ,..., а 1 , принимают значения 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а n ≠ 0 и а 0 принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х 2.
Так как 10 2, то 10 2 2, 10 3 2, ..., 10 n 2 и, значит, (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. По условию а 0 тоже делится на 2, и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число х делится на 2.
Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2,4, 6, 8.
Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10+а в таком виде:
а о = х-(а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а о 2, поскольку х 2 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.
Теорема 12 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.
Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.
Теорема 13 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.
Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 и две последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х 4.
Так как 100 4, то (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 4. По условию, а 1 ·10 + а 0 (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.
Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.
Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 в таком виде: а 1 ·10 + а о = х- (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2). Так как х 4 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2) 4, то по теореме о делимости разности (а 1 ·10 + а о) 4 Но выражение а 1 ·10 + а 0 есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.
Делимость - способность одного числа делиться на другое.
Пусть a и b – натуральные числа и a больше или равно b. Говорят, что a нацело делится на b, если существует натуральное число c, при умножении которого на b получается a
I. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ.
1) ДЕЛИМОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
ЗАДАЧА. Делится ли произведение 369 * 555 на 37?
Число 555 делится на 37, т.к. 37 * 15 = 555, ТОГДА 369 * 555 = 369 (15 * 37) = (369 * 15) 37, т.е. число 369 * 555 делится на 37.
СВОЙСТВО I (признак делимости произведения).
Если одно из двух (или более чисел) делится на некоторое число, то и произведение этих чисел делится на это число.
СВОЙСТВО II. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то и первое число делится на третье.
УПРАЖНЕНИЕ.
Не выполняя вычислений, укажите произведения, значения которых делятся на 5:
28 *25; 73 * 50; 34 * 12; 33 * 25; 36 * 7; 94 * 18; 13 * 45 * 8; 5 * 7 * 11.
Свойство II позволяет сделать два вывода:
1) Если число a делится на число b, то число a делится на каждый делитель числа b.
2) Если число a не делится хотя бы на один делитель числа b, то число a не делится на число b.
ПРИМЕРЫ.
1) Если число 612 делится на 12, то оно делится на любой из делителей этого числа: 1; 2; 3; 4; 6; 12.
2) Если число 725 не делится на 3, то оно не будет делиться ни на одно число, кратное 3: 6; 9; 12; 15; 18; 21 и т.д.
3) Нечетное число не имеет четных делителей.
На вопрос, как разделить произведение на число, отвечает следующее правило.
ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ЧИСЛО. Чтобы разделить произведение двух или нескольких чисел на заданное число, нужно на это число разделить только один множитель, а остальные оставить без изменения и затем выполнить умножение.
НАПРИМЕР:
1) (125*450):25 = (125:25)*450 = 5*450 = 2250;
2) (24*5*17):12 = (24:12)*5*17 = 2*5*17 = 170.
УПРАЖНЕНИЕ.
Раздели на 9 произведения:
28*9*35; 18*752*8000; 76*512*360; 155*810*34; 4500*7*398; 83*63000*98.
2) ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ И РАЗНОСТИ.
ЗАДАЧА. Разделить число 7248 на 12.
Число 7200 делится на 12, потому что 7200 = 12*600; 48 тоже делится на 12, потому что 48 = 12*4. Из этого следует, что 7248 делится на 12, потому что на основании распределительного закона умножения можно записать:
7248 = 7200 + 48 = 12*600 + 12*4 = 12*(600 + 4) = 12*604.
Значит, 7248: 12 = 7200: 12 + 48: 12 = 600 + 4 = 604.
ЗАДАЧА. Разделить на 7 число 1323.
Рассуждая аналогично предыдущим рассуждениям, получаем:
1323 = 1400 – 77 = 7*200 – 7*11 = 7*(200 -11) = 7* 189.
Значит, 1323: 7 = 1400:7 – 77:7 = 200 – 11 = 189.
2) ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ НА ЧИСЛО (РАЗНОСТИ НА ЧИСЛО).
Приведенные решения позволяют сделать несколько выводов.
СВОЙСТВО I (признак делимости суммы). Если каждое слагаемое суммы делится на заданное число, то и вся сумма делится на это число.
СВОЙСТВО II (признак делимости разности). Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на заданное число, то и разность делится на это число.
ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ СУММЫ НА ЧИСЛО. Чтобы сумму двух или нескольких слагаемых разделить на заданное число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ РАЗНОСТИ НА ЧИСЛО. Чтобы разность разделить на заданное число, нужно на это число разделить и уменьшаемое, и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.
ЗАМЕЧАНИЕ.Если более одного слагаемого суммы не делятся на заданное число, то сумма может делиться и не делиться на это число.
УПРАЖНЕНИЕ.
Укажите выражения, которые кратны 7:
28+35; 44+12; 25+35*2; 14+23; 7*15+42; 12*63+8*19.
Для закрепления материала решить следующие задания.
1) Объясните, почему следующие произведения делятся на 12:
12*48; 12*120; 120*51; 24*17; 11*36; 13*48.
2) Не вычисляя произведения, установите, делится ли оно на заданное число:
а) 508*12 на 3;
б) 85*3719 на 5;
в) 2510*74 на 37;
г) 45*26*36 на 15;
д) 210*29 на 3 и на 29;
е)3800*44*18 на 11, 100 и 9?
3)Подберите три значения x так, чтобы произведение: а) 3x делилось на 5;
б) 12x делилось на 7; в) 9x делилось на 6;
г) 8x делилось на 14.
4)Представляя число в виде суммы, докажите, что:
а) 123123 делится на 123;
б)111333 делится на 111.
2.Задания для самостоятельного решения.
Задание 1.
Используя свойства делимости и данные о делимости на число к
каждого слагаемого, определите, делится ли на к
сумма или произведение.
| 1 число | 2 число | 3 число | Сумма | Произведение |
| д | д | д | ||
| н | д | д | ||
| д | н | д | ||
| д | д | н | ||
| н | н | д | ||
| н | д | н | ||
| д | н | н | ||
| н | н | н |
Решение.
| 1 число | 2 число | 3 число | Сумма | Произведение |
| д | д | д | д | д |
| н | д | д | н | д |
| д | н | д | н | д |
| д | д | н | н | д |
| н | н | д | Может делиться, может не делиться | д |
| н | д | н | Может делиться, может не делиться | д |
| д | н | н | Может делиться, может не делиться | д |
| н | н | н | Может делиться, может не делиться | н |
Задание 2.
Придумайте по два примера на каждое свойство делимости.
Задание 3.
Укажите, какие из следующих утверждений ложные.
А) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.
Б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.
В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.
Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.
Решение.
А) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.
Б) Ложное. Пример: 6 10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.
В) Ложное. Пример: 6 10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.
Г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.
6 = 2 3, 9 = 3 3, 30 = 2 15 = 3 10,
в то время как другие, например,
не могут быть разложены на множители подобным образом. Давайте вспомним, что вообще, когда число
c = a b (1.1)
является произведением двух чисел a и b , то мы называем а и b множителями или делителями числа с . Каждое число имеет тривиальное разложение на множители
с = 1 с = с 1. (1.2)
Соответственно мы называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с .
Любое число с > 1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным . Если число с имеет только тривиальное разложение на множители (1.2), то оно называется простым . Среди первых 100 чисел простыми являются следующие 25 чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Все остальные числа, кроме 1, являются составными. Мы можем сформулировать следующее утверждение:
Теорема 1.1. Любое целое число с> 1 является, либо простым, либо имеет простой множитель.
Доказательство. Если с не является простым, числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р . Тогда р – простое число, так как если бы р – было составным, то число с имело бы ещё меньший множитель.
Теперь мы подошли к нашей первой важной задаче в теории чисел: как определить, является ли произвольное число простым или нет, и в случае, если оно составное, то как найти какойлибо его нетривиальный делитель?
Первое, что может прийти в голову, – это попытаться разделить данное число с на все числа, меньшие его. Но надо признать, что этот способ мало удовлетворителен. Согласно теореме 2.1.1 достаточно делить на все простые числа, меньшие √с . Но мы можем значительно упростить задачу, заметив, что при разложении на множители (1.1) оба множителя а и b не могут быть больше, чем c , так как в противном случае мы получили бы
ab > √с √с ,
что невозможно. Таким образом, чтобы узнать, имеет ли число с делитель, достаточно проверить, делится ли число с на простые числа, не превосходящие – √с.
Пример 1. Если с = 91, то √с = 9….; проверив простые числа 2, 3, 5, 7, находим, что 91 =7 13.
Пример 2. Если с =1973, то находим, что √с = 44…. Так как ни одно из простых чисел до 43 не делит с , то это число является простым.
Очевидно, что для больших чисел этот метод может быть очень трудоемким. Однако здесь, как и при многих других вычислениях в теории чисел, можно использовать современные методы. Довольно просто запрограммировать на ЭВМ деление данного числа с на все целые числа до √с и печатание тех из них, которые не имеют остатка, т. е. тех, которые делят с .
Другим очень простым методом является применение таблиц простых чисел, т. е. использование простых чисел уже найденных другими. За последние 200 лет было составлено и издано много таблиц простых чисел. Наиболее обширной из них является таблица Д. X. Лемера, содержащая все простые числа до 10 000 000.
Система задач 3.1.
1. Какие из следующих чисел являются простыми: а) год вашего рождения; б) текущий год; в) номер вашего дома.
2. Найдите простое число, следующее за простым числом 1973.
3. Заметим, что числа от 90 до 96 включительно являются семью последовательными составными числами; найдите девять последовательных составных чисел.
4. Биографическая миниатюра. Д. X. Лемер.
Тема урока: Делимость суммы и произведения.
Тип урока: урок «открытия» новых знаний.
Цели урока:
1. Предметные: Расширить знания учащихся о простейших элементах теории делимости натуральных чисел; показать способы использования в вычислениях свойства делимости суммы и произведения натуральных чисел.
2. Метапредметные: развитие умений учащегося проводить несложные доказательные рассуждения в ходе исследования; развитие умений учащихся организовывать сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать индивидуально, в группах, аргументировать и отстаивать свое мнение.
3. Личностные: Способствовать развитию коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками при групповой работе; содействовать формированию устойчивого интереса к предмету; развивать личностные качества: ответственность, целеустремленность.
приёмы и методы:
Рефлективные приёмы;
Приёмы создания ситуации успеха и индивидуального выбора;
Методы самодиагностики;
Частично-поисковый метод;
Работа с учебником.
Формы работы учащихся:
Индивидуальная
Работа в парах
Фронтальная.
Планируемые результаты:
Учащиеся узнают свойства делимости суммы и произведения;
Приобретение навыков у учащихся к использованию в вычислениях свойств делимости суммы и произведения.
Применяемые образовательные технологии:
Системно-деятельностный подход;
Технология проблемного обучения.
Ход урока
1. Мотивация к учебной деятельности.
Здравствуйте, товарищи кадеты.
Ребята, сегодня наш урок мне хотелось бы начать с немного смешного, но на мой взгляд, очень поучительного фрагмента мультипликационного фильма моего детства «Вовка в тридевятом царстве»
Посмотрите, пожалуйста, его очень внимательно. (Просмотр и обсуждение фрагмента мультфильма).
На что рассчитывал Вовка в начале? (Что работу за него выполнят «Двое из ларца»)
Что из этого вышло?(Они все перепутали, и Вовке все равно пришлось делать все самому)
А почему Вовка остался голодный?
Благодаря чему он смог сделать корыто для старухи?
Как вы думаете, сможет Вовка построить избу? Почему вы в этом уверены?
Я с вами абсолютно согласна. Никто за вас не выполнит вашу работу, а от ее качества будет зависеть результат. Если захотеть, то научиться можно всему.
Сегодня у нас урок открытия новых знаний. И я желаю вам успехов в их поиске, в этом вам обязательно помогут накопленные вами хоть небольшие но все же очень важные знания!
2. Актуализация знаний и пробное учебное действие.
А) устный счет(лесенка)
Чтобы вам работалось на протяжении всего урока легко, давайте выполним небольшую разминку для мозга.
У вас на парте в файле с заданиями есть карточки, на которых изображена лесенка. (Слайд 1) Найдите их. (по вариантам). Подпишите. Вам необходимо будет за 2 минуты подняться по ступенькам лестницы как можно выше, записывая на каждой ступени результат вычисления.
Время вышло, заканчиваете. Обменяйтесь карточками.
Проверьте результат друг друга по образцу на слайде (Слайд 2)
Если задание выполнено полностью и без ошибок, поставьте «пятерку»
Верните карточки.
Поднимите руку, у кого «Пятерка». Молодцы!
А кто допустил ошибки, задумайтесь почему?
Есть только две причины, назовите мне их сами. (невнимательность, незнание таб. Умножения)
Это еще раз говорит о том, что нужно быть более внимательными, а у кого возникли проблемы с таблицей умножения, повторите дома ее еще раз.
Б) Теперь нам предстоит вспомнить некоторые понятия, которые будем использовать на нашем уроке. Предлагаю для этого разгадать кроссворд. Он находится у вас в файлах. Работаем в парах. Даю вам 3 минуты.
Как называется результат умножения?
Как называются числа, которые складывают?
Как называется число, на которое делят?
Как называются числа, которые умножают?
Как называется результат сложения?
Как называется число, у которого больше двух делителей?
Как называется число, у которого два делителя?
Проверьте свои ответы. (Слайд 3)
На какие вопросы вы не смогли ответить?
Давайте мы еще раз повторим определения этих понятий.
Какое определение можно дать понятию по вертикали?
А сейчас откройте тетради и поставьте на полях «!» на против задания, с которым вы дома справились легко и быстро, а «?», если задание вызвало затруднение, к этим заданиям мы вернемся на следующем уроке.
Запишите число и классная работа.
Выполните следующее задание: (Слайд 4)
В) 1. Выясните является ли число 4 делителем произведения: (3мин)
2. Выясните является ли число 3 делителем суммы:
3. Выявление причины затруднения.
Что вы можете сказать о произведениях?
О суммах?
Как вы это выяснили?
Может кто-то использовал другой способ, и смог ответить на вопрос, не выполняя вычислений? (нет)
4. Построение проекта выхода из затруднения.
Так какую цель мы с вами поставим перед собой сегодня на уроке?
(научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число) (Слайд 5)
Тема нашего урока: «Свойства делимости произведения и суммы» (Слайд 6)
Эти свойства вам предстоит сформулировать самостоятельно, и доказать, что они работают на практике.
Физкультминутка.
Потрудились – отдохнем,
Встанем, глубоко вздохнем.
Руки в стороны, вперед,
Влево, вправо поворот.
Три наклона, прямо встать.
Руки вниз и вверх поднять.
Руки плавно опустили,
Всем улыбки подарили.
Объединитесь в группы по 4 человека.
Не забывайте о правилах работы в группе.
Ответьте письменно на вопросы, находящиеся на ваших карточках и сделайте вывод.
Все справились с заданием?
Какую закономерность вы увидели для суммы, какой вывод вы можете сделать?(1 и 2 группы)
Сформулируйте свойство делимости суммы.
Хорошо, какая закономерность прослеживается для произведения? (3 и 4 группы)
Сформулируйте свойство делимости произведения.
5. Реализация построенного проекта
А теперь вернемся к заданию на слайде и проверим верны ли наши предположения. (да)
Итак, мы с вами сформулировали свойства делимости суммы и произведения. Проверим правильность сформулированных нами свойств. Откройте учебник на стр.102.
Ну что вы были правы?(да)
6. Первичное закрепление.
Нам осталось только научиться использовать свойства делимости суммы и произведения.
Учебник (стр.104):
№ 350,357-устно
№ 358(в,г)-доска и тетрадь
№ 359,360(а,б)- дополнительно
Хорошо, молодцы.
А теперь еще раз повторим свойства делимости, которые вы сегодня сами открыли, расскажите их друг другу.
7. Рефлексия деятельности на уроке.
Наш урок подходит к концу, давайте подведем итоги.
Какую цель вы перед собой ставили? (научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число)
Как вы считаете, достигли вы цели?(Да)
А теперь возьмите в файле карточки для самооценки, подпишите их и оцените свою деятельность на уроке.
8.Домашнее задание:
№ 356(а), 358(а,б), 360(в,г)
Ребята, вы сегодня все без исключения очень плодотворно потрудились, спасибо вам за вашу работу.
Закончить урок я хочу словами вьетнамской народной пословицы: «Узнать можно лишь тогда, когда учишься; дойти можно лишь тогда, когда идешь». Не забывайте об этом.
Кто получил оценки за устный счет, принесите дневники. А кто выполнил дополнительное задание, подойдите ко мне с тетрадями.
