При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление , обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O . Она считается началом отсчета . Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O , имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью .

Прямоугольная система координат обозначается O x y . Координатными осями называют О х и О у, называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат .

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление О х слева направо, а O y – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех О х, О у, О z осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где О z имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного пространства.

Оси координат пересекаются в точке O , называемой началом. Каждая ось имеет положительное направление, которое указывается при помощи стрелок на осях. Если при повороте О х против часовой стрелки на 90 ° ее положительное направление совпадает с положительным О у, тогда это применимо для положительного направления О z . Такую систему считают правой. Иначе говоря, если сравнить направление Х с большим пальцем руки, то указательный отвечает за Y , а средний за Z .

Аналогично образуется левая система координат. Обе системы совместить невозможно, так как соответствующие оси не совпадут.

Для начала отложим точку М на координатной оси О х. Любое действительное число x M равняется единственной точке М, расположенной на данной прямой. Если точка расположена на координатной прямой на расстоянии 2 от начала отсчета по положительному направлению, то она равна 2 , если - 3 , то соответственное расстояние 3 . Ноль – это начало отсчета координатных прямых.

Иначе говоря, каждая точка М, расположенная на O x , равна действительному числу x M . Этим действительным числом и является ноль, если точка M расположена в начале координат, то есть на пересечении O x и О у. Число длины отрезка всегда положительно, если точка удалена в положительном направлении и наоборот.

Имеющееся число x M называют координатой точки М на заданной координатной прямой.

Возьмем точку как проекцию точки M x на О х, а как проекцию точки M y на О у. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям О x и О у прямые, где послучим соответственные точки пересечения M x и M y .

Тогда точка M x на оси О х имеет соответствующее число x M , а M y на О у - y M . На координатных осях это выглядит так:

Каждая точка M на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат имеет одну соответствующую пару чисел (x M , y M) , называемую ее координатами . Абсцисса M – это x M , ордината M – это y M .

Обратное утверждение также считается верным: каждая упорядоченная пара (x M , y M) имеет соответствующую заданную в плоскости точку.

Определение точки М в трехмерном пространстве. Пусть имеются M x , M y , M z , являющиеся проекциями точки М на соответствующие оси О х, О у, О z . Тогда значения этих точек на осях О х, О у, О z примут значения x M , y M , z M . Изобразим это на координатных прямых.

Чтобы получить проекции точки M , необходимо добавить перпендикулярные прямые О х, О у, О z продолжить и изобразит в виде плоскостей, которые проходят через M . Таким образом, плоскости пересекутся в M x , M y , M z

Каждая точка трехмерного пространства имеет свои данные (x M , y M , z M) , которые имеют название координаты точки M , x M , y M , z M - это числа, называемые абсциссой, ординатой и аппликатой заданной точки M . Для данного суждения верно и обратное утверждение: каждая упорядоченная тройка действительных чисел (x M , y M , z M) в заданной прямоугольной системе координат имеет одну соответствующую точку M трехмерного пространства.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Прямоугольная система координат на плоскости задаётся двумя взаимно перпендикулярными прямыми. Прямые называют осями координат (или координатными осями). Точку пересечения этих прямых называют началом отсчёта и обозначают буквой O.

Обычно одна из прямых горизонтальна, другая — вертикальна. Горизонтальную прямую обозначают как ось x (или Ox) и называют осью абсцисс, вертикальную — ось y (Oy), называют осью ординат. Всю систему координат обозначают xOy.

Точка O разбивает каждую из осей на две полуоси, одну из из которых считают положительной (её обозначают стрелкой), другую — отрицательной.

Каждой точке F плоскости ставится в соответствие пара чисел (x;y) — её координаты.

Координата x называется абсциссой. Она равна Ox, взятому с соответствующим знаком.

Координата y называется ординатой и равна расстоянию от точки F до оси Oy (с соответствующим знаком).

Расстояния до осей обычно (но не всегда) измеряют одной и той же единицей длины.

Точки, расположенные справа от оси y, имеют положительные абсциссы. У точек, которые лежат левее оси ординат, абсциссы отрицательны. Для любой точки, лежащей на оси Oy, её координата x равна нулю.

Точки с положительной ординатой лежат выше оси x, с отрицательной — ниже. Если точка лежит на оси Ox, её координата y равна нулю.

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями (или координатными углами или квадрантами).

1 координатная четверть расположена в правом верхнем углу координатной плоскости xOy. Обе координаты точек, расположенных в I четверти, положительны.

Переход от одной четверти к другой ведётся против часовой стрелки.

2 координатная четверть находится в левом верхнем углу. Точки, лежащие во II четверти, имеют отрицательную абсциссу и положительную ординату.

3 координатная четверть лежит в левом нижнем квадранте плоскости xOy. Обе координаты точек, принадлежащей III координатному углу, отрицательны.

4 координатная четверть — это правый нижний угол координатной плоскости. Любая точка из IV четверти имеет положительную первую координату и отрицательную вторую.

Пример расположения точек в прямоугольной системе координат:

Для определения положения точки в пространстве мы будем использовать декартовы прямоугольные координаты (рис.2).

Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY, OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. Ось OX называется осью абсцисс (или просто абсциссой), ось OY - осью ординат (ординатой), ось OZ - осью аппликат (апп ликатой).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно.

Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A.

Символически это записывают так:

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

x A , y A , z A ,

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче, приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B лежала не как на рисунке — на луче OX, а на его продолжении в обратную сторону от точки O (на отрицательной части оси OX), то абсцисса x точки A была бы отрицательной (минус расстоянию OB). Аналогично и для двух других осей.

Координатные оси OX, OY, OZ, изображенные на рис. 2, образуют правую систему координат. Это означает, что если смотреть на плоскость YOZ вдоль положительного направления оси OX, то движение оси OY в сторону оси OZ будет проходить по часовой стрелке. Эту ситуацию можно описать при помощи правила буравчика : если буравчик (винт с правой резьбой) вращать по направлению от оси OY к оси OZ, то он будет двигаться вдоль положительного направления оси OX.

Векторы единичной длины, направленные вдоль координатных осей, называются координатными ортами. Их обозначают обычно как (рис. 3). Встречается так же обозначение Орты составляют базис координатной системы.

В случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

Прямоугольная (другие названия — плоская, двухмерная) система координат, названная по имени французского ученого Декарта (1596—1650) «декартовой системой координат на плоскости», образуется пересечением на плоскости под прямым углом (перпендикулярно) двух числовых осей так, что положительная полуось одной направлена вправо (ось x, или ось абсцисс), а второй — вверх (ось y, или ось ординат).

Точка пересечения осей совпадает с точкой 0 каждой из них и называется началом координат.

Для каждой из осей выбирается произвольный масштаб (единичный отрезок длины). Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел, названная координатами этой точки на плоскости. И наоборот, любой упорядоченной паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Первая координата точки называется абсциссой этой точки, а вторая координата — ординатой.

Вся плоскость координат делится на 4 квадранта (четверти). Квадранты расположены от первого до четвертого против часовой стрелки (см. рис.).

Чтобы определить координаты точки, нужно найти ее расстояние до оси абсцисс и оси ординат. Так как расстояние (кратчайшее) определяется по перпендикуляру, то из точки опускаются два перпендикуляра (вспомогательные линии на плоскости координат) на оси так, что точка их пересечения — это и есть место заданной точки в плоскости координат. Точки пересечения перпендикуляров с осями называются проекциями точки на оси координат.

Первый квадрант ограничен положительными полуосями абсцисс и ординат. Следовательно, координаты точек в этой четверти плоскости будут положительными
(знаки « + » и

Например, точка M (2; 4) на рисунке вверху.

Второй квадрант ограничен отрицательной полуосью абсцисс и положительной полуосью ординат. Следовательно, координаты точек по оси абсцисс будут отрицательными (знак «-»), а по оси ординат — положительными (знак « + »).

Например, точка C (-4; 1) на рисунке выше.

Третий квадрант ограничен отрицательной полуосью абсцисс и отрицательной полуосью ординат. Следовательно, координаты точек по оси абсцисс и оси ординат будут отрицательными (знаки «-» и «-»).

Например, точка D (-6; -2) на рисунке выше.

Четвертый квадрант ограничен положительной полуосью абсцисс и отрицательной полуосью ординат. Следовательно, координаты точек по оси абсцисс будут положительными (знак «+»). а по оси ординат - отрицательными (знак «-»).

Например, точка R (3; -3) на рисунке выше.

Построение точки по ее заданным координатам

первую координату точки найдем на оси абсцисс и проведем через нее вспомогательную линию — перпендикуляр;

вторую координату точки найдем на оси ординат и проведем через нее вспомогательную линию - перпендикуляр;

точка пересечения двух перпендикуляров (вспомогательных линий) и будет соответствовать точке с заданными координатами.

Если через точку О в про-стран-стве мы про-ве-дем три пер-пен-ди-ку-ляр-ные пря-мые, на-зо-вем их, вы-бе-рем на-прав-ле-ние, обо-зна-чим еди-нич-ные от-рез-ки, то мы по-лу-чим пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат в про-стран-стве . Оси ко-ор-ди-нат на-зы-ва-ют-ся так: Ох - ось абс-цисс, Оy - ось ор-ди-нат и Оz - ось ап-пли-кат . Вся си-сте-ма ко-ор-ди-нат обо-зна-ча-ет-ся - Oxyz. Таким об-ра-зом, по-яв-ля-ют-ся три ко-ор-ди-нат-ные плос-ко-сти : Оxy, Оxz, Оyz.

При-ве-дем при-мер по-стро-е-ния точки В(4;3;5) в пря-мо-уголь-ной си-сте-ме ко-ор-ди-нат (см. Рис. 1).

Рис. 1. По-стро-е-ние точки B в про-стран-стве

Пер-вая ко-ор-ди-на-та точки B - 4, по-это-му от-кла-ды-ва-ем на Ox 4, про-во-дим пря-мую па-рал-лель-но оси Oy до пе-ре-се-че-ния с пря-мой, про-хо-дя-щей через у=3. Таким об-ра-зом, мы по-лу-ча-ем точку K. Эта точка лежит в плос-ко-сти Oxy и имеет ко-ор-ди-на-ты K(4;3;0). Те-перь нужно про-ве-сти пря-мую па-рал-лель-но оси Oz. И пря-мую, ко-то-рая про-хо-дит через точку с ап-пли-ка-той 5 и па-рал-лель-на диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма в плос-ко-сти Oxy. На их пе-ре-се-че-нии мы по-лу-чим ис-ко-мую точку B.

Рас-смот-рим рас-по-ло-же-ние точек, у ко-то-рых одна или две ко-ор-ди-на-ты равны 0 (см. Рис. 2).

На-при-мер, точка A(3;-1;0). Нужно про-дол-жить ось Oy влево до зна-че-ния -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пе-ре-се-че-нии линий, про-хо-дя-щих через эти зна-че-ния, по-лу-ча-ем точку А. Эта точка имеет ап-пли-ка-ту 0, а зна-чит, она лежит в плос-ко-сти Oxy.

Точка C(0;2;0) имеет абс-цис-су и ап-пли-ка-ту 0 - не от-ме-ча-ем. Ор-ди-на-та равна 2, зна-чит точка C лежит толь-ко на оси Oy, ко-то-рая яв-ля-ет-ся пе-ре-се-че-ни-ем плос-ко-стей Oxy и Oyz.

Чтобы от-ло-жить точку D(-4;0;3) про-дол-жа-ем ось Ox назад за на-ча-ло ко-ор-ди-нат до точки -4. Те-перь вос-ста-нав-ли-ва-ем из этой точки пер-пен-ди-ку-ляр - пря-мую, па-рал-лель-ную оси Oz до пе-ре-се-че-ния с пря-мой, па-рал-лель-ной оси Ox и про-хо-дя-щей через зна-че-ние 3 на оси Oz. По-лу-ча-ем току D(-4;0;3). Так как ор-ди-на-та точки равна 0, зна-чит точка D лежит в плос-ко-сти Oxz.

Сле-ду-ю-щая точка E(0;5;-3). Ор-ди-на-та точки 5, ап-пли-ка-та -3, про-во-дим пря-мые про-хо-дя-щие через эти зна-че-ния на со-от-вет-ству-ю-щих осях, и на их пе-ре-се-че-нии по-лу-ча-ем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую ко-ор-ди-на-ту 0, зна-чит она лежит в плос-ко-сти Oyz.

2. Координаты вектора

На-чер-тим пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат в про-стран-стве Oxyz. За-да-дим в про-стран-стве пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат Oxyz. На каж-дой из по-ло-жи-тель-ных по-лу-осей от-ло-жим от на-ча-ла ко-ор-ди-нат еди-нич-ный век-тор, т. е. век-тор, длина ко-то-ро-го равна еди-ни-це. Обо-зна-чим еди-нич-ный век-тор оси абс-цисс, еди-нич-ный век-тор оси ор-ди-нат , и еди-нич-ный век-тор оси ап-пли-кат (см. рис. 1). Эти век-то-ры со-на-прав-ле-ны с на-прав-ле-ни-я-ми осей, имеют еди-нич-ную длину и ор-то-го-наль-ны - по-пар-но пер-пен-ди-ку-ляр-ны. Такие век-то-ра на-зы-ва-ют ко-ор-ди-нат-ны-ми век-то-ра-ми или ба-зи-сом.

Рис. 1. Раз-ло-же-ние век-то-ра по трем ко-ор-ди-нат-ным век-то-рам

Возь-мем век-тор , по-ме-стим его в на-ча-ло ко-ор-ди-нат, и раз-ло-жим этот век-тор по трем неком-пла-нар-ным - ле-жа-щим в раз-ных плос-ко-стях - век-то-рам. Для этого опу-стим про-ек-цию точки M на плос-кость Oxy, и най-дем ко-ор-ди-на-ты век-то-ров , и . По-лу-ча-ем: . Рас-смот-рим по от-дель-но-сти каж-дый из этих век-то-ров. Век-тор лежит на оси Ox, зна-чит, со-глас-но свой-ству умно-же-ния век-то-ра на число, его можно пред-ста-вить как ка-кое-то число x умно-жен-ное на ко-ор-ди-нат-ный век-тор . , а длина век-то-ра ровно в x раз боль-ше длины . Так же по-сту-пим и с век-то-ра-ми и , и по-лу-ча-ем раз-ло-же-ние век-то-ра по трем ко-ор-ди-нат-ным век-то-рам:

Ко-эф-фи-ци-ен-ты этого раз-ло-же-ния x, y и z на-зы-ва-ют-ся ко-ор-ди-на-та-ми век-то-ра в про-стран-стве.

Рас-смот-рим пра-ви-ла, ко-то-рые поз-во-ля-ют по ко-ор-ди-на-там дан-ных век-то-ров найти ко-ор-ди-на-ты их суммы и раз-но-сти, а также ко-ор-ди-на-ты про-из-ве-де-ния дан-но-го век-то-ра на дан-ное число.

1) Сло-же-ние:

2) Вы-чи-та-ние:

3) Умно-же-ние на число: ,

Век-тор, на-ча-ло ко-то-ро-го сов-па-да-ет с на-ча-лом ко-ор-ди-нат, на-зы-ва-ет-ся ра-ди-ус -век-то-ром. (Рис. 2). Век-тор - ра-ди-ус-век-тор, где x, y и z - это ко-эф-фи-ци-ен-ты раз-ло-же-ния этого век-то-ра по ко-ор-ди-нат-ным век-то-рам , , . В дан-ном слу-чае x - это пер-вая ко-ор-ди-на-та точки A на оси Ox, y - ко-ор-ди-на-та точки B на оси Oy, z - ко-ор-ди-на-та точки C на оси Oz. По ри-сун-ку видно, что ко-ор-ди-на-ты ра-ди-ус-век-то-ра од-но-вре-мен-но яв-ля-ют-ся ко-ор-ди-на-та-ми точки М.

Возь-мем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Пред-ста-вим век-тор как раз-ность век-то-ров и по свой-ству век-то-ров. При-чем, и - ра-ди-ус-век-то-ры, и их ко-ор-ди-на-ты сов-па-да-ют с ко-ор-ди-на-та-ми кон-цов этих век-то-ров. Тогда мы можем пред-ста-вить ко-ор-ди-на-ты век-то-ра как раз-ность со-от-вет-ству-ю-щих ко-ор-ди-нат век-то-ров и : . Таким об-ра-зом, ко-ор-ди-на-ты век-то-ра мы можем вы-ра-зить через ко-ор-ди-на-ты конца и на-ча-ла век-то-ра.

Рас-смот-рим при-ме-ры, ил-лю-стри-ру-ю-щие свой-ства век-то-ров и их вы-ра-же-ние через ко-ор-ди-на-ты. Возь-мем век-то-ры , , . Нас спра-ши-ва-ют век-тор . В дан-ном слу-чае найти это зна-чит найти ко-ор-ди-на-ты век-то-ра, ко-то-рые пол-но-стью его опре-де-ля-ют. Под-став-ля-ем в вы-ра-же-ние вме-сто век-то-ров со-от-вет-ствен-но их ко-ор-ди-на-ты. По-лу-ча-ем:

Те-перь умно-жа-ем число 3 на каж-дую ко-ор-ди-на-ту в скоб-ках, и то же самое де-ла-ем с 2:

У нас по-лу-чи-лась сумма трех век-то-ров, скла-ды-ва-ем их по изу-чен-но-му выше свой-ству:

Ответ:

При-мер №2.

Дано: Тре-уголь-ная пи-ра-ми-да AOBC (см. рис. 4). Плос-ко-сти AOB, AOC и OCB - по-пар-но пер-пен-ди-ку-ляр-ны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P - сер. CB.

Найти: ,,,,,,,.

Ре-ше-ние: Вве-дем пря-мо-уголь-ную си-сте-му ко-ор-ди-нат Oxyz с на-ча-лом от-сче-та в точке O. По усло-вию обо-зна-ча-ем точки A, B и C на осях и се-ре-ди-ны ребер пи-ра-ми-ды - M, P и N. По ри-сун-ку на-хо-дим ко-ор-ди-на-ты вер-шин пи-ра-ми-ды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).