Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций - графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные.
Алгебраическая функция
- это функция, которая удовлетворяет уравнению:
,
где - многочлен от зависимой переменной y
и независимой переменной x
.
Его можно записать в виде:
,
где - многочлены.
Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции.
Целая рациональная функция
, которая также называется многочленом
или полиномом
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду:
.
Дробно-рациональная функция
, или просто рациональная функция
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию можно привести к виду
,
где и - многочлены.
Иррациональная функция
- это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n
определяется как решение уравнения
.
Он обозначается так:
.
Трансцендентными функциями называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции.
Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:
z t
.
Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.
Степенная функция :
y(x) = x p
,
где p
- показатель степени. Она зависит от основания степени x
.
Обратной к степенной функции является также степенная функция:
.
При целом неотрицательном значении показателя p
она является многочленом. При целом значении p
- рациональной функцией. При рациональном значении - иррациональной функцией.
Показательная функция :
y(x) = a x
,
где a
- основание степени. Она зависит от показателя степени x
.
Обратная функция - логарифм по основанию a
:
x = log
a y
.
Экспонента, е в степени х :
y(x) = e x
,
Это показательная функция, производная которой равна самой функции:
.
Основанием степени экспоненты является число e
:
≈ 2,718281828459045...
.
Обратная функция - натуральный логарифм - логарифм по основанию числа e
:
x = ln
y ≡ log
e y
.
Тригонометрические функции :
Синус : ;
Косинус : ;
Тангенс : ;
Котангенс : ;
Здесь i
- мнимая единица, i 2 = -1
.
Обратные тригонометрические функции :
Арксинус: x = arcsin
y
,
;
Арккосинус: x = arccos
y
,
;
Арктангенс: x = arctg
y
,
;
Арккотангенс: x = arcctg
y
,
.
Функции и их свойства
Функция - одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y = f ( x ). (Читают: у равно f от х .) Символом f ( x ) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х .
Все значения независимой переменной образуют область определения функции . Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции .
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Способы задания функции:
1.аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;
2.табличный способ (функция задается с помощью таблицы)
3.описательный способ (функция задается словесным описанием)
4.графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
1. Нули функции
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .
2. Промежутки знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
3. Возрастание (убывание) функции.
Возрастающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция у = f ( x ) называется возрастающей на интервале (а; b ), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f ( x 1 )< f ( x 2 ).
Убывающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Функция у = f ( x ) называется убывающей на интервале (а; b ) , если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f ( x 1 )> f ( x 2 ).
4. Четность (нечетность) функции
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (- x ) = f ( x ) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Например, у = х 2 - четная функция.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (- x ) = - f (x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например: у = х 3 - нечетная функция .
Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х 2 +х ).
Свойства некоторых функций и их графики
1. Линейной функцией называется функция вида , где k и b – числа.
Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.
Графиком линейной функции у = kx + b ( k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b ) и параллельная прямой у = kx .
Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.
Свойства линейной функции.
1. При k > 0 функция у = kx + b
2. При k < 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.
y = kx + b ( k ≠ 0 ) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.
При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b .
3. При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.
При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b ≠ 0 она является четной.
При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.
Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b ) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох .
5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если . При k < 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если .
2. Функция y = x 2
R действительных чисел.
Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x 2 , изображаем график функции.
График функции y = x 2 называется параболой.
Свойства функции у = х 2 .
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.
2. Если х ≠ 0 , то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции у = х 2 является промежуток функция у = х 2 убывает.
х
3.Фунуция
Область определения этой функции - промежуток функция y = | x | убывает.
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.
6. Функция
Область определения функции: .
Область значений функции: .
График - гипербола.
1. Нули функции.
у ≠ 0, нулей нет.
2. Промежутки знакопостоянства,
Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у < 0 при х < О.
Если k < 0, то у < 0 при х > 0; у > 0 при х < 0.
3. Промежутки возрастания и убывания.
Если k > 0, то функция убывает при .
Если k < 0, то функция возрастает при .
4. Четность (нечетность) функции.
Функция нечетная.
Квадратный трехчлен
Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b и с - некоторые числа, причем а≠ 0, называется квадратным.
В квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент а называется первым коэффициентом, b - вторым коэффициентам, с - свободным членом.
Формула корней квадратного уравнения имеет вид:
.
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D .
Если D = 0, то существует только одно число, удовлетворяющее уравнению ax 2 + bx + c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число называют двукратным корнем.
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Так как а≠ 0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение . Полагая и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.
Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:
.
Уравнения вида
а x 2 + bx = 0, ax 2 + с = 0, а x 2 = 0
называются неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.
Теорема Виета .
Сумма корней квадратного уравнения равна взятому с противоположным знаком отношению второго коэффициента к первому, а произведение корней - отношению свободного члена к первому коэффициенту, т.е.
Обратная теорема.
Если сумма каких-нибудь двух чисел х 1 и х 2 равна , а их произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0.
Функция вида ах 2 + b х + с называется квадратным трехчленом. Корни этой функции являются корнями соответствующего квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0.
Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:
ах 2 + b х + с =а(х-х 1 )(х-х 2 )
где х 1 и х 2 - корни трехчлена
Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:
ах 2 + b х + с =а(х-х 1 ) 2
где х 1 - корень трехчлена.
Например, 3х 2 - 12х + 12 = 3(х - 2) 2 .
Уравнение вида ах 4 + b х 2 + с = 0 называется биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х 2 = y оно приводится к квадратному уравнению а y 2 + by + с = 0.
Квадратичная функция
Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax 2 + bx + c , где x – независимая переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .
Область определения: R ;
Область значений:
при а > 0 [- D /(4 a ); ∞)
при а < 0 (-∞; - D /(4 a )];
Четность, нечетность:
при b = 0 функция четная
при b ≠ 0 функция не является ни четной, ни нечетной
при D > 0 два нуля: ,
при D = 0 один нуль:
при D < 0 нулей нет
Промежутки знакопостоянства:
если, а > 0, D > 0, то
если, а > 0, D = 0, то
e сли а > 0, D < 0, то
если а < 0, D > 0, то
если а < 0, D = 0, то
если а < 0, D < 0, то
- Промежутки монотонности
при а > 0
при а < 0
Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;
2) построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Координаты вершины параболы определяются по формулам:
; .
1. Растяжение графика у = х 2 вдоль оси у в |а| раз (при |а| < 1 - это сжатие в 1/ |а| раз).
Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).
Результат: график функции у = ах 2 .
2. Параллельный перенос графика функции у = ах 2 вдоль оси х на | m | (вправо при
m > 0 и влево при т < 0).
Результат: график функции у = а(х - т) 2 .
3. Параллельный перенос графика функции вдоль оси у на | n | (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).
Результат: график функции у = а(х - т) 2 + п.
Неравенства вида ах 2 + b х + с > 0 и ах 2 + bх + с < 0, где х - переменная, a , b и с - некоторые числа, причем, а≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.
Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.
Для решения неравенств вида ах 2 + bх + с > 0 и ах 2 + bх + с < 0 поступают следующим образом:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;
3) находят на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с < 0).
Пример:
Решим неравенство .
Рассмотрим функцию
Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).
Выясним, как расположен график относительно оси х. Решим для этого уравнение . Получим, что х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси х.
Изобразив схематически параболу, найдем, что функция принимает отрицательные значения при любом х, кроме 4.
Ответ можно записать так: х - любое число, не равное 4.
схема решения
1. Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.
2. Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если k i четное, то нуль четной кратности, если k i нечетное - то нечетной).
3. Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, начиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для приведенного вида неравенств. При переходе справа налево через нуль функции от одного промежутка к соседнему следует учитывать:
если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется,
если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.
4. Записать ответ.
Пример:
(х + 6) (х + 1) (х - 4) < 0.
Найден нули функции. Они равны: х 1 = -6; х 2 = -1; х 3 = 4.
Отметим на координатной прямой нули функции f ( x ) = (х + 6) (х + 1) (х - 4).
Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и
Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-∞; -6) и (-1; 4).
Ответ: (-∞ ; -6) и (-1; 4).
Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.
Пределы и непрерывность
Множества
Под множеством понимается совокупность однородных объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками этого множества. Множества обозначают прописными буквами, а их элементы – строчными. Если a является элементом множества A , то используется запись a ÎA . Если b не является элементом множества A , то это записывается так: b ÏA . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается так: Ø.
Если множество B состоит из части элементов множества A или совпадает с ним, то множество B называют подмножеством множества и обозначают B ÌA .
Два множества называют равными , если они состоят из одних и тех же элементов.
Объединением двух множеств A и B называется множество C , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств: C =A ÈB .
Пересечением двух множеств A и B называется множество C , состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств: C =A ÇB .
Разностью множеств A и B называется множество E A , которые не принадлежат множеству B : .
Дополнением множества A ÌB называется множество C , состоящее из всех элементов множества B , не принадлежащих A .
Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми :
При этом N ÌZ ÌQ ÌR , I ÌR и R =I ÈQ .
Множество X , элементы которого удовлетворяют неравенству называется отрезком (сегментом) и обозначается [a ; b ]; неравенству a <x <b – интервалом и обозначается () ; неравенствам и - полуинтервалами и обозначаются соответственно и . Также часто приходится иметь дело с бесконечными интервалами и полуинтервалами: , , , и . Все их удобно называть промежутками .
Интервал , т.е. множество точек удовлетворяющих неравенству (где ), называется -окрестностью точки a .
Понятие функции. Основные свойства функции
Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция y =f (x ). При этом x называют независимой переменной или аргументом , а y – зависимой переменной или функцией , а f обозначает закон соответствия. Множество X называют областью определения функции, а множество Y – областью значений функции.
Существует несколько способов задания функций.
1) Аналитический способ – функция задается формулой вида y =f (x ).
2) Табличный способ – функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции y =f (x ).
3) Графический способ – изображение графика функции, т.е. множества точек (x ; y ) координатной плоскости, абсциссы которых представляют значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции y =f (x ).
4) Словесный способ – функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле принимает значение 1, если x – рациональное число и 0, если x – иррациональное число.
Выделяют следующие основные свойства функций.
1 Четность и нечетность Функция y =f (x ) называется четной , если для любых значений x из области ее определения выполняется f (–x )=f (x ), и нечетной , если f (–x )=–f (x ). Если не выполняется ни одно из перечисленных равенств, то y =f (x ) называется функцией общего вида . График четной функции симметричен относительно оси Oy , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2 Монотонность Функция y =f (x ) называется возрастающей (убывающей ) на промежутке X , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Пусть x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 . Тогда функция возрастает на промежутке X , если f (x 2)>f (x 1), и убывает, если f (x 2)<f (x 1).
Наряду с возрастающими и убывающими функциями рассматривают неубывающие и невозрастающие функции. Функция называется неубывающей (невозрастающей ), если при x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 выполняется неравенство f (x 2)≥f (x 1) (f (x 2)≤f (x 1)).
Возрастающие и убывающие функции, а также невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными.
3 Ограниченность Функция y =f (x ) называется ограниченной на промежутке X , если существует такое положительное число M >0, что |f (x )|≤M для любого x ÎX . В противном случае функция называется неограниченной на X .
4 Периодичность Функция y =f (x ) называется периодической с периодом T ≠0, если для любых x из области определения функции f (x +T )=f (x ). В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший положительный период функции.
Функция называется явной , если она задана формулой вида y =f (x ). Если функция задана уравнением F (x , y )=0, не разрешенным относительно зависимой переменной y , то ее называют неявной .
Пусть y =f (x ) есть функция от независимой переменной , определенная на множестве X с областью значений Y . Поставим в соответствие каждому y ÎY единственное значение x ÎX , при котором f (x )=y .Тогда полученная функция x =φ (y ), определенная на множестве Y с областью значений X , называется обратной и обозначается y =f –1 (x ). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей .
Пусть функция y =f (u ) есть функция переменной u , определенной на множестве U с областью значений Y , а переменная u в свою очередь является функцией u =φ (x ), определенной на множестве X с областью значений U . Тогда заданная на множестве X функция y =f (φ (x )) называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).
Элементарные функции
К основным элементарным функциям относят:
Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.
Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными .
Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:
· целая рациональная функция (многочлен или полином)
· дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)
· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).
Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной . К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.
Русская гимназия
КОНСПЕКТ
Выполнил
ученик 10“Ф” класса Бурмистров Сергей
Руководитель
учитель Математики
Юлина О.А.
Нижний Новгород
Функция и её свойства
Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у , соответствующее заданному значению х .
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной- если для любого х f(x)=f(-x)
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция-
если для любых х 1
и х 2
,
таких, что х 1
<
х 2
, выполняется неравенство f(
х 1
)
Убывающая функция- если для любых х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство f( х 1 )>f( х 2 )
Способы задания функции
¨ Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у =f(x) , где f(x)- íåêîòîðîå âыðàæåíèå с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
¨ На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Виды функций и их свойства
1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b- некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у= kx , где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .
Cвойства функции y=kx :
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx - нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b , где k иb - действительные числа. Если в частности, k=0 , то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0 , то получаем прямую пропорциональность y=kx .
Свойства функции y=kx+b :
1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая .
4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k /х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y=k / x:
1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k / x - нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Графиком функции является гипербола .
5)Функция y=x 2
Свойства функции y=x 2:
2. y=x 2 - четная функция
3. На промежутке функция убывает
Графиком функции является парабола .
6)Функция y=x 3
Свойства функции y=x 3:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x 3 - нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=x n , где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x -n , где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x -n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x -2 :
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x -2 - четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
9)Функция y= Ö х
Свойства функции y= Ö х :
1. Область определения - луч }