Симметрия — Симметрия (от греч. symmetria — соразмерность)
в математике,
1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости &alpha. в пространстве (относительно прямой а на плоскости), — преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка М переходит в точку M такую, что отрезок MM перпендикулярен плоскости &alpha. (прямой а) и делится ею пополам.
Плоскость &alpha. (прямая а) называется плоскостью (осью) С.
Отражение — пример ортогонального преобразования, изменяющего ориентацию (в отличие от собственного движения) . Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений — этот факт играет существенную роль в исследовании С. геометрических фигур.
2) Симметрия (в широком смысле) — свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность формы Ф, неизменность её при действии движений и отражений. Точнее, фигура Ф обладает С. (симметрична), если существует нетождественное ортогональное преобразование, переводящее эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой, называемой группой симметрии этой фигуры (иногда сами эти преобразования называются симметриями).
Так, плоская фигура, преобразующаяся в себя при отражении, симметрична относительно прямой — оси С. (рис. 1). группа симметрии состоит из двух элементов. Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/n, n — целое число &ge. 2, переводят её в себя, то Ф обладает С. n-го порядка относительно точки O — центра С.
Примером таких фигур являются правильные многоугольники (рис. 2). группа С. здесь — т. н. циклическая группа n-го порядка. Окружность обладает С. бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).
Простейшими видами пространственной С., помимо С., порожденной отражениями, являются центральная С., осевая С. и С. переноса.
а) В случае центральной симметрии (инверсии) относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, другими словами, точка О — середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф (рис. 3). б) В случае осевой симметрии, или С. относительно прямой n-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси С.) на угол 360°/n. Например, куб имеет прямую AB осью С. третьего порядка, а прямую CD — осью С. четвёртого порядка (рис. 3). вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых.
Расположение, количество и порядок осей С. играют важную роль в кристаллографии (см. Симметрия кристаллов), в) Фигура, накладывающаяся на себя последовательным вращением на угол 360°/2k вокруг прямой AB и отражением в плоскости, перпендикулярной к ней, имеет зеркально-осевую С. Прямая AB, называется зеркально-поворотной осью С. порядка 2k, является осью С. порядка k (рис. 4). Зеркально-осевая С. порядка 2 равносильна центральной С. г) В случае симметрии переноса фигура накладывается на себя переносом вдоль некоторой прямой (оси переноса) на какой-либо отрезок. Например, фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С. (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями от плоскостей, перпендикулярных оси переноса) (рис. 5). Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кристаллических решёток.
В искусстве С. получила распространение как один из видов гармоничной композиции . Она свойственна произведениям архитектуры (являясь непременным качеством если не всего сооружения в целом, то его частей и деталей — плана, фасада, колонн, капителей и т. д.) и декоративно-прикладного искусства. С. используется в качестве основного приёма построения бордюров и Орнаментов (плоских фигур, обладающих соответственно одной или несколькими С. переноса в сочетании с отражениями) (рис. 6, 7).
Комбинации С., порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие все виды С. геометрических фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания . Например, винтовая С., осуществляемая поворотом на некоторый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 8) (подробнее см. в ст. Симметрия в биологии). С. конфигурации молекул, сказывающаяся на их физических и химических характеристиках, имеет значение при теоретическом анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных реакциях (см. Симметрия в химии). Наконец, в физических науках вообще, помимо уже указанной геометрической С. кристаллов и решёток, приобретают важное значение представления о С. в общем смысле (см. ниже) . Так, симметричность физического пространства-времени, выражающаяся в его однородности и изотропности (см. Относительности теория), позволяет установить т. н. Сохранения законы. обобщённая С. играет существенную роль в образовании атомных спектров и в классификации элементарных частиц (см. Симметрия в физике).
3) Симметрия (в общем смысле) означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Например, С. законов теории относительности определяется инвариантностью их относительно Лоренца преобразований. Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т. е. определение группы G его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики, позволяющим глубоко проникнуть во внутреннее строение объекта в целом и его частей.
Поскольку такой объект можно представить элементами некоторого пространства P, наделённого соответствующей характерной для него структурой, постольку преобразования объекта являются преобразованиями P. Т. о. получается представление группы G в группе преобразований P (или просто в P), а исследование С. объекта сводится к исследованию действия G на P и отысканию инвариантов этого действия. Точно так же С. физических законов, управляющих исследуемым объектом и обычно описывающихся уравнениями, которым удовлетворяют элементы пространства P, определяется действием G на такие уравнения.
Так, например, если некоторое уравнение линейно на линейном же пространстве P и остаётся инвариантным при преобразованиях некоторой группы G, то каждому элементу g из G соответствует линейное преобразование T g в линейном пространстве R решений этого уравнения. Соответствие g
&rarr. T g является линейным представлением G и знание всех таких её представлений позволяет устанавливать различные свойства решений, а также помогает находить во многих случаях (из «соображений симметрии») и сами решения . Этим, в частности, объясняется необходимость для математики и физики развитой теории линейных представлений групп. Конкретные примеры см. в ст. Симметрия в физике.
Лит.: Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. — Л., 1940. Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966. Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968. Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.
М. И. Войцеховский.
Рис. 1. Плоская фигура, симметричная относительно прямой АВ. точка М преобразуется в М&rsquo. при отражении (зеркальном) относительно АВ.
Рис. 2. Звездчатый правильный многоугольник, обладающий симметрией восьмого порядка относительно своего центра.
Рис. 3. Куб, имеющий прямую AB осью симметрии третьего порядка, прямую CD — осью симметрии четвёртого порядка, точку О — центром симметрии. Точки М и M куба симметричны как относительно осей AB и CD, так и относительно центра О.
Рис. 4. Многогранник, обладающий зеркально-осевой симметрией. прямая AB — зеркально-поворотная ось четвёртого порядка.
Рис. 5. Фигуры, обладающие симметрией переноса: верхняя фигура имеет также бесконечное множество вертикальных осей симметрии (второго порядка), т. е. плоскостей отражения
Рис. 6. Бордюр, накладывающийся на себя или переносом на некоторый отрезок вдоль горизонтальной оси, или отражением (зеркальным) относительно той же оси и переносом вдоль неё на отрезок, вдвое меньший.
Рис. 7. Орнамент. осью переноса является любая прямая, соединяющая центры двух каких-либо завитков.
Рис. 8. Фигура, обладающая винтовой симметрией, которая осуществляется переносом вдоль вертикальной оси, дополненным вращением вокруг неё на 90°.
Симметрия — в физике. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают С. (или инвариантны) относительно данных преобразований. В математическом отношении преобразования С. составляют группу.
Опыт показывает, что физические законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований.
Непрерывные преобразования
1) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Это и последующие пространственно-временные преобразования можно понимать в двух смыслах: как активное преобразование — реальный перенос физической системы относительно выбранной системы отсчёта или как пассивное преобразование — параллельный перенос системы отсчёта. С. физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, т. е. отсутствие в пространстве каких-либо выделенных точек (однородность пространства).
2) Поворот системы как целого в пространстве. С. физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).
3) Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени). С. относительно этого преобразования означает, что физические законы не меняются со временем.
4) Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью . С. относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта (см. Относительности теория).
5) Калибровочные преобразования. Законы, описывающие взаимодействия частиц, обладающих каким-либо зарядом (электрическим зарядом, барионным зарядом, лептонным зарядом, гиперзарядом), симметричны относительно калибровочных преобразований 1-го рода. Эти преобразования заключаются в том, что волновые функции всех частиц могут быть одновременно умножены на произвольный фазовый множитель:
&psi. j &rarr. e iz j &beta. &psi. j , &psi. * j &rarr. e &minus.iz j &beta. &psi. * j , | (1) |
Симметрия (от греческого -συμμετρία- означает соразмерность) - это пропорциональность или гармония в расположении одинаковых предметов какой-либо группы или частей в одном предмете, причем гармоничное расположение определяется одной или несколькими воображаемыми зеркальными плоскостями.
Отдельные предметы или части симметричного предмета являются как бы отражениями или изображениями друг друга в этих зеркальных плоскостях, называются плоскостями симметрии. Простейшим случаем симметрии является такое расположение частей целого, при котором целое делится на две. Через человеческое тело можно мысленно провести зеркальную плоскость; правая и левая части его явятся как бы изображениями друг друга в этом зеркале и будут совместимо равны, как например правая и левая рука.
Если группа или предмет состоит лишь из совместимых частей, то в них можно провести так называемые оси симметрии и совместить равные части, повернув их вокруг этих осей. Кроме зеркальных плоскостей и осей симметрии есть еще зеркальная точка, или центр симметрии. В нем делятся пополам все прямые, соединяющие попарно одинаковые точки предметов группы или частей одного предмета. Зеркальная плоскость, ось симметрии и центр симметрии называют элементами симметрии и могут быть сведены к зеркальным плоскостям и их сочетаниям.
Симметрия очень широко распространена в природе и в творениях человека. Всё учение о кристаллах (Кристаллография) основано на теории симметрии.
В растительном мире также очень распространена симметрия и обнаруживается в расположении органов цветка, частей его листа и даже ветвей. В животном мире симметрия наблюдается не так строго, но также очень распространена. С наружной симметрией стоит в согласии и внутреннее строение животных, растений и кристаллов.
С помощью теории групп описываются симметрийные свойства в математике.
В творениях человека симметрия больше всего проявляете в архитектуре.
Какое-либо нарушение симметрии или её отсутствие вообще называется асимметрией.
Понятие симметрии
Симметрия - понятие, отражающее существующий в природе порядок, пропорциональность и соразмерность между элементами какой-либо системы или объекта природы, упорядоченность, равновесие системы, устойчивость, т.е. некий элемент гармонии.
Прошли тысячелетия, прежде чем человечество в ходе своей общественно-производственной деятельности осознало необходимость выразить в определенных понятиях установленные им прежде всего в природе две тенденции: наличие строгой упорядоченности, соразмерности, равновесия и их нарушения. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, геометрическую строгость строения пчелиных сот, последовательность и повторяемость расположения ветвей и листьев на деревьях, лепестков, цветов, семян растений и отобразили этуупорядоченность в своей практической деятельности, мышлении и искусстве.
Понятие «симметрия» употреблялось в двух значениях. В одном смысле симметричное означало нечто пропорциональное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова - равновесие.
Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. С симметрией мы встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки.
На протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов объективной действительности человечество накопило многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, к строгой упорядоченности, гармонии, а с другой - к их нарушению. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии.
Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.
В живой природе огромное большинство живых организмов обнаруживает различные виды симметрий (формы, подобия, относительного расположения). Причем организмы разного анатомического строения могут иметь один и тот же тип внешней симметрии.
Принцип симметрии - утверждает, что если пространство однородно, перенос системы как целого в пространстве не изменяет свойств системы. Если все направления в пространстве равнозначны, то принцип симметрии разрешает поворот системы как целого в пространстве. Принцип симметрии соблюдается, если изменить начало отсчета времени. В соответствии с принципом, можно произвести переход в другую систему отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной скоростью. Неживой мир очень симметричен. Нередко нарушения симметрии в квантовой физике элементарных частиц - это проявление еще более глубокой симметрии. Ассиметрия является структурообразующим и созидающим принципом жизни. В живых клетках функционально-значимые биомолекулы асимметричны.: белки состоят из левовращающих аминокислот (L-форма) , а нуклеиновые кислоты содержат в своем составе, помимо гетероциклических оснований, правовращающие углеводы - сахара (Д-форма) , кроме того сама ДНК - основа наследственности является правой двойной спиралью.
Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических. Примером биологического закона сохранения может служить закон наследования. В основе его лежат инвариантность биологических свойств по отношению к переходу от одного поколения к другому. Вполне очевидно, что без законов сохранения (физических, биологических и прочих) наш мир попросту не смог бы существовать.
1) объект - носитель симметрии; в роли симметричных объектов могут выступать вещи, процессы, геометрические фигуры, математические выражения, живые организмы и т.д. 2) некоторые признаки - величины, свойства, отношения, процессы, явления - объекта, которые при преобразованиях симметрии остаются неизменными; их называют инвариантными или инвариантами. 3)изменения (объекта), которые оставляют объект тождественным самому себе по инвариантным признакам; такие изменения называются преобразованиями симметрии; 4) свойство объекта превращаться по выделенным признакам в самого себя после соответствующих его изменений.
Таким образом, симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям - к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т.д. В связи с этим выделяют разные типы симметрии.
Типы симметрии
1)ПОВОРОТНАЯ СИММЕТРИЯ. Говорят, что объект обладает поворотной симметрией, если он совмещается сам с собой при повороте на угол 2?/n, где n может равняться 2, 3, 4 и т.д. до бесконечности. Ось симметрии называется ось осью n-го порядка.
2)ПЕРЕНОСНАЯ (ТРАНСЛЯЦИОННАЯ) СИММЕТРИЯ. О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние а либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние а - элементарным переносом или периодом. С данным типом симметрии связано понятие периодических структур или решеток, которые могут быть и плоскими, и пространственными.
3)ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Зеркально симметричным считается объект, состоящий из двух половин, которые являются зеркальными двойниками по отношению друг к другу. Трехмерный объект преобразуется сам в себя при отражении в зеркальной плоскости, которую называют плоскостью симметрии. Достаточно взглянуть на окружающий нас реальный мир, чтобы убедиться в первостепенном значении именно зеркальной симметрии с соответствующим симметричным элементом --плоскостью симметрии. В самом деле, форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле нее шагают, плывут, летят, катятся, обладает, как правило, одной более или менее хорошо выраженной плоскостью симметрии. Все то, что развивается или движется лишь в вертикальном направлении, характеризуется симметрией конуса, то есть имеет множество плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль вертикальной оси. И то и другое объясняется действием силы земного тяготения, симметрия которого моделируется конусом.
4)СИММЕТРИИ ПОДОБИЯ представляют собой своеобразные аналоги предыдущих симметрий с той лишь разницей, что они связаны с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки. Иногда фигуры могут обладать разными типами симметрии. Например, поворотной и зеркальной симметрией обладают некоторые буквы: Ж, Н, Ф, О, Х. Выше перечислены так называемые геометрические симметрии.
Существует много других видов симметрий, имеющих абстрактный характер. Например, ПЕРЕСТАНОВОЧНАЯ СИММЕТРИЯ, которая состоит в том, что если тождественные частицы поменять местами, то никаких изменений не происходит; НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ - это тоже определенная симметрия. КАЛИБРОВОЧНЫЕ СИММЕТРИИ связаны с изменением масштаба.В неживой природе симметрия прежде всего возникает в таком явлении природы, как кристаллы, из которых состоят практически все твердые тела. Именно она и определяет их свойства. Самый очевидный пример красоты и совершенства кристаллов - это известная всем снежинка.
Итак, что касается геометрии: выделяют три основных вида симметрии.
Во-первых, центральная симметрия (или симметрия относительно точки) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором единственная точка (точка О – центр симметрии) остаётся на месте, остальные же точки меняют своё положение: вместо точки А получаем точку А1 такую, что точка О середина отрезка АА1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф относительно точки О, нужно через каждую точку фигуры Ф провести луч, проходящий через точку О (центр симметрии), и на этом луче отложить точку, симметричную выбранной относительно точки О. Множество построенных таким образом точек даст фигуру Ф1.
Большой интерес вызывают фигуры, имеющие центр симметрии: при симметрии относительно точки О любая точка фигурф Ф преобразуется опять же в некоторую точку фигуры Ф. Таких фигур в геометрии встречается много. Например: отрезок (середина отрезка – центр симметрии), прямая (любая её точка – центр её симметрии), окружность (центр окружности – центр симметрии), прямоугольник (точка пересечения его диагоналей – центр симметрии). Много центральносимметричных объектов в живой и неживой природе (сообщение учащихся). Часто люди сами создают объекты, имеющие центр симмет рии (примеры из рукоделия, примеры из машиностроения, примеры из архитектуры и много других примеров).
Во-вторых, осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором только точки прямой р остаются на месте (эта прямая является осью симметрии), остальные же точки меняют своё положение: вместо точки В получаем такую точку В1, что прямая р является серединным перпендикуляром к отрезку ВВ1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф, относительно прямой р, нужно для каждой точки фигуры Ф построить точку, симметричную ей относительно прямой р. Множество всех этих построенных точек и дают искомую фигуру Ф1. Много существует геометрических фигур, имеющих ось симметрии.
У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у круга – любая прямая, проходящая через его центр. Если присмотреться к буквам алфавита, то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе (доклады учащихся). В своей деятельности человек создаёт много объектов (например, орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.
______________________________________________________________________________________________________
В-третьих, плоскостная (зеркальная) симметрия (или симметрия относительно плоскости) – это преобразование пространства, при котором только точки одной плоскости сохраняют своё местоположение (α-плоскость симметрии), остальные точки пространства меняют своё положение: вместо точки С получается такая точка С1, что плоскость α проходит через середину отрезка СС1, перпендикулярно к нему.
Чтобы построить фигуру Ф1,симметричную фигуре Ф относительно плоскости α, нужно для каждой точки фигуры Ф выстроить симметричные относительно α точки, они в своём множестве и образуют фигуру Ф1.
Чаще всего в окружающем нас мире вещей и объектов нам встречаются объёмные тела. И некоторые из этих тел имеют плоскости симметрии, иногда даже несколько. И сам человек в своей деятельности (строительство, рукоделие, моделирование, ...) создаёт объекты имеющие плоскости симметрии.