Изначально, будучи всего лишь собранием сведений и эмпирических наблюдений за игрой в кости, теория вероятности стала основательной наукой. Первыми, кто придал ей математический каркас, были Ферма и Паскаль.
Две личности, которым теория вероятностей обязана многими фундаментальными формулами, Блез Паскаль и Томас Байес, известны как глубоко верующие люди, последний был пресвитерианским священником. Видимо, стремление этих двух ученых доказать ошибочность мнения о некой Фортуне, дарующей удачу своим любимчикам, дало толчок к исследованиям в этой области. Ведь на самом деле любая азартная игра с ее выигрышами и проигрышами — это всего лишь симфония математических принципов.
Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей. Интересно, что персона де Мере так и осталась известна в данной области, а не в литературе.
Ранее ни один математик еще не делал попыток вычислять вероятности событий, поскольку считалось, что это лишь гадательное решение. Блез Паскаль дал первое определение вероятности события и показал, что это конкретная цифра, которую можно обосновать математическим путем. Теория вероятностей стала основой для статистики и широко применяется в современной науке.
Если рассматривать испытание, которое можно повторить бесконечное число раз, тогда можно дать определение случайному событию. Это один из вероятных исходов опыта.
Опытом является осуществление конкретных действий в неизменных условиях.
Чтобы можно было работать с результатами опыта, события обычно обозначают буквами А, B, C, D, Е…
Чтобы можно было приступить к математической части вероятности, нужно дать определения всем ее составляющим.
Вероятность события - это выраженная в числовой форме мера возможности появления некоторого события (А или B) в результате опыта. Обозначается вероятность как P(A) или P(B).
В теории вероятностей отличают:
Рассматривают как одно, так и сумму событий А+В, когда событие засчитывается при осуществлении хотя бы одного из составляющих, А или В, или обоих - А и В.
По отношению друг к другу события могут быть:
Если два события могут произойти с равной вероятностью, то они равновозможные .
Если появление события А не сводит к нулю вероятность появление события B, то они совместимые.
Если события А и В никогда не происходят одновременно в одном и том же опыте, то их называют несовместимыми . Бросание монеты - хороший пример: появление решки - это автоматически непоявление орла.
Вероятность для суммы таких несовместимых событий состоит из суммы вероятностей каждого из событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Если наступление одного события делает невозможным наступление другого, то их называют противоположными. Тогда одно из них обозначают как А, а другое - Ā (читается как «не А»). Появление события А означает, что Ā не произошло. Эти два события формируют полную группу с суммой вероятностей, равной 1.
Зависящие события имеют взаимное влияние, уменьшая или увеличивая вероятность друг друга.
На примерах гораздо проще понять принципы теории вероятностей и комбинации событий.
Опыт, который будет проводиться, заключается в вытаскивании шариков из ящика, а результата каждого опыта - элементарный исход.
Событие - это один из возможных исходов опыта - красный шар, синий шар, шар с номером шесть и т. д.
Испытание №1. Участвуют 6 шаров, три из которых окрашены в синий цвет, на них нанесены нечетные цифры, а три других - красные с четными цифрами.
Испытание №2. Участвуют 6 шаров синего цвета с цифрами от одного до шести.
Исходя из этого примера, можно назвать комбинации:
Видно, что первое событие существенно влияет на вероятность второго (40% и 60%).
Переход от гадательных размышлений к точным данным происходит посредством перевода темы в математическую плоскость. То есть суждения о случайном событии вроде "большая вероятность" или "минимальная вероятность" можно перевести к конкретным числовым данным. Такой материал уже допустимо оценивать, сравнивать и вводить в более сложные расчеты.
С точки зрения расчета, определение вероятности события - это отношение количества элементарных положительных исходов к количеству всех возможных исходов опыта относительно определенного события. Обозначается вероятность через Р(А), где Р означает слово «probabilite», что с французского переводится как «вероятность».
Итак, формула вероятности события:
Где m - количество благоприятных исходов для события А, n - сумма всех исходов, возможных для этого опыта. При этом вероятность события всегда лежит между 0 и 1:
0 ≤ Р(А)≤ 1.
Возьмем исп. №1 с шарами, которое описано ранее: 3 синих шара с цифрами 1/3/5 и 3 красных с цифрами 2/4/6.
На основании этого испытания можно рассматривать несколько разных задач:
Как видно из расчетов, событие С имеет большую вероятность, поскольку количество вероятных положительных исходов выше, чем в А и В.
Такие события не могут одновременно появиться в одном и том же опыте. Как в исп. №1 невозможно одновременно достать синий и красный шар. То есть можно достать либо синий, либо красный шар. Точно так же в игральной кости не могут одновременно появиться четное и нечетное число.
Вероятность двух событий рассматривается как вероятность их суммы или произведения. Суммой таких событий А+В считается такое событие, которое состоит в появлении события А или В, а произведение их АВ - в появлении обоих. Например, появление двух шестерок сразу на гранях двух кубиков в одном броске.
Сумма нескольких событий являет собой событие, предполагающее появление, по крайней мере, одного из них. Произведение нескольких событий - это совместное появление их всех.
В теории вероятности, как правило, употребление союза "и" обозначает сумму, союза "или" - умножение. Формулы с примерами помогут понять логику сложения и умножения в теории вероятностей.
Если рассматривается вероятность несовместных событий, то вероятность суммы событий равна сложению их вероятностей:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Например: вычислим вероятность того, что в исп. №1 с синими и красными шарами выпадет число между 1 и 4. Рассчитаем не в одно действие, а суммой вероятностей элементарных составляющих. Итак, в таком опыте всего 6 шаров или 6 всех возможных исходов. Цифры, которые удовлетворяют условие, - 2 и 3. Вероятность выпадения цифры 2 составляет 1/6, вероятность цифра 3 также 1/6. Вероятность того, что выпадет цифра между 1 и 4 равна:
Вероятность суммы несовместимых событий полной группы равна 1.
Так, если в опыте с кубиком сложить вероятности выпадения всех цифр, то в результате получим единицу.
Также это справедливо для противоположных событий, например в опыте с монетой, где одна ее сторона - это событие А, а другая - противоположное событие Ā, как известно,
Р(А) + Р(Ā) = 1
Умножение вероятностей применяют, когда рассматривают появление двух и более несовместных событий в одном наблюдении. Вероятность того, что в нем появятся события A и B одновременно, равна произведению их вероятностей, или:
Р(А*В)=Р(А)*Р(В)
Например, вероятность того, что в исп. №1 в результате двух попыток два раза появится синий шар, равна
То есть вероятность наступления события, когда в результате двух попыток с извлечением шаров будет извлечены только синие шары, равна 25%. Очень легко проделать практические эксперименты этой задачи и увидеть, так ли это на самом деле.
События считаются совместными, когда появление одного из них может совпасть с появлением другого. Несмотря на то что они совместные, рассматривается вероятность независимых событий. К примеру, бросание двух игральных костей может дать результат, когда на обеих из них выпадает цифра 6. Хотя события совпали и появились одновременно, они независимы друг от друга - могла выпасть всего одна шестерка, вторая кость на нее влияния не имеет.
Вероятность совместных событий рассматривают как вероятность их суммы.
Вероятность суммы событий А и В, которые по отношению к друг другу совместные, равняется сумме вероятностей события за вычетом вероятности их произведения (то есть их совместного осуществления):
Р совместн. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)
Допустим, что вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,4. Тогда событие А - попадание в мишень в первой попытке, В - во второй. Эти события совместные, поскольку не исключено, что можно поразить мишень и с первого, и со второго выстрела. Но события не являются зависимыми. Какова вероятность наступления события поражения мишени с двух выстрелов (хотя бы с одного)? Согласно формуле:
0,4+0,4-0,4*0,4=0,64
Ответ на вопрос следующий: "Вероятность попасть в цель с двух выстрелов равна 64%".
Эта формула вероятности события может быть применима и к несовместным событиям, где вероятность совместно появления события Р(АВ) = 0. Это значит, что вероятность суммы несовместных событий можно считать частным случаем предложенной формулы.
Интересно, что вероятность суммы совместных событий может быть представлена в виде двух областей А и В, которые пересекаются между собой. Как видно из картинки, площадь их объединения равна общей площади за минусом области их пересечения. Это геометрическое пояснения делают более понятной нелогичную на первый взгляд формулу. Отметим, что геометрические решения - не редкость в теории вероятностей.
Определение вероятности суммы множества (больше двух) совместных событий довольно громоздкое. Чтобы вычислить ее, нужно воспользоваться формулами, которые предусмотрены для этих случаев.
Зависимыми события называются в случае, если наступление одного (А) из них влияет на вероятность наступления другого (В). Причем учитывается влияние как появления события А, так и его непоявление. Хотя события и называются зависимыми по определению, но зависимо лишь одно из них (В). Обычная вероятность обозначалась как Р(В) или вероятность независимых событий. В случае с зависимыми вводится новое понятие - условная вероятность Р A (В) , которая является вероятностью зависимого события В при условии произошедшего события А (гипотезы), от которого оно зависит.
Но ведь событие А тоже случайно, поэтому у него также есть вероятность, которую нужно и можно учитывать в осуществляемых расчетах. Далее на примере будет показано, как работать с зависимыми событиями и гипотезой.
Хорошим примером для расчета зависимых событий может стать стандартная колода карт.
На примере колоды в 36 карт рассмотрим зависимые события. Нужно определить вероятность того, что вторая карта, извлеченная из колоды, будет бубновой масти, если первая извлеченная:
Очевидно, что вероятность второго события В зависит от первого А. Так, если справедлив первый вариант, что в колоде стало на 1 карту (35) и на 1 бубну (8) меньше, вероятность события В:
Р A (В) =8/35=0,23
Если же справедлив второй вариант, то в колоде стало 35 карт, и по-прежнему сохранилось полное число бубен (9), тогда вероятность следующего события В:
Р A (В) =9/35=0,26.
Видно, что если событие А условлено в том, что первая карта - бубна, то вероятность события В уменьшается, и наоборот.
Руководствуясь предыдущей главой, мы принимаем первое событие (А) как факт, но если говорить по сути, оно имеет случайный характер. Вероятность этого события, а именно извлечение бубны из колоды карт, равна:
Р(А) = 9/36=1/4
Поскольку теория не существует сама по себе, а призвана служить в практических целях, то справедливо отметить, что чаще всего нужна вероятность произведения зависимых событий.
Согласно теореме о произведении вероятностей зависимых событий, вероятность появления совместно зависимых событий А и В равна вероятности одного события А, умноженная на условную вероятность события В (зависимого от А):
Р(АВ) = Р (А) *Р A (В)
Тогда в примере с колодой вероятность извлечения двух карт с мастью бубны равна:
9/36*8/35=0,0571, или 5,7%
И вероятность извлечения вначале не бубны, а потом бубны, равна:
27/36*9/35=0,19, или 19%
Видно, что вероятность появления события В больше при условии, что первой извлекается карта масти, отличной от бубны. Такой результат вполне логичный и понятный.
Когда задача с условными вероятностями становится многогранной, то обычными методами ее вычислить нельзя. Когда гипотез больше двух, а именно А1,А2,…,А n , ..образует полную группу событий при условии:
Итак, формула полной вероятности для события В при полной группе случайных событий А1,А2,…,А n равна:
Вероятность случайного события крайне необходима во многих сферах науки: эконометрике, статистике, в физике и т. д. Поскольку некоторые процессы невозможно описать детерминировано, так как они сами имеют вероятностный характер, необходимы особые методы работы. Теория вероятности события может быть использована в любой технологичной сфере как способ определить возможность ошибки или неисправности.
Можно сказать, что, узнавая вероятность, мы некоторым образом делаем теоретический шаг в будущее, разглядывая его через призму формул.
Конспект урока
по теме: Случайные события и их вероятности
Цель урока: познакомить студентов с понятиями: события достоверные, невозможные, случайные, абсолютная частота, относительная частота, с классическим определением вероятности, формулой вычисления вероятности событий.
Задачи урока: формирование навыков решения задач на характеристику событий и классическое нахождение вероятности событий; развить у студента умения отличать равновероятные возможности от не равновероятных; воспитание воли, трудолюбия.
Оборудование: мультимедийная доска
Ход урока:
Организационный момент
Актуализация знаний учащихся
О теории вероятности
В повседневной жизни, в практической и научной деятельности часто наблюдаются те или иные явления, проводят определенные эксперименты. В процессе наблюдения или эксперимента приходится встречаться с некоторыми случайными событиями, то есть такими событиями, которые могут произойти или не произойти. Например, поражение мишени или промах при выстреле - случайные события. Выигрыш команды во встрече с соперником, проигрыш или ничейный результат - это тоже случайные события. Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.
Каждый из нас не отделен от окружающего мира глухой стеной, да и в своей жизни мы ежедневно сталкиваемся с вероятностными ситуациями. Проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных ситуациях - все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов личности. Подготовку человека к таким проблемам во всем мире осуществляет школьный курс математики, и в частности ее раздел ""математическая статистика"". Математическая статистика - это раздел математики, который изучает методы обработки и классификации статистических данных для получения научно - обоснованных выводов и принятия решений. В связи с тем, что статистические данные зависят от случайных факторов, математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой.
Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зверя гораздо больше, чем у одного. Поэтому о охотились тогда коллективно. Необоснованно было бы думать. Что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей. Позднее, с опытом, человек все чаще и чаще стал взвешивать события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайность не так уж редко управляют объективные закономерности.
Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то или иное событие в большей серии испытаний со случайными исходами, которые происходят в одинаковых условиях.
Изучение нового материала
Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти
Например, «При подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков»
Говоря о любом случайном событии, мы всегда имеем в виду наличие определенных условий, без которых об этом событии вообще не имеет смысла говорить. Этот комплекс условий называют случайным опытом или случайным экспериментом.
В дальнейшем мы будем называть случайным любое событие, связанное со случайным экспериментом.
Достоверное событие, которое происходят при каждом таком эксперименте.
Невозможное событие, которое никогда не могут произойти.
Предметом теории вероятности является изучение вероятных закономерностей массовых однородных случайных событий.
Рассмотрим несколько примеров случайных экспериментов:
Опыт 1. П одбрасывание монеты. В результате такого эксперимента монета может упасть на одну из двух сторон - «орел» или «решка».
Опыт 2. Подбрасывание кубика. Речь в нем идет об игральном кубике, на гранях которого выбиты точки, символизирующие количество очков от 1 до 6.
Опыт 3. Выбор перчаток. В коробке лежит 3 пары одинаковых перчаток, из нее, не глядя, вытаскивают две перчатки.
Кроме случайного события, с опытом связано еще одно важное понятие - элементарный исход. Исходом (или элементарным исходом, элементарным событием ) называется один из взаимоисключающих друг друга вариантов, которым может завершиться случайный эксперимент.
Определим число возможных исходов в каждом из опытов:
Опыт 1 - 2 исхода: «орел» и «решка»
Опыт 2 - 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Сколько исходов в 3-м опыте? (2 исхода: «перчатки на одну рук» и «перчатки на разные руки»)
В опыте 3 можно предложить более детальное описание исходов: «обе перчатки на левую руку», «обе перчатки на правую руку», «перчатки на разные руки». А можно - перенумеровать все шесть перчаток и тогда число исходов возрастет до 15.
Неэлементарное событие будет состоять из некоторого множества исходов, которые называются благоприятными для этого события. Благоприятны они в том смысле, что приводят к наступлению данного события.
Определение: Абсолютной частотой случайного события А в серии из n случайных опытов называется число, которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие А
Провели испытания:
Бросили 100 раз игральный кубик. При бросании игрального куба на его верхней грани
кубика выпадает очки:
Исходы испытания: 1. Выпадает одно очко.
2. Выпадает два очка.
3. Выпадает три очка.
4. Выпадает четыре очка.
5. Выпадает пять очков.
6. Выпадает шесть очков.
Случайное событие: - выпадет шесть очков.
Частота события: - в данной серии экспериментов «шестёрка» выпала 17 раз
Относительной частотой - отношение частоты к общему числу испытаний. (в нашем случае )
Т. е. относительной частотой случайного события А в серии из n случайных опытов называется число, которое показывает, какая доля опытов в этой серии завершилась наступлением события А.
Рассмотрим событие В, которое означает выпадение на кубе числа очков, кратного 3. Это событие происходит лишь при двух исходах испытания: когда выпало 3 очка и когда выпало 6 очков, т.е. для события В благоприятными являются два исхода из шести равновозможных исходов.
Отношения числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов в рассматриваемом примере равно 2/6. Это отношение вероятностью события В и пишут Р(В) = 2/6.
Обозначение Р происходит от французского слова probabilite, что означает «вероятность».
Если все исходы какого-либо испытания равновозможные, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.
Задача . Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?
Решение.
Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене 25. пусть М - событие, заключающееся в том, что ученику достанется на экзамене билет, к которому он не подготовился. Число благоприятных для события М исходов равно 25 - (11 + 8), т. е. 6. Значит,
.
Задача. Антон и Игорь бросают белый и черный игральные кубики и подсчитывают сумму выпавших очков. Они договорились, что если при очередном бросании в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Антон, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Игорь. Можно ли считать, что шансы выиграть в этой игре у мальчиков одинаковы?
Решение. При бросании кубиков на белом кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому числу очков, выпавших на белом кубике, соответствует шесть вариантов числа очков, выпавших на черном кубике. Все исходы этого испытания приведены в таблице:
(1; 1)
(2; 1)
(3; 1)
(4; 1)
(5; 1)
(6; 1)
(1; 2)
(2; 2)
(3; 2)
(4; 2)
(5; 2)
(6; 2)
(1; 3)
(2; 3)
(3; 3)
(4; 3)
(5; 3)
(6; 3)
(1; 4)
(2; 4)
(3; 4)
(4; 4)
(5; 4)
(6; 4)
(1; 5)
(2; 5)
(3; 5)
(4; 5)
(5; 5)
(6; 5)
(1; 6)
(2; 6)
(3; 6)
(4; 6)
(5; 6)
(6; 6)
В каждой паре на первом месте записано число очков, выпавших на белом кубике, а на втором месте - число очков, выпавших на черном кубике. Указанные исходы испытания равновозможны. Общее число равновозможных исходов равно 36. Пусть событие А означает, что при бросании кубиков в сумме выпало 8 очков, а событие В означает, что в сумме выпало 7 очков.
Для события А благоприятными являются 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2).
Для события В благоприятными являются 6 исходов:
(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).
Отсюда , .
Поэтому шансов выиграть у Игоря больше, чем у Антона.
Закрепление нового материала.
Решить следующие задачи:
Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?
Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет 1 очко? более 3 очков?
Ученик записал в тетради произвольно двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?
В коробке лежит 10 шаров, из них 5 черных, 2 белых, остальные – красные. Какова вероятность вытащить черный шар? вытащить не красный шар?
Андрей и Олег договорились, что если при бросании двух игральных кубиков в сумме выпадет число очков кратное 5, то выигрывает Андрей, а если в сумме выпадет число очков, кратное 6, то выигрывает Олег. Справедлива ли эта игра? У кого из мальчиков больше шансов выиграть? Какова вероятность выигрыша каждого мальчика?
5. Итоги урока.
6. Домашнее задание.
Задача 1. В урне находятся 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны?
Задача 2. Наташа купила лотерейный билет, который участвует в розыгрыше 100 призов на 50000 билетов, а Лена – билет, который участвует в розыгрыше трех призов на 70000. У кого больше шансов выиграть?
В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая. Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении. Основное понятие теории вероятностей - вероятность события (относительная частота события) - объективная мера возможности осуществления данного события.
События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D. Перечислим основные виды случайных событий :
Полной системой событий А 1 , А 2 , А 3 , …, Аn называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании (опыте).
Каждому событию A ставится в соответствие некоторая мера P(A), которая называется вероятностью этого события и которая удовлетворяет следующим аксиомам:
Существует классический и геометрический способы подсчета вероятности события.
При классическом способе подсчета вероятность события А вычисляется по формуле: Р(А)=m/n , где:
Для подсчета n и m часто применяются понятия и формулы комбинаторики :
Геометрический способ подсчета вероятности применяется, когда элементарные исходы эксперимента могут быть интерпретированы как точки отрезка, фигуры или тела.
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством: Р = Длина l / Длина L .
Вероятность попадания точки в плоскую фигуру g, составляющую часть плоской фигуры G: Р = Площадь g/Площадь G .
Вероятность попадания точки в пространственную фигуру υ, которая составляет часть фигуры V: Р = Объем υ /Объем V .
Задача 1
В 11-м классе 30 человек. 18 человек изучают английский язык, 16 – немецкий, 9 – оба языка. Сколько человек изучают а) только английский язык, б) только немецкий язык, в) не изучают ни одного языка?
Решение.
а) поскольку 18 человек изучают английский, из них 9 изучают и английский и немецкий, то 18–9=9 человек изучают
только английский язык;
б) поскольку 16 человек изучают немецкий, из них 9 изучают и немецкий и английский,
то 16–9=7 человек изучают только немецкий язык;
в) поскольку в классе 30 человек, из них 9 изучают только английский, 7 – только
немецкий, 9 – оба языка, то 30 – (9+7+9) = 5 человек не изучают ни одного языка.
Задача 2
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фикус»?
Решение. В данном случае необходимо найти число перестановок из 5 букв, а поскольку в слове «фикус» все буквы разные, то число перестановок определяем по формуле: P 5 =5!=1*2*3*4*5=120.
Задача 3
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «ответ»?
Решение. Необходимо найти число перестановок из 5 букв, но в отличие от задачи 2, здесь имеются повторяющиеся буквы – буква «т» повторяется дважды. Поэтому число способов определим по формуле перестановок с повторениями: P 5 (1, 2, 1, 1) = 5! / 2! = 60.
Задача 4
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете учащемуся не достанется вопрос по производной.
Решение.
В данном случае число благоприятных исходов равно (25-10)=15, общее число событий – 25.
Вероятность события А = {учащемуся не достанется вопрос по производной} находим как отношение:
Р(А)=15/25=0,6.
Задача 5
В ящике имеется 15 деталей, среди которых 8 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
Решение. Событие А = {извлечены три окрашенных детали}.
Общее число всех возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми
можно извлечь 3 детали из 15:
n = С 15 3 =15! / 3!(15-3)!=15! / (3!*12!) = 13*7*5=455.
Число благоприятных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из
8 окрашенных:
m = С 8 3 =8! / 3!(8-3)!= 8! / (3!*5!)=7*8=56.
Вероятность события А находим как отношение: Р(А) = m/n= 56/455≈0,12
Задача 6
Среди 17 студентов группы, из которых 8 – девушки, разыгрывается 7 билетов в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки и 3 юношей?
Решение. Событие А = {среди обладателей билетов ровно 4 девушки} .
Общее число возможных элементарных исходов розыгрыша равно числу способов, которыми можно выбрать 7 человек из всех студентов группы, т. е. из 17: n = С 17 7 =17! / 7!(17-7)!= 17! / (7!*10!)=19448.
Число благоприятных исходов (среди 7 обладателей билетов 4 девушки и 3 юношей) найдем, учитывая, что 4-х девушек их 8 можно выбрать С 8 4 способами, а 3-х юношей из 9 можно выбрать С 9 3 способами. Следовательно, m = С 8 4 *С 9 3 = 8!9! / 4!(8-4)!3!(9-3)! = 5880.
Вероятность события А находим как отношение: Р(А) = m/n= 5880/19448≈0,3
Событие – любое явление, в отношении которого имеет смысл говорить, наступило оно или не наступило в результате определенного комплекса условий или случайного эксперимента. Отсюда следует, что событие можно рассматривать, как величину, которая может принимать только два значения.
Можно выделить виды событий.
Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит при каждом осуществлении определенной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение не менее одного и не более шести очков является достоверным событием.
Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет ни при одном осуществлении данной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение более шести очков является невозможным событием.
Событие называется случайным, если оно может произойти, а может и не произойти при осуществлении данной совокупности условий. Например, если брошена игральная кость, то выпадение любого из шести очков является случайным событием.
События называются несовместимыми, если их одновременное появление при осуществлении данной совокупности условий невозможно, т. е. появление события А в данном испытании исключает появление события В в этом же испытании. Например, если из урны с черными и белыми шарами случайным образом извлекается белый шар, то его появление исключает извлечение черного шара в той же попытке.
События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием. Например, если стрелок произвел выстрел, то обязательно происходит одно из двух событий – попадание или промах. Эти события единственно возможные.
Совокупность единственно возможных событий испытания называется полной группой событий.
События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие. Например, появление герба или решетки при бросании монеты есть события равновозможные.
Если – какое либо событие, то событие, состоящее в том, что событие не наступило, называется событием противоположным событию или отрицанием события и обозначается .
Суммой событий и называется такое событие, обозначаемое , которое происходит только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий или или оба вместе.
Произведением событий и называется такое событие, обозначаемое , которое происходит только тогда, когда происходят оба события и одновременно. Если и несовместимые события, то событие является невозможным.
События, происходящие при реализации определенного комплекса условий или в результате случайного эксперимента, называются элементарными исходами. Считается, что при проведении случайного эксперимента реализуется только один из возможных элементарных исходов. Множество всех элементарных исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных исходов.
Те элементарные исходы, при которых наступает интересующее нас событие, называются исходами, благоприятствующимиэтому событию.
Вероятностьсобытия – это отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу всех возможных и равновозможных элементарных исходов эксперимента , где – число элементарных исходов, благоприятствующих событию ; – число всех возможных элементарных исходов эксперимента.
Можно определить следующие свойства вероятности:
– вероятность достоверного события равна 1;
– вероятность невозможного события равна 0;
– вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1: .
Математическое понятие вероятности случайного события является абстрактной характеристикой, присущей не самим интересующим нас объектам материального мира, а их теоретико-множественным моделям. Требуется некоторое дополнительное соглашение для того, чтобы можно было извлекать сведения о вероятностях из экспериментальных данных. В соответствии с классическим определением принято оценивать вероятность события относительной частотой благоприятных исходов опыта. Если проведено N независимых испытаний и в n из них наблюдалось событие , то эмпирическая (выборочная) оценка вероятности , которую можно получить из этой серии, равна: . При этом полагают, что , если число испытаний .
Основные теоремы теории вероятностей
1. Теорема сложения вероятностей . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их одновременного наступления
Если и несовместимые события, то событие является невозможным. Следовательно,
. Обобщая на несколько попарно несовместимых событий, можно записать 
.
Если события 
образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице:
. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: 
.
2. Теорема умножения вероятностей.
Предположим, что из общего числа
исходов испытания событию
благоприятствуют
элементарных исходов, событию
благоприятствуют
элементарных исходов, а одновременному наступлению событий
и
благоприятствуют
элементарных исходов. Если событие
наступило, то это означает, что осуществился один из
благоприятствующих ему исходов, причем из этих
исходов благоприятствовать событию
будут и те
исходов, при которых события
и
наступают одновременно. В связи с этим вводится понятие условной вероятности. Условной вероятностью
называют вероятность события
, вычисленную в предположении, что событие
уже наступило. Независимыми
событиями называются события, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого. Если событие
независимо от события
, то 
. События называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий независимо в паре с любым произведением остальных событий, содержащим как все остальные события, так и любую их часть. Независимость событий в совокупности влечет за собой попарную независимость этих событий. Для двух случайных зависимых событий вероятность произведения этих событий (т. е. одновременного появления в одном испытании) равна произведению вероятностей
одного из них на условную вероятность другого, рассчитанную при условии, что первое событие уже произошло:
. Если событие
независимо от события
, то
. Вероятность одновременного появления нескольких попарно независимых событий равна произведению их вероятностей: 
.
3. Теорема полной вероятности.
Пусть имеется группа событий 
, обладающих следующими свойствами: а) все события попарно несовместимы; б) их объединение образует пространство элементарных исходов; в) они образуют полную группу событий. Такие события называют гипотезами, поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит. Пусть
– некоторое событие, которое может произойти при наступлении одного и только одного из событий . Это означает, что 
. Вероятность события
, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события
: 
. Приведенная формула называется формулой полной вероятности.
4. Формула Байеса.
Пусть, как и в предыдущем случае имеем совокупность события
и группы событий , обладающих теми же свойствами. Допустим, что событие
произошло и требуется определить, как в связи с этим изменились вероятности гипотез, т. е.
. Эта задача решается с помощью формулы Байеса 
. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие
, т. е. найти апостериорные вероятности. Используя понятие условной вероятности формулу Байеса можно интерпретировать как вероятность того, что причиной появления события
является событие
.
5. Формула Бернулли.
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие
может появиться, либо не появиться. Будем считать, что вероятность события
в каждом испытании одна и та же и равна . Следовательно, вероятность ненаступления события
в каждом испытании также постоянна и равна . Вероятность того, что при этих условиях при n
испытаниях событие
произойдет ровно k
раз и, следовательно, не произойдет
раз определяется по формуле Бернулли 
, где 
. Формулу Бернулли называют также формулой биномиального распределения вероятностей, поскольку в правой ее части стоит -й член бинома Ньютона.
6. Локальная теорема Лапласа.
При больших формулой Бернулли пользоваться затруднительно из-за громоздкости вычислений. Для этого случая доказана так называемая локальная теорема Лапласа, дающая асимптотическую формулу, которая позволяет приближенной найти вероятность появления события раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико 
, где 
и . Для функции составлены таблицы, соответствующие положительным значениям аргумента , поскольку .
Формула Лапласа дает тем большую точность, чем больше .
Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом .
Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем называть пространством элементарных событий W (элементарное событие соответствует элементарному исходу).
Случайными событиями (событиями), будем называть подмножества пространства элементарных событий W .
Пример 1. Подбросим монету один раз. Монета может упасть цифрой вверх - элементарное событие w ц (или w 1), или гербом - элементарное событие w Г (или w 2). Соответствующее пространство элементарных событий W состоит из двух элементарных событий:
W = {w ц,w Г } или W = {w 1 ,w 2 }.
Пример 2. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 }, где w i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, A W .
Пример 3. На отрезке наугад (случайно) поставлена точка. Измеряется расстояние точки от левого конца отрезка. В этом опыте пространство элементарных событий W = - множество действительных чисел на единичном отрезке.
В более точных, формальных терминах элементарные события и пространство элементарных событий описывают следующим образом.
Пространством элементарных событий называют произвольное множество W , W ={w }. Элементы w этого множества W называют элементарными событиями.
Понятия элементарное событие, событие, пространство элементарных событий , являются первоначальными понятиями теории вероятностей. Невозможно привести более конкретное описание пространства элементарных событий. Для описания каждой реальной модели выбирается соответствующее пространство W .
Событие W называется достоверным событием.
Достоверное событие не может не произойти в результате эксперимента, оно происходит всегда .
Пример 4. Бросаем один раз игральную кость. Достоверное событие состоит в том, что выпало число очков, не меньше единицы и не больше шести, т.е. W = {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 }, где w i - выпадение i очков, - достоверное событие.
Невозможным событием называется пустое множество .
Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда .
Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно происходит иногда .
Пример 5. Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие .
Противоположным событию A называется событие, состоящее в том, что событие A не произошло. Обозначается , .
Пример 6. Бросаем один раз игральную кость. Событие A тогда событие - выпадение нечетного числа очков. Здесь W = {w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 }, где w i - выпадение i очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, = .
Несовместными событиями называются события
A и B , для которых A B = .Пример 7. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, событие B - выпадение числа очков, меньшего двух. Событие A B состоит в выпадении четного числа очков, меньшего двух. Это невозможно, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, B = {w 1 }, A B = , т.е. события A и B - несовместны.
Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B.
Пример 8. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w 1 , w 2 , w 3 , w 4 , w 5 , w 6 }, где элементарное событие w i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A B B = {w 5 , w 6 }.
Событие A + B = {w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 } состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A , либо событие B. Очевидно, что A + B W .
Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB .
Пример 9. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = { w 1 , w 2 , w 3 ,w 4 , w 5 ,w 6 }, где элементарное событие w i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5 , w 6 }.
Событие A B состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошли оба события, и событие A и событие B, A B = {w 6 } A B W .
Разностью событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий принадлежащих A , но не принадлежащих B. Обозначается A\B .
Пример 10. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2 ,w 4 ,w 6 }, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5 , w 6 }. Событие A\ B = {w 2 ,w 4 } состоит в том, что выпало четное число очков, не превышающее четырех, т.е. произошло событие A и не произошло событие B, A\B W .
Очевидно, что
A + A = A, AA = A, 
.
Нетрудно доказать равенства:
, (A+B )C= AC + BC .
Определения суммы и произведения событий переносятся на бесконечные последовательности событий:
, событие, состоящее
из элементарных событий, каждое из которых
принадлежит хотя бы одному из;
, событие, состоящее
из элементарных событий, каждое из которых
принадлежит одновременно всем .
Пусть W - произвольное пространство элементарных событий, а - такая совокупность случайных событий, для которой справедливо: W , AB, A+B и A\B, если A и B.
Числовая функция P, определенная на совокупности событий , называется вероятностью, если: (A ) 0 для любого A из ; (W ) = 1;
Тройку называют вероятностным пространством .
