Среди многочисленных расчетов, производимых для вычисления тех или иных величин различных есть нахождение гипотенузы треугольника. Напомним, что треугольником называется многогранник, имеющий три угла. Ниже будут приведены несколько способов расчета гипотенузы различных треугольников.
Первоначально посмотрим, как найти гипотенузу прямоугольного треугольника. Для тех, кто подзабыл, прямоугольным называется треугольник, имеющий угол 90 градусов. Сторона треугольника, расположенная на противоположной стороне прямого угла, называется гипотенузой. К тому же, она является наиболее длинной стороной треугольника. В зависимости от известных величин длина гипотенузы рассчитывается следующим образом:
Рассмотрим пример: Дан треугольник с прямым углом. Один катет равен 3 см, другой 4см. Найти гипотенузу. Решение выглядит следующим образом.
FB2= BK2+ KF2= (3см)2+(4см)2= 9см2+16см2=25 см2. Извлекаем и получаем FB=5см.
Рассмотрим на примере. Дан все тот же прямоугольный треугольник BKF с гипотенузой FB. Пусть угол F равен 30 градусам, второй угол B соответствует 60 градусам. Еще известен катет BK, длина которого соответствует 8 см. Вычислить искомую величину можно так:
FB = BK /cos60 = 8 см.
FB = BK /sin30 = 8 см.
Если стоит вопрос, как найти гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, то необходимо обратится все к той же теореме Пифагора. Но, в первую очередь вспомним, что равнобедренным треугольником, является треугольник, имеющий две одинаковые стороны. В случае с прямоугольным треугольником одинаковыми сторонами являются катеты. Имеем FB2= BK2+ KF2, но, так как BK= KF имеем следующее: FB2=2 BK2, FB= BK√2
Как видите, зная теорему Пифагора и свойства прямоугольного треугольника, решить задачи, при которых необходимо вычислить длину гипотенузы, очень просто. Если же все свойства запомнить сложно, выучите готовые формулы, подставив в которые известные значения можно будет рассчитать искомую длину гипотенузы.
Как известно, геометрия – непростая наука, требующая особой аккуратности и точности в решении задач. Многие выражения и формулы, которые мы впоследствии используем в более сложных вычислениях, изложены в учебниках по математике 6-7 класса. Чтобы сделать процесс изучения тригонометрических функций более простым и приятным, в этой статье мы рассмотрим несколько коротких способ вычисления гипотенузы прямоугольного треугольника.
Вспомним немного теории: прямоугольным треугольником называют плоскую фигуру, у которой есть три угла. Один из них имеет величину 90º, а стороны называют катетами и гипотенузой. Та сторона, которая противолежит прямому углу, и есть гипотенуза, а остальные две – это прилежащие катеты. Главная игра сторон проявляется в теореме Пифагора, согласно которой гипотенуза равняется сумме квадратов катетов. Однако это лишь кажется запутанным, ведь на самом деле все гораздо проще.
Перед тем, как найти гипотенузу треугольника, необходимо разобраться, какие особенности имеет данная фигура. Рассмотрим главные из них:
Найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике можно несколькими способами. Самым простым решением является вычисление через катеты. Допустим, вам известны значения катетов сторон А и В. Тогда на выручку приходит теорема Пифагора, повествующая нам, что если поставить каждую величину катета в квадрат и просуммировать полученные данные, мы узнаем чему равна гипотенуза. Таким образом, нам необходимо просто извлечь значение квадратного корня:
Например, если катет А = 3 см, а катет В = 4 см, тогда вычисление будет иметь следующий вид:
Еще одним способом, который поможет узнать, чему равна гипотенуза в прямоугольном треугольнике, является вычисление через заданный угол. Для этого нам потребуется вывести величину через формулу синуса. Допустим, нам известна величина катета (А) и значение противолежащего угла (α). Тогда все решение заключается в одной формуле: С=А/sin(α).
Например, если длина катета 40 см, а угол составляет 45°, тогда длину гипотенузы можно вывести следующим образом:
40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.
Определить искомую величину можно также через косинус заданного угла. Допустим, нам известно значение одного катета (В) и острого прилежащего угла (α). Тогда для решения задачи понадобится одна формула: С=В/ cos(α).
К примеру, если длина катета имеет значение 50 см, а угол составляет 45°, тогда гипотенузу можно вычислить следующим образом:
50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.
Таким образом, мы рассмотрели основные способы как узнать гипотенузу в треугольнике. В ходе решения задания важно сконцентрировать внимание на имеющихся данных, тогда найти неизвестную величину будет достаточно просто. Необходимо знать всего пару формул и процесс решения задач станет простым и приятным.
Инструкция
Пусть известен один из катетов прямоугольного треугольника. Предположим |BC| = b. Тогда мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, согласно гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a^2 + b^2 = c^2. Из данного уравнения находим неизвестный катет |AB| = a = √ (c^2 - b^2).
Пусть известен один из углов прямоугольного треугольника, предположим ∟α. Тогда AB и BC прямоугольного треугольника ABC можно найти, используя тригонометрические функции. Так получаем: синус ∟α равен отношению противолежащего катета sin α = b / c, косинус ∟α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе cos α = a / c. Отсюда находим требуемые длины сторон: |AB| = a = с * cos α, |BC| = b = c * sin α.
Пусть известно соотношение катетов k = a / b. Также решаем задачу с использованием тригонометрических функций. Отношение a / b есть ни что иное, как котангенс ∟α: прилежащего катета ctg α = a / b. В этом случае из данного равенства выражаем a = b * ctg α. И подставляем в теорему Пифагора a^2 + b^2 = c^2:
b^2 * ctg^2 α + b^2 = c^2. Выносим b^2 за скобки, получаем b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. И отсюда легко получаем длину катета b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.
По аналогии, если известно соотношение катетов b / a, решаем задачу с применением тангенс tg α = b / a. Подставляем значение b = a * tg α в теорему Пифагора a^2 * tg^2 α + a^2 = c^2. Отсюда a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.
Рассмотрим частные случаи.
∟α = 30°. Тогда |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.
∟α = 45°. Тогда |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.
Видео по теме
Обратите внимание
Квадратные корни извлекаются с положительным знаком, т.к. длина не может быть отрицательной величиной. Это кажется очевидным, но данная ошибка очень распространена, если решать задачу на автомате.
Полезный совет
Для нахождения катетов прямоугольного треугольника удобно использовать формулы приведения: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.
Источники:
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника рассматриваются в разделе математики, который называется тригонометрией. Для нахождения сторон прямоугольного треугольника достаточно знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, и иметь какое-либо средство для нахождения значений тригонометрических функций, например, калькулятор или таблицы Брадиса. Рассмотрим ниже основные случаи задач нахождения сторон прямоугольного треугольника.
Вам понадобится
Инструкция
Если вам задан один из острых углов, например, A, и гипотенуза, то катеты можно найти из определений основных тригонометрических :
a= c*sin(A), b= c*cos(A).
Если задан один из острых углов, например, A, и один из катетов, например, a, то гипотенуза и другой катет вычисляются из соотношений: b=a*tg(A), c=a*sin(A).
Полезный совет
В том случае, если вам не известно значение синуса или косинуса какого-то из необходимых для расчёта углов, вы можете воспользоваться таблицами Брадиса, в них приводятся значения тригонометрических функций для большого числа углов. Кроме того, большинство современных калькуляторов способны рассчитывать синусы и косинусы углов.
Источники:
Треугольник , один из углов которого является прямым (равен 90°), называют прямоугольным. Его самая длинная сторона всегда лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой, а две другие стороны называют катетами. Если длины этих трех сторон известны, то найти величины всех углов треугольник а не составит труда, так как фактически потребуется вычислить всего один из углов. Сделать это можно несколькими способами.
Инструкция
Используйте для вычисления величин (α, β, γ) определения тригонометрических функций через прямоугольный тре. Такое , например, для синуса острого угла как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Значит, если длины катетов (A и B) и гипотенузы (C), то найти, например, синус угла α, лежащего напротив катета A можно, разделив длину стороны А на длину стороны C (гипотенузы): sin(α)=A/C. Узнав значение синуса этого угла можно найти его величину в градусах, использовав обратную синусу функцию - арксинус. То есть α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Таким же способом можно найти и величину острого угла в треугольник е, но в этом нет необходимости. Так как сумма всех углов треугольник а составляет 180°, а в треугольник е один из углов равен 90°, то величину третьего угла можно посчитать как разность между 90° и величиной найденного угла: β=180°-90°-α=90°-α.
Вместо определения синуса можно использовать определение косинуса острого угла, которое формулируется как отношение длины прилежащего к искомому углу катета к длине гипотенузы: cos(α)=B/C. И здесь задействуйте обратную тригонометрическую функцию (арккосинус), чтобы найти величину угла в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). После этого, как и в предыдущем шаге, останется найти величину недостающего угла: β=90°-α.
Можно воспользоваться аналогичным тангенса - он выражается соотношением длины противолежащего искомому углу катета к длине катета прилежащего: tg(α)=A/B. Величину угла в градусах снова определяйте через обратную тригонометрическую функцию - : α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формула величины недостающего угла останется без изменений: β=90°-α.
Видео по теме
Прямоугольным считается такой треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона треугольника , расположенная напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами. Чтобы найти длины сторон прямоугольного треугольника , можно воспользоваться несколькими способами.
Инструкция
Можно узнать третьей стороны
, зная длины двух других сторон треугольника
. Это можно выполнить с помощью теоремы Пифагора, которая гласит, что квадрат прямоугольного треугольника
сумме квадратов его катетов. (a² = b²+ c²). Отсюда можно выразить длины всех сторон прямоугольного треугольника
:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
К примеру, у прямоугольного треугольника
известна длина гипотенузы a (18 см) и одного из катетов, например c (14 см). Чтобы длину
другого катета, требуется совершить 2 алгебраических действия:
с² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 см
c = √128 см
Ответ: длина катета составляет √128 см или, приблизительно, 11.3 см
Можно прибегнуть к , если известны длина гипотенузы и величина одного из острых данного прямоугольного треугольника
. Пусть длина c, один из острых углов равен α. В таком случае, найти 2 другие стороны
прямоугольного треугольника
можно будет при помощи следующих формул:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Можно привести : длина гипотенузы равна 15 см, один из острых углов равен 30 градусам. Для нахождения длин двух других сторон нужно выполнить 2 действия:
a = 15*sin30 = 15*0.5 = 7.5 см
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 см (приблизительно)
Самый нетривиальный способ найти длину
стороны
прямоугольного треугольника
- это выразить ее из периметра данной фигуры:
P = a + b + c, где P - периметр прямоугольного треугольника
. Из этого выражения легко выразить длину
любой из сторон прямоугольного треугольника
.
Знания всех трех сторон в прямоугольном треугольнике более чем достаточно для вычисления любого из его углов. Этой информации настолько много, что у вас даже появляется возможность выбрать, которые из сторон задействовать в расчетах, чтобы использовать наиболее вам симпатичную тригонометрическую функцию.
Инструкция
Если вы предпочтете иметь дело с арксинусом, используйте в расчете длину гипотенузы (С) - самой длинной стороны - и того катета (А), который лежит напротив искомого угла (α). Деление длины этого катета на длину гипотенузы даст величину синуса искомого угла, а обратная синусу функция - арксинус - из полученного значения восстановит величину угла в . Поэтому используйте в вычислениях такую : α = arcsin(A/C).
Для замены арксинуса арккосинусом задействуйте в вычислениях длины тех сторон, которые и образуют искомый угол (α). Одна из них будет гипотенузой (С), а другая - катетом (В). По определению косинус - длины прилегающего к углу катета к длине гипотенузы, а угла из значения косинуса функция арккосинус. Используйте такую формулу расчетов: α = arccos(B/C).
Можно использовать в расчетах . Для этого вам нужны длины двух коротких сторон - катетов. Тангенс острого угла (α) в прямоугольном треугольнике определяется отношением длины катета (А), лежащего напротив него, к длине прилежащего катета (В). По аналогии с описанными выше вариантами используйте такую формулу: α = arctg(А/B).
Формула
c2=a2+b2, где с – гипотенуза, a и b – катеты. То есть, гипотенуза будет равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Чтобы найти любой из катетов, достаточно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета и извлечь из полученной разности квадратный корень.
Таким образом, зная угол и одну из сторон, можно по этим формулам вычислить другую сторону. Тригонометрическими соотношениями связаны и оба катета. Отношение противолежащего к прилежащему называется тангенсом, а прилежащего к противолежащему – котангенсом. Выразить эти соотношения можно формулами tgA=a/b или ctgA=b/a.
Инструкция
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен 90 градусов. Он состоит из двух катетов и гипотенузы. Гипотенузой называют большую сторону этого треугольника. Она лежит против прямого угла. Катетами, соответственно, называют меньшие его стороны. Они могут быть как равны между собой, так и иметь разную величину. Равенство катетов , что вы работаете с прямоугольным треугольником. Прелесть его в том, что он объединяет в себе двух фигур: прямоугольного и равнобедренного треугольника. Если катеты не равны, то треугольник произвольный и основному закону: чем больше угол, тем больше лежащий напротив него катит.
Существует несколько способов нахождения гипотенузы по и углу. Но прежде чем воспользоваться одним из них, следует определить, какой и угол известны. Если дан угол и прилежащий к нему катет, то гипотенузу легче все найти по косинусу угла. Косинусом острого угла (cos a) в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Отсюда вытекает, что гипотенуза (с) будет равна отношению прилежащего катета (b) к косинуса угла a (cos a). Это можно записать так: cos a=b/c => c=b/cos a.
Если дан угол и противолежащий катет, то следует работать . Синус острого угла (sin a) в прямоугольном треугольнике есть отношение противолежащего катета (a) к гипотенузе (c). Здесь принцип, что и в предыдущем примере, только вместо функции косинуса берется синус. sin a=a/c => c=a/sin a.
Также можно воспользоваться такой тригонометрической функцией, как . Но нахождение искомой величины слегка усложнится. Тангенсом острого угла (tg a) в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета (а) к прилежащему (b). Найдя оба катета, примените теорему Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) и большая будет найдена.
Обратите внимание
Работая с теоремой Пифагора, не забывайте, что вы имеете дело со степенью. Найдя сумму квадратов катетов, для получения окончательного ответа следует извлечь квадратный корень.
Источники:
Гипотенузой называется сторона в прямоугольном треугольнике, которая находится напротив угла в 90 градусов. Для того, чтобы рассчитать его длину, достаточно знать длину одного из катетов и величину одного из острых углов треугольника.
Инструкция
При известном и остром угле прямоугольного , то размер гипотенузы быть отношению катета к / этого угла, если данный угол является ему противолежащим/прилежащим:
h = C1(или C2)/sinα;
h = С1(или С2)/cosα.
Пример: Пусть дан ABC с гипотенузой AB и C. Пусть угол B равен 60 градусам, а угол A 30 градусам Длина катета BC 8 см. Надо длину гипотенузы AB. Для этого можно воспользоваться любым из предложенных выше способов:
AB = BC/cos60 = 8 см.
AB = BC/sin30 = 8 см.
Слово «катет » происходит от греческих слов «перпендикуляр» или «отвесный» - это объясняет, почему именно так назвали обе стороны прямоугольного треугольника, составляющие его девяностоградусный угол. Найти длину любого из катет ов нетрудно, если известна величина прилегающего к нему угла и еще какой-либо из параметров, так как в этом случае фактически станут известны величины всех трех углов.
Инструкция
Если кроме величины прилегающего угла (β) известна длина второго катет а (b), то длину катет а (a) можно определить как частное от деления длины известного катет а на известного угла: a=b/tg(β). Это вытекает из определения этой тригонометрической . Можно обойтись без тангенса, если воспользоваться теоремой . Из нее следует, что длины искомой к синусу противолежащего угла отношению длины известного катет а к синусу известного угла. Противолежащий искомому катет у острый угол можно выразить через известный угол как 180°-90°-β = 90°-β, так как сумма всех углов любого треугольника должна составлять 180°, а один из его углов равен 90°. Значит, искомую длину катет а можно вычислить по формуле a=sin(90°-β)∗b/sin(β).
Если известны величина прилегающего угла (β) и длина гипотенузы (c), то длину катет а (a) можно вычислить как произведение длины гипотенузы на косинус известного угла: a=c∗cos(β). Это вытекает из определения косинуса, как тригонометрической функции. Но можно воспользоваться, как и в предыдущем шаге, теоремой синусов и тогда длина искомого катет а будет равняться произведению синуса между 90° и известным углом на отношение длины гипотенузы к синусу прямого угла. А поскольку синус 90° равен единице, то можно записать так: a=sin(90°-β)∗c.
Практические вычисления можно производить, например, при помощи имеющегося в составе ОС Windows программного калькулятора. Для его запуска можно в главном меню на кнопке «Пуск» выбрать пункт «Выполнить», набрать команду calc и нажать кнопку «OK». В открывающемся по умолчанию простейшем варианте интерфейса этой программы тригонометрические функции не предусмотрены, поэтому после его запуска надо щелкнуть в меню раздел «Вид» и выбрать строку «Научный» или «Инженерный» (зависит от используемой версии операционной системы).
Видео по теме
Слово «катет» пришло в русский язык из греческого. В точном переводе оно означает отвес, то есть перпендикуляр к поверхности земли. В математике катетами называются стороны, образующие прямой угол прямоугольного треугольника. Противолежащая этому углу сторона называется гипотенузой. Термин «катет» применяется также в архитектуре и технологии сварочных работ.
Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Обозначьте его катеты как а и b, а гипотенузу - как с. Все стороны и углы прямоугольного треугольника между собой определенными . Отношение катета, противолежащего одному из острых углов, к гипотенузе называется синусом данного угла. В данном треугольнике sinCAB=a/c. Косинус - это отношение к гипотенузе прилежащего катета, то есть cosCAB=b/c. Обратные отношения называются секансом и косекансом.
Секанс данного угла получается при делении гипотенузы на прилежащий катет, то есть secCAB=c/b. Получается величина, обратная косинусу, то есть выразить ее можно по формуле secCAB=1/cosSAB.
Косеканс равен частному от деления гипотенузы на противолежащий катет и это величина, обратная синусу. Она может быть рассчитана по формуле cosecCAB=1/sinCAB
Оба катета связаны между собой и котангенсом. В данном случае тангенсом будет отношение стороны a к стороне b, то есть противолежащего катета к прилежащему. Это отношение может быть выражено формулой tgCAB=a/b. Соответственно, обратным отношением будет котангенс: ctgCAB=b/a.
Соотношение между размерами гипотенузы и обоих катетов определил еще древнегреческий Пифагор. Теоремой, его именем, люди пользуются до сих пор. Она гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть с2=a2+b2. Соответственно, каждый катет будет равняться квадратному корню из разности квадратов гипотенузы и другого катета. Эту формулу можно записать как b=√(с2-а2).
Длину катета можно выразить и через известные вам соотношения. Согласно теоремам синусов и косинусов, катет равен произведению гипотенузы на одну из этих функций. Можно его выразить и или котангенс. Катет а можно найти, например, по формуле a = b*tan CAB. Точно таким же образом, в зависимости от заданных тангенса или , определяется и второй катет.
В архитектуре также используется термин «катет». Он применяется по отношению к ионической капители и отвес через середину ее задка. То есть и в этом случае этим термином перпендикуляр к заданной линии.
В технологии сварочных работ есть «катет углового шва». Как и в других случаях, это самое короткое расстояние. Здесь речь идет о промежутке между одной из свариваемых деталей до границы шва, находящегося на поверхности другой детали.
Видео по теме
Источники:
