В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества Э. Шрёдингер получил в 1926 г. свое знаменитое уравнение. Шрёдингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой «пси» (). Мы будем называть ее пси-функцией.
Пси-функция характеризует состояние микрочастицы. Вид функции получается из решения уравнения Шрёдингера, которое выглядит следующим образом:
Здесь - масса частицы, i - мнимая единица, - оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных по координатам:
Буквой U в уравнении (21.1) обозначена функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу. В случае, когда функция U не зависит явно от времени, она имеет смысл потенциальной энергии частицы.
Из уравнения (21.1) следует, что вид пси-функции определяется функцией U, т. е. в конечном счете характером сил, действующих на частицу.
Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами.
Шрёдингер установил свое уравнение, исходя из оптико-механической аналогии. Эта аналогия заключается в сходстве уравнений, описывающих ход световых лучей, с уравнениями, определяющими траектории частиц в аналитической механике. В оптике ход лучей удовлетворяет принципу Ферма (см. § 115 2-го тома), в механике вид траектории удовлетворяет так называемому принципу наименьшего действия.
Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то функция V не зависит явно от времени и имеет, как уже отмечалось, смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шрёдингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой - только от времени:
Здесь Е - полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Чтобы убедиться в справедливости выражения (21.3), подставим его в уравнение (21.1). В результате получим соотношение
Сократив на общий множитель придем к дифференциальному уравнению, определяющему функцию
Уравнение (21.4) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний. В дальнейшем мы будем иметь дело только с этим уравнением и для краткости будем называть его просто уравнением Шрёдингера. Уравнение, (21.4) часто пишут в виде
Поясним, как можно прийти к уравнению Шрёдингера. Для простоты ограничимся одномерным случаем. Рассмотрим свободно движущуюся частицу.
Согласно идее де-Бройля ей нужно сопоставить плоскую волну
(в квантовой механике принято показатель экспоненты брать со знаком минус). Заменив в соответствии с (18.1) и (18.2) через Е и , придем к выражению
Продифференцировав это выражение один раз по t, а второй раз дважды по х, получим
В нерелятивистской классической механике энергия Е и импульс свободной частицы связаны соотношением
Подставив в это соотношение выражения (21.7) для Е и и сократив затем на , получим уравнение
которое совпадает с уравнением (21.1), если в последнем положить
В случае частицы, движущейся в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, энергия Е и импульс связаны соотношением
Распространив и на этот случай выражения (21.7) для Е и получим
Умножив это соотношение на , перенеся член влево, придем к уравнению
совпадающему с уравнением (21.1).
Изложенные рассуждения не имеют доказательной силы и не могут рассматриваться как вывод уравнения Шрёдингера. Их цель - пояснить, каким образом можно было прийти к установлению этого уравнения.
В квантовой механике большую роль играет понятие Под оператором подразумевают правило, посредством которого одной функции (обозначим ее ) сопоставляется другая функция (обозначим ее ). Символически это записывается следующим образом:
Здесь - символическое обозначение оператора (с таким же успехом можно было взять любую другую букву с «шляпкой» над ней, например и т. д.). В формуле (21.2) роль Q играет роль - функция F, а роль f - правая часть формулы.
Статистическое толкование волн де Бройля (см. §216) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. §215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции (х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина || 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т. е. в области с координатами х и х +d х, у и y+dy, z и z+dz . Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид
где h =h/(2 ), m - масса частицы -
оператор Лапласа (=д 2 / д x 2 +д 2 / д y 2
+д 2 /д z 2), i - мнимая единица, U (х, у, z, t)
Потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется,
(х, у, z, t) - искомая волновая функция частицы.
Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. §225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. §216); 2) производные д /д x, д /д y, д /д z, д /д t должны быть непрерывны;
3) функция || 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).
Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154)
(x,t)=Acos( t-kx), или в комплексной записи
(х, t) =Aе i ( t-kx) .
Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид
=Ae -(i/h)(Et-px) (217.2)
(учтено, что =E/h, k=p/h). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только| | 2 , то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда
Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом р(Е=р 2 /(2 m )) и подставляя выраже-
ния (217.3), получим дифференциальное уравнение
которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U =0 (мы рассматривали свободную частицу).
Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения и используя взаимосвязь между Е и р для данного случая р 2 /(2 m )=Е -U, придем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).
Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.
Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний - состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U =U (х, у, z ) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем е - i t =е -i(E/h0t , так что
(х, у, z , t) =(х, у, z) e -i(E/h)t ,
где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим
откуда после деления на общий множитель e -i(E/h)t и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию :
Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.
В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.
1. Введение
Квантовая теория родилась в 1900 г., когда Макс Планк предложил теоретический вывод о соотношении между температурой тела и испускаемым этим телом излучением - вывод, который долгое время ускользал от других ученых, Как и его предшественники, Планк предположил, что излучение испускают атомные осцилляторы, но при этом считал, что энергия осцилляторов (и, следовательно, испускаемого ими излучения) существует в виде небольших дискретных порций, которые Эйнштейн назвал квантами. Энергия каждого кванта пропорциональна частоте излучения. Хотя выведенная Планком формула вызвала всеобщее восхищение, принятые им допущения оставались непонятными, так как противоречили классической физике.
В 1905 г. Эйнштейн воспользовался квантовой теорией для объяснения некоторых аспектов фотоэлектрического эффекта - испускания электронов поверхностью металла, на которую падает ультрафиолетовое излучение. Попутно Эйнштейн отметил кажущийся парадокс: свет, о котором на протяжении двух столетий было известно, что он распространяется как непрерывные волны, при определенных обстоятельствах может вести себя и как поток частиц.
Примерно через восемь лет Нильс Бор распространил квантовую теорию на атом и объяснил частоты волн, испускаемых атомами, возбужденными в пламени или в электрическом заряде. Эрнест Резерфорд показал, что масса атома почти целиком сосредоточена в центральном ядре, несущем положительный электрический заряд и окруженном на сравнительно больших расстояниях электронами, несущими отрицательный заряд, вследствие чего атом в целом электрически нейтрален. Бор предположил, что электроны могут находиться только на определенных дискретных орбитах, соответствующих различным энергетическим уровням, и что "перескок" электрона с одной орбиты на другую, с меньшей энергией, сопровождается испусканием фотона, энергия которого равна разности энергий двух орбит. Частота, по теории Планка, пропорциональна энергии фотона. Таким образом, модель атома Бора установила связь между различными линиями спектров, характерными для испускающего излучение вещества, и атомной структурой. Несмотря на первоначальный успех, модель атома Бора вскоре потребовала модификаций, чтобы избавиться от расхождений между теорией и экспериментом. Кроме того, квантовая теория на той стадии еще не давала систематической процедуры решения многих квантовых задач.
Новая существенная особенность квантовой теории проявилась в 1924 г., когда де Бройль выдвинул радикальную гипотезу о волновом характере материи: если электромагнитные волны, например свет, иногда ведут себя как частицы (что показал Эйнштейн), то частицы, например электрон при определенных обстоятельствах, могут вести себя как волны. В формулировке де Бройля частота, соответствующая частице, связана с ее энергией, как в случае фотона (частицы света), но предложенное де Бройлем математическое выражение было эквивалентным соотношением между длиной волны, массой частицы и ее скоростью (импульсом). Существование электронных волн было экспериментально доказано в 1927 г. Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером в Соединенных Штатах и Джоном-Паджетом Томсоном в Англии.
Под впечатлением от комментариев Эйнштейна по поводу идей де Бройля Шрёдингер предпринял попытку применить волновое описание электронов к построению последовательной квантовой теории, не связанной с неадекватной моделью атома Бора. В известном смысле он намеревался сблизить квантовую теорию с классической физикой, которая накопила немало примеров математического описания волн. Первая попытка, предпринятая Шрёдингер в 1925 г., закончилась неудачей.
Скорости электронов в теории II Шрёдингер были близки к скорости света, что требовало включения в нее специальной теории относительности Эйнштейна и учета предсказываемого ею значительного увеличения массы электрона при очень больших скоростях.
Одной из причин постигшей Шрёдингер неудачи было то, что он не учел наличия специфического свойства электрона, известного ныне под названием спина (вращение электрона вокруг собственной оси наподобие волчка), о котором в то время было мало известно.
Следующую попытку Шрёдингер предпринял в 1926 г. Скорости электронов на этот раз были выбраны им настолько малыми, что необходимость в привлечении теории относительности отпадала сама собой.
Вторая попытка увенчалась выводом волнового уравнения Шрёдингера, дающего математическое описание материи в терминах волновой функции. Шрёдингер назвал свою теорию волновой механикой. Решения волнового уравнения находились в согласии с экспериментальными наблюдениями и оказали глубокое влияние на последующее развитие квантовой теории.
Незадолго до того Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Иордан опубликовали другой вариант квантовой теории, получивший название матричной механики, которая описывала квантовые явления с помощью таблиц наблюдаемых величин. Эти таблицы представляют собой определенным образом упорядоченные математические множества, называемые матрицами, над которыми по известным правилам можно производить различные математические операции. Матричная механика также позволяла достичь согласия с наблюдаемыми экспериментальными данными, но в отличие от волновой механики не содержала никаких конкретных ссылок на пространственные координаты или время. Гейзенберг особенно настаивал на отказе от каких-либо простых наглядных представлений или моделей в пользу только таких свойств, которые могли быть определены из эксперимента.
Шрёдингер показал, что волновая механика и матричная механика математически эквивалентны. Известные ныне под общим названием квантовой механики, эти две теории дали долгожданную общую основу описания квантовых явлений. Многие физики отдавали предпочтение волновой механике, поскольку ее математический аппарат был им более знаком, а ее понятия казались более "физическими"; операции же над матрицами - более громоздкими.
Функция Ψ. Нормировка вероятности.
Обнаружение волновых свойств микрочастиц свидетельствовало о том, что классическая механика не может дать правильного описания поведения подобных частиц. Возникла необходимость создать механику микрочастиц, которая учитывала бы также и их волновые свойства. Новая механика, созданная Шрёдингером, Гайзенбергом, Дираком и другими, получила название волновой или квантовой механики.
Плоская волна де Бройля
(1)является весьма специальным волновым образованием, соответствующим свободному равномерному движению частицы в определенном направлении и с определенным импульсом. Но частица, даже в свободном пространстве и в особенности в силовых полях, может совершать и другие движения, описываемые более сложными волновыми функциями. В этих случаях полное описание состояния частицы в квантовой механике дается не плоской волной де Бройля, а какой-то более сложной комплексной функцией
, зависящей от координат и времени. Она называется волновой функцией. В частном случае свободного движения частицы волновая функция переходит в плоскую волну де Бройля (1). Сама по себе волновая функция вводится как некоторый вспомогательный символ и не относится к числу непосредственно наблюдаемых величин. Но ее знание позволяет статистически предсказывать значения величин, которые получаются экспериментально и потому имеют реальный физический смысл.Через волновую функцию определяется относительная вероятность обнаружения частицы в различных местах пространства. На этой стадии, когда говорится только об отношениях вероятностей, волновая функция принципиально определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Если во всех точках пространства волновую функцию умножить на одно и то же постоянное (вообще говоря, комплексное) число, отличное от нуля, то получится новая волновая функция, описывающая в точности то же состояние. Не имеет смысла говорить, что Ψ равна нулю во всех точках пространства, ибо такая «волновая функция» никогда не позволяет заключить об относительной вероятности обнаружения частицы в различных местах пространства. Но неопределенность в определении Ψ можно значительно сузить, если от относительной вероятности перейти к абсолютной. Распорядимся неопределенным множителем в функции Ψ так, чтобы величина |Ψ|2dV давала абсолютную вероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства dV. Тогда |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* - комплексно сопряжённая с Ψ функция) будет иметь смысл плотности вероятности, которую следует ожидать при попытке обнаружения частицы в пространстве. При этом Ψ будет определена все еще с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя, модуль которого, однако, равен единице. При таком определении должно быть выполнено условие нормировки:
(2)где интеграл берется по всему бесконечному пространству. Оно означает, что во всем пространстве частица будет обнаружена с достоверностью. Если интеграл от |Ψ|2 берётся по определённому объёму V1 – мы вычисляем вероятность нахождения частицы в пространстве объёма V1.
Нормировка (2) может оказаться невозможной, если интеграл (2) расходится. Так будет, например, в случае плоской волны де Бройля, когда вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Но такие случаи следует рассматривать как идеализации реальной ситуации, в которой частица не уходит на бесконечность, а вынуждена находиться в ограниченной области пространства. Тогда нормировка не вызывает затруднений.
Итак, непосредственный физический смысл связывается не с самой функцией Ψ, а с ее модулем Ψ*Ψ. Почему же в квантовой теории оперируют с волновыми функциями Ψ, а не непосредственно с экспериментально наблюдаемыми величинами Ψ*Ψ? Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества - интерференции и дифракции. Здесь дело обстоит совершенно так же, как во всякой волновой теории. Она (во всяком случае в линейном приближении) принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей и, таким образом, достигает включения в теорию явлений интерференции и дифракции волн. Так и в квантовой механике принимается в качестве одного из основных постулатов принцип суперпозиции волновых функций, заключающийся в следующем.
Статистическое толкование волн да Бройля (см. § 216) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. §215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции (х, у, z , t ), так как именно она, или, точнее, величина, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV , т. е. в области с координатами x и x + dx . y и y + dy . zuz + dz . Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.
Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид
(217.1)
где,
т
-
масса частицы,-
оператор Лапласа
,
- мнимая единица, V {х, у, z , t ) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z , t ) - искомая волновая функция частицы.
Уравнение (217.1) справедливо
для любой частицы (со спином, равным 0;
см. § 225), движущейся с малой (по сравнению
со скоростью света) скоростью, т. е. со
скоростью
Оно дополняется условиями, накладываемыми
на волновую функцию: 1) волновая
функция должна быть конечной, однозначной
и непрерывной (см. § 216); 2) производные
должны
быть непрерывны; 3) функциядолжна
быть
интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).
Чтобы
прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим
свободно движущуюся частицу, которой,
согласно идее де Бройля, сопоставляется
плоская волна. Для простоты рассмотрим
одномерный случай. Уравнение плоской
волны, распространяющейся вдоль оси
х,
имеет
вид (см. § 154)
, или в комплексной записи
Следовательно,
плоская
волна де Бройля имеет вид
(217.2)
(учтено,
что
В
квантовой механике показатель экспоненты
берут со знаком минус,
но поскольку физический смысл имеет только, то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда
откуда
Используя взаимосвязь
между энергией
Е
и импульсом
и
подставляя выражения
(217.3), получим дифференциальное уравнение
которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U =0 (мы рассматривали свободную частицу).
Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U , то
полная энергия Е складывается из типич еской и потенциальной энергий. Проводя аналогичные
рассуждения и используя
взаимосвязь между
Е
и
р
(для данного
случая
придем
° к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).
Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шреди-нгера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.
Уравнение (217.1) является
обкщим уравнением Шредингера. Его также
называют уравнением Шреднягера,
зависящим от времени. Для многих
физических явлений, происходящих в
микромире, уравнение (217.1) можно упростить,
исключив зависимость
от времени, иными словами, найти уравнение
Шредингера для
стационарных
состояний
-
состояний с
фиксированными значениями энергии.
Это возможно,
если силовое поле, в котором частица
движется, стационарно, т. е. функция
не зависит явно от времени и имеет смысл
потенциальной энергии. В данном случае
решение уравнения Шредингера может
быть представлено в виде произведения
двух функций, одна из которых есть
функция только координат, другая -
только времени, причем зависимость от
времени выражается множителем
так что
где Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим
откуда после деления на общий множительи соответствующих преобразований
придем к уравнению, определяющему функцию
(217.5)
Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциямиНо регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собствев-нымн. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непре-
рывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором - о дискретном спектре.
§ 218. Принцип причинности ■ квантовой механике
Из соотношения неопределенностей часто делают вывод о неприменимости принципа причинности к явлениям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих соображениях. В классической механике, согласно принципу причинности - принципу классического детермизма, по известному состоянию системы в некоторый момент времени (полностью определяется значениями координат и импульсов всех частиц системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состояние в любой последующий момент. Следовательно, классическая физика основывается на следующем понимании причинности: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причина, а ее состояние в последующий момент - следствие.
С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса (задаются соотношением неопределенностей (215.1)), поэтому и делается вывод о том, что в начальный момент времени состояние системы точно не определяется. Если же состояние системы не определено в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т. е. нарушается принцип причинности.
Однако никакого нарушения принципа причинности применительно к микрообъектам не наблюдается, поскольку в квантовой механике понятие состояния микрообъекта приобретает совершенно иной смысл, чем в классической механике. В квантовой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией (х,у, z , t ), квадрат модуля которой(х,у, z , t )\ 2 задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами х, у, z .
В свою очередь, волновая функция(х,у, z , t ) удовлетворяет уравнению Шредин-гера (217.1), содержащему первую производную функции по времени. Это же означает, что задание функции(для момента времениt 0) определяет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механике начальное состояние
Есть причина, а состояниев последующий момент - следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т. е. задание функциипредопределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшествующего состояния, как того требует принцип причинности.
где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона
в которой и заменены операторами импульса x , y , z и координаты , , :
х → = х, y → = y, z → = z,
| (4.2) |
Уравнение ШредингераЗависящее от времени уравнение Шредингера: где – гамильтониан системы. Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E
Следовательно, θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ). Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:
Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U(): −(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(), где Δ – лапласиан. |
Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).
Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид
| ψ() = Eψ(). | (4.3) |
Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.
Так как в стационарном состоянии
| Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ) | (4.4) |
и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.
Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:
Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L
где k = (2mE/ћ 2) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует
Частица может находиться в
каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E n соответствует
волновая функция ψ n (x), которая с учетом
условия нормировки
имеет вид
 |
(4.10) |
В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может
иметь энергию
E < ћ 2 π 2 /(2mL 2).
Состояния частицы ψ n в
одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полностью описывается с помощью
одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.
Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.
Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид
Допустимые значения полной энергии определяются формулой
| E n = ћω 0 (n + 1/2), n = 0, 1, 2, | (4.13) |
В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического
осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое
описание частицы переходит в классическое.
В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид
где радиальная функция R nl (r) и угловая функция Y lm (θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям
| 2 Y lm (θ,φ) = ћ 2 l (l +1)Y lm (θ,φ) | (4.16) |
 Y lm (θ,φ)
= ћ 2 l
(l
+1)Y lm (θ,φ) |
(4.17) |
Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения
l
и собственные функции Y lm (θ,φ) оператора
квадрата момента 2 .
Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные
собственные функции R nl (r),
от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от
радиальной функции R nl (r),
которая в свою очередь определяется потенциалом U(r),
в котором находится частица.
Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в
кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r 0 = ћ 2 /m e e 2 ≈
0.529·10 8 cм.
Собственные значения L 2 и L z являются решением уравнений
2 Y lm (θ,φ) = L 2 Y lm (θ,φ) и z Y lm (θ,φ) = L z Y lm (θ,φ).
Они имеют следующие дискретные значения
L 2 =
ћ 2 l(l
+ 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L z =
ћm,
где m = 0, ± 1,
± 2, ± 3,…,
± l.
Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:
Спектроскопические названия орбитальных моментов l
| l = 0 | s-состояние |
| l = 1 | p-состояние |
| l = 2 | d-состояние |
| l = 3 | f-состояние |
| l = 4 | g-состояние |
| l = 5 | h-состояние |
| и. т. д. |
Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная
волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0
волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции
определяется симметрией сферических функций Y lm (θ,φ).
Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной
задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к
состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия
уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого
решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности
этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина
орбитального момента количества движения L:
| (4.18) |
Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).
Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения
=
= 6.58·10 -22 √6
МэВ·сек ≈ 2.6·10 - 34
Дж·сек.
Пространственное квантование
. Орбитальный момент количества движения является
векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения
квантуется, то и направление
по
отношению к выделенному направлению z, например, к
внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения
Lz =
ћm,
где m изменяется от +l до –l,
т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при
l = 2 величина m принимает
значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не
зависит от m, т. е. от направления вектора
,
что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью
описывается тремя квантовыми числами: n,
l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер
этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что
система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее
значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг
оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция
e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина
mφ кратна 2π. Т.е. величина m
должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух
противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными
значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .
Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:
| 2 = ћ 2 s(s + 1) | (4.19) |
В отличие от орбитального квантового числа l,
которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число
s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым
(включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2,
… , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать
единственное присущее этому типу частиц значение
. Так, спины π-мезонов и К-мезонов
равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2.
Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина,
спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также
как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина
на
любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось
z) может принимать 2s + 1
значение:
s z ћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ,..., ±1/2ћ или 0.
Число s z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.
Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.
Квадрат полного момента имеет значение:
2 = ћ 2 j(j + 1).
Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:
j = l + s, l + s −1,..., |l − s|
Проекция на выделенную ось J z также принимает дискретные значения:
J z = ћj z ; = -j, -j + 1,..., j − 1, j.
Число значений проекции J z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l z и s z , то j z также определена однозначно: j z = l z + s z .
Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.
| n | Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞. |
| J, j | Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1). |
| L, l | Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1). |
| m | Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0. |
| S, s | Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы определенного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1). |
| s z | Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения s z ћ, где s z = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0. |
| P или π | Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → - (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков - отрицательные. |
| I | Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий |
Для обозначения спинового момента часто используют букву J.
Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это
Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:
где U 0 ,
а и R – положительные константы (R
– радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно
описать с помощью набора квантовых чисел n,
l, j,
j z ,
однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр
состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со
свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая
система обладает центральной симметрией U = U(r),
то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества
движения l и одной из его проекций
m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет
зависеть от величины m, т. е. состояния будут
вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными
преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии –
дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции
относительно инверсии координат (→
-).
Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может
принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак
волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией –
симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия
определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым
спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым
спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.
или
