Теория Кантора о трансфинитных числах первоначально была воспринята настолько нелогичной, парадоксальной и даже шокирующей, что натолкнулась на резкую критику со стороны математиков-современников, в частности, Леопольда Кронекера и Анри Пуанкаре; позднее - Германа Вейля и Лёйтзена Брауэра, а Людвиг Витгенштейн высказал возражения философского плана (см. Споры о теории Кантора). Некоторые христианские богословы (особенно представители неотомизма) увидели в работе Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности природы Бога, приравняв однажды теорию трансфинитных чисел и пантеизм. Критика его трудов была порой очень агрессивна: так, Пуанкаре называл его идеи «тяжёлой болезнью», поражающей математическую науку; а в публичных заявлениях и личных выпадах Кронекера в адрес Кантора мелькали иногда такие эпитеты, как «научный шарлатан», «отступник» и «развратитель молодёжи». Десятилетия спустя после смерти Кантора, Витгенштейн с горечью отмечал, что математика «истоптана вдоль и поперёк разрушительными идиомами теории множеств», которое он отклоняет как «шутовство», «смехотворное» и «ошибочное». Периодически повторяющиеся с 1884 года и до конца дней Кантора приступы депрессии некоторое время ставили в вину его современникам, занявшим чересчур агрессивную позицию, но сейчас считается, что эти приступы, возможно, были проявлением биполярного расстройства.
Резкой критике противостояли всемирная известность и одобрение. В 1904 году Лондонское королевское общество наградило Кантора Медалью Сильвестра, высшей наградой, которую оно могло пожаловать. Сам Кантор верил в то, что теория трансфинитных чисел была сообщена ему свыше. В своё время, защищая её от критики, Давид Гильберт смело заявил: «Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор».
Кантор родился в 1845 году в Западной колонии торговцев в Санкт-Петербурге и рос там до 11-летнего возраста. Георг был старшим из шести детей. Он виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. В 1862 году будущий знаменитый учёный поступил в Федеральный политехнический институт в Цюрихе (ныне - Швейцарская высшая техническая школа Цюриха). Через год умер его отец; получив солидное наследство, Георг переводится в Берлинский университет имени Гумбольдта, где начинает посещать лекции таких знаменитых учёных, как Леопольд Кронекер, Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер. Лето 1866 года он провёл в Гёттингенском университете, тогда, да и сейчас, - очень важного центра математической мысли. В 1867 году Берлинский университет присвоил ему степень доктора философии за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».
После непродолжительной работы в качестве преподавателя в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. Необходимую для преподавания хабилитацию он получил за свою диссертацию по теории чисел.
В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттманн (Vally Guttmann). У них было 6 детей, последний из которых родился в 1886 году. Несмотря на скромное академическое жалование, Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря полученному от отца наследству. В продолжение своего медового месяца в горах Гарца, Кантор много времени проводил за математическими беседами с Рихардом Дедекиндом, с которым завязал дружбу ещё двумя годами ранее во время отпуска, в Швейцарии.
Кантор получил звание Внештатного Профессора в 1872 году, а в 1879 стал Полным Профессором. Получить это звание в 34 года было большим достижением, но Кантор мечтал о должности в более престижном университете, например, Берлинском - в то время ведущем университете Германии. Однако его теории встречают серьёзную критику, и мечтам не удаётся воплотиться в жизнь. Кронекер, возглавлявший кафедру математики Берлинского университета, всё больше и больше был не в восторге от перспективы получить такого коллегу, как Кантор, воспринимая его как «развратителя молодёжи», наполнявшего своими идеями головы молодого поколения математиков. Более того, Кронекер, будучи заметной фигурой в математическом сообществе и бывшим учителем Кантора, был в корне не согласен с содержанием теорий последнего. Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относился к канторовской теории множеств, поскольку та утверждала существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, - без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых бы действительно удовлетворяли этим свойствам. Кантор понял, что позиция Кронекера не позволит ему даже уйти из Галльского университета.
В 1881 году Эдуард Гейне, коллега Кантора, умер, оставив после себя вакантную должность. Руководство университета приняло предложение Кантора пригласить на этот пост Рихарда Дедекинда, Генриха Вебера или Франца Мертенца (именно в таком порядке), но все они отказались. В итоге пост занял Фридрих Вангерин, однако он никогда не был другом Кантора.
В 1882 году научная переписка с Дедекиндом оборвалась, вероятно, как следствие отказа последнего от должности в Галле. В то же время Кантор установил другую важную переписку, с Гёста Миттаг-Леффлером, жившим в Швеции, и скоро начал публиковаться в его журнале «Acta mathematica». Однако в 1885 году Миттаг-Леффлёр встревожился относительно философского подтекста и новой терминологии в одной статье, присланной ему Кантором для печати. Он попросил Кантора отозвать свою статью, пока та ещё проходила корректуру, написав, что эта статья «опередила время примерно лет на сто». Кантор согласился, но при этом отметил в переписке с другим человеком:
Вслед за этим Кантор резко оборвал отношения и переписку с Миттаг-Леффлером, проявляя склонность воспринимать исполненную благих намерений критику как глубокое личное оскорбление.
Первый известный приступ депрессии Кантор испытал в 1884 году. Критика его работ тяготила его разум: каждое из 52 писем, которые он написал Маттаг-Леффлёру в 1884 году, подверглось атаке Кронекера. Отрывок из одного письма показывает степень ущерба, нанесённого ощущению уверенности Кантора в себе:
Этот эмоциональный кризис заставил его сместить свой интерес от математики к философии и начать читать лекции по ней. Кроме того, Кантор стал интенсивно изучать английскую литературу эпохи Елизаветы; он пытался доказать, что те пьесы, которые приписывались Шекспиру, на самом деле написал Френсис Бэкон (см. Вопрос авторства Шекспира); результаты по этой работе в конце концов были опубликованы в двух проспектах 1896 и 1897 годов.
Вскоре после этого Кантор восстановился, и сразу же сделал несколько важных дополнений к своей теории, в частности, свои знаменитые диагональный аргумент и теорему. Однако он уже никогда не сможет достичь того высокого уровня, который был в его работах 1874-1884 годов. В конце концов он обратился с предложением о мире к Кронекеру, которое тот благосклонно принял. Тем не менее, разделявшие их философские расхождения и трудности остались. Некоторое время считалось, что периодические приступы депрессии Кантора связаны с жёстким неприятием его работ со стороны Кронекера. Но хотя его депрессия и оказывала большое влияние на математические беспокойства Кантора и его проблемы с некоторыми людьми, маловероятно, что всё это было её причиной. Напротив, в качестве основной причины его непредсказуемого настроения утвердили его посмертный диагноз - маниакально-депрессивный психоз.
В 1890 году Кантор способствовал организации Германского математического общества (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) и был председателем первого его сбора в Галле в 1891 году; в то время его репутация была достаточно сильна, даже несмотря на оппозицию Кронекера, чтобы его выбрали первым президентом этого общества. Закрыв глаза на свою неприязнь к Кронекеру, Кантор пригласил его выступить с докладом, но Кронекер не смог этого сделать по причине смерти своей супруги.
(Cantor) Георг Фердинанд Людвиг Филипп - немецкий математик, создатель теории множеств; род. 3.03.1845, С.-Петербург, ум. 6.01.1918, Галле (Германия).
Отец К. был лютеранином, мать - католичкой; сам К. получил крещение в Лютеранской Церкви. Учился в Политехническом ин-те в Цюрихе, ун-тах Берлина и Гёттингена. В 1879–1913 занимал кафедру математики в ун-те в Галле. В 1891 основал Союз нем. математиков и стал его президентом.
К. ввел в математику понятие актуальной бесконечности, благодаря чему стало возможным говорить о бесконечных множествах, таких, как совокупность всех натуральных чисел или совокупность всех точек отрезка. Поскольку с бесконечными множествами связаны определенные парадоксы (напр., часть бесконечного множества может равняться целому множеству), мн. ученые, начиная с Аристотеля, отказывались признать бесконечное множество как существующее актуально. По их мнению, можно говорить лишь о потенциальной бесконечности: так, бесконечность натуральных чисел означает лишь, что к каждому числу можно прибавить единицу и т.о. получить следующее. Континуум (напр., отрезок) представляет собой отд. понятие, несводимое к совокупности точек. К., однако, опроверг осн. возражения против актуальной бесконечности, и его результаты сыграли важную роль в логически строгом определении понятий континуума и действительного числа.
К. и мн. последующие ученые видели в теории множеств инструмент построения и обоснования всей математики, благодаря чему ее разделы связываются в единое целое. Однако, несмотря на мн. важные результаты в этом направлении, в первоначальной формулировке теории множеств К. были обнаружены противоречия (в т.ч. самим К.), причем до сих пор не решен вопрос, каким образом можно было бы построить эту теорию непротиворечивым образом. Тем не менее она сыграла большую роль в логическом исследовании оснований математики и в их филос. осмыслении.
К. был убежден, что его идеи имеют значение для богословия, т.к. дают дополнительные аргументы в пользу веры в Бога, Который Сам представляет Собой наивысшую актуальную бесконечность. Одним из своих предшественников К. считал Августина, утверждавшего, что Бог знает всю совокупность чисел как законченное целое. Стремясь найти аргументы в пользу своей концепции в предшествующей богосл. традиции, К. изучал взгляды Фомы Аквинского и Суареса, вел интенсивную переписку с рядом катол. богословов своего времени (К. Гутберлет, Т. Эссер, И. Яйлер, Т. Пеш, кард. И.Б. Францелин), которые, вместе с тем, находясь на аристотелевско-томистских позициях, отвергали присутствие актуальной бесконечности в тварном мире.
Соч.: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932; Труды по теории множеств. М., 1985.
Лит-ра: Пуркерт В., Ильгаудс Х.И. Георг Кантор. Харьков, 1991; Флоренский П.А. О символах бесконечности (Очерк идей Г. Кантора) // Он же. Сочинения в 4 т. М., 1994–99, т. 1, с. 79–128; Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным: Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М., 1999; Meschkowski H. Probleme des Unendlichen: Werk und Leben Georg Cantors. Braunschweig, 1967; Dauben J.W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Cambridge (Mass.)–L., 1979.
Мир Лема - словарь и путеводитель
История философии
Музыкальная энциклопедия
Большая Советская энциклопедия
Современная энциклопедия
Современная энциклопедия
Большой энциклопедический словарь
Словарь иностранных слов русского языка
Орфографический словарь русского языка
Толковый словарь Ожегова
Толковый словарь Ушакова
Толковый словарь Ефремовой
Русский орфографический словарь
Исторический словарь галлицизмов русского языка
Глава десятая. «ПЛОХОЙ» КАНТОР Вернемся к истории сражений нашего героя с начальством. Неумолимая Endzweck снова звала Баха в бой за музыкальное совершенство. На этот раз композитор не побоялся вторгнуться в святая святых церковной жизни - в теологию. Речь шла о подборе
Бах – кантор лейпцигской церкви Св. Фомы 1723Собственно говоря, Бах до сих пор был довольно неустойчивым человеком, который, несмотря на свое большое хозяйство и многочисленную семью, нигде не мог найти себе настоящего места; сознавая свою ценность как человека искусства,
§ 12. Георг Кантор Кантор, развивший идеи Больцано далее, пришел к гораздо более интересным результатам. Он дерзко сделал исходным пунктом своих исследований понятие бесконечного множества, бесконечного количества и таким образом обосновал «арифметику бесконечного».
Гегель Георг Полное имя – Гегель Георг Вильгельм Фридрих (род. в 1770 г. – ум. в 1831 г.) Немецкий философ. Основные сочинения: «Феноменология духа», «Наука логики», «Энциклопедия философских наук», «Основы философии права»; лекции по философии истории, эстетике, философии
МАКСИМ КАНТОР, писатель
Кантор Кантор – певец, в особенности церковный, учитель церковных хоров. В IV ст. в католической церкви были К. (cantores et lectores), певшие и читавшие псалмы и гимны при богослужении. В VI в., при Григории Великом, были К. при певческих школах. В IX ст. при Карле Великом учреждены такие
МАКСИМ КАНТОР Кантор Максим Карлович родился в 1957 году в Москве. Сын философа Карла Кантора, брат историка русской культуры и прозаика Владимира Кантора (р. 1945). Окончил Московский полиграфический институт (1980). Профессиональный художник, чьи работы представлены в
Эдди Дин (Эдуард Кантор Дин) «Первый - молодой, черноволосый. Стоит на границе между разбоем и убийством. Демон вселился в него. Имя демона - героин». (ТБ-1) Роланд впервые сталкивается с Эдди Дином на борту самолета, летящего с Багамских островов в Нью-Йорк. Под каждой
Максим Кантор. Учебник рисования «ОГИ», Москва Странно, каким образом этот роман – настоящий собор: огромный, почти необъятный, многоярусный и богато убранный – выстроил один человек, и притом за относительно короткий промежуток времени. Еще страннее то, что, хотя по
Примечание пятое: Поэт или кантор? То ли Сурков, то ли Полевой сказал про стихотворение «Два часа в резервуаре», что оно «написано „с еврейским акцентом“». Того же мнения А. Г. Найман, полагающий, что макаронические «рифмы типа „шпацирен-официрен“ напоминают скорей
Кантор За ироничным отношением к собственной биографии Карлу Икану едва удается скрывать досадное замешательство: «Если бы вы купили недвижимость в любом квартале Нью-Йорка в 50-е годы, то непременно заработали бы кучу денег в будущем. В любом квартале, кроме Квинса, в
Ed., Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts , mit erl ä uternden anmerkungen sowie mit erg ä nzungen aus dem briefwechsel Cantor - Dedekind , Berlin, Verlag von Julius Springer, 1932
1. Период развития (1845−1871)
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор, создатель теории множеств, одного из величайших новых явлений в мире науки, родился в Петербурге 19 февраля ст. стиля (3 марта нов. стиля) 1845 г. Отец его Георг Вольдемар Кантор, родом из Копенгагена, прибыл в Петербург в молодости; он держал там маклерскую контору под собственным именем, иногда же под названием «Кантор и К.» Усердный и удачливый коммерсант, он достиг крупного успеха и оставил после смерти (1863 г.) весьма значительное состояние; по-видимому, он пользовался и в Петербурге, и позже в Германии высоким уважением. По болезни легких он в 1856 г. переселился с семьей в Германию; там он вскоре избрал местом пребывания Франкфурт на Майне, где жил на положении рантье. Мать Кантора, Мария, урожденная Бем, происходила из семьи, многие члены которой были одарены в разных областях искусства; влияние ее проявилось, без сомнения, в богатой фантазии сына. Дед его, Людвиг Бем, был капельмейстером; брат деда Иозеф, живший в Вене, был учителем знаменитого виолончелиста-виртуоза Иоахима; брат Марии Кантор был также музыкантом, а сестра ее Аннета имела дочь-художницу, преподававшую в Мюнхенской школе художественных ремесел. Художественная жилка заметна также у брата Георга Кантора, Константина, бывшего талантливым пианистом, и у сестры его Софии, особенно склонной к рисованию.
Одаренный мальчик, посещавший в Петербурге начальную школу, уже очень рано проявил страстное желание приступить к изучению математики. Отец его, однако, не согласился с этим, считая более обещающей в отношении заработка профессию инженера. Сын сначала подчинился; он посещал некоторое время гимназию в Висбадене, а также частные школы во Франкфурте на Майне; затем поступил, весной 1859 г., в провинциальное реальное училище Великого герцогства Гессенского в Дармштадте, где преподавали также латынь; оттуда он перешел в 1860 г. на общий курс Высшей ремесленной школы (позже Высшей технической школы). Отец руководил его образованием, предъявляя необычно высокие требования; особую важность придавал он воспитанию энергии, твердости характера и пронизывающей всю жизнь религиозности; в частности же он подчеркивал важность полного овладения основными современными языками. Отец наставлял его (в письме по поводу конфирмации в 1860 г.) держаться твердо, вопреки всякой вражде, и всегда добиваться своего; призыв этот не раз вспоминался сыну в часы тяжелых испытаний и, возможно, именно этому отцовскому воспитанию мы обязаны тем, что творческий дух его не был преждевременно сломлен и плоды его не были потеряны для потомства.
С течением времени глубокое влечение сына к математике не могло не подействовать на отца, письма которого свидетельствуют также об его уважении к науке. В письме из Дармштадта, датированном 25 мая 1862 г. и представляющем первое сохранившееся письмо Кантора, сын мог уже выразить отцу благодарность за одобрительное отношение к его планам: «Дорогой папа! Ты можешь себе представить, как обрадовало меня твое письмо; оно определяет мое будущее. Последние дни я провел в сомнении и неуверенности; и не мог прийти ни к какому решению. Долг и влечение постоянно были в борьбе. Теперь я счастлив, видя, что не огорчу тебя, последовав в моем выборе собственной склонности. Надеюсь, дорогой отец, что сумею еще доставить тебе радость, потому что душа моя, все мое существо живет в моем призвании; человек делает то, что он хочет и может, и к чему влечет его неведомый, таинственный голос!..»
Осенью 1862 г. Кантор приступил к занятиям в Цюрихе, откуда он, впрочем, уже после первого семестра ушел вследствие смерти отца. С осени 1863 г. он изучал математику, физику и философию в Берлине, куда триумвират Куммера, Вейерштрасса и Кронеккера привлекал лучшие дарования, возбуждая умы (тогда еще довольно узкого) круга слушателей в самых различных направлениях. Лишь весенний семестр 1866 г. провел он в Геттингене. Сильнейшее влияние на его научное развитие оказал, бесспорно, Вейерштрасс. Замечательно и характерно для широты взглядов Вейерштрасса, для его непредубежденного и проницательного суждения, с каким сочувственным пониманием и как рано оценил он нетрадиционные идеи своего ученика, ответив этим на глубокое уважение, которое тот неизменно оказывал ему в течение всей жизни, вопреки преходящим размолвкам. В берлинские годы Кантор входил не только в Математическое Общество, но и в более узкий круг молодых коллег, еженедельно встречавшихся в трактире Ремеля; к этому кругу принадлежали, не считая случайных гостей, Генох (будущий издатель “Fortschritte” («Успехов»), Лампе, Мертенс, Макс Симон, Томе; последний из них был особенно близок Кантору. Далее, к его товарищам по Берлинскому университету принадлежал Г. А. Шварц, бывший на два года старше; впоследствии, впрочем, он встретил идеи Кантора с сильнейшим недоверием, в противоположность своему учителю Вайерштрассу, и до самого конца жизни особо предостерегал от них, подобно Кронеккеру, своих студентов. 14 декабря 1867 г. двадцатидвухлетний студент защитил в Берлинском университете дипломную работу, возникшую из глубокого изучения Disquisitiones arithmeticae («Исследования по арифметике») и «Теории чисел» Лежандра и оцененную факультетом как “dissertatio docta et ingeniosa” («Ученое и остроумное рассуждение») * Эта работа примыкает к формулам Гаусса для решения диофантова уравнения ax 2 + a"x" 2 + a"x" 2 = 0; в ней устанавливается некоторое соотношение, не приведенное у Гаусса в явном виде. Детальное обсуждение работ Кантора содержится в написанной мною подробной его биографии, опубликованной в Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung, т. 39 (1930), стр.189−266, а также отдельной книгой: «Георг Кантор», Лейпциг и Берлин, 1930 ; он посвятил ее своим опекунам (одновременно опекунам его брата и сестры). На устном экзамене он получил “magna cum laude” («с особым отличием»). Из трех предложенных им для защиты тезисов особенно характерен третий: “In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solvendi” (В математике искусство постановки вопросов важнее искусства их решения». Возможно, даже полученные им в теории множеств результаты уступают по значению революционным постановкам вопросов, столь далеко вышедшим в своем влиянии за пределы его собственных трудов.
Кажется, Кантор в течение короткого времени преподавал в Берлине в женской школе; во всяком случае, в 1868 г, он вступил, выдержав государственный экзамен, в известную семинарию Шельбаха, готовившую учителей математики.
Докторская диссертация, давшая Кантор возможность стать весной 1869 г. приват-доцентом университета в Галле, принадлежит, вместе с несколькими небольшими заметками, опубликованными в 1868−72 годах, еще к первому, арифметическому кругу его интересов, к которому он редко возвращался впоследствии Эти занятия теорией чисел под руководством и при одобрении Кронеккера, не были, впрочем, для Кантора лишь случайным эпизодом. Напротив, он испытал глубокое внутреннее воздействие этой дисциплины, с ее особой чистотой и изяществом. Об этом свидетельствует, наряду с первым, также третий представленный им к защите тезис: “Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere” («Целые числа, подобно небесным телам, трактовать как единое целое, связанное законами и соотношениями»). К раннему времени, возможно уже к этому периоду, относится также установление связей между различными теоретико-числовыми функциями и дзета-функцией Римана (примыкающее к работе Римана о простых числах); эта работа была опубликована Кантором лишь в 1880 г., под влиянием заметки Липшица в парижских Comptes Rendus («Докладах»). О дальнейших теоретико-числовых интересах Кантора говорит, кроме его числовой таблицы , также сохранившийся до 1884 г., но не осуществленный план опубликовать в Acta Mathematica, работу о квадратичных формах .
Э. Гейне, бывший ординарным профессором в Галле в то время, когда Кантор защищал там диссертацию, сразу же понял, что в его молодом коллеге необычайная острота ума счастливо соединяется с богатейшей фантазией. Решающее значение имело то обстоятельство, что Гейне вскоре после переезда Кантора в Галле побудил его заняться теорией тригонометрических рядов. Ревностные труды над этим предметом не только завершились рядом существенных достижений, но и привели Кантора на путь к теории точечных множеств и трансфинитным порядковым числам. Работы , , и посвящены уточнению одного утверждения Римана о тригонометрических рядах (и сопутствовавшей этому полемике с Аппелем, в которой подробно рассматривалось понятие равномерной сходимости); в работе же Кантор доказывает теорему о единственности тригонометрического представления * Удивительно, что Кронеккер, вначале положительно отнесшийся к теореме единственности Кантора (ср. ), впоследствии полностью игнорирует этот результат; например, в “Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale” («Лекциях по теории простых и кратных интегралов») (1894) он представляет вопрос о единственности как еще открытый! . Он стремится обобщить этот результат, отказываясь от каких-либо предположений о поведении ряда на некотором исключительном множестве; это вынуждает его изложить в работе краткий набросок идей, «могущих быть полезными для выяснения отношений, возникающих во всех случаях, когда заданы числовые величины в конечном или бесконечном числе Здесь для точечных множеств вводятся предельные точки и производные (конечного порядка). С этой целью Кантор, с одной стороны, развивает свою теорию иррациональных чисел * . В работе Гейне «Элементы теории функций» (J. Math., 74, стр. 172–188, 1872) иррациональные числа вводятся способом, в точности следующим идеям Кантора; ср. введение к статье Гейне, а также работу Кантора “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («К учению о трансфинитном») , вслед за теорией множеств обессмертившую его имя, где иррациональные числа рассматриваются как фундаментальные ряды. С другой стороны, для перехода к геометрии он вводит особую аксиому (аксиому Кантора), одновременно и независимо появившуюся в несколько иной формулировке в книге Дедекинда «Непрерывность и иррациональные числа».
Кантор George Cantor Карьера: МатематикСемья Георга Кантора (1845-1918) переехала из России в Германию, когда он ещё был ребенком. Именно там он начал штудировать математику. Защитив в 1868 г. диссертацию по теории чисел, он получил уровень доктора в Берлинском университете. В 27 лет Кантор опубликовал статью, содержавшую общее вывод крайне сложной математической проблемы - и идеи, выросшие позднее в его знаменитую теорию - теорию множеств. В 1878 г. он ввел и сформулировал важный строй новых понятий, дал определение множества и первое определение континуума, развил принципы сравнивания множеств. Систематическое изложение принципов своего учения о бесконечности он дал в 1879-1884 гг.
Настойчивое тяготение Кантора разобрать бесконечность как нечто актуально данное было для того времени здоровенный новостью. Кантор мыслил свою теорию как совсем новое исчисление бесконечного, "трансфинитную" (то есть "сверхконечную") математику. По его идее, создание такого исчисления должно было изготовить переворот не только в математике, но и в метафизике и теологии, которые интересовали Кантора еле-еле ли не больше, чем собственно научные исследования. Он был единственным математиком и философом, тот, что считал, что актуальная бесконечность не только существует, но и в полном смысле постижима человеком, и постижение это будет взметать математиков, а вдогонку за ними и теологов, все выше - и ближе к Богу. Этой задаче он посвятил существование. Ученый решительно верил, что он избран Богом, чтобы произвести большой переворот в науке, и эта его вера поддерживалась мистическими видениями. Титаническая попытка Георга Кантора, хотя вообще-то, закончилась странно: в теории были обнаружены тяжко преодолимые парадоксы, ставящие под колебание и значимость любимой идеи Кантора - "лестницы алефов", последовательного ряда трансфинитных чисел. (Эти числа обширно известны в принятом им обозначении: в виде буквы алеф - первой буквы еврейского алфавита.)
Неожиданность и своеобразие его точки зрения, несмотря на все преимущества подхода, обусловили резкое неприятие его работ большей частью ученых. Десятилетиями он вел упорную борьбу без малого со всеми современниками-философами и математиками, отрицавшими законность построения математики на фундаменте актуально-бесконечного. Некоторые приняли это как вызов, ибо Кантор предполагал наличие множеств или последовательностей чисел, имеющих бесконечно навалом элементов. Знаменитый математик Пуанкаре назвал теорию трансфинитных чисел "болезнью", от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Л. Кронекер - педагог Кантора и единственный из самых авторитетных математиков Германии - более того нападал на Кантора, называя его "шарлатаном", "ренегатом" и "растлителем молодежи"! Только к 1890 г., когда были получены приложения теории множеств к анализу и геометрии, концепция Кантора получила признание в качестве самостоятельного раздела математики.
Важно подметить, что Кантор способствовал созданию профессионального объединения - Немецкого математического общества, которое содействовало развитию математики в Германии. Он считал, что его научная карьера пострадала от предубежденного отношения к его трудам, и надеялся, что независимая организация позволит молодым математикам независимо судить о новых идеях и заняться их разработкой. Он же был инициатором созыва первого Международного математического конгресса в Цюрихе.
Кантор несладко переживал противоречия своей теории и сложности с ее принятием. С 1884 г. он страдал глубокой депрессией и сквозь немного лет отошел от научной деятельности. Умер Кантор от сердечной недостаточности в психиатрической лечебнице в Галле.
Кантор доказал наличие иерархии бесконечностей, каждая из которых "больше" предшествующей. Его концепция трансфинитных множеств, пережив годы сомнений и нападок, в конце концов, выросла в грандиозную революционизирующую силу в математике 20 в. и стала ее краеугольным камнем.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (по моему и, думаю, не только по моему мнению) - один из величайших математиков за всю историю человечества. Пафосно, может быть, чересчур, но зато искренне))
Теорию множеств (возможно, немножко не в том виде, в котором мы знаем ее сейчас), основал именно он.
В это трудно поверить, но он первый ввел в математике понятие множества
и дал ему неформальное определение. И случилось это во второй половине XIX века.
Раньше множествами в математике не оперировали!
Та теория множеств, которую выдвинул Кантор впоследствии получила название Наивной теории множеств
.
Понятие множества
сейчас входит в число так называемых первичных, неопределяемых, понятий. Таких, как, предположим, точка
в математике или информация
в теории информации.
Сам Кантор определял множество следующим образом: «множество есть многое, мыслимое как единое»
.
Кантор разработал программу стандартизации математики, в основу которой как раз было положено понятие множества
. Любой математический объект должен был рассматриваться как «множество».
Например, натуральный ряд представляет собой множество, удовлетворяющее аксиомам Пеано. Каждое натуральное число в отдельности - тоже множество, но состоящее всего из одного элемента.
Сам термин "теория множеств" был введен в математику позднее. Кантор же называл свою теорию "Mengenlehre" - учение о множествах.
Появление Mengenlehre вызвало нешуточные битвы в математических кругах. Учение имело как горячих поклонников (среди выдающихся математиков того времени), так и ярых противников.
Но в своем первоначальном виде теория оказалась нежизнеспособна.
Вот что написано в Википедии:
Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.
Виновником провала стал не кто иной как Бертран Рассел.
Однако теория эта успела безраздельно завладеть умами современников.
Вот что пишет о Канторе и его Mengenlehre Давид Гильберт (о котором я уже здесь рассказывала):
Никто и никогда не изгонит нас из его рая.
(с) Давид Гильберт. В защиту канторовой теории множеств.
