а на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.
Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.
Определение 1
Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.
Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.
Определение 2
Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.
Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).
Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).
Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.
Определение 3
Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).
Определение 4
Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:
Обозначение: $\overline{a}\overline{b}$
Определение 5
Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:
Обозначение: $\overline{a}↓\overline{d}$
Определение 6
Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.
Обозначение: $|\overline{a}|$
Перейдем к определению равенства двух векторов
Определение 7
Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:
Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.
Определение 8
Геометрической проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A"$ - начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B"$ - конец искомого вектора. Вектор $\overline{A"B"}$ и будет искомым вектором.
Рассмотрим задачу:
Пример 1
Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.
Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A"$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B"$ (рис. 7).
1. Проекция вектора на заданное направление.
Пусть заданы два вектора `vec a` и `vec b`. Приведём эти векторы к одному началу `O`.
Угол, образованный лучами, исходящими из точки `O` и направленными вдоль векторов `vec a` и `vec b`, называют углом между векторами `vec a` и `vec b`. Обозначим этот угол через `alpha`.
Число `a_b = a cos alpha` называется проекцией вектора `vec a` на направление вектора `vec b`. Проекция вектора `vec a` получается, если из его конца опустить перпендикуляр на направление вектора `vec b` (рис. 10), тогда расстояние от общего начала векторов - точки `O` - до точки пересечения указанного перпендикуляра с прямой, на которой лежит вектор `vec b`, будет равно модулю проекции вектора `vec a` на направление вектора `vec b`.
Угол `alpha` может принимать различные значения, поэтому в зави-симости от знака `cos alpha` проекция может принимать положительные, отрицательные значения или нуль. Например, если угол `alpha` тупой, т. е. больше, чем `90^@`, но меньше `180^@`, то косинус такого угла отрицателен.
Проекция равна нулю, если направления векторов `vec a` и `vec b` взаимно перпендикулярны.
Проекции равных векторов на любые направления равны друг другу. Проекции противоположных векторов отличаются знаком.
Легко показать, что проекция суммы векторов равна алгебраической сумме их проекций и что при умножении вектора на число его проекция умножается на то же число.
2. Разложение вектора.
До сих пор мы говорили о сложении векторов. Для решения многих задач бывает необходимо произвести обратную процедуру - разложить вектор на составляющие, например, найти несколько сил, которые своим совместным действием могли бы заменить одну данную силу. Такая операция называется разложением сил.
Пусть на плоскости задан вектор `vec a` и две пересекающиеся в точке `O` прямые `AO` и `OB`.
Вектор `vec a` можно представить в виде суммы двух векторов, направленных вдоль заданных прямых. Для этого параллельным переносом совместим начало вектора `vec a` с точкой `O` пересечения прямых. Из конца вектора `vec a` проведём два отрезка прямых, параллельных `AO` и `OB`. В результате получится параллелограмм. По построению
`vec a = vec(a_1) + vec(a_2)` | (*) |
Векторы `vec(a_1)` и `vec(a_2)` называются составляющими вектора `vec a` по заданным направлениям, а само представление вектора в виде суммы (*) - разложением вектора по двум направлениям.
В чём разница между проекцией вектора на ось и составляющей (компонентой) вектора вдоль этой оси?
Проекция вектора - скаляр; составляющая вектора вдоль этой оси - вектор, направленный вдоль этой оси.
Пусть `a = 1`, угол между прямыми `AO` и `OB` равен `phi = 45^@`, а угол между векторами `vec a` и `vec(a_1)` равен `phi = 15^@`. Определите модули векторов `vec a_1` и `vec a_2` в разложении (*), а также значения проекций вектора `vec a` на направления `vec(a_1)` и `vec(a_2)`.
`a_(a1) = a cos phi_1 ~~ 0,97`, `a_(a2) = a cos phi_2 = cos 30^@ ~~ 0,87`.
откуда `a_1 = (sin phi_2)/(sin (phi_1 + phi_2)) = (sin 30^@)/(sin 45^@) ~~ 0,71`
и аналогично `a_2 = (sin 15^@)/(sin 45^@) ~~ 0,37`.
3. Проектирование вектора на оси координат.
Особенно важен частный случай разложения вектора по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат `xOy` и некоторый вектор `vec a`. Отложим из начала координат вдоль положительного направления осей `Ox` и `Oy` векторы `vec i` и `vec j` соответственно такие, что `|vec i| = 1` и `|vec j| = 1`. Векторы `vec i` и `vec j` назовём единичными векторами .
Перенесём вектор `vec a` так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть в этом положении он изображается направленным отрезком `AO`.
Опустим из точки `A` перпендикуляры на оси `Ox` и `Oy`. Тогда векторы `vec(a_x)` и `vec(a_y)` будут составляющими вектора `vec a` по координатным осям, причём вектор `vec(a_x)`будет коллинеарен вектору `vec i`, а вектор `vec(a_y)` - коллинеарен вектору `vec j`.Следовательно, существуют такие числа `a_x` и `a_y`, что `vec(a_x) = a_x vec i` и `vec(a_y) = a_y vec j`. Таким образом, вектор `vec a` может быть представлен в виде разложения по осям:
`vec a = vec(a_x) + vec(a_y) = a_x vec i + a_y vec j`. | (3) |
Числа `a_x` и `a_y` суть проекции вектора `vec a` на направления векторов `vec i` и `vec j` соответственно, то есть на оси `Ox` и `Oy`. Используется и иная, чем (3), форма записи векторов, а именно `vec a = (a_x ; a_y)`.
Иногда говорят о составляющей вектора вдоль одной единственной оси - без указания второй. Просто молчаливо предполагается, что вторая ось перпендикулярна первой (но почему-то не нарисована).
Пусть угол между положительным направлением оси `Ox` и вектором `vec a` равен `alpha`. Тогда `a_x = a cos alpha`, `a_y = a sin alpha`.
В зависимости от значения угла `alpha` проекции вектора `vec a` на оси прямоугольной системы координат могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
Зная проекции вектора `vec a` на оси координат, можно найти его вели-чину и направление по формулам:
`a = sqrt(a_x^2 + a_y^2)` | (4) |
`bbb"tg" alpha = (a_y)/(a_x)` | (5) |
причём знаки `a_x` и `a_y` будут указывать на то, какому квадранту при-надлежит значение `alpha`.
4. Пусть теперь нам задано векторное равенство `vec a + vec b = vec c`.
Проектируя все векторы на оси координат, получим очевидные равенства
`c_x = a_x + b_x`, `c_y = a_y + b_y`,
`c_x = a cos alpha + b cos beta`,
`c_y = a sin alpha + b sin beta`,
т. е. по проекциям векторов `vec a` и `vec b` легко находятся проекции суммарного вектора `vec c`.
Векторное описание движения является полезным, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения. Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами – проекциями векторов.
Проекцией вектора на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между направлениями вектора и выбранной координатной оси.
На левом чертеже показан вектор перемещения, модуль которого 50 км, а его направление образует тупой угол 150° с направлением оси X. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось X:
sx = s · cos(α) = 50 км · cos( 150°) = –43 км
Поскольку угол между осями 90°, легко подсчитать, что направление перемещения образует с направлением оси Y острый угол 60°. Пользуясь определением, найдём проекцию перемещения на ось Y:
sy = s · cos(β) = 50 км · cos( 60°) = +25 км
Как видите, если направление вектора образует с направлением оси острый угол, проекция положительна; если направление вектора образует с направлением оси тупой угол, проекция отрицательна.
На правом чертеже показан вектор скорости, модуль которого 5 м/с, а направление образует угол 30° с направлением оси X. Найдём проекции:
υx = υ · cos(α) = 5 м/c · cos( 30°) = +4,3 м/с
υy = υ · cos(β) = 5 м/с · cos( 120°) = –2,5 м/c
Гораздо проще находить проекции векторов на оси, если проецируемые векторы параллельны или перпендикулярны выбранным осям. Обратим внимание, что для случая параллельности возможны два варианта: вектор сонаправлен оси и вектор противонаправлен оси, а для случая перпендикулярности есть только один вариант.
Проекция вектора, перпендикулярного оси, всегда равна нулю (см. sy и ay на левом чертеже, а также sx и υx на правом чертеже). Действительно, для вектора, перпендикулярного оси, угол между ним и осью равен 90°, поэтому косинус равен нулю, значит, и проекция равна нулю.
Проекция вектора, сонаправленного с осью, положительна и равна его модулю, например, sx = +s (см. левый чертёж). Действительно, для вектора, сонаправленного с осью, угол между ним и осью равен нулю, и его косинус «+1», то есть проекция равна длине вектора: sx = x – xo = +s .
Проекция вектора, противонаправленного оси, отрицательна и равна его модулю, взятому со знаком «минус», например, sy = –s (см. правый чертёж). Действительно, для вектора, противонаправленного оси, угол между ним и осью равен 180°, и его косинус «–1», то есть проекция равна длине вектора, взятой с отрицательным знаком: sy = y – yo = –s .
На правых частях обоих чертежей показаны другие случаи, когда векторы параллельны одной из координатных осей и перпендикулярны другой. Предлагаем вам убедиться самостоятельно, что и в этих случаях тоже выполняются правила, сформулированные в предыдущих абзацах.
Теперь мы готовы ввести важнейшее понятие проекции вектора на ось. Оно постоянно используется при решении физических задач.
Пусть даны вектор ~a и ось X. Предполагается, что на оси X имеется масштаб, позволяющий измерять длины отрезков и присваивать им размерность вектора ~a.
Из начала и конца вектора ~a опустим перпендикуляры на ось X; пусть A и B основания этих перпендикуляров (рис. 7.26 ). Длину отрезка AB обозначим jABj.
Рис. 7.26. Проекция вектора на ось
Определение. Проекция ax вектора ~a на ось X равна длине отрезка AB, взятой со знаком плюс, если угол " между вектором ~a и осью X является острым, и взятой соответственно со знаком минус, если " тупой (или развёрнутый). Если угол " прямой, то ax = 0.
Короче говоря, имеем следующую формулу:
Рисунок 7.27 иллюстрирует все эти возможности.
Здесь, как обычно, a = j~aj модуль вектора ~a.
Действительно, если " < 90 , то формула (7.10 ) даёт длину левого красного отрезка на рис.7.27 .
Если " > 90 , то, переходя в средней части рис. 7.27 к углу, смежному c углом ", мы видим, что формула (7.10 ) даёт длину среднего красного отрезка со знаком минус (за счёт отрицательности косинуса), что нам как раз и нужно.
Наконец, если " = 90 , то формула (7.10 ) даёт ax = 0, поскольку косинус прямого угла равен нулю. Именно так и должно быть (правая часть рисунка).
Предположим теперь, что на оси X задано вдобавок начало отсчёта, так что она является привычной координатной осью. Тогда имеем ещё одну формулу для проекции ax , которая также содержит в ¾заархивированном¿ виде все три случая рисунка7.27 .
Следствие 2. Пусть x1 и x2 координаты соответственно начала и конца вектора ~a. Тогда проекция ax вычисляется по формуле:
ax = x2 x1 : |
Действительно, посмотрим на рис. 7.28 . Это случай положительной проекции. Из рисунка очевидно, что разность x2 x1 равна длине красного отрезка, а эта длина в данном случае как раз и есть проекция ax .
Рис. 7.28. Проекция вектора на ось. К следствию 2
Что будет в оставшихся двух случаях (ax < 0 и ax = 0)? Убедитесь, пожалуйста, самостоятельно, что формула (7.11 ) и для них остаётся справедливой.
Операция проектирования вектора на ось замечательным образом согласована с операциями сложения векторов и умножения скаляра на вектор. А именно, какова бы ни была ось X, имеют место следующие два свойства проектирования.
1. Проекция вектора ~a + b на ось X равна ax + bx .
Краткая словесная формулировка: проекция суммы векторов равна сумме их проекций. Это справедливо для суммы любого числа векторов, не только двух.
Рис. 7.29. ~c = ~a + b) cx = ax |
Прежде всего проиллюстрируем данное утверждение на рисунке. Поместим начало век-
тора b в конец вектора ~a, и пусть ~c = ~a + b (рис. 7.29 ).
На данном рисунке хорошо видно, что проекция cx равна сумме длин красного и зелёного отрезков, то есть как раз ax + bx .
Правда, рис. 7.29 сделан для случая ax > 0 и bx > 0. Чтобы доказать наше утверждение сразу для всех возможных значений проекций ax и bx , мы проведём следующее универсальное рассуждение, опирающееся на формулу (7.11 ).
Итак, пусть векторы ~a и b расположены произвольным образом. Снова совместим начало |
||
вектора b с концом вектора ~a и обозначим ~c = ~a + b. Пусть: |
||
координата начала вектора ~a и одновременно начала вектора ~c; |
||
координата конца вектора ~a и одновременно начала вектора b; |
||
координата конца вектора b и одновременно конца вектора ~c. |
Эти обозначения также присутствуют на рис. 7.29 .
В силу формулы (7.11 ) имеем: ax = x2 x1 , bx = x3 x2 , cx = x3 x1 . Теперь легко видеть, что:
ax + bx = (x2 x1 ) + (x3 x2 ) = x3 x1 = cx :
Наше первое свойство проектирования тем самым доказано.
2. Проекция вектора ~a на ось X равна a x .
Словесная формулировка: проекция произведения скаляра на вектор равна произведению скаляра на проекцию вектора.
Снова начнём с иллюстрации. В левой части рисунка 7.30 изображён вектор ~a с положительной проекцией ax .
Рис. 7.30. Проекция вектора ~a равна ax
Если умножить вектор ~a на 2, то его длина увеличится в два раза, проекция вектора также увеличится вдвое (сохраняя знак) и станет равна 2ax .
Если умножить вектор ~a на 2, то его длина опять-таки увеличится в два раза, но направление изменится на противоположное. Проекция изменит знак и станет равна 2ax .
Тем самым суть второго свойства ясна, и теперь можно дать строгое доказательство.
Итак, пусть ~ . Мы ходим доказать, чтоx x . b = ~a b = a
Воспользуемся для этого формулой (7.10 ). Имеем:
ax = a cos "; bx = b cos ;
где угол между вектором и осью, а угол между вектором ~ и осью. Кроме
того, в силу определения умножения скаляра на вектор:
Таким образом:
bx = j ja cos:
Если, то j j ; в этом случае вектор ~ сонаправлен с вектором, и потому.
> 0 = b ~a = "
bx = a cos " = ax :
Если, то j j ; в этом случае вектор ~ противоположен по направлению векто-
ру ~a. Нетрудно сообразить при этом, что = " (например, если " острый, то есть смежный с ним тупой, и наоборот). Имеем тогда:
bx = ()a cos(") = ()a(cos ") = a cos " = ax :
Итак, во всех случаях получается нужное соотношение, и тем самым второе свойство проектирования полностью доказано.
Доказанные свойства операции проектирования очень важны для нас. В механике, например, мы будем пользоваться ими на каждом шагу.
Так, решение многих задач по динамике начинается с записи второго закона Ньютона в векторной форме. Возьмём, к примеру, маятник массы m, подвешенный на нити. Для маятника второй закон Ньютона будет иметь вид:
Записав второй закон Ньютона в векторной форме, мы переходим к его проектированию на
подходящие оси. Берём равенство (7.12 ) и проектируем на ось X: | |
max = mgx + Tx + fx : |
При переходе от векторного равенства (7.12 ) к скалярному равенству (7.13 ) использованы оба свойства проектирования! А именно, благодарясвойству 1 мы записали проекцию суммы векторов как сумму их проекций; в силу жесвойства 2 мы смогли записать проекции векторов m~a и m~g в виде max и mgx .
Таким образом, оба свойства операции проектирования обеспечивают переход от векторных равенств к скалярным, и переход этот можно выполнять формально и не задумываясь: отбрасываем стрелки в обозначениях векторов и ставим вместо них индексы проекций. Именно так выглядит переход от уравнения (7.12 ) к уравнению (7.13 ).
По
физике
за 9 класс (И.К.Кикоин, А.К.Кикоин, 1999 год),
задача №5
к главе «ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДВИЖЕНИИ
».
1. Проекцией вектора а на координатную ось называют длину отрезка между проекциями начала и конца вектора а (перпендикулярами, опущенными из этих точек на ось) на эту координатную ось.
2. Проекции вектора перемещения s на оси координат равны изменению соответствующих координат тела.
3. Если координата точки с течением времени увеличивается, то проекция вектора перемещения на координатную ось будет положительной, т.к. в этом случае мы будем идти от проекции начала к проекции конца вектора по направлению самой оси.
Если координата точки с течением времени будет уменьшаться, то проекция вектора перемещения на координатную ось будет отрицательной, т.к. в этом случае мы будем идти от проекции начала к проекции конца вектора против направляющей самой оси.
4. Если вектор перемещения параллелен оси Х, то модуль проекции вектора на эту ось равен модулю самого вектора, а его проекция на ось Y равна нулю.
5. Во всех нижеследующих случаях координата Y тела не изменяется, а координата Х тела будет изменяться следующим образом:
a) s 1 ;
проекция вектора s 1 , на ось Х отрицательна и по модулю равна длине вектора s 1 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 1 .
b) s 2 ;
проекция вектора s 2 на ось X положительна и равна по модулю длине вектора s 1 . При таком перемещении координата Х тела увеличится на длину вектора s 2 .
c) s 3 ;
проекция вектора s 3 на ось Х отрицательна и равна по модулю длине вектора s 3 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 3 .
d) s 4 ;
проекция вектора s 4 на ось X положительна и равна по модулю длине вектора s 4 . При таком перемещении координата Х тела увеличится на длину вектора s 4 .
e) s 5 ;
проекция вектора s 5 на ось Х отрицательна и равна по модулю длине вектора s 5 . При таком перемещении координата Х тела уменьшится на длину вектора s 5 .
6. Может. Это связано с тем, что перемещение (вектор перемещения) является векторной величиной, т.е. представляет собой направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующими положениями. А конечное положение тела (вне зависимости от величины пройденного пути) может находиться как угодно близко к первоначальному положению тела. В случае совпадения конечного и начального положений тела, модуль перемещения будет равен нулю.
7. Основной задачей механики является определение положения тела в любой момент времени. Зная вектор перемещения тела мы можем определить координаты тела, т.е. положение тела в любой момент времени, а зная только пройденный путь мы не можем определить координаты тела, т.к. мы не имеем сведений о направлении движения, а можем только судить о длине пройденного пути на данный момент времени.