Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.
Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.
Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.
Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.
Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.
Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.
Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.
Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.
Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.
Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.
Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.
Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода
Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.
Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе
Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:
Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.
Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.
Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:
При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.
Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.
Алгоритм действий решения:
Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.
Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.
Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.
Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.
Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.
Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.
Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.
Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.
Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.
В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.
Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.
Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.
Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.
Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.
Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.
Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.
Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.
При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.
Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.
Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.
Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.
В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.
В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.
Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.
После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.
В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:
Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .
Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.
Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.
Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:
Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.
Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.
В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.
Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.
Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Линейные уравнения - не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)
Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:
ax + b = 0 где а и b – любые числа.
2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7
0,1х - 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3
12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2
Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: "где а и b – любые числа" ... А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:
Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:
Что напрягает и подрывает доверие к математике, да...) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.
Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)
Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:
Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение
нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.
Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)
Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.
Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.
х - 3 = 2 - 4х
Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.
Для этого нужно перенести - 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а - 3 - в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря...) Получим:
х + 4х = 2 + 3
Приводим подобные, считаем:
Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно - делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:
Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.
Например, вот это уравнение:
С чего начнём? С иксами - влево, без иксов - вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.
Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?
95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:
Раскрываем скобки:
Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:
Раскрываем оставшиеся скобки:
Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:
Приводим подобные:
И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:
Вот и всё. Ответ: х =0,16
Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)
Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.
Но... Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать...) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.
Сюрприз первый.
Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:
2х+3=5х+5 - 3х - 2
Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса - вправо... Со сменой знака, всё чин-чинарём... Получаем:
2х-5х+3х=5-2-3
Считаем, и... опаньки!!! Получаем:
Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да...) Тупик?
Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.
Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)
Да!!! Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите - можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.
Вот вам и ответ: х - любое число.
Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.
Сюрприз второй.
Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:
2х+1=5х+5 - 3х - 2
После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:
Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред - вполне веское основание для правильного решения уравнения.)
Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)
Вот вам и ответ: решений нет.
Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.
Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)
Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.
Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Линейное уравнение
– это уравнение, запись которого такова:
a · x = b
, где x
– переменная, a
и b
– некоторые числа.
Такая формулировка использована в учебнике алгебры (7 класс) Ю.Н.Макарычева.
Пример 1
Примерами линейных уравнений будут:
3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );
− 3 , 1 · y = 0 (линейное уравнение с переменной y , где а = - 3 , 1 и b = 0);
x = − 4 и − x = 5 , 37 (линейные уравнения, где число a записано в явном виде и равно 1 и - 1 соответственно. Для первого уравнения b = - 4 ; для второго - b = 5 , 37 ) и т.п.
В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.
А вот учебник алгебры (7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:
Определение 2
Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a · x + b = 0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.
Пример 2
Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:
3 · x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;
1 , 8 · y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9) .
Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a · x = b , например, 6 · x = 35 .
Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a · x + b = 0 , где x – переменная; a , b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a · x + b = 0 , определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.
При таком подходе уравнение 5 · x + 8 = 0 – линейное, а 5 · x = − 8 - уравнение, сводящееся к линейному.
Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.
Определение 3
Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b . Запишем эти условия:
Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:
Таким образом, преобразуем линейное уравнение a · x + b = 0 , перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a · x = − b .
Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x = - b a . Т.е., когда a ≠ 0 , исходное уравнение a · x + b = 0 равносильно равенству x = - b a , в котором очевиден корень - b a .
Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня - b a как x 1 .
Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x 2 .
И конечно: x 2 ≠ x 1 ,
а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x 1 − x 2 ≠ 0 .
С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a · x 1 + b = 0
и a · x 2 + b = 0 .
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:
a · x 1 + b − (a · x 2 + b) = 0 − 0 , отсюда: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 и далее a · (x 1 − x 2) = 0 . Равенство a · (x 1 − x 2) = 0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a ≠ 0 и x 1 − x 2 ≠ 0 . Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 имеет лишь один корень.
Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a = 0 .
Когда a = 0 линейное уравнение a · x + b = 0 запишется как 0 · x + b = 0 . Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x , подставив его в равенство 0 · x + b = 0 , получим b = 0 . Равенство справедливо при b = 0 ; в прочих случаях, когда b ≠ 0 , равенство становится неверным.
Таким образом, когда a = 0 и b = 0 , любое число может стать корнем линейного уравнения a · x + b = 0 , поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0 = 0 . Когда же a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение a · x + b = 0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b = 0 .
Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:
Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.
Напоследок уточним, что уравнения вида a · x = b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a ≠ 0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a .
Таким образом, чтобы найти решение уравнения a · x = b , используем такой алгоритм:
Необходимо решить линейное уравнение 0 · x − 0 = 0 .
Решение
По записи заданного уравнения мы видим, что a = 0 и b = − 0 (или b = 0 , что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.
Ответ: x – любое число.
Пример 4
Необходимо определить, имеет ли корни уравнение 0 · x + 2 , 7 = 0 .
Решение
По записи определяем, что а = 0 , b = 2 , 7 . Таким образом, заданное уравнение не будет иметь корней.
Ответ: исходное линейное уравнение не имеет корней.
Пример 5
Задано линейное уравнение 0 , 3 · x − 0 , 027 = 0 . Необходимо решить его.
Решение
По записи уравнения определяем, что а = 0 , 3 ; b = - 0 , 027 , что позволяет нам утверждать наличие единственного корня у заданного уравнения.
Следуя алгоритму, переносим b в правую часть уравнения, сменив знак, получаем: 0 , 3 · x = 0 , 027 . Далее разделим обе части полученного равенства на а = 0 , 3 , тогда: x = 0 , 027 0 , 3 .
Осуществим деление десятичных дробей:
0 , 027 0 , 3 = 27 300 = 3 · 9 3 · 100 = 9 100 = 0 , 09
Полученный результат есть корень заданного уравнения.
Кратко решение запишем так:
0 , 3 · x - 0 , 027 = 0 , 0 , 3 · x = 0 , 027 , x = 0 , 027 0 , 3 , x = 0 , 09 .
Ответ: x = 0 , 09 .
Для наглядности приведем решение уравнения записи a · x = b .
Пример N
Заданы уравнения: 1) 0 · x = 0 ; 2) 0 · x = − 9 ; 3) - 3 8 · x = - 3 3 4 . Необходимо решить их.
Решение
Все заданные уравнения отвечают записи a · x = b . Рассмотрим по очереди.
В уравнении 0 · x = 0 , a = 0 и b = 0 , что означает: любое число может быть корнем этого уравнения.
Во втором уравнении 0 · x = − 9: a = 0 и b = − 9 , таким образом, это уравнение не будет иметь корней.
По виду последнего уравнения - 3 8 · x = - 3 3 4 запишем коэффициенты: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , т.е. уравнение имеет единственный корень. Найдем его. Поделим обе части уравнения на a , получим в результате: x = - 3 3 4 - 3 8 . Упростим дробь, применив правило деления отрицательных чисел с последующим переводом смешанного числа в обыкновенную дробь и делением обыкновенных дробей:
3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 · 8 3 = 15 · 8 4 · 3 = 10
Кратко решение запишем так:
3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .
Ответ: 1) x – любое число, 2) уравнение не имеет корней, 3) x = 10 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.
Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?
Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.
Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:
Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:
Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:
А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.
Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.
Решаются такие конструкции примерно одинаково:
Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.
В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».
Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.
Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:
Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.
На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:
Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:
\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]
Вот мы и получили ответ.
В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:
И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:
Приведем подобные:
При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.
Третье линейное уравнение уже интересней:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:
Выполняем второй уже известный нам шаг:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Посчитаем:
Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:
\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]
Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:
Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.
Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.
Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.
Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.
Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:
Теперь займемся уединением:
\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]
Приводим подобные:
Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:
\[\varnothing \]
или корней нет.
Выполняем те же действия. Первый шаг:
Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:
Приводим подобные:
Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:
\[\varnothing \],
либо корней нет.
Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.
Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:
Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.
И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.
Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:
Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.
Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.
То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]
Давайте перемножим все элементы в первой части:
Давайте выполним уединение:
Приводим подобные:
Выполняем последний шаг:
\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]
Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:
А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:
Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:
\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]
Приводим подобные слагаемые:
Мы вновь получили окончательный ответ.
Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.
На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.
Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.
В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.
Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:
Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.
Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:
Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.
\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]
Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:
\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]
Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]
Теперь раскроем:
Выполняем уединение переменной:
Выполняем приведение подобных слагаемых:
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]
Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.
\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]
Здесь выполняем все те же действия:
\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]
\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]
Задача решена.
Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.
Ключевые выводы следующие:
Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!
Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:
Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.
Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.
Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:
Переменная x i называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.
Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:
Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .
Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:
Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:
Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.
Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:
- Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.
- Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.
В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.
Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.
И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует
