Приведены справочные данные по показательной функции - основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.
Показательная функция
- это обобщение произведения n
чисел, равных a
:
y(n)
= a n = a·a·a···a
,
на множество действительных чисел x
:
y(x)
= a x
.
Здесь a
- фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции
.
Показательную функцию с основанием a
также называют экспонентой по основанию a
.
Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,...
,
показательная функция является произведением x
множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел ,
показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n
рациональных чисел, ,
ее определяют по формуле(1.11). Для действительных ,
показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x
:
.
При таком определении, показательная функция определена для всех ,
и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x
.
Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».
Показательная функция y = a x
,
имеет следующие свойства на множестве действительных чисел ()
:
(1.1)
определена и непрерывна, при ,
для всех ;
(1.2)
при a ≠ 1
имеет множество значений ;
(1.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4)
при ;
при ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:
При b = e
,
получаем выражение показательной функции через экспоненту:
, , , , .
На рисунке представлены графики показательной функции
y(x)
= a x
для четырех значений основания степени
: a = 2
,
a = 8
,
a = 1/2
и a = 1/8
.
Видно, что при a > 1
показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a
,
тем более сильный рост. При 0
< a < 1
показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a
,
тем более сильное убывание.
Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
y = a x , a > 1 | y = a x , 0 < a < 1 | |
Область определения | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
Область значений | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
Нули, y = 0 | нет | нет |
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
+ ∞ | 0 | |
0 | + ∞ |
Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .
Если ,
то
.
Если ,
то
.
Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.
Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.
Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e
:
Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную
Тогда
Из таблице производных имеем (заменим переменную x
на z
):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z
по x
равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Найти производную функции
y = 3
5
x
Решение
Выразим основание показательной функции через число e
.
3
= e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда
Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3
- это постоянная, то производная z
по x
равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Ответ
Рассмотрим функцию комплексного числа z
:
f(z)
= a z
где z = x + iy
;
i 2 = - 1
.
Выразим комплексную постоянную a
через модуль r
и аргумент φ
:
a = r e i φ
Тогда
.
Аргумент φ
определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2
πn
,
где n
- целое. Поэтому функция f(z)
также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R .Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x , при которых функция y = f (x )определена, называется областью определения функции . Множество Y всех действительных значений y , которые принимает функция, называетсяобластью значений функции . Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y , по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией .
Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:
Задана область определения функции X ;
Задана область значений функции Y ;
Известно правило (закон) соответствия, причём такое, что для каждого
Значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.
Это требование однозначности функции является обязательным.
Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f (x 2) > f (x 1), то функция f ( x ) называетсявозрастающей ; если для любых x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f ( x 2) < f ( x 1), то функция f ( x ) называется убывающей . Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной .
Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной , если существует такое положительное число M , что | f (x ) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная .
П р и м е р ы.
Функция, изображённая на рис.3, является ограниченной, но не монотонной. Функция на рис.4 - как раз наоборот, монотонная, но неограниченная. (Объясните это, пожалуйста!).
Непрерывная и разрывная функции. Функция y = f (x ) называется непрерывной в точке x = a , если:
1) функция определена при x = a , т.e. f (a ) существует;
2) существует конечный предел lim f (x ) ;
x →a
(см. «Пределы функций»)
3) f (a ) = lim f (x ) .
x →a
Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x = a .
Если функция непрерывна во всех точках своей области определения , то она называется непрерывной функцией .
Чётная и нечётная функции. Если для любого x f (- x ) = f (x ), то функция называется чётной ;если же имеет место: f (- x ) = - f (x ), то функция называется нечётной . График чётной функции симетричен относительно оси Y (рис.5), a график нечётной функции сим метричен относительно начала координат (рис.6).
Периодическая функция. Функция f (x ) - периодическая , если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f (x + T ) = f (x ). Такое наименьшее число называется периодом функции . Все тригонометрические функции являются периодическими.
П р и м е р 1 . Доказать, что sin x имеет период 2 .
Р е ш е н и е. Мы знаем, что sin (x+ 2n ) = sin x , где n = 0, ± 1, ± 2, …
Следовательно, добавление 2n к аргументу синуса не
Меняет его значениe. Существует ли другое число с таким
Же свойством?
Предположим, что P - такое число, т.e. равенство:
Sin (x+ P ) = sin x ,
Справедливо для любого значения x . Но тогда оно имеет
Место и при x = / 2 , т.e.
Sin ( / 2 + P ) = sin / 2 = 1.
Но по формуле приведения sin ( / 2 + P ) = cos P . Тогда
Из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы
Знаем, что это верно лишь при P = 2n . Так как наименьшим
Отличным от нуля числом из 2n является 2, то это число
И есть период sin x . Аналогично доказывается, что 2 из n есть , таким образом, это период sin 2x .
Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём ( корнем) функции . Функция может иметь несколько нулей.Например, функция y = x (x + 1) (x -3) имеет три нуля: x = 0, x = -1, x = 3. Геометрически нуль функции - это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .
На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a , x = b и x = c .
Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой .
Функции и их свойства
Функция - одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y = f ( x ). (Читают: у равно f от х .) Символом f ( x ) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х .
Все значения независимой переменной образуют область определения функции . Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции .
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Способы задания функции:
1.аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;
2.табличный способ (функция задается с помощью таблицы)
3.описательный способ (функция задается словесным описанием)
4.графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
1. Нули функции
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .
2. Промежутки знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
3. Возрастание (убывание) функции.
Возрастающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция у = f ( x ) называется возрастающей на интервале (а; b ), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f ( x 1 )< f ( x 2 ).
Убывающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Функция у = f ( x ) называется убывающей на интервале (а; b ) , если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f ( x 1 )> f ( x 2 ).
4. Четность (нечетность) функции
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (- x ) = f ( x ) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Например, у = х 2 - четная функция.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (- x ) = - f (x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например: у = х 3 - нечетная функция .
Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х 2 +х ).
Свойства некоторых функций и их графики
1. Линейной функцией называется функция вида , где k и b – числа.
Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.
Графиком линейной функции у = kx + b ( k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b ) и параллельная прямой у = kx .
Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.
Свойства линейной функции.
1. При k > 0 функция у = kx + b
2. При k < 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.
y = kx + b ( k ≠ 0 ) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.
При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b .
3. При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.
При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b ≠ 0 она является четной.
При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.
Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b ) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох .
5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если . При k < 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если .
2. Функция y = x 2
R действительных чисел.
Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x 2 , изображаем график функции.
График функции y = x 2 называется параболой.
Свойства функции у = х 2 .
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.
2. Если х ≠ 0 , то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции у = х 2 является промежуток функция у = х 2 убывает.
х
3.Фунуция
Область определения этой функции - промежуток функция y = | x | убывает.
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.
6. Функция
Область определения функции: .
Область значений функции: .
График - гипербола.
1. Нули функции.
у ≠ 0, нулей нет.
2. Промежутки знакопостоянства,
Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у < 0 при х < О.
Если k < 0, то у < 0 при х > 0; у > 0 при х < 0.
3. Промежутки возрастания и убывания.
Если k > 0, то функция убывает при .
Если k < 0, то функция возрастает при .
4. Четность (нечетность) функции.
Функция нечетная.
Квадратный трехчлен
Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b и с - некоторые числа, причем а≠ 0, называется квадратным.
В квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент а называется первым коэффициентом, b - вторым коэффициентам, с - свободным членом.
Формула корней квадратного уравнения имеет вид:
.
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D .
Если D = 0, то существует только одно число, удовлетворяющее уравнению ax 2 + bx + c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число называют двукратным корнем.
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Так как а≠ 0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение . Полагая и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.
Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:
.
Уравнения вида
а x 2 + bx = 0, ax 2 + с = 0, а x 2 = 0
называются неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.
Теорема Виета .
Сумма корней квадратного уравнения равна взятому с противоположным знаком отношению второго коэффициента к первому, а произведение корней - отношению свободного члена к первому коэффициенту, т.е.
Обратная теорема.
Если сумма каких-нибудь двух чисел х 1 и х 2 равна , а их произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0.
Функция вида ах 2 + b х + с называется квадратным трехчленом. Корни этой функции являются корнями соответствующего квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0.
Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:
ах 2 + b х + с =а(х-х 1 )(х-х 2 )
где х 1 и х 2 - корни трехчлена
Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:
ах 2 + b х + с =а(х-х 1 ) 2
где х 1 - корень трехчлена.
Например, 3х 2 - 12х + 12 = 3(х - 2) 2 .
Уравнение вида ах 4 + b х 2 + с = 0 называется биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х 2 = y оно приводится к квадратному уравнению а y 2 + by + с = 0.
Квадратичная функция
Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax 2 + bx + c , где x – независимая переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .
Область определения: R ;
Область значений:
при а > 0 [- D /(4 a ); ∞)
при а < 0 (-∞; - D /(4 a )];
Четность, нечетность:
при b = 0 функция четная
при b ≠ 0 функция не является ни четной, ни нечетной
при D > 0 два нуля: ,
при D = 0 один нуль:
при D < 0 нулей нет
Промежутки знакопостоянства:
если, а > 0, D > 0, то
если, а > 0, D = 0, то
e сли а > 0, D < 0, то
если а < 0, D > 0, то
если а < 0, D = 0, то
если а < 0, D < 0, то
- Промежутки монотонности
при а > 0
при а < 0
Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;
2) построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Координаты вершины параболы определяются по формулам:
; .
1. Растяжение графика у = х 2 вдоль оси у в |а| раз (при |а| < 1 - это сжатие в 1/ |а| раз).
Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).
Результат: график функции у = ах 2 .
2. Параллельный перенос графика функции у = ах 2 вдоль оси х на | m | (вправо при
m > 0 и влево при т < 0).
Результат: график функции у = а(х - т) 2 .
3. Параллельный перенос графика функции вдоль оси у на | n | (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).
Результат: график функции у = а(х - т) 2 + п.
Неравенства вида ах 2 + b х + с > 0 и ах 2 + bх + с < 0, где х - переменная, a , b и с - некоторые числа, причем, а≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.
Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.
Для решения неравенств вида ах 2 + bх + с > 0 и ах 2 + bх + с < 0 поступают следующим образом:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;
3) находят на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с < 0).
Пример:
Решим неравенство .
Рассмотрим функцию
Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).
Выясним, как расположен график относительно оси х. Решим для этого уравнение . Получим, что х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси х.
Изобразив схематически параболу, найдем, что функция принимает отрицательные значения при любом х, кроме 4.
Ответ можно записать так: х - любое число, не равное 4.
схема решения
1. Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.
2. Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если k i четное, то нуль четной кратности, если k i нечетное - то нечетной).
3. Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, начиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для приведенного вида неравенств. При переходе справа налево через нуль функции от одного промежутка к соседнему следует учитывать:
если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется,
если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.
4. Записать ответ.
Пример:
(х + 6) (х + 1) (х - 4) < 0.
Найден нули функции. Они равны: х 1 = -6; х 2 = -1; х 3 = 4.
Отметим на координатной прямой нули функции f ( x ) = (х + 6) (х + 1) (х - 4).
Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и
Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-∞; -6) и (-1; 4).
Ответ: (-∞ ; -6) и (-1; 4).
Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.
Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение:
где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
Способы задания функции.
Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1
Функция f(x) убывает на множестве Р, если для любых x 1 и x 2 из этого множества, таких, что x 1 f(x 2) .
4. Экстремумы
Точка Х max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х max , выполнено неравенство f(х) f(X max).
Значение Y max =f(X max) называется максимумом этой функции.
Х max – точка максимума
У max – максимум
Точка Х min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х min , выполнено неравенство f(х) f(X min).
Значение Y min =f(X min) называется минимумом этой функции.
X min – точка минимума
Y min – минимум
X min , Х max – точки экстремума
Y min , У max – экстремумы.
5. Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х, при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
Х 1 ,Х 2 ,Х 3 – нули функции y = f(x).
Уроков: 2 Заданий: 11 Тестов: 1
Уроков: 2 Заданий: 14 Тестов: 1
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
Уроков: 4 Заданий: 14 Тестов: 1
Заданий: 24
Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.
Примеры.
1. Найти область определения функции.
Решение: область определения функции находится из условия
Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций - графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные.
Алгебраическая функция
- это функция, которая удовлетворяет уравнению:
,
где - многочлен от зависимой переменной y
и независимой переменной x
.
Его можно записать в виде:
,
где - многочлены.
Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции.
Целая рациональная функция
, которая также называется многочленом
или полиномом
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду:
.
Дробно-рациональная функция
, или просто рациональная функция
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию можно привести к виду
,
где и - многочлены.
Иррациональная функция
- это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n
определяется как решение уравнения
.
Он обозначается так:
.
Трансцендентными функциями называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции.
Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:
z t
.
Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.
Степенная функция :
y(x) = x p
,
где p
- показатель степени. Она зависит от основания степени x
.
Обратной к степенной функции является также степенная функция:
.
При целом неотрицательном значении показателя p
она является многочленом. При целом значении p
- рациональной функцией. При рациональном значении - иррациональной функцией.
Показательная функция :
y(x) = a x
,
где a
- основание степени. Она зависит от показателя степени x
.
Обратная функция - логарифм по основанию a
:
x = log
a y
.
Экспонента, е в степени х :
y(x) = e x
,
Это показательная функция, производная которой равна самой функции:
.
Основанием степени экспоненты является число e
:
≈ 2,718281828459045...
.
Обратная функция - натуральный логарифм - логарифм по основанию числа e
:
x = ln
y ≡ log
e y
.
Тригонометрические функции :
Синус : ;
Косинус : ;
Тангенс : ;
Котангенс : ;
Здесь i
- мнимая единица, i 2 = -1
.
Обратные тригонометрические функции :
Арксинус: x = arcsin
y
,
;
Арккосинус: x = arccos
y
,
;
Арктангенс: x = arctg
y
,
;
Арккотангенс: x = arcctg
y
,
.