Определение. Будем называть расстоянием от точки до плоскости минимальное расстояние от данной точки до точек m-плоскости.

Т.к. минимальное расстояние от данной точки до точек всякой прямой, лежащей на m-плоскости, является расстоянием от данной точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на прямую. Расстояние от точки до m-плоскости равно расстоянию от этой точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на m-плоскость.

Найдем расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением
(4) . Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
на плоскость имеет вид:
(12) . Подставим (12) в (4) :.
(13) . Т.к. расстояние от точки
до произвольной точки плоскости равно
(14) . В частности расстояние до плоскости от начала системы равно
(15) . Когда вектор нормали единичный, формулу (14) можно записать, как
(14’) , а (15) :
(15’) . В случае, когда вектор нормали единичный, абсолютная величина свободного члена в (4) равна расстоянию до плоскости.

Утверждение. Поскольку у параллельных плоскостей могут быть выбраны одни и те же направляющие векторы, то векторы нормали параллельных плоскостей коллинеарны. Расстояния от всех точек одной из двух параллельных плоскостей до другой из этих плоскостей равны. Действительно, расстояние от произвольной точки
к плоскости, проведенной через точку
параллельно данной плоскости(4) с направляющими векторами, в силу(14) равно
. Т.е. равно расстояниюот точки
до той же плоскости.

Определение. Будем называть число, равно этим расстояниям, расстоянием между двумя параллельными плоскостями .

Если уравнения двух плоскостей записаны в виде: (17) , то расстояние между ними равно расстоянию от точки
, лежащей на второй плоскости до первой. В силу соотношения(14) , это расстояние равно
, но т.к. точка
лежит на второй плоскости, то векторудовлетворяет уравнению этой плоскости, т.е.. Получаем:
(18) .

23. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов типов в случае δ≠0

Зафиксируем на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени.(1)

Def : Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 1 называют кривой второго порядка . Группу старших членов (2) можно рассматривать как квадратичную форму от координат (х,у) вектора х. Поскольку матрица А-симметрична, то  ортонормированный базис
из собственных векторов а, в котором матрица квадратичной формы диагональна и вещественна. Пусть матрицаP= – матрица перехода от базиса е к базису. Тогда
. Тогда(5)
. С учетом 5 запишем квадратичную форму 2. (6) Причем
(легко выводится умножениемP T AP). Следовательно в базисе квадратичная форма может быть записана в виде
. ПосколькуP T P=I, матрица Р – ортогональная и геометрически переходу от базиса к базису соответствует поворот на некоторый у
голφ против часовой стрелки.
. В силу справедливости 5,6 перепишем уравнение 1 в новых координатах.(10)

Положим (11)
. Тогда λ 1 λ 2 =detD=det(P T AP)=detP T detA detP=detA.

Значит

Разделим случаи:

1)

(13)
. Причем:
,
,
.

А) Предположим, что, то есть все λ одного знака, тогда геометрическое место точек координаты которых удовлетворяют условию 13 представляет собой:

Эллипс, если знак с противоположен знаку λ

«Мнимый эллипс», если знак с=знаку λ

точку, если с=0

В) Пусть
, т.е.λ 1 и λ 2 разных знаков. Тогда 13 будет

a. уравнением гиперболы:
, еслиc≠0

b. И пары пересекающихся прямых, если c=0

Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов в случае δ =0

Инварианты кривой второго порядка. Определение канонического уравнения кривой второго порядка по инвариантам.

Def : Инвариантой кривой называются функции коэффициентов уравнения кривой, которые не меняются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой.

Теорема. Для кривой второго порядка
,
,
являются инвариантами. В доказательстве рассматривается 2 случая: 1) параллельный перенос (производится замена переменных, открываются скобки, группируется) 2) Поворот с использованием Р.(с помощью Р приводится к диагональнойD=P T AP, а затем вычисляются инварианты от D)

Кривая эллиптического типа		- Эллипс
		- Эллипс
Кривая гиперболического типа		Гипербола
		Пара пересекающихся прямых
		Парабола
		Пара параллельных прямых

Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда все λ i отличны от нуля.

В случае, когда все λ i отличны от нуля. Поверхность, путем преобразования квадратичной формы с помощью матрицы перехода Р (как в кривых только для матрицы 3х3) и затем преобразования координат и приведения их к каноническому виду, преобразуется в следующий вид:. Тогда имеем следующее.

			Эллипсоид
			Однополостной гиперболоид
			Двуполостной гиперболоид
			Мнимый эллипсоид
	 λi одного знака		Мнимый конус

Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда одно из λ i ­ равно нулю.

Пусть, для определенности, λ 3 =0. Тогда уравнение поверхности примет вид:
(4). Если в 4
, то уравнение становится уравнением цилиндрической поверхности.
(5). Снова будем считать, что с≤0, иначе умножим 5 на -1.

			Эллиптический цилиндр
			Гиперболический цилиндр
			Мнимый эллиптический цилиндр
	λi одного знака		Две мнимые пересекающиеся плоскости	Прямая х=0, y=0
	λi разных знаков
	Если λi одного знака		Эллиптический параболоид
	Если разных знаков		Гиперболический параболоид

Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда два из λ i равны нулю.

Пусть
, тогда уравнение поверхности примет вид: (7) . Это пара параллельных плоскостей , различных, когда λ 1 C<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ 1 C>0.

Если a 2 ≠ 0 или a 3 ≠0, делаем замену, полагая:
,
. Подставляя в 7 получаем:
, где
. Это кривая второго порядка на плоскости илипараболический цилиндр .

Теорема 1 : Пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств N 0 (p) и M (p) . При этом подпространство N 0 (p) состоит только их собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению λ=0, а в подпространстве M (p) преобразование обратимо (т.е. λ=0 не является собственным значением преобразования A в подпространстве M (p) .

Доказательство: для доказательства первого утверждения нам достаточно показать, что пересечение подпространств N 0 (p) и M 0 (p) равно нулю. Допустим противное, т.е пусть существует вектор y≠0 такой, что yM (p) и yN 0 (p) . Так как yM (p) , то y=A p x.

Но из равенств (8) и (9) следует, что существует такой вектор x, для которого A p x≠0 и в то же время A 2 p x = A p y = 0

Это значит, что x есть присоединенный вектор преобразования A с собственным значением λ=0, не принадлежащий подпространству N 0 (p) , что невозможно, так как N 0 (p) состоит из всех таких векторов.

Таким образом мы доказали, что пересечение N 0 (p) и M 0 (p) равно нулю. Так как сумма размерностей этих подпространств равна n (это ядро и образ преобразования A p), то отсюда следует, что пространство R раскладывается в прямую сумму этих подпространств:

R = M (p) N 0 (p)

Докажем теперь второе утверждение теоремы, т.е. что в подпространстве M (p) преобразование A не имеет нулевого собственного значения. Действительно, если бы это было не так, то в M (p) существовал бы вектор x≠0 такой, что A p x=0

Но это равенство означает, что xN 0 (p) , т.е. является общим вектором M (p) и N 0 (p) , а мы доказали, что таким вектором может быть только нуль.

Теорема 2: Пусть преобразование A пространства R имеет k различных собственных значений λ 1 ,….,λ k . Тогда R можно разложить в прямую сумму k инвариантных подпространств N λ 1 (p 1) ,….,N λk (pk) :

R = N λ 1 (p 1) ….N λk (pk)

Каждое из подпространств N λi (pi) состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению λ i

Другими словами, для каждого i существует такое число p i , что для всех xN λ i (pi) .

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между плоскостями. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между плоскостями, введите элементы уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между плоскостями − теория

Алгоритм вычисления расстояния между плоскостями содержит следующие шаги:

1. Проверка коллинеарности нормальных векторов плоскостей.
2. Нахождение некоторой точки M 0 на первой плоскости.
3. Вычисление расстояния между точкой M 0 и второй плоскостью.

Нормальный вектор уравнения (2") имеет следующий вид:

принадлежит плоскости (1):

Общее уравнение плоскости имеет вид:

Подставим значения A, B, C, D 1 , D 2 в (9):

Упростим и решим.

Расстояние между двумя параллельными плоскостямивыражается формулой :

Координаты точек нам неизвестны, да их и не нужно знать, поскольку перпендикуляр между плоскостями можно протянуть в любом месте.

Найдём расстояние между параллельными плоскостями Примера №8:

Пример 10

.

Решение : Используем формулу:

Ответ :

У многих наверняка возник вопрос: вот у этих плоскостей – первые три коэффициенты одинаковы, но это же не всегда так! Да, не всегда.

Пример 11

Найти расстояние между параллельными плоскостями

Проверим пропорциональность коэффициентов: , но , значит, плоскости действительно параллельны. Первые три коэффициента пропорциональны, но не совпадают. Но формула-то предусмотрена для совпадающих коэффициентов!

Есть два пути решения:

1) Найдём какую-нибудь точку, принадлежащую любой из плоскостей. Например, рассмотрим плоскость . Чтобы найти точку, проще всего обнулить две координаты. Обнулим «икс» и «зет», тогда: .

Таким образом, точка принадлежит данной плоскости. Теперь можно использовать формулу расстояния от точки до прямой , рассмотренную в предыдущем разделе.

2) Второй способ связан с небольшим трюком, который нужно применить, чтобы таки использовать формулу ! Это пример для самостоятельного решения.

Пересекающиеся плоскости

Третий, самый распространённый случай, когда две плоскости пересекаются по некоторой прямой :

Две плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменныхНЕ пропорциональны , то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Сразу отмечу важный факт: Если плоскости пересекаются, тосистема линейных уравнений задаётуравнение прямой в пространстве . Но о пространственной прямой позже.

В качестве примера рассмотрим плоскости . Составим систему для соответствующих коэффициентов:

Из первых двух уравнений следует, что , но из третьего уравнения следует, что , значит, система несовместна , и плоскости пересекаются.

Проверку можно выполнить «по пижонски» одной строкой:

Параллельные плоскости мы уже разобрали, теперь поговорим о перпендикулярных плоскостях. Очевидно, что к любой плоскости можно провести бесконечно много перпендикулярных плоскостей, а для того, чтобы зафиксировать конкретную перпендикулярную плоскость, необходимо знать две точки:

Пример 12

Дана плоскость . Построить плоскость , перпендикулярную данной и проходящую через точки .

Решение : Начинаем анализировать условие. Что мы знаем о плоскости ? Известны две точки. Можно найти вектор , параллельный данной плоскости. Маловато. Было бы неплохо где-нибудь нарыть ещё один подходящий вектор. Так как плоскости должны быть перпендикулярны, то подойдёт нормальный вектор плоскости .

Проводить подобные рассуждения здОрово помогает схематический чертёж:

Для лучшего понимания задачи отложите вектор нормали от точки в плоскости .

Следует заметить, что две произвольные точки могут располагаться в пространстве как угодно, и перпендикулярная плоскость может быть развёрнута к нам совершенно другим ракурсом. Кстати, теперь чётко видно, почему одна точка не определит перпендикулярную плоскость – вокруг единственной точки будет «вращаться» бесконечно много перпендикулярных плоскостей. Так же нас не устроит и единственный вектор (без всяких точек). Вектор является свободным и «наштампует» нам бесконечно много перпендикулярных плоскостей (которые, к слову, все будут параллельны). В этой связи минимальную жёсткую конструкцию обеспечивают две точки.

Алгоритм разобран, решаем задачу:

1) Найдём вектор .

2) Из уравнения снимем вектор нормали: .

3) Уравнение плоскости составим по точке (можно было взять и ) и двум неколлинеарным векторам :

Материал данной статьи позволяет получить навык определения расстояния между двумя параллельными плоскостями при помощи метода координат. Дадим определение расстояния между параллельными плоскостями, получим формулу для его расчета и рассмотрим теорию на практических примерах.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из рассматриваемых параллельных плоскостей до другой плоскости.

Пусть заданы две параллельные плоскости ϒ 1 и ϒ 2 . Из произвольной точки М 1 плоскости ϒ 1 опустим перпендикуляр М 1 Н 1 на другую плоскость ϒ 2 . Длина перпендикуляра М 1 Н 1 и будет являться расстоянием между заданными плоскостями.

Указанное определение расстояния между параллельными плоскостями имеет взаимосвязь со следующей теоремой.

Теорема

Если две плоскости параллельны, то все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одном и том же расстоянии от другой плоскости.

Доказательство

Допустим, заданы две параллельные плоскости ϒ 1 и ϒ 2 . Для получения доказательства теоремы необходимо доказать, что перпендикуляры, опущенные из различных произвольных точек одной плоскости к другой плоскости, равны. Пусть будут заданы некоторые произвольные точки М 1 и М 2 на плоскости ϒ 1 , и из них опущены перпендикуляры М 1 Н 1 и М 2 Н 2 на плоскость ϒ 2 . Таким образом, нам предстоит доказать, что М 1 Н 1 = М 2 Н 2 .

Прямые М 1 Н 1 и М 2 Н 2 параллельны, поскольку перпендикулярны одной плоскости. Опираясь на аксиому о единственной плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой, можем утверждать, что через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Будем считать, что существует некоторая плоскость ϒ 3 , проходящая через две параллельные прямые М 1 Н 1 и М 2 Н 2 . Очевидным фактом является то, что плоскость ϒ 3 пересекает плоскости ϒ 1 и ϒ 2 по прямым М 1 M 2 и Н 1 Н 2 , которые не пересекаются, а значит – параллельны (в ином случае, заданные плоскости имели бы общую точку, что невозможно в силу их параллельности по условию задачи). Таким образом, мы наблюдаем четырехугольник М 1 М 2 Н 1 Н 2 , у которого противоположные стороны являются попарно параллельными, т.е. М 1 М 2 Н 1 Н 2 – параллелограмм (в рассматриваемом случае – прямоугольник). Следовательно, противоположные стороны у этого параллелограмма равны, а значит | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | . Что и требовалось доказать.

Заметим также, что расстояние между параллельными плоскостями – наименьшее из расстояний между произвольными точками этих плоскостей.

Нахождение расстояния между параллельными плоскостями

По программе 10 - 11 классов расстояние между параллельными плоскостями определяется построением перпендикуляра из любой точки одной плоскости, опущенного к другой плоскости; после чего находится длина этого перпендикуляра (при помощи теоремы Пифагора, признаков равенства, или подобия треугольников, или определения синуса, косинуса, тангенса угла).

В случае, когда уже задана или есть возможность задать прямоугольную систему координат, то мы имеем возможность определить расстояние между параллельными плоскостями при помощи метода координат.

Пусть задано трехмерное пространство, а в нем - прямоугольная система координат и две параллельные плоскости ϒ 1 и ϒ 2 . Найдем расстояние между этими плоскостями, опираясь, в том числе, на определение расстояния между плоскостями, данное выше.

В исходных данных - плоскости ϒ 1 и ϒ 2 , и мы можем определить координаты (x 1 , y 1 , z 1) некой точки M 1 , принадлежащей одной из заданных плоскостей: пусть это будет плоскость ϒ 1 . Также получим нормальное уравнение плоскости ϒ 2: cos α · x + cos β · y + cos λ · z - p = 0 . В таком случае, искомое расстояние | М 1 Н 1 | будет равно расстоянию от точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) до плоскости ϒ 2 (ей соответствует нормальное уравнение cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0). Тогда нужное расстояние вычислим по формуле: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Вывод данной формулы можно изучить в теме вычисления расстояния от точки до плоскости.

Резюмируем. Для того,чтобы определить расстояние между двумя параллельными плоскостями, необходимо:

Определение 2

Найти координаты (x 1 , y 1 , z 1) некой точки М 1 , принадлежащей одной из исходных плоскостей;

Определить нормальное уравнение другой плоскости в виде cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ;

Произвести расчет требуемого расстояние, используя формулу: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p .

Если в прямоугольной системе координат плоскость ϒ 1 задается общим уравнением плоскости A · x + B · y + C · z + D 1 = 0 , а плоскость ϒ 2 – общим уравнением A · x + B · y + C · z + D 2 = 0 , тогда расстояние между параллельными плоскостями необходимо вычислять по формуле:

M 1 H 1 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Покажем, как данная формула получена.

Пусть точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) принадлежит плоскости ϒ 1 . В таком случае координаты этой точки будут отвечать уравнению плоскости A · x + B · y + C · z + D 1 = 0 , или верным будет равенство: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0 . Отсюда получим: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0 . Полученное равенство нам еще пригодится.

Плоскость ϒ 2 будет описываться нормальным уравнением плоскости A · x + B · y + C · z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 или - A · x + B · y + C · z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 (в зависимости от знака числа D 2). Однако при любом значение D 2 расстояние | М 1 Н 1 | возможно рассчитать, используя формулу:

M 1 H 1 = A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2

Теперь задействуем полученное ранее равенство A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 = - D 1 и преобразуем формулу:

M 1 H 1 = - D 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Пример 1

Даны две параллельные плоскости ϒ 1 и ϒ 2 , описываемые уравнениями x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 и 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 соответственно. Необходимо определить расстояние между заданными плоскостями.

Решение

Решим задачу двумя способами.

1. Уравнение плоскости в отрезках, которое задано в условии задачи, дает возможность определить координаты точки М 1 , принадлежащей плоскости, описываемой этим уравнением. Как точку М 1 используем точку пересечения плоскости ϒ 1 и оси O x . Таким образом, имеем: M 1 1 6 , 0 , 0 .

Преобразуем общее уравнение плоскости ϒ 2 в нормальный вид:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 3 2 + (- 2) 2 + 2 3 2 = 0 ⇔ ⇔ 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0

Вычислим расстояние | М 1 Н 1 | от точки M 1 1 6 , 0 , 0 до плоскости 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0:

M 1 H 1 = 3 5 · 1 6 - 2 5 · 0 + 2 3 5 · 0 - 4 = 1 10 - 4 = 3 9 10

Так мы получили искомое расстояние между исходными параллельными плоскостями.

1. Преобразуем уравнение плоскости в отрезках в общее уравнение плоскости:

x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 1 = 0

Приравняем коэффициенты при переменных x , y , z в общих уравнениях плоскостей; с этой целью умножим обе части крайнего равенства на 2:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 40 = 0

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между параллельными плоскостями:

M 1 H 1 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2 = - 40 - (- 1) 6 2 + (- 4) 2 + (4 3) 2 = 39 100 = 3 9 10 .

Ответ: 3 9 10 .

Пример 2

Даны две параллельные плоскости, описываемые уравнениями: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 . Необходимо найти расстояние между этими плоскостями.

Решение

Удобнее будет использовать второй способ решения подобных задач. Умножим обе части второго уравнения на 2 , и коэффициенты в уравнениях плоскостей станут равны: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 и 6 x + 4 y - 12 z - 4 = 0 . Теперь можно использовать формулу:

M 1 H 1 = - 4 - 3 6 2 + 4 2 + (- 12) 2 = 7 196 = 1 2

Однако попробуем найти ответ и первым способом: допустим, точка M 1 (x 1 , y 1 , z 1) принадлежит плоскости 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 . Соответственно, координаты этой точки отвечают уравнению плоскости, и верным будет равенство:

6 x 1 + 4 y 1 - 12 z 1 + 3 = 0

Пусть y 1 = 0 , z 1 = 0 , тогда x 1: 6 x 1 + 4 · 0 - 12 · 0 + 3 = 0 ⇔ x 1 = - 1 2

Таким образом, точка получает точные координаты: M 1 - 1 2 , 0 , 0 .

Преобразуем общее уравнение плоскости 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 в нормальный вид:

3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 3 2 + 2 2 + - 6 = 0 ⇔ 3 7 x + 2 7 y - 6 7 z - 2 7 = 0

В таком случае, требуемое расстояние между плоскостями равно: 3 7 · - 1 2 + 2 7 · 0 - 6 7 · 0 - 6 7 · 0 - 2 7 = - 1 2 = 1 2

Ответ: 1 2 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.