Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело
на 3, без остатка.
Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?
Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:
Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения .
a
=
b
⋅
c
+
d
a
– делимое,
b
– делитель,
c
– неполное частное,
d
– остаток.
Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.
Остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.
Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.
Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.
Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.
Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8
Решение:
а) Делим столбиком:
258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
б) Делим столбиком:
1873 – делимое,
8 – делитель,
234 – неполное частное,
1 – остаток. Остаток меньше делителя 1<8.
Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
8⋅234+1=1872+1=1873
Пример №2:
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) 3 б)8?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 3. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1 или 2.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 8. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Пример №3:
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) 9 б) 15?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 9. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 8.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 15. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 14.
Пример №4:
Найдите делимое: а) а:6=3(ост.4) б) с:24=4(ост.11)
Решение:
а) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
а:6=3(ост.4)
(a – делимое, 6 – делитель, 3 – неполное частное, 4 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
а=6⋅3+4=22
Ответ: а=22
б) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
с:24=4(ост.11)
(с – делимое, 24 – делитель, 4 – неполное частное, 11 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
с=24⋅4+11=107
Ответ: с=107
Задача:
Проволоку 4м. нужно разрезать на куски по 13см. Сколько таких кусков получится?
Решение:
Сначала надо метры перевести в сантиметры.
4м.=400см.
Можно поделить столбиком или в уме получим:
400:13=30(ост.10)
Проверим:
13⋅30+10=390+10=400
Ответ: 30 кусков получиться и 10 см. проволоки останется.
Деление натуральных чисел, особенно многозначных, удобно проводить особым методом, который получил название деление столбиком (в столбик) . Также можно встретить название деление уголком . Сразу отметим, что столбиком можно проводить как деление натуральных чисел без остатка , так и деление натуральных чисел с остатком .
В этой статье мы разберемся, как выполняется деление столбиком. Здесь мы поговорим и о правилах записи, и о всех промежуточных вычислениях. Сначала остановимся на делении столбиком многозначного натурального числа на однозначное число. После этого остановимся на случаях, когда и делимое и делитель являются многозначным натуральными числами. Вся теория этой статьи снабжена характерными примерами деления столбиком натуральных чисел с подробными пояснениями хода решения и иллюстрациями.
Навигация по странице.
Начнем с изучения правил записи делимого, делителя, всех промежуточных выкладок и результатов при делении натуральных чисел столбиком. Сразу скажем, что письменно выполнять деление столбиком удобнее всего на бумаге с клетчатой разлиновкой – так меньше шансов сбиться с нужной строки и столбца.
Сначала в одной строке слева направо записываются делимое и делитель, после чего между записанными числами изображается символ вида . Например, если делимым является число 6 105
, а делителем – 5
5, то их правильная запись при делении в столбик будет такой:
Посмотрите на следующую схему, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком.
Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого, и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места. Например, при делении столбиком натурального числа 614 808
на 51 234
(614 808
– шестизначное число, 51 234
– пятизначное число, разница в количестве знаков в записях равна 6−5=1
) для промежуточных вычислений потребуется меньше места, чем при делении чисел 8 058
и 4
(здесь разница в количестве знаков равна 4−1=3
). Для подтверждения своих слов приводим законченные записи деления столбиком этих натуральных чисел:
Теперь можно переходить непосредственно к процессу деления натуральных чисел столбиком.
Понятно, что разделить одно однозначное натуральное число на другое достаточно просто, и делить эти числа в столбик нет причин. Однако будет полезно отработать начальные навыки деления столбиком на этих простых примерах.
Пример.
Пусть нам нужно разделить столбиком 8 на 2 .
Решение.
Конечно, мы можем выполнить деление при помощи таблицы умножения , и сразу записать ответ 8:2=4 .
Но нас интересует, как выполнить деление этих чисел столбиком.
Сначала записываем делимое 8
и делитель 2
так, как того требует метод:
Теперь мы начинаем выяснять, сколько раз делитель содержится в делимом. Для этого мы последовательно умножаем делитель на числа 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока в результате не получим число, равное делимому, (либо число большее, чем делимое, если имеет место деление с остатком). Если мы получаем число равное делимому, то сразу записываем его под делимым, а на место частного записываем число, на которое мы умножали делитель. Если же мы получаем число большее, чем делимое, то под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного записываем число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.
Поехали: 2·0=0
; 2·1=2
; 2·2=4
; 2·3=6
; 2·4=8
. Мы получили число, равное делимому, поэтому записываем его под делимым, а на место частного записываем число 4
. При этом запись примет следующий вид:
Остался завершающий этап деления однозначных натуральных чисел столбиком. Под числом, записанным под делимым, нужно провести горизонтальную черту, и провести вычитание чисел над этой чертой так, как это делается при вычитании натуральных чисел столбиком . Число, получающееся после вычитания, будет остатком от деления. Если оно равно нулю, то исходные числа разделились без остатка.
В нашем примере получаем
Теперь перед нами законченная запись деления столбиком числа 8 на 2 . Мы видим, что частное 8:2 равно 4 (и остаток равен 0 ).
Ответ:
8:2=4 .
Теперь рассмотрим, как осуществляется деление столбиком однозначных натуральных чисел с остатком.
Пример.
Разделим столбиком 7 на 3 .
Решение.
На начальном этапе запись выглядит так:
Начинаем выяснять, сколько раз в делимом содержится делитель. Будем умножать 3
на 0
, 1
, 2
, 3
и т.д. до того момента, пока не получим число равное или большее, чем делимое 7
. Получаем 3·0=0<7
; 3·1=3<7
; 3·2=6<7
; 3·3=9>7
(при необходимости обращайтесь к статье сравнение натуральных чисел). Под делимым записываем число 6
(оно получено на предпоследнем шаге), а на место неполного частного записываем число 2
(на него проводилось умножение на предпоследнем шаге).
Осталось провести вычитание, и деление столбиком однозначных натуральных чисел 7
и 3
будет завершено.
Таким образом, неполное частное равно 2 , и остаток равен 1 .
Ответ:
7:3=2 (ост. 1) .
Теперь можно переходить к делению столбиком многозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа.
Сейчас мы разберем алгоритм деления столбиком . На каждом его этапе мы будем приводить результаты, получающиеся при делении многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 . Этот пример выбран не случайно, так как при его решении мы столкнемся со всеми возможными нюансами, сможем подробно разобрать их.
Сначала мы смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Если число, определяемое этой цифрой, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого, и работать дальше с числом, определяемым двумя рассматриваемыми цифрами. Для удобства выделим в нашей записи число, с которым мы будем работать.
Первой слева цифрой в записи делимого 140 288
является цифра 1
. Число 1
меньше, чем делитель 4
, поэтому смотрим еще и на следующую слева цифру в записи делимого. При этом видим число 14
, с которым нам и предстоит работать дальше. Выделяем это число в записи делимого.
Следующие пункты со второго по четвертый повторяются циклически, пока деление натуральных чисел столбиком не будет завершено.
Сейчас нам нужно определить, сколько раз делитель содержится в числе, с которым мы работаем (для удобства обозначим это число как x ). Для этого последовательно умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 , … до того момента, пока не получим число x или число больше, чем x . Когда получается число x , то мы записываем его под выделенным числом по правилам записи, используемым при вычитании столбиком натуральных чисел. Число, на которое проводилось умножение, записывается на место частного при первом проходе алгоритма (при последующих проходах 2-4 пунктов алгоритма это число записывается правее уже находящихся там чисел). Когда получается число, которое больше числа x , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место частного (или правее уже находящихся там чисел) записываем число, на которое проводилось умножение на предпоследнем шаге. (Аналогичные действия мы проводили в двух примерах, разобранных выше).
Умножаем делитель 4
на числа 0
, 1
, 2
, …, пока не получим число, которое равно 14
или больше 14
. Имеем 4·0=0<14
, 4·1=4<14
, 4·2=8<14
, 4·3=12<14
, 4·4=16>14
. Так как на последнем шаге мы получили число 16
, которое больше, чем 14
, то под выделенным числом записываем число 12
, которое получилось на предпоследнем шаге, а на место частного записываем число 3
, так как в предпоследнем пункте умножение проводилось именно на него.
На этом этапе из выделенного числа вычитаем столбиком число, расположенное под ним. Под горизонтальной линией записывается результат вычитания. Однако, если результатом вычитания является нуль, то его не нужно записывать (если только вычитание в этом пункте не является самым последним действием, полностью завершающим процесс деления столбиком). Здесь же для своего контроля не лишним будет сравнить результат вычитания с делителем и убедиться, что он меньше делителя. В противном случае где-то была допущена ошибка.
Нам нужно вычесть столбиком из числа 14
число 12
(для корректности записи нужно не забыть поставить знак «минус» слева от вычитаемых чисел). После завершения этого действия под горизонтальной чертой оказалось число 2
. Теперь проверяем свои вычисления, сравнивая полученное число с делителем. Так как число 2
меньше делителя 4
, то можно спокойно переходить к следующему пункту.
Теперь под горизонтальной чертой справа от находящихся там цифр (или справа от места, где мы не стали записывать нуль) записываем цифру, расположенную в том же столбце в записи делимого. Если же в записи делимого в этом столбце нет цифр, то деление столбиком на этом заканчивается. После этого выделяем число, образовавшееся под горизонтальной чертой, принимаем его в качестве рабочего числа, и повторяем с ним со 2 по 4 пункты алгоритма.
Под горизонтальной чертой справа от уже имеющейся там цифры 2
записываем цифру 0
, так как именно цифра 0
находится в записи делимого 140 288
в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой образуется число 20
.
Это число 20
мы выделяем, принимаем в качестве рабочего числа, и повторяем с ним действия второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма.
Умножаем делитель 4
на 0
, 1
, 2
, …, пока не получим число 20
или число, которое больше, чем 20
. Имеем 4·0=0<20
, 4·1=4<20
, 4·2=8<20
, 4·3=12<20
, 4·4=16<20
, 4·5=20
. Так как мы получили число, равное числу 20
, то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3
записываем число 5
(на него производилось умножение).
Проводим вычитание столбиком. Так как мы вычитаем равные натуральные числа, то в силу свойства вычитания равных натуральных чисел в результате получаем нуль. Нуль мы не записываем (так как это еще не завершающий этап деления столбиком), но запоминаем место, на котором мы его могли записать (для удобства это место мы отметим черным прямоугольником).
Под горизонтальной линией справа от запомненного места записываем цифру 2
, так как именно она находится в записи делимого 140 288
в этом столбце. Таким образом, под горизонтальной чертой мы имеем число 2
.
Число 2
принимаем за рабочее число, отмечаем его, и нам еще раз придется выполнить действия из 2-4
пунктов алгоритма.
Умножаем делитель на 0
, 1
, 2
и так далее, и сравниваем получающиеся числа с отмеченным числом 2
. Имеем 4·0=0<2
, 4·1=4>2
. Следовательно, под отмеченным числом записываем число 0
(оно было получено на предпоследнем шаге), а на месте частного справа от уже имеющегося там числа записываем число 0
(на 0
мы проводили умножение на предпоследнем шаге).
Выполняем вычитание столбиком, получаем число 2
под горизонтальной чертой. Проверяем себя, сравнивая полученное число с делителем 4
. Так как 2<4
, то можно спокойно двигаться дальше.
Под горизонтально чертой справа от числа 2 дописываем цифру 8
(так как она находится в этом столбце в записи делимого 140 288
). Таким образом, под горизонтальной линией оказывается число 28
.
Принимаем это число в качестве рабочего, отмечаем его, и повторяем действия 2-4
пунктов.
Здесь никаких проблем возникнуть не должно, если Вы были внимательны до настоящего момента. Проделав все необходимые действия, получается следующий результат.
Осталось последний раз провести действия из пунктов 2
, 3
, 4
(предоставляем это Вам), после чего получится законченная картина деления натуральных чисел 140 288
и 4
в столбик:
Обратите внимание, что в самой нижней строчке записано число 0 . Если бы это был не последний шаг деления столбиком (то есть, если бы в записи делимого в столбцах справа оставались цифры), то этот нуль мы бы не записывали.
Таким образом, посмотрев на законченную запись деления многозначного натурального числа 140 288 на однозначное натуральное число 4 , мы видим, что частным является число 35 072 , (а остаток от деления равен нулю, он находится в самой нижней строке).
Конечно же, при делении натуральных чисел столбиком Вы не будете настолько подробно описывать все свои действия. Ваши решения будут выглядеть примерно так, как в следующих примерах.
Пример.
Выполните деление в столбик, если делимое равно 7 136 , а делителем является однозначное натуральное число 9 .
Решение.
На первом шаге алгоритма деления натуральных чисел столбиком мы получим запись вида
После выполнения действий из второго, третьего и четвертого пунктов алгоритма запись деления столбиком примет вид
Повторив цикл, будем иметь
Еще один проход дет нам законченную картину деления столбиком натуральных чисел 7 136
и 9
Таким образом, неполное частное равно 792 , а остаток от деления равен 8 .
Ответ:
7 136:9=792 (ост. 8) .
А этот пример демонстрирует, как должно выглядеть деление в столбик.
Пример.
Разделите натуральное число 7 042 035 на однозначное натуральное число 7 .
Решение.
Удобнее всего выполнить деление столбиком.
Ответ:
7 042 035:7=1 006 005 .
Поспешим Вас обрадовать: если Вы хорошо усвоили алгоритм деления столбиком из предыдущего пункта этой статьи, то Вы уже почти умеете выполнять деление столбиком многозначных натуральных чисел . Это действительно так, так как со 2 по 4 этапы алгоритма остаются неизменными, а в первом пункте появляются лишь незначительные изменения.
На первом этапе деления в столбик многозначных натуральных чисел нужно смотреть не на первую слева цифру в записи делимого, а на такое их количество, сколько знаков содержится в записи делителя. Если число, определяемое этими цифрами, больше делителя, то в следующем пункте нам предстоит работать с этим числом. Если же это число меньше, чем делитель, то нам нужно добавить к рассмотрению следующую слева цифру в записи делимого. После этого выполняются действия, указанные во 2 , 3 и 4 пункте алгоритма до получения конечного результата.
Осталось лишь посмотреть применение алгоритма деления столбиком многозначных натуральных чисел на практике при решении примеров.
Пример.
Выполним деление столбиком многозначных натуральных чисел 5 562 и 206 .
Решение.
Так как в записи делителя 206
участвуют 3
знака, то смотрим на первые 3
цифры слева в записи делимого 5 562
. Эти цифры соответствуют числу 556
. Так как 556
больше, чем делитель 206
, то число 556
принимаем в качестве рабочего, выделяем его, и переходим к следующему этапу алгоритма.
Теперь умножаем делитель 206
на числа 0
, 1
, 2
, 3
, … до того момента, пока не получим число, которое либо равно 556
, либо больше, чем 556
. Имеем (если умножение выполняется сложно, то лучше выполнять умножение натуральных чисел столбиком): 206·0=0<556
, 206·1=206<556
, 206·2=412<556
, 206·3=618>556
. Так как мы получили число, которое больше числа 556
, то под выделенным числом записываем число 412
(оно было получено на предпоследнем шаге), а на место частного записываем число 2
(так как на него проводилось умножение на предпоследнем шаге). Запись деления столбиком принимает следующий вид:
Выполняем вычитание столбиком. Получаем разность 144
, это число меньше делителя, поэтому можно спокойно продолжать выполнение требуемых действий.
Под горизонтальной линией справа от имеющегося там числа записываем цифру 2
, так как она находится в записи делимого 5 562
в этом столбце:
Теперь мы работаем с числом 1 442
, выделяем его, и проходим пункты со второго по четвертый еще раз.
Умножаем делитель 206
на 0
, 1
, 2
, 3
, … до получения числа 1 442
или числа, которое больше, чем 1 442
. Поехали: 206·0=0<1 442
, 206·1=206<1 442
, 206·2=412<1 332
, 206·3=618<1 442
, 206·4=824<1 442
, 206·5=1 030<1 442
, 206·6=1 236<1 442
, 206·7=1 442
. Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442
, а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7
:
Проводим вычитание столбиком, получаем нуль, но сразу его не записываем, а лишь запоминаем его позицию, потому что не знаем, завершается ли на этом деление, или придется еще раз повторять шаги алгоритма:
Теперь мы видим, что под горизонтальную черту правее запомненной позиции мы не можем записать никакого числа, так как в записи делимого в этом столбце нет цифр. Следовательно, на этом деление столбиком закончено, и мы завершаем запись:
Дети во 2-3 классе осваивают новое математическое действие – деление. Школьнику непросто вникнуть в суть данного математического действия, поэтому ему необходима помощь родителей. Родителям нужно понимать, как именно преподносить ребенку новую информацию. ТОП-10 примеров расскажут родителям о том, как нужно учить детей делению чисел столбиком.
Дети устают в школе, они устают от учебников. Поэтому родителям нужно отказаться от учебников. Подавайте информацию в форме увлекательной игры.
Можно поставить задачи таким образом:
1 Организуйте ребенку место для обучения в форме игры. Посадите его игрушки в круг, а ребенку дайте груши или конфеты. Предложите ученику разделить 4 конфеты между 2 или 3 куклами. Чтобы добиться понимания со стороны ребенка, постепенно прибавляйте количество конфет до 8 и 10. Даже если малыш будет долго действовать, не давите и не кричите на него. Вам потребуется терпение. Если ребенок делает что-то неправильно, исправляйте его спокойно. Затем, как он завершит первое действие деления конфет между участниками игры, попросит его вычислить, сколько конфет досталось каждой игрушке. Теперь вывод. Если было 8 конфет и 4 игрушки, то каждой досталось по 2 конфеты. Дайте ребенку понять, что разделить – это значит распределить равное количество конфет всем игрушкам.
2 Обучать математическому действию можно с помощью цифр. Дайте ученику понять, что цифры можно квалифицировать, как груши или конфеты. Скажите, что количество груш, которое требуется разделить – это делимое. А количество игрушек, на которых приходятся конфеты – это делитель.
3 Дайте ребенку 6 груш. Поставьте перед ним задачу: разделить количество груш между дедушкой, собакой и папой. Затем попросите его поделить 6 груш между дедушкой и папой. Объясните ребенку причину, по которой получился неодинаковый результат при делении.
4 Расскажите ученику о делении с остатком. Дайте ребенку 5 конфет и попросите его раздать их поровну между котом и папой. У ребенка останется 1 конфета. Расскажите ребенку, почему получилось именно так. Данное математическое действие стоит рассмотреть отдельно, так как это может вызвать сложности.
Обучение в игровой форме может помочь ребенку быстрее понять весь процесс деления чисел. Он сможет усвоить, что наибольшее число делится на наименьшее или наоборот. То есть, наибольшее число – это конфеты, а наименьшее – участники. В столбике 1 числом будет количество конфет, а 2 – количество участников.
Не перегружайте ребенка новыми знаниями. Обучать нужно постепенно. Переходить к новому материалу нужно тогда, когда предыдущий материал закреплен.
Ученики до 5 класса смогут разобраться в делении быстрее, при условии того, что они хорошо знают умножениz.
Родителям необходимо разъяснить, что деление имеет сходство с таблицей умножения. Только действия противоположны. Для наглядности нужно привести пример:
Можно воспользоваться таблицей умножения для наглядности деления, если ребенок хорошо ее усвоил.
Начинать обучение нужно тогда, когда ученик понял материал о делении на практике, с помощью игры и таблицы умножения.
Нужно начинать делить таким образом, применяя простые примеры. Так, деление 105 на 5.
Объяснять математическое действие нужно подробно:
Родителям нужно объяснить, что это деление не имеет остатка.
Начать деление можно с цифр 6,8,9, затем переходить к 22, 44, 66 , а после к 232, 342, 345 , и так далее.
Когда ребенок усвоит материал о делении, можно усложнять задачу. Деление с остатком – это следующая ступень обучения. Объяснять нужно на доступных примерах:
На этом же примере можно продолжить:
Данный пример может показаться ребенку сложным. Поэтому нужно много раз делить значения, у которых будет остаток.
Родители могут использовать игры на деление для обучения школьника. Можно дать ребенку раскраски, в которых нужно определить цвет карандаша путем деления. Нужно выбирать раскраски с легкими примерами, чтобы ребенок мог решить примеры в уме.
Картинка будет поделена на части, в которых будут результаты деления. А цвета, которые нужно использовать, будут примерами. Например, красный цвет помечен примером: 15 разделить на 3. Получится 5. Нужно найти часть картинки под этим номером и раскрасить ее. Математические раскраски увлекают детей. Поэтому родителям стоит попробовать данный способ обучения.
Деление данным методом предполагает, что частное будет начинаться с 0, а после него будет стоять запятая.
Чтобы ученик корректно усвоил полученную информацию, ему необходимо привести такого плана пример.
Деление многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик . Давайте разберем, как это делать. Начнем с деления многоразрядного числа на одноразрядное, и постепенно увеличим разрядность делимого.
Итак, поделим 354 на 2 . Для начала разместим эти числа как показано на рисунке:
Делимое размещаем слева, делитель справа, а частное будем записывать под делителем.
Теперь начинаем делить делимое на делитель поразрядно слева на право. Находим первое неполное делимое , для этого берем первый слева разряд, в нашем случае 3 и сравниваем с делителем.
3 больше 2 , значит 3 и есть неполное делимое. Ставим точку в частном и определяем, сколько ещё разрядов будет в частном – столько же, сколько осталось в делимом после выделения неполного делимого. В нашем случае в частном столько же разрядов, сколько в делимом, то есть старшим разрядом будут сотни:
Для того чтобы 3 разделить на 2 вспоминаем таблицу умножения на 2 и находим число при умножении которого на 2 получим наибольшее произведение, которое меньше 3.
2 × 1 = 2 (2 < 3)
2 × 2 = 4 (4 > 3)
2 меньше 3 , а 4 больше, значит, берем первый пример и множитель 1 .
Записываем 1 в частное на место первой точки (в разряд сотен), а найденное произведение записываем под делимым:
Теперь находим разность, между первым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителем:
Полученное значение сравниваем с делителем. 15 больше 2 , значит, мы нашли второе неполное делимое. Для того чтобы найти результат деления 15 на 2 вновь вспоминаем таблицу умножения на 2 и находим наибольшее произведение, которое меньше 15 :
2 × 7 = 14 (14 < 15)
2 × 8 = 16 (16 > 15)
Искомый множитель 7 , записываем его в частное на место второй точки (в десятки). Находим разность между вторым неполным делимым и произведением найденного разряда частного и делителя:
Продолжаем деление, для чего находим третье неполное делимое . Спускаем следующий разряд делимого:
Делим неполное делимое на 2, полученное значение ставим в разряд единиц частного. Проверим правильность деления:
2 × 7 = 14
Результат деления третьего неполного делимого на делитель пишем в частное, находим разность:
Разность мы получили равную нулю, значит деление произведено правильно .
Усложним задачу и приведем другой пример:
1020 ÷ 5
Запишем наш пример в столбик и определим первое неполное частное:
Разряд тысяч делимого составляет 1 , сравниваем с делителем:
1 < 5
Добавляем в неполное делимое разряд сотен и сравниваем:
10 > 5 – мы нашли неполное делимое.
Делим 10 на 5 , получаем 2 , записываем результат в частное. Разность между неполным делимым и результатом умножения делителя и найденного разряда частного.
10 – 10 = 0
0 мы не пишем, опускаем следующий разряд делимого – разряд десятков:
Сравниваем второе неполное делимое с делителем.
2 < 5
Нам следует добавить в неполное делимое ещё один разряд, для этого в частное, на разряд десятков ставим 0 :
20 ÷ 5 = 4
Записываем ответ в разряд единиц частного и проверяем: записываем произведение под второе неполное делимое и вычисляем разность. Получаем 0 , значит пример решён правильно .
И ещё 2 правила деления в столбик:
1. Если в делимом и делителе в младших разрядах стоят нули, то перед делением их можно сократить, например:
Сколько нулей в младшем разряде делимого мы убираем, столько же нулей убираем в младших разрядах делителя.
2. Если в делимом после деления остались нули, то их следует перенести в частное:
Итак, сформулируем последовательность действий при делении в столбик.
а) выделяем в неполный делитель старший разряд делимого;
б) сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (в) , если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4 ;
в) добавляем в неполное делимое следующий разряд и переходим к пункту (б) .
а) сравниваем неполное делимое с делителем, если делитель больше, то переходим к пункту (б), если меньше, значит, мы нашли неполное делимое и можем переходить к пункту 4;
б) добавляем к неполному делимому следующий разряд делимого, при этом в частное на место следующего разряда (точки) пишем 0;
в) переходим к пункту (а).
10. Если мы выполняли деление без остатка и последняя найденная разность равна 0 , то мы правильно выполнили деление .
Мы говорили о делении многоразрядного числа на одноразрядное. В случае, когда разрядность делителя больше, деление выполняется аналогично:
Деление столбиком или, правильнее сказать, письменный прием деления уголком, школьники проходят уже в третьем классе начальной школы, но зачастую этой теме уделяется так мало внимания, что к 9-11 классу не все ученики могут им свободно пользоваться. Деление столбиком на двузначное число проходят в 4 классе, как и деление на трехзначное число, а далее этот прием используется только как вспомогательный при решении каких-либо уравнений или нахождении значения выражения.
Очевидно, что уделив делению столбиком больше внимания, чем заложено в школьной программе, ребенок облегчит себе выполнение заданий по математике вплоть до 11 класса. А для этого нужно немногое - понять тему и позаниматься, порешать, держа алгоритм в голове, довести навык вычисления до автоматизма.
Как и при делении на однозначное число, будем последовательно переходить от деления более крупных счетных единиц к делению более мелких единиц.
1. Находим первое неполное делимое . Это число, которое делится на делитель с получением числа больше или равного 1. Это значит, что первое неполное делимое всегда больше делителя. При делении на двузначное число в первом неполном делимом минимум 2 знака.
Примеры 76
8:24. Первое неполное делимое 76
265
:53 26 меньше 53, значит не подходит. Нужно добавить следующую цифру (5). Первое неполное делимое 265.
2. Определяем количество цифр в частном . Для определения числа цифр в частном следует помнить, что неполному делимому соответствует одна цифра частного, а всем остальным цифрам делимого - еще по одной цифре частного.
Примеры 768:24. Первое неполное делимое 76. Ему соответствует 1 цифра частного. После первого неполного делителя есть еще одна цифра. Значит в частном будет всего 2 цифры.
265:53. Первое неполное делимое 265. Оно даст 1 цифру частного. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет всего 1 цифра.
15344:56. Первое неполное делимое 153, а после него еще 2 цифры. Значит в частном будет всего 3 цифры.
3. Находим цифры в каждом разряде частного . Сначала найдем первую цифру частного. Подбираем такое целое число, чтобы при умножении его на наш делитель получилось число, максимально приближенное к первому неполному делимому. Цифру частного записываем под уголок, а значение произведения вычитаем столбиком из неполного делителя. Записываем остаток. Проверяем, что он меньше делителя.
Затем находим вторую цифру частного. Переписываем в строку с остатком цифру, следующую за первым неполным делителем в делимом. Полученное неполное делимое снова делим на делитель и так находим каждое последующее число частного, пока не закончатся цифры делителя.
4. Находим остаток (если есть).
Если цифры частного закончились и получился остаток 0, то деление выполнено без остатка. В ином случае значение частного записывается с остатком.
Так же выполняется деление на любое многозначное число (трехзначное, четырехзначное и т. д.)
Сначала рассмотрим простые случаи деления, когда в частном получается однозначное число.
Найдем значение частного чисел 265 и 53.
Первое неполное делимое 265. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет однозначное число.
Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 265 не на 53, а на близкое круглое число 50. Для этого 265 разделим на 10, будет 26 (остаток 5). И 26 разделим на 5, будет 5 (остаток 1). Цифру 5 нельзя сразу записывать в частном, поскольку это пробная цифра. Сначала нужно проверить, подойдет ли она. Умножим 53*5=265. Мы видим, что цифра 5 подошла. И теперь можем ее записать в частном под уголок. 265-265=0. Деление выполнено без остатка.
Значение частного чисел 265 и 53 равно 5.
Иногда при делении пробная цифра частного не подходит, и тогда ее нужно менять.
Найдем значение частного чисел 184 и 23.
В частном будет однозначное число.
Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 184 не на 23, а на 20. Для этого разделим 184 на 10, будет 18 (остаток 4). И 18 разделим на 2, будет 9. 9 – это пробная цифра, мы ее сразу писать в частном не будем, а проверим, подойдет ли она. Умножим 23*9=207. 207 больше, чем 184. Мы видим, что цифра 9 не подходит. В частном будет меньше 9. Попробуем, подойдет ли цифра 8. Умножим 23*8=184. Мы видим, что цифра 8 подходит. Можем ее записать в частном. 184-184=0. Деление выполнено без остатка.
Значение частного чисел 184 и 23 равно 8.
Рассмотрим более сложные случаи деления.
Найдем значение частного чисел 768 и 24.
Первое неполное делимое – 76 десятков. Значит, в частном будут 2 цифры.
Определим первую цифру частного. Разделим 76 на 24. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 76 не на 24, а на 20. То есть нужно 76 разделить на 10, будет 7 (остаток 6). И 7 разделим на 2, получится 3 (остаток 1). 3 – это пробная цифра частного. Сначала проверим, подойдет ли она. Умножим 24*3=72 . 76-72=4. Остаток меньше делителя. Значит, цифра 3 подошла и теперь мы ее можем записать на месте десятков частного. 72 пишем под первым неполным делимым, между ними ставим знак минус, под чертой записываем остаток.
Продолжим деление. Перепишем в строку с остатком цифру 8, следующую за первым неполным делимым. Получим следующее неполное делимое – 48 единиц. Разделим 48 на 24. Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 48 не на 24, а на 20. То есть разделим 48 на 10, будет 4 (остаток 8). И 4 разделим на 2, будет 2. Это пробная цифра частного. Мы должны сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 24*2=48. Мы видим, что цифра 2 подошла и, значит, можем ее записать на месте единиц частного. 48-48=0, деление выполнено без остатка.
Значение частного чисел 768 и 24 равно 32.
Найдем значение частного чисел 15344 и 56.
Первое неполное делимое – 153 сотни, значит, в частном будут три цифры.
Определим первую цифру частного. Разделим 153 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 153 не на 56, а на 50. Для этого разделим 153 на 10, будет 15 (остаток 3). И 15 разделим на 5, будет 3. 3 – это пробная цифра частного. Помните: ее нельзя сразу записывать в частном, а нужно сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 56*3=168. 168 больше, чем 153. Значит, в частном будет меньше, чем 3. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 56*2=112. 153-112=41. Остаток меньше делителя, значит, цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном.
Образуем следующее неполное делимое. 153-112=41. Переписываем в ту же строку цифру 4, следующую за первым неполным делимым. Получаем второе неполное делимое 414 десятков. Разделим 414 на 56. Чтобы удобнее было подобрать цифру частного, разделим 414 не на 56, а на 50. 414:10=41(ост.4). 41:5=8(ост.1). Помните: 8 – это пробная цифра. Проверим ее. 56*8=448. 448 больше, чем 414, значит, в частном будет меньше, чем 8. Проверим, подойдет ли цифра 7. Умножим 56 на 7, получится 392. 414-392=22. Остаток меньше делителя. Значит, цифра подошла и в частном на месте десятков можем записать 7.
Пишем в строку с новым остатком 4 единицы. Значит следующее неполное делимое – 224 единицы. Продолжим деление. Разделим 224 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 224 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 4). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 224-224=0, деление выполнено без остатка.
Значение частного чисел 15344 и 56 равно 274.
Чтобы провести аналогию, возьмем пример, похожий на пример выше, и отличающийся лишь последней цифрой
Найдем значение частного чисел 15345:56
Делим сначала точно так же, как в примере 15344:56, пока не дойдем до последнего неполного делимого 225. Разделим 225 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 225 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 5). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 225-224=1, деление выполнено с остатком.
Значение частного чисел 15345 и 56 равно 274 (остаток 1).
Иногда в частном одним из чисел получается 0, и дети зачастую пропускают его, отсюда неправильное решение. Разберем, откуда может взяться 0 и как его не забыть.
Найдем значение частного чисел 2870:14
Первое неполное делимое - 28 сотен. Значит в частном будет 3 цифры. Ставим под уголок три точки. Это важный момент. Если ребенок потеряет ноль, останется лишняя точка, которая заставит задуматься, что где-то упущена цифра.
Определим первую цифру частного. Разделим 28 на 14. Подбором получается 2. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 14*2=28. Цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном. 28-28=0.
Получился нулевой остаток. Мы обозначили его розовым для наглядности, но записывать его не нужно. Переписываем в строку с остатком цифру 7 из делимого. Но 7 не делится на 14 с получением целого числа, поэтому записываем на месте десятков в частном 0.
Теперь переписываем в ту же строку последнюю цифру делимого (количество единиц).
70:14=5 Записываем вместо последней точки в частном цифру 5. 70-70=0. Остатка нет.
Значение частного чисел 2870 и 14 равно 205.
Деление нужно непременно проверить умножением.
Найдите первое неполное делимое и определите количество цифр в частном.
3432:66 2450:98 15145:65 18354:42 17323:17
Усвоили тему, а теперь потренируйтесь решить несколько примеров столбиком самостоятельно.
1428: 42 30296: 56 254415: 35 16514: 718