Любая автоматическая система предназначена для управления каким-либо объектом, должна быть построена таким образом, чтобы осуществляемое ею управление было оптимальным, т.е наилучшем в том или ином смысле. Задачи оптимального управления чаще всего возникают в подсистемах управления технологическими процессами. В каждом случае существует некоторая технологическая задача, для выполнения которой предназначается соответствующая машина или установка (объект управления), снабженная соответствующая системой управления, т.е. речь идет о некоторой САУ, состоящей из объекта управления и совокупности устройств, которые обеспечивают управление этим объектом. Как правило эта совокупность включает в себя измерительные, усилительные преобразовательные и исполнительные устройства. Если объединить усилительные, преобразовательные и исполнительные устройства в одно звено, называемое управляющим устройством или регулятором, то функциональная схема САУ может быть приведена к виду на рис. 1. 1.
Рис. 1. 2 Функциональная схема оптимальной системы
На вход управляющего устройства поступает задающее воздействие, которое содержит инструкцию о том, каково должно быть состояние объекта - так называемое «желаемое состояние».
На объект управления может поступать возмущающие воздействие z, представляющие нагрузку или помеху. Измерение координат объекта измерительным устройством может производиться с некоторыми случайными погрешностями x (ошибка) .
Таким образом, задачей управляющего устройства является выработка такого управляющего воздействия, чтобы качество функционирования САУ в целом было бы наилучшим в некотором смысле. Для определения алгоритма управляющего устройства необходимо знать характеристики объекта и характер информации об объекте и возмущениях, которая поступает в управляющее устройство.
Под характеристиками объекта понимают зависимость выходных величин объекта от входных
где F, в общем случае,-- оператор, который устанавливает закон соответствия между двумя множествами функций. Оператор F объекта может быть задан различными способами: с помощью формул, таблиц, графиков. Его задают и в виде системы дифференциальных уравнений, которая в векторной форме записывается так
где и задавалось начальное и конечное значения вектора.
Существует много различных путей решения рассматриваемой задачи. Но только один способ управления объектом дает наилучший в некотором смысле результат. Этот способ управления и реализующую его систему называют оптимальными.
Чтобы иметь количественные основания для предпочтения одного способа управления всем другим, необходимо определить цель управления, а затем ввести меру, характеризующую эффективность достижения цели -критерий оптимальности управления. Обычно критерий оптимальности - это числовая величина, зависящая от изменяющихся во времени и пространстве координат и параметров системы так, что каждому закону управления соответствует определенное значение критерия. В качестве критерия оптимальности могут быть выбраны различные технические и экономические показатели рассматриваемого процесса.
Иногда к системе управления предъявляются различные, подчас противоречивые требования. Законы управления, которые одновременно наилучшим образом удовлетворяли бы каждому требованию, не существует. Поэтому из всех требований нужно выбрать одно главное, которое должно удовлетворяться наилучшим образом. Другие требования играют роль ограничений. Следовательно, выбор критерия оптимальности должен производиться, только на основании изучения технологии и экономики рассматриваемого объекта и среды. Эта задача выходит за рамки теории ОУ.
При решении задач оптимального управления наиболее важным является задание цели управления, что математически можно рассматривать как задачу достижения экстремума некоторой величины Q -- критерия оптимальности. В математике такую величину называют функционалом. В зависимости от решаемой задачи необходимо достижение минимума либо максимума Q. Например, запишем критерий оптимальности, в котором Q должно быть минимально
Как видно, величина Q зависит от функций.
В качестве критерия оптимальности могут быть приняты различные технические и технико-экономические показатели и оценки. Выбор критерия оптимальности -- это инженерная и инженерно-экономическая задача, которая решается на основе глубокого и всестороннего изучения управляемого процесса. В теории управления широко распространены интегральные функционалы, характеризующие качество функционирования системы. Достижение максимального или минимального значения этого функционала указывает на оптимальное поведение или состояние системы. Интегральные функционалы обычно отражают условия работы объектов управления и учитывают ограничения (по нагреву, прочности, мощности источников энергии и т. д.), накладываемые на координаты .
Для процессов управления использоваться такие критерии:
1. оптимальное быстродействие (время переходного процесса)
2. минимум среднеквадратичного значения ошибки.
3. минимум расхода затрачиваемой энергии.
Таким образом, критерий оптимальности может относиться к переходному или к установившемуся процессу в системе.
В зависимости от критерия оптимальности оптимальные системы можно разделить на два основных класса -- оптимальные по быстродействию и оптимальные по точности.
Системы оптимального управления в зависимости от характера критерия оптимальности можно разделить на три типа:
а) равномерно-оптимальные системы;
б) статистически-оптимальные системы;
в) минимаксно-оптимальные системы.
Равномерно-оптимальная -- это такая система, у которой каждый отдельный процесс является оптимальным. Например, в оптимальных по быстродействию системах при любых начальных условиях и любых возмущениях система приходит наикратчайшим во времени путем к требуемому состоянию.
В статистически-оптимальных системах критерий оптимальности имеет статистический характер. Такие системы должны быть наилучшими в среднем. Здесь не требуется или невозможна оптимизация в каждом отдельном процессе. В качестве статистического критерия чаще всего фигурирует среднее значение какого-либо первичного критерия, например математическое ожидание выхода некоторой величины за определенные пределы.
Минимаксно-оптимальные -- это такие системы, которые в наихудшем случае дают возможно наилучший результат. Они отличаются от равномерно-оптимальных тем, что в ненаихудшем случае могут дать худший результат, чем какая-либо другая система .
Оптимальные системы можно также подразделить на три типа в зависимости от способа получения информация об управляемом объекте:
оптимальные системы с полной информацией об объекте;
оптимальные системы с неполной информацией об объекте и пассивным ее накоплением;
оптимальные системы с неполной информацией об объекте и активным ее накоплением в процессе управления (системы дуального управления).
Существует две разновидности задач синтеза оптимальных систем:
Определение оптимальных значений параметров регулятора при заданных параметрах объекта и заданной структуре системы;
Синтез структуры и определение параметров регулятора при заданных параметрах и структуре объекта управления.
Решение задач первого типа возможно различными аналитическими методами при минимизации интегральных оценок, а также с помощью вычислительной техники (моделирование на ЭВМ), рассматривая заданный критерий оптимальности.
Решение задач второго типа основано на использовании специальных методов: методы классического вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина и динамического программирования Беллмана, а также методы математического программирования. Для синтеза оптимальных систем при случайных сигналах используются методы Винера, вариационные и частотные методы. При разработке адаптивных систем наиболее широкое применение имеют градиентные методы, позволяющие определить законы, изменения настраиваемых параметров.
В широком значении слово «оптимальный» означает наилучший в смысле некоторого критерия эффективности. При таком толковании любая научно обоснованная система является оптимальной, так как при выборе какой-либо системы подразумевается, что она в каком-либо отношении лучше других систем. Критерии, с помощью которых осуществляется выбор (критерии оптимальности), могут быть различными. Этими критериями могут являться качество динамики процессов управления, надежность системы, энергопотребление, ее вес и габариты, стоимость и т. п., либо совокупность этих критериев с некоторыми весовыми коэффициентами.
Ниже термин «оптимальный» используется в узком смысле, когда система автоматического управления оценивается лишь качеством динамических процессов и при этом критерием (мерой) этого качества выступает интегральный показатель качества. Такое описание критериев качества позволяет использовать для нахождения оптимального управления хорошо разработанный в математике аппарат вариационного исчисления.
Далее рассматривается два класса систем: системы программного управления, управляющее воздействие в которых не использует информацию о текущем состоянии объекта, и системы автоматического регулирования (системы стабилизации программного движения), действующие по принципу обратной связи.
Вариационные задачи, возникающие при построении оптимальных систем программного и стабилизирующего управления, формулируются в первой главе. Во второй главе излагается математическая теория оптимального управления (принцип максимума Л. С. Понтрягина и метод динамического программирования Р. Веллмана). Эта теория является фундаментом для построения оптимальных систем. Она доставляет большой объем информации о структуре оптимального управления. Свидетельством последнего являются оптимальные по быстродействию управления, которым посвящена третья глава. Вместе с тем практическое применение теории сталкивается с трудностями вычислительного характера. Дело в том, что математическая теория оптимального управления позволяет свести процесс построения оптимального управления к решению краевой задачи для дифференциальных уравнений (обыкновенных либо в частных производных).
Трудности численного решения краевых задач приводят к тому, что построение оптимальных управлений для каждого класса объектов управления является самостоятельной творческой задачей, решение которой требует учета специфических особенностей объекта, опыта и интуиции разработчика.
Эти обстоятельства побудили к отысканию классов объектов, для которых при построении оптимального управления краевая задача легко решается численно. Такими объектами управления оказались объекты, описываемые линейными дифференциальными уравнениями. Эти результаты, полученные А. М. Летовым и Р. Калманом, явились основой нового направления синтеза систем оптимальной стабилизации, называемого аналитическим конструированием регуляторов.
Аналитическому конструированию регуляторов, широко используемому при проектировании современных сложных систем стабилизации, посвящены четвертая и пятая главы.
В общем случае автоматическая система состоит из объекта управления и совокупности устройств, которые обеспечивают управление этим объектом. Как правило, эта совокупность устройств включает в себя измерительные устройства, усилительные и преобразовательные устройства, а также исполнительные устройства. Если объединить эти устройство в одно звено (управляющее устройство), то структурная схема системы выглядит следующим образом:
В автоматической системе информация о
состоянии объекта управления через
измерительное устройство поступает на
вход управляющего устройства. Такие
системы называются системами с обратной
связью или замкнутыми системами.
Отсутствие этой информации в алгоритме
управления говорит о том, что система
разомкнута. Состояние объекта управления
в любой момент времени будем описывать
переменными
,
которые называются координатами системы
или переменными состояния. Их удобно
считать координатами
-
мерного вектора состояния.
Измерительное устройство выдает
информацию о состоянии объекта. Если
на основании измерения вектора
могут быть найдены значения всех
координат
вектора состояния
,
то говорят, что система полностью
наблюдаема.
Управляющее устройство вырабатывает
управляющее воздействие
.
Таких управляющих воздействий может
быть несколько, они образуют
-
мерный управляющий вектор.
На вход управляющего устройства поступает
задающее входное воздействие
.
Это входное воздействие несет информацию
о том, какое должно быть состояние
объекта. На объект управления может
действовать возмущающее воздействие
,
которое представляет собой нагрузку
или помеху. Измерение координаты объекта,
как правило, осуществляется с некоторыми
погрешностями
,
которые тоже носят случайный характер.
Задачей управляющего устройства является
выработка такого управляющего воздействия
,
чтобы качество функционирования
автоматической системы в целом было бы
наилучшим в некотором смысле.
Мы будем рассматривать такие объекты управления, которые являются управляемыми. То есть вектор состояния можно изменять требуемым образом путем соответствующего изменения вектора управления. Будем подразумевать, что объект полностью наблюдаемый.
Так, например, положение летательного
аппарата характеризуется шестью
координатами состояния. Это
-
координаты центра масс,
-
углы Эйлера, определяющие ориентацию
летательного аппарата относительно
центра масс. Положение летательного
аппарата можно изменить с помощью рулей
высоты, курса, элерона и с помощью
уклонения вектора силы тяги. Таким
образом управляющий вектор определен
следующим образом:
-
угол отклонения рулей высоты
-
курс
-
элерон
- тяга
Вектор состояния
в
этом случае определяется следующим
образом:
Можно поставить задачу выбора управления,
с помощью которого летательный аппарат
переводится из заданного начального
состояния
в заданное конечное состояние
с минимальными затратами топлива или
за минимальное время.
Дополнительная сложность при решении технических задач возникает в силу того, что на управляющее воздействие и на координаты состояния объекта управления, как правило, накладываются различные ограничения.
На любой угол рулей высоты, курса, элерона существуют ограничения:
- тяга сама по себе ограничена.
На координаты состояния объекта управления и их производные также накладываются ограничения, которые связаны с допустимыми перегрузками.
Мы будем рассматривать объекты управления, которые описываются дифференциальным уравнением:
(1)
Или в векторном виде:
-
-мерный
вектор состояния объекта
-
-мерный
вектор управляющих воздействий
-
функция правой части уравнения (1)
На вектор управления
накладывается ограничение, мы будем
полагать, что его значения принадлежат
некоторой замкнутой области
некоторого
-мерного
пространства. Это означает, что управляющая
функция
в любой момент времени принадлежит
области
(
).
Так, например, если координаты управляющей функции удовлетворяет неравенствам:
то область
является
-мерным
кубом.
Оптимальные системы – это системы, в которых заданное качество работы достигается за счет максимального использования возможностей объекта, иными словами это системы, в которых объект работает на пределе своих возможностей.
Оптимальная СУ – система управления, выбранная тем или иным способом и имеет наилучшие качества.
Оценка функции СУ производится по критерию оптимальности. Задачей теории оптимальности СУ является определение в общем виде законов управления объектом. По этим законам можно судить, что можно и чего нельзя достигнуть в реальных условиях. Классической постановкой задачи является задача определения оптимального алгоритма управления при наличии априорной информации (математического описания включающее ограничения наложенные на любые координаты системы) об объекте управления.
Рассмотрим апериодическое звено первого порядка
W (p) = K/(Tp+1) (1)
│u │≤ A, (2)
для которого необходимо обеспечить минимальное время перехода у из начального состояния y (0) в конечноеy k . Переходная функция такой системы приK =1 выглядит следующим образом
Рис. 1.1. Переходная функция системы при U= const .
Рассмотрим ситуацию, когда на вход объекта подаем максимально возможное управляющее воздействие.
Рис.1.2. Переходная функция системы при U=A= const .
t 1 - минимально возможное время перехода y из нулевого состояния в конечное для данного объекта.
Для получения такого перехода существует два закона управления:
программное управление
A, t < t 1
y k , t ≥ t 1 ;
закон управления типа обратной связи
A, y < y k
y = (4)
y k , y ≥ y k ;
Второй закон более предпочтителен и позволяет обеспечить управление при помехах.
Рис. 1.3. Структурная схема системы с законом управления типа обратной связи.
Цель управления - требования, предъявленные к СУ.
ограничения на входные параметры, например, допуски на изготовляемую продукцию, ошибки стабилизации управляемой величины,
экстремальные условия (мах мощности или кпд, мин потери энергии),
некоторые показатели качества (содержание вредных компонентов в конечном продукте)
Строгая формализация цели управления очень сложна из-за наличия подсистем
При формализации критерия необходимо учитывать факторы, влияющие на поведение СУ более высокого уровня. Например, при добыче полезного ископаемого – мах выхода товара. Но при этом ухудшается качество, т.е. необходимо учитывать заданное качество.
Таким образом, при выборе формализованного (математического) выражения критерия оптимальности необходимо учитывать:
1) критерий оптимальности должен отражать экономические показатели или величины с ними связанные.
2) для конкретной СУ учитывается только 1 критерий (если многокретериальная задачах то глобальный критерий- функция от частных критериев.
3) критерий должен быть связан с управляющими воздействиями, иначе он бесполезен.
4) критериальная функция иметь подходящую форму, желательно, чтоб критерий имел 1 экстремум,
5) информация, необходимая для критерия не должна быть избыточной. Это позволяет мах упростить систему измерительных устройств. И повысить надежность функционирования системы в целом.
Тестовые задания для самоконтроля
1. Управление это -
А) достижение избранных целей в практической деятельности
Б) достижение избранных целей в научной деятельности
В) достижение избранных целей в реальной действительности
Г) достижение избранных целей в теоретической деятельности
Д) достижение избранных целей в психологической деятельности
2. В теории управления возможна постановка скольких задач
3. Суть задачи управления заключается
А) в управлении объектом в процессе его функционирования без нашего непосредственного соучастия в процессе
Б) в управлении объектом в процессе его функционирования с нашим
непосредственном участии в процессе
Д) в управлении объектом в процессе его функционирования с помощью датчиков
4. Суть задачи самоуправления заключается
А) в управлении объектом в процессе его функционирования без нашего непосредственного соучастия в процессе
Б) в управлении объектом в процессе его функционирования с помощью датчиков
В) в управлении объектом в процессе его функционирования с помощью программы
Г) в управлении объектом в процессе его функционирования с помощью ЭВМ
Д) все ответы верны
5. На основании выбранного критерия оптимальности составляется
А) целевая функция
Б) зависимость параметров
В) целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение
Г) зависимость параметров, влияющих на ее значение
Д) все ответы верны
Оптимальное управление
Оптимальное управление - это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы .
Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния. Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств .
Наиболее широко при проектировании систем управления применяются следующие методы: вариационное исчисление , принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование Беллмана .
Иногда (например, при управлении сложными объектами, такими как доменная печь в металлургии или при анализе экономической информации) в исходных данных и знаниях об управляемом объекте при постановке задачи оптимального управления содержится неопределённая или нечёткая информация, которая не может быть обработана традиционными количественными методами. В таких случаях можно использовать алгоритмы оптимального управления на основе математической теории нечётких множеств (Нечёткое управление). Используемые понятия и знания преобразуются в нечёткую форму, определяются нечёткие правила вывода принимаемых решений, затем производится обратное преобразование нечётких принятых решений в физические управляющие переменные.
Сформулируем задачу оптимального управления:
здесь - вектор состояния - управление, - начальный и конечный моменты времени.
Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния и управления для времени , которые минимизируют функционал.
Рассмотрим данную задачу оптимального управления как задачу Лагранжа вариационного исчисления . Для нахождения необходимых условий экстремума применим теорему Эйлера-Лагранжа . Функция Лагранжа имеет вид: , где - граничные условия. Лагранжиан имеет вид: , где , , - n-мерные вектора множителей Лагранжа .
Необходимые условия экстремума, согласно этой теореме, имеют вид:
Необходимые условия (3-5) составляют основу для определения оптимальных траекторий. Написав эти уравнения, получаем двухточечную граничную задачу, где часть граничных условий задана в начальный момент времени, а остальная часть - в конечный момент. Методы решения подобных задач подробно разбираются в книге
Необходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае когда нигде в допустимом диапазоне управляющей переменной невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно .
В этом случае условие (3) заменяется на условие (6):
(6)В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона. Уравнения Понтрягина записываются при помощи функции Гамильтона Н, определяемой соотношением . Из уравнений следует, что функция Гамильтона H связана с функцией Лагранжа L следующим образом: . Подставляя L из последнего уравнения в уравнения (3-5) получаем необходимые условия, выраженные через функцию Гамильтона:
Необходимые условия, записанные в такой форме, называются уравнениями Понтрягина. Более подробно принцип максимума Понтрягина разобран в книге .
Принцип максимума особенно важен в системах управления с максимальным быстродействием и минимальным расходом энергии, где применяются управления релейного типа, принимающие крайние, а не промежуточные значения на допустимом интервале управления.
За разработку теории оптимального управления Л.С. Понтрягину и его сотрудникам В.Г. Болтянскому , Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко в 1962 г была присуждена Ленинская премия .
Метод динамического программирования основан на принципе оптимальности Беллмана, который формулируется следующим образом: оптимальная стратегия управления обладает тем свойством, что каково бы ни было начальное состояние и управление в начале процесса последующие управления должны составлять оптимальную стратегию управления относительно состояния, полученного после начальной стадии процесса . Более подробно метод динамического программирования изложен в книге
Wikimedia Foundation . 2010 .
Оптимальное управление - ОУ Управление, обеспечивающее наивыгоднейшее значение определенного критерия оптимальности (КО), характеризующего эффективность управления при заданных ограничениях. В качестве КО могут быть выбраны различные технические или экономические… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
оптимальное управление - Управление, цель которого заключается в обеспечении экстремального значения показателя качества управления. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 107. Теория управления. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.]… … Справочник технического переводчика
Оптимальное управление - 1. Основное понятие математической теории оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием: «О.у.»); означает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее с точки… … Экономико-математический словарь
Позволяет при заданных условиях (часто противоречивых) достичь поставленной цели наилучшим образом, напр. за минимальное время, с наибольшим экономическим эффектом, с максимальной точностью … Большой Энциклопедический словарь
Летательным аппаратом раздел динамики полёта, посвящённый развитию и использованию методов оптимизации для определения законов управления движением летательного аппарата и его траекторий, обеспечивающих максимум или минимум выбранного критерия… … Энциклопедия техники
Раздел математики, изучающий неклассические вариационные задачи. Объекты, с которыми имеет дело техника, обычно снабжены «рулями» с их помощью человек управляет движением. Математически поведение такого объекта описывается… … Большая советская энциклопедия
Позволяет при заданных условиях (часто противоречивых) достичь поставленной цели наилучшим образом, например за минимальное время, с наибольшим экономическим эффектом, с максимальной точностью. * * * ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ … Энциклопедический словарь
